Aske Lund Daugaard 3.T Fremstilling af pokal En maskinfabrik skal i forbindelse med en reklameopgave fremstille nogle pokaler, der er 20 cm høje, og som skal fremstilles af aluminium med en massefylde på 2700 kg/ m3 . Rearbejdningen skal forgå på en maske, der er computerstyret. Til hjælp ved programmeringen skal pokalernes ydre konturlinje være beskrevet om en matematisk funktion. I et koordinatsystem, hvor enhederne er i cm, indlægges en pokal således, at pokalens symmetriakse og x-aksen er sammenfaldende. Den ydre konturlinje er fastlagt ved følgende funktionsbeskrivelser: Fod: f x d6 x/6 (1) 2 x (2) Overgang mellem fod og stilk: 2 g x d x x/ Stilk: s x = ax C q s x = ax C q (3) Mellem punkterne (2,1) og (8;0,5) Udvendig bægerdel: u x d 2$ x K 8 C 0.5 x/2 x K 8 C 0.5 (4) x K 8.5 (5) Indvendig bægerdel: i x d 2$ x K 8.5 x/2 A Tegn et sværsnit af en pokal i målforhold 1:1. For at finde hældningen til funktionen s(x) mellem de to punkter, beregner jeg hældningen ved: a= Dy y2 K y1 = x2 K x1 Dx Punkterne er opgivet (2,1) og (8;0,5) 1 K1 2 a= 8K2 1 12 derefter kan skærringen med y-aksen findes ved følgende formel: a=K (1.1) b = y1 K a$x1 b = y1 K a x1 (1.2) 1 $2 12 b = 1 KK b= 7 6 (1.3) 1 7 xC 12 6 Ved at kende forskiften for linjens ligning, kan jeg nu navngive funktionen s(x) til K 1 7 xC 12 6 s x dK 1 7 xC 12 6 x/K ved at opskrive alle funktionerne i et graf plot program vil følgende tegning laves. B Bestem pokalens største udvendige og indvendige diameter. (1.4) Ved analytisk at kigge på tegningen vides det at funktionerne u(x) og i(x) begge er stigende, mod 20. og vil derfor have den største diameter i x=20 Derfor indsætter jeg 20 i begge funktioner og multiplikere med 2 for at få diameter istedet for radius. u 20 4 3 C 0.5 (2.1) at 5 digits 7.4284 (2.2) 14.8568 (2.3) 6.782329984 (2.4) 13.56465997 (2.5) 7.4284$2 i 20 6.782329984$2 C Bestem, hvor meget en pokal kan rumme. Som der kan ses på tegningen, vil det orange område være det rumfang der skal findes. Det er rumfang der kan findes som omdrejningslegme under funktionen i(x) og x-aksen Jeg finder x-værdien for i(x) hvor y er lig 0, for at kende værdien for intervallet. i x 2 x K 8.5 (3.1) isolate for x x = 8.5 (3.2) Ved at benytte denne formel vil man finde omdrejninglegmet om x-aksen for en funktion. Hvilket er den jeg har brug for, for at finde det orange område. x2 vx = 2 p$ f x dx x1 Indsætter i(x) og intervallet 8.5-20 20 p$ i x 2 dx 8.5 830.9512569 måles i centimeter, og derfor vil det være i kubik centimeter. (3.3) D Bestem, hvor en målestreg for et rumfang på 400 cm3 skal placeres. I denne opgave benytter jeg samme formel som i opgave C, blot jeg kender rumfanget i forvejen, og x2 vil istedet være min ukendte værdi. Jeg isolere for x2, og får 2 resultater. Dog ligger kun et inden for mit interval, og vil derfor være det resultat jeg skulle bruge. x2 400 = p$ 2$ x K 8.5 2 dx 8.5 400 = 6.283185307 x22 C 453.9601384 K 106.8141502 x2 (4.1) x2 = 0.5211543916 , x2 = 16.47884561 (4.2) solve for x2 x2=16.4788 E Bestem massen på en pokal. Deler pokalen op i 5 dele, hver af disse 5 dele regnes som et omdrejnings legme der roteres om xaksen, for at finde rumfanget, hvorefter de lægges sammen. De 5 dele er f(x)-rød, g(x)-blå, s(x)-grøn, u(x)-gul og rumfanget mellem u(x) og i(x)-orange kan ses på denne tegning: styk 1 - Rød Ved at tage g(x) og sætte lig 6, kan jeg få x koordinaten der skal bruges til at give f(x) et interval. g 6 1 3 (5.1.1) 12 p (5.1.2) 10 p (5.2.1) Formel er samme der bruges i opgave C 1 3 2 p$ f x dx 0 styk 2 - Blå 2 2 p$ g x dx 1 3 styk 3 - Grøn 8 2 p$ s x 2 dx 7 p 2 (5.3.1) 3.444456388 (5.4.1) styk 4 - Gul 8.5 2 p$ u x dx 8 styk 5 - Orange Benytter formel for omdrejningslegme mellem to funktioner. Som på tegningen er det orange område. g(x) er den øverste og f(x) er den nederste funktion vx = p$ p$ x2 f x 2 dx K g x 2 dx x1 20 u x 2 Ki x 2 dx 8.5 80.82922132 p (5.5.1) de 5 stykker lægges så sammen og giver et rumfang på: 12 p C 10 p C 7 p C 3.444456388 C 80.82922132 p 2 106.3292213 p C 3.444456388 (5.1) at 5 digits 337.49 for at finde vægten omregner jeg til kobikcentimeter istedet for kubikmeter, som vi havde oplyst. 2700 kg m3 = 2.7 g cm3 (5.2) 2700 kg m g 2.7 cm 3 3 2.7 g = cm3 (5.3) $337.49 cm3 911.223 g (5.4) F Bestem, hvor mange gram aluminium der skal forvandles til spåner ved fremstilling af en pokal, når råmaterialet er rundstænger med en diameter på 15 cm, og når der andvendes et stikstål med bredden 2 mm, når pokalen stikkes (skæres) af rundstangen. Laver en ny funktion j(x) som er et cylinder med en diameter på 15, og er 20 centimeter højt. j x d 7.5 x/7.5 (6.1) jeg vil modsat opgave E finde hvor stort et rumfang af materiale der fjeres fra cylinderen, således pokalen bliver tilbage. Til at starte med udregner jeg massen på hele cylinderen, inden den behandles. 20 p$ j x 2 dx 0 3534.291735 2.7 g cm 3 $3534.291735 cm3 9542.587684 g (6.3) Fra opgave C har jeg udregnet rumfanget på det orange område, og omregner der så til hvor stor en vægt det udgør 2.7 g cm 3 $830.9512569 cm3 2243.568394 g (6.4) finder omdejnings legmet mellem j(x) og de 5 stykker der blev brugt i opgave E, dog kun 4 stykker da u(x) kan dække det hele. styk 1 - Rød 1 3 p$ j x 2 K f x 2 dx 0 6.750000000 p (6.1.1) 83.75000000 p (6.2.1) 334. p (6.3.1) styk 2 - Blå p$ 2 2 j x 2 Kg x dx 1 3 styk 3 - Grøn p$ 8 j x 2 Ks x 2 dx 2 styk 4 - Gul p$ 20 j x 8 2 Ku x 2 dx 328.5743742 p (6.4.1) Jeg har udregnet rumfanget for de 4 stykker hvorefter jeg lægger dem sammen for at hvor stor en del af massen de udgør. 6.750000000 p C 83.75000000 p C 334. p C 328.5743742 p 753.0743742 p (6.5) at 5 digits 2365.8 2.7 g cm 3 $ 2365.8 cm3 6387.66 g (6.6) Jeg har nu fundet hvormeget dele udgør. hvorefter jeg lægger dem sammen for at finde ud af, at de udgør en masse på 8,6 kg spåner. 2243.568394 g C 6387.66 g 8631.228394 g (6.7) Som tjek tager jeg vægten og trækker fra cylinderens vægt, og skulle gerne få den masse jeg udregnede i opgave E. 9542.587684 g K 8631.228394 g 911.359290 g (6.8) I opgave E fik jeg en vægt på 911.223 g hvilket er meget træt på dette resultat. Forskellen kommer af nogle afrundninger, på grund af brug med π. Og er trods forskellen sikker på mine resultater. Aske Lund Daugaard.