1. No category

ØVEHÆFTE
FOR MATEMATIK C
LINEÆR SAMMENHÆNG
INDHOLDSFORTEGNELSE
1 Formelsamling ............................................................................................................................. side 2
1 Introduktion ................................................................................................................................. side 3
2 Grundlæggende færdigheder ........................................................................................................ side 4
2a Finde konstanterne a og b i en formel ........................................................................... side 4
2b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi .............................................................................. side 5
2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning ........................................... side 6
2d Beregne hældningskoefficienten a, når vi kender to punkter på grafen ............................. side 7
2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt på grafen ......................................................... side 8
2f Beregne ændringen i y-værdi, når vi kender a og ændringen i x-værdi ............................ side 9
2g Beregne a , når vi kender ændringen i x-værdi og den dertil hørende ændring i y-værdi . side 10
3 Opgaver med flere af begreberne ................................................................................................ side 11
4 Øvelser i at genkende oplysninger i tekst .................................................................................... side 14
5 Tekstopgaver, hvor begreberne bruges ....................................................................................... side 16
6 Lidt af hvert - sværere opgaver ................................................................................................... side 24
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 2 af 28
Funktioner og modeller
Funktion
En funktion er en sammenhæng mellem variable,
hvor et input giver et output.
Kan vises med ”sildeben” og graf.
Model
En ”model” kan bestå af nogle variable og en
funktion der sammenknytter dem.
Eks.
x : længde af taxatur i km (uafhængig variabel)
y : pris i kroner for taxaturen (afhængig variabel)
Sammenhæng: y = 14 x + 30
Lineær funktion, y=a∙x + b
y = a∙x + b
a
y2  y1
x2  x1
Omformning af
x
(y  b)
a
y = a∙x + b :
b = y– a∙x
a
(y  b)
x
Konstanternes navne ved lineære funktioner:
a : hældningskoefficienten, stigningstallet
b : y-akse-skæringen
Konstanternes betydning
Betydning i lineær model
(ved lineære funktioner):
af konstanterne a og b:
y

Når
x=0
, er
y=b

Når x stiger med 1, vil y ændres med a
a
b
Vækstegenskab:
1
Funktionen er voksende, når a er positiv
Funktionen er aftagende, når a er negativ
x
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
1 INTRODUKTION
Her er først fire eksamensopgaver fra tidligere eksaminer. REGN DEM IKKE, gå til næste side.
I løbet af disse opgaver optræder de forskellige begreber, vi vil møde i emnet lineær sammenhæng.
Løsningen af dem kommer i kapitel 5.
Opgave 1
Opgave 2
Opgave 3
Opgave 4
Side 3 af 28
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 4 af 28
2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER
2a Finde konstanterne a og b i en formel
Eksempel
Vi har formlen y = 3x − 5
Tallet ”ved siden af” x er tallet 3; altså er a = 3
Tallet ”ikke-ved siden af” x er tallet − 5; altså er b = − 5
Eksempel
Vi har formlen y = 6 − 2x
Tallet ”ved siden af” x er tallet −2; altså er a = −2
Tallet ”ikke-ved siden af” x er tallet 6; altså er b = 6
Opgaver (opgaven med stjerne er lidt sværere)
Opg. 201
Opg. 202
Opg. 203
Opg. 204
Opg. 205
Opg. 206
Opg. 207
Opg. 208*)
Vi har formlen
y = 7x + 1
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = −2x + 11
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = 32x − 500
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = x − 13
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = 0.37x + 5.6
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = −x − 8
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = 6 + 4x
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = 2 ∙ (x − 3)
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 5 af 28
2b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi
Eksempel
Opgaver
Opg. 211
Vi har formlen
y = 3x − 5.
Hvis vi indsætter x = 7, får vi y-værdien
Hvis vi indsætter x = −2, får vi y-værdien
Den lineære model er:
Beregn y-værdien, når
x = 4:
y = 7x + 1
x = −3:
x = 0.6:
x = 300:
Opg. 212
Den lineære model er:
Beregn y-værdien, når
x = 3:
y = −2x + 11
x = −3:
x = 6.5:
x = −250:
Opg. 213
Den lineære model er:
Beregn y-værdien, når
x = 40:
x = −10:
x = 4.25:
x = 550:
y = 32x − 500
y = 3 ∙ 7 − 5 = 16
y = 3 ∙ (−2) − 5 = −11
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 6 af 28
2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning
Eksempel
Vi har formlen
y = 3x − 5.
Hvis vi indsætter y = 7, står der:
7 = 3x − 5
Det er en ligning, hvor vi skal finde x. Det kan vi gøre på tre måder:
Metode 1
Vi bruger den færdige formel x 
y b
a
.
Heri indsætter vi y = 7 , a = 3 og b = −5:
x
Opgaver
Opg. 221
Metode 2
Vi løser ligningen ”i hånden”:
7 + 5 = 3x
12 = 3x
12 = x , så x = 4
3
Metode 3
Vi bruger lommeregnerens Solver.
- så x = 4.
I de næste opgaver skal du bruge alle tre metoder for at finde den metode, der er
rarest for dig.
Den lineære model er
y = 7x + 1
Beregn x-værdien, når
y = 29: Skriv ligningen:
- og løs den:
y = −13:
y = 13:
y = 300:
Opg. 222
7 ( 5)
3
Den lineære model er
Find x-værdien, når
y = 33:
y = −5:
y = 11:
y = −6:
y = −2x + 11
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 7 af 28
2d Beregne hældningskoefficienten a, når vi kender to punkter (x1 , y1) og (x2 , y2) på grafen
Eksempel
Den rette linje går gennem punkterne (−5 , 3) og (7 , 15). Bestem a.
y y
Vi skal indsætte i formlen a  2 1
x2  x1
Derfor er det ”smart” at give navne til koordinaterne: x1 = −5 , y1 = 3 , x2 = 7 og y2 = 15.
15  3
12
Så indsætter vi: a 

1
7  (5) 12
Eksempel
Den rette linje går gennem punkterne
(2 , 14) og (9 , 3). Bestem a.
y y
Vi skal indsætte i formlen a  2 1
x2  x1
Vi navngiver koordinaterne:
x1 = 2 , y1 = 14 , x2 = 9 og y2 = 3.
3  14
 11
Så indsætter vi: a 

 1.57
92
7
Bemærk, at oplysningssættet
»Til x = 2 svarer y = 14 og til x = 9 svarer y = 3«
i sit indhold er fuldstændig magen til oplysningssættet
med de to punkter.
Opgaver
Opg. 231
Grafen går gennem punkterne (−5 , −4) og (2 , 10) . Find hældningskoefficienten.
Skriv først: x1 = . . ., y1 = . . . , x2 = . . . , y2 = . . .
Opskriv så formlen: a =
Opg. 232
Grafen går gennem punkterne (15 , −17) og (3 , 1) . Find hældningskoefficienten.
Opg. 233
Grafen går gennem punkterne (6 , 7) og (−1 , 10) . Find hældningskoefficienten.
Opg. 234
Grafen går gennem punkterne (−11 , 8) og (7 , 8) . Find hældningskoefficienten.
Opg. 235
Til x = −4 svarer y = 6 og til x = 5 svarer y = −3. Find hældningskoefficienten.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 8 af 28
2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt på grafen
Eksempel
En lineær funktion har hældningskoefficient a = 1.5 og grafen går gennem punktet (5 , 14)
Når vi ved, at a = 1.5, kan forskriften skrives sådan:
y = 1.5x + b
At punktet (5 , 14) ligger på grafen kan også siges
sådan: til x = 5 svarer y = 14.
- eller: hvis vi på x-pladsen skriver 5, skal vi på ypladsen skrive 14.
DET GØR VI:
14 = 1.5 ∙ 5 + b
Det blev en ligning - oven i købet med b som
ubekendt. Den løser vi:
Enten i hånden:
14 = 7.5 + b
14 − 7.5 = b , så b = 6.5
Eller med Solveren.
Altså er formlen: y = 1.5x + 6.5.
Opgaver
Opg. 241
Find b-tallet, når a = 3 og grafen går gennem punktet (2 , −1)
Skriv først forskriften med den rigtige hældningskoefficient:
Sæt punktets x- og y-koordinat ind:
Løs så ligningen (b er den ubekendte):
Opg. 242
Find b-tallet, når a = 8 og grafen går gennem punktet (−2 , −13)
Opg. 243
Find b-tallet, når a = −4 og grafen går gennem punktet (8 , −11)
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 9 af 28
Opg. 244
Find b-tallet, når a = 0.4 og der til en x-værdi på −5 svarer en y-værdi på 41
Opg. 245
Find b-tallet, når a = −3.2 og der til en x-værdi på 15 svarer en y-værdi på 7
2f Beregne ændringen i y-værdi, når vi kender a og ændringen i x-værdi
Eksempel
Vi har den lineære funktion y = 2x − 3.
Hvis x bliver 1 større, vokser y med 2 - fordi
hældningskoefficienten a = 2.
Hvis x bliver 4 større, vokser y med 4 ∙ 2 = 8
Hvis x bliver 3 mindre (og det regner vi med ved at
sige, at x vokser med −3), så vokser y med
(−3) ∙ 2 = −6 . Og det vil vi selvfølgelig udtrykke ved
at sige, at y aftager med 6.
Eksempel
Opgaver
Opg. 251
Vi har den lineære funktion y = −7x + 876
Hvis x bliver 1 større, vokser y med −7 - siges: y aftager med 7
Hvis x bliver 4 større, vokser y med 4 ∙ (−7) = −28 - y aftager med 28
Hvis x bliver 5 mindre, vokser y med (−5) ∙ (−7) = 35
Den lineære funktion har forskriften
Beregn ændringen i y-værdien, når
x vokser med 4:
x vokser med −3:
x aftager med 6:
x bliver 300 større:
y = 7x + 1
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Opg. 252
Den lineære funktion har forskriften
Beregn ændringen i y-værdien, når
x bliver 3 større:
Side 10 af 28
y = −2x + 11
x vokser med −5:
x aftager med 8.5:
Opg. 253
Den lineære funktion har forskriften
Beregn ændringen i y-værdien, når
x bliver 40 mindre:
y = 32x − 500
x aftager med 10:
2g Beregne a , når vi kender ændringen i x-værdi og den dertil hørende ændring i y-værdi
Eksempel
Om en lineær funktion oplyses, at y vokser med 14, når x bliver 5 større. Find a.
y-ændringen fås som x-ændringen gange a.
Her skriver vi: 14 = 5 ∙ a . Den ligning løser vi:
14
5
 a eller som decimalbrøk: a = 2.8
Opgaver
Find hældningskoefficienten a i de næste fire opgaver:
Opg. 261
Når x bliver 6 større, vokser y med 12
Skriv først y-ændring lig med x-ændring gange a :
Løs ligningen:
Opg. 262
Når x bliver 8 større, bliver y 20 mindre
Opg. 263
y aftager med 7, når x vokser med 14
Opg. 264
Når x bliver 19 mindre, aftager y med 29
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 11 af 28
3 OPGAVER MED FLERE AF BEGREBERNE
Eksempel
En opgave lyder sådan:
Grafen for en lineær sammenhæng går gennem punkterne (5 , −9) og (13 , 15).
a)
Find en formel for denne sammenhæng
b)
Find y-værdien, når x = −3
c)
Løs ligningen y = 21
d)
Hvor meget ændres y-værdien, når x vokser med 7?
Besvarelsen er sådan:
a)
I formlen y = a ∙ x + b skal vi finde tallene a og b.
Først a.
I oplysningerne sætter vi x1 = 5 , y1 = −9 , x2 = 13 og y2 = 15
15  (9)
24
Så er a 

3
13  5
8
Altså har vi den halvfærdige formel y = 3x + b
Heri indsættes x2 = 13 og y2 = 15: 15 = 3 ∙ 13 + b
Ligningen løses: 15 − 39 = b , d.v.s. b = −24
Altså er formlen y = 3x −24
b)
Vi indsætter x = −3: y = 3 ∙ (−3) − 24 = −33
c)
På y’s plads i formlen skriver vi 21: 21 = 3x − 24
Ligningen løses: 21 + 24 = 3x
45
3
d)
Opgaver
Opg. 301
 x - d.v.s. x = 15
y-værdien ændres med 3 ∙ 7 = 21. Så y bliver 21 større.
Grafen for en lineær sammenhæng går gennem punkterne (−4 , 6) og (5 , −3)
a)
Find en formel for denne sammenhæng.
b)
Løs ligningen y = 14
c)
Hvilken y-værdi fås, når x = 14?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Opg. 302
I en lineær sammenhæng svarer x = 2 til y = 1 og x = 11 svarer til y = 4
a)
Bestem tallene a og b i formlen.
b)
Hvor meget ændres y, hvis x vokser med 8?
Opg. 303
Vi har formlen y = a ∙ x + b . Grafen går gennem punkterne (7 , 1) og (2 , 8.5)
a)
Bestem tallene a og b.
b)
Hvilken x-værdi svarer til y = 35?
c)
x bliver 35 større; hvor meget ændres y ?
Opg. 304
En ret linje har hældningskoefficient 2, og linjen går gennem punktet (−4.5 , −7).
a)
Bestem b-tallet i formlen.
b)
Et punkt på grafen har x-værdien x = 42. Find punktets y-værdi.
Opg. 305
Om en lineær sammenhæng oplyses, at grafen går gennem punktet (0 , 75)
a)
Bestem b-tallet i formlen.
Endvidere oplyses, at y bliver 8 mindre, når x vokser med 16.
b)
Bestem a-tallet i formlen.
c)
Løs ligningen y = 40
d)
Hvor meget aftager y, når x bliver 8 større?
Side 12 af 28
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 13 af 28
Opg. 306
En ret linje går gennem punktet (−6 , 5). Endvidere oplyses, at x = 13 svarer til y = 5.
a)
Bestem tallene a og b i formlen.
b)
Find y-værdien, der svarer til x = 110
Opg. 307
I et koordinatsystem er tegnet punkterne (25 , 660) og (78 , 775)
a)
Find en formel for den rette linje, der går gennem de to punkter.
b)
Hvilken x-værdi giver y-værdien y = 1000 ?
Opg. 308
En lineær sammenhæng har formlen y 
2
3
xb.
Desuden går grafen gennem punktet (15 , −2).
a)
Bestem tallet b.
b)
I hvilken x-værdi skærer grafen gennem x-aksen?
Opg. 309
Når x vokser med 14, bliver y 7 større. Og til x = −12 svarer y = −6.
a)
Bestem en formel for den lineære sammenhæng.
b)
Løs ligningen y = 13.5
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 14 af 28
4 ØVELSER I AT GENKENDE OPLYSNINGER I TEKST
Eksempel
Regn IKKE nedenstående opgave, men læs den og se nedenunder
En kunsthåndværker fremstiller en bestemt type krukker. Han vil levere 50 krukker pr. måned,
hvis prisen er 100 kr. stykket, og han vil levere 70 krukker pr. måned, hvis prisen er 120 kr.
stykket.
Antallet af krukker kaldes udbuddet, og der er en lineær sammenhæng mellem udbuddet og
prisen pr. krukke for priser mellem 80 kr. og 140 kr.
a)
Bestem tallene a og b i den lineære sammenhæng.
Da antallet af krukker afhænger af hvilken pris han får, er prisen den uafhængige variabel og
antal krukker den afhængige variabel.
Vi skriver altså:
x: pris (kr.)
y: antal krukker
I begyndelsen af opgaven står nogle taloplysninger. To af tallene angiver et antal krukker; de
er altså y-tal; de to andre angiver priser og er derfor x-tal.
Vi kan nu omskrive oplysningen
»Hvis prisen er 100 kr. pr. krukke, leverer han 50 krukker« til
»Hvis
x = 100
er y = 50 «
og oplysningen
»Hvis prisen er 120 kr. pr. krukke, leverer han 70 krukker« til
»Hvis
x = 120
er y = 70 «
Da vi har to sæt oplysninger, må vi nummerere de to sæt, f.eks. sådan:
x1 = 100 svarer til y1 = 50 og x2 = 120 svarer til y2 = 70 - eller sådan:
Punkterne (100 , 50) og (120 , 70) ligger på grafen.
Vi slutter med at markere oplysningerne:
Oplysningen, der viser, at sammenhængen er lineær, er markeret med understregning.
De to taloplysninger (sæt af oplysninger) er markeret med fed skrift og kursiv skrift.
En kunsthåndværker fremstiller en bestemt type krukker. Han vil levere 50 krukker pr.
måned, hvis prisen er 100 kr. stykket, og han vil levere 70 krukker pr. måned, hvis prisen er
120 kr. stykket.
Antallet af krukker kaldes udbuddet, og der er en lineær sammenhæng mellem udbuddet og
prisen pr. krukke for priser mellem 80 kr. og 140 kr.
a)
Bestem tallene a og b i den lineære sammenhæng.
Bemærk til sidst, at oplysningen om at priserne skal ligge mellem 80 kr. og 140 kr. ikke skal
bruges til noget.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Opgaver
Opg. 401
Side 15 af 28
Regn IKKE nedenstående opgave, men læs og se nedenunder
På et hus opsættes en tagrende, som sættes sammen af to stykker. Plastic udvider sig ved
opvarmning, så de to tagrendestykker må ikke sættes for tæt op ad hinanden. Afstanden
mellem de to stykker afhænger lineært af temperaturen, mens tagrenden sættes op.
Ved 0°C skal afstanden mellem de to stykker være 50 mm og ved 30°C skal den være 0 mm.
a)
Bestem en formel for sammenhængen mellem temperatur og afstand.
b)
Hvad fortæller tallet a om sammenhængen mellem temperatur og afstand?
Find og markér oplysningen om, hvilke begreber x og y står for i denne opgave
Markér de oplysninger, der skal bruges til at fastsætte formlen og sæt variabelnavne, x1 o.s.v.
på de tal, der skal bruges for at beregne hældningskoefficienten a.
Opg. 402
Regn IKKE nedenstående opgave, men læs og se nedenunder
I en kommune betaler beboerne sådan for deres vandforbrug:
Der betales en fast årlig afgift på 419 kr.
Der betales en vandafgift på 42.50 kr. pr. kubikmeter vand.
a)
Opskriv en formel, der angiver den samlede udgift for vandforbruget, målt i
kubikmeter
b)
Bestem prisen for et årligt forbrug på 172 000 liter vand.
c)
En familie vil kun bruge 7000 kr. om året på vand. Hvor mange liter vand kan
familien så bruge?
Find og markér oplysningen om, hvilke begreber x og y står for i denne opgave
Markér de oplysninger, der skal bruges til at fastsætte formlen og sæt navne på de tal, a og b
der skal bruges.
Opg. 403
Endnu en opgave:
Ved dykning stiger trykket med stigende dybde, sådan at når man dykker 25 m længere ned,
stiger trykket med 2.40 atmosfære. I dybden 10 meter under havets overflade er trykket 1.96
atmosfære.
a)
Opskriv en formel, der angiver trykket i dybden x meter.
b)
c)
Bestem trykket på det dybeste sted, Filippinergraven, som er 10 265 meter dyb.
Hvad fortæller a om sammenhængen mellem dybde og tryk?
d)
I hvilken dybde er trykket 30 atmosfære?
Find og markér oplysningen om, hvilke begreber x og y står for i denne opgave
Markér de oplysninger, der skal bruges til at fastsætte formlen og sæt variabelnavne på de tal,
der skal bruges.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 16 af 28
5 TEKSTOPGAVER, HVOR BEGREBERNE BRUGES
NB i dette afsnit gennemgås og trænes også den sproglige beskrivelse af størrelserne i den lineære
sammenhæng, når det er nogle bestemte begreber, der beskrives.
Først gennemgås løsning af de fire opgaver fra afsnit 1:
Opgave 1
Begynd altid med at skrive meget
tydeligt, hvad de to variable
betyder i opgaven:
x: antal år efter 2000
y: antal lønmodtagere[, der betaler
til efterlønsordningen]
a) Vi har i teksten fået oplyst to
punkter:
(1 , 1 472 000) og (4 , 1 352 000).
Vi beregner a (afsnit 2c):
a  135200041472000
 40000
1
Så er forskriften y = −40000x + b
Vi beregner b (afsnit 2d): I den halvfærdige formel indsættes det ene punkt: på x-pladsen skrives 1, samtidig
med at der på y-pladsen skrives 1472000:
1 472 000 = −40 000 ∙ 1 + b
Denne ligning løses:
1 472 000 + 40 000 = b - altså er b = 1 512 000 .
b) Her spørges om, hvornår antallet af lønmodtagere bliver 1 100 000. Antallet af lønmodtagere er et y-tal.
Så nu er y = 1 100 000.
D.v.s. vi kender y og skal finde x (afsnit 2b):
Løser ligningen:
1 100 000 = −40 000x + 1 512 000
1 100 000 − 1 512 000 = −40 000x
412000
x
40000
x = 10.3
Løsningen er altså 10.3 år efter 2000. Det skriver vi mere mundret:
I løbet af år 2010 kommer antallet af lønmodtagere under 1 100 000.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 17 af 28
Opgave 2
Vi begynder med at skrive de
variable:
x : temperatur (°C)
y : tryk (hektopascal)
a) Vi får oplysningen, at temperaturen er 10°C. temperaturen er et x-tal. D.v.s.: x = 10.
Vi skal beregne trykket, d.v.s. y (afsnit 2a):
y = 3.5 ∙ 10 + 955 = 990
Altså er trykket ved 10°C på 990 hektopascal.
I formlen er tallet 3.5 hældningskoefficient. Betydningen af hældningskoefficienten er:
”Når x vokser med 1 , ændres y med a ”
Med opgavens begreber:
”Når temperaturen vokser med 1, ændres trykket med 3.5”
Det kan skrives mere som en dansk sætning, hvor enhederne medtages :
”Når temperaturen stiger med 1°C, vokser trykket med 3.5 hektopascal.”
Opgave 3
De variable:
x : antal år efter 2000
y : omsætningen (mia. kr.)
a) Tallet 2.5 er hældningskoefficient:
Når antal år vokser med 1, ændres omsætningen med 2.5.
Og på dansk:
For hvert år vokser omsætningen med 2.5 mia. kr.
Tallet 10.5 er b-tallet. Betydningen af b-tallet er:
Når x = 0 , er y = b .
Med begreberne her:
Når antal år efter 2000 er 0, er omsætningen 10.5 mia. kr.
På dansk:
I år 2000 er omsætningen på 10.5 mia. kr.
b) Omsætningen i år 2005. År 2005 er 5 år efter 2000, så x = 5.
Så beregner vi y :
y = 2.5 ∙5 + 10.5 = 23
Vores model siger altså: I år 2005 er omsætningen på 23 mia. kr.
Men vi får en oplysning, at i 2005 blev omsætningen på 26.8. mia. kr. Det må betyde, at modellen ikke
passer ind i år 2005. (Men bemærk også, at i opgavens første oplysning stod der netop, at modellen for
omsætningen passede i årene 2000–2004.)
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Opgave 4
De variable:
x : antal måneder efter april 2005
y : antal ledige [personer i Danmark].
Bemærk, at der ikke står noget som helst i opgaven om, at denne funktion er lineær!
Vi må altså selv finde argumentet for det.
a) Den første oplysning:
»Antallet af ledige faldt med 2900 personer pr. måned«
kan også skrives:
Hver gang der går en måned, bliver antallet af ledige 2900 mindre.
eller:
Når x bliver 1 større, bliver y 2900 mindre.
- og det er lige præcis beskrivelsen af en hældningskoefficient!
Derfor er funktionen en lineær funktion med hældningskoefficient a = −2900.
b-tallet: Oplysningen »I april 2005 var der 165 200 ledige« kan skrives:
Når x = 0 , er y = 165 200.
Men b-tallet er netop y-værdien, når x er lig med 0. Så b = 165 200
Dermed er modellen:
y = −2900x + 165 200
Side 18 af 28
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 19 af 28
Opgaver
Opg. 501
Figuren til højre viser den forventede udvikling i
flytrafikken over Europa indtil 2020. Ifølge denne figur vil
antallet af flyvninger vokse lineært i perioden 2000–2020.
a)
Bestem en model, der beskriver antallet af
flyvninger som funktion af antal år efter 2000.
b)
Beregn antallet af flyvninger i 2006.
c)
Beregn, i hvilket år antallet af flyvninger vil
overstige 14 millioner.
d)
Beregn, hvor meget antallet af flyvninger stiger i
en 7-års periode.
Som indledning til denne opgave - og alle de næste opgaver - skal du finde alle oplysninger i teksten,
som vi øvede i kapitel 4 (opg. 401–403)
Opg. 502
Figuren til højre viser udviklingen i antallet af
Dankortbetalinger i Danmark.
Det fremgår af figuren, at der er en lineær udvikling i antallet
af Dankort-betalinger i perioden.
I 1995 blev der foretaget 241 mio. Dankort-betalinger, og i
2001 blev der foretaget 439 mio. Dankortbetalinger.
a)
Bestem en regneforskrift for funktionen.
b)
Beregn antallet af Dankort-betalinger i 2006, hvis denne udvikling fortsætter.
c)
Beregn, i hvilket år antallet af Dankort-betalinger vil komme over 740 mio., hvis
denne udvikling fortsætter.
d)
Hvad fortæller tallet a om udviklingen i antal dankortbetalinger?
e)
Hvor meget vokser antallet af dankortbetalinger over 5 år?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 20 af 28
Opg. 503
Om en lineær sammenhæng oplyses, at x = 1 svarer til y = 4. Endvidere oplyses, at når x
vokser med 2, vokser y med 3 .
a)
Find y-værdierne svarende til x = 5 og til x = −3 .
b)
Bestem tallene a og b i denne sammenhæng.
c)
Løs ligningen y = 7.5 .
Opg. 504
Ozonlaget i atmosfæren beskytter mod solens ultraviolette stråling. Ozonlagets tykkelse O
(målt i Dobson-enheder) kan beskrives ved en model
O = at + b ,
hvor t er antal år
efter 1979.
a)
Beregn a og b , når det oplyses at ozonlagets tykkelse i 1981 var 348 Dobson-enheder
og i 1989 var 334 Dobson-enheder.
b)
Beregn ozonlagets tykkelse i 2001 ifølge denne model.
c)
Hvornår kommer ozonlagets tykkelse under 300 Dobson-enheder ifølge modellen.
d)
Med hvor mange Dobsonenheder formindskes ozonlaget over 6 år?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 21 af 28
Opg. 505
På et bjerg på New Guinea er der en
sammenhæng mellem højden over havet og antallet
af fuglearter i denne højde. I koordinatsystemet
viser den rette linje denne sammenhæng.
Linjen går gennem punkterne P(5000 , 66)
og Q(7700 , 20).
a)
Bestem tallene a og b i denne
model.
b)
Beregn, hvor mange fuglearter
man kan forvente at finde i 4500
fods højde over havet.
c)
Hvad fortæller hældningskoefficienten om antallet af fuglearter?
d)
Hvor mange færre fuglearter er der, hver gang man kommer 500 fod højere op?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 22 af 28
Opg. 506
I en personbil måltes motorstøj, når bilen kørte i 5. gear med hastigheder mellem 70 km/t og
130 km/t. Målingerne viste, at der er en lineær sammenhæng mellem støjniveauet, målt i dB
og hastigheden, målt i km/t. Ved 70 km/t er støjniveauet 60 dB og ved 130 km/t er
støjniveauet 70 dB.
a)
Bestem konstanterne a og b i denne sammenhæng.
b)
Hvad betyder størrelsen af a for denne sammenhæng?
c)
Beregn støjniveauet ved 90 km/t.
d)
Beregn den hastighed, hvor støjniveauet er 67 dB.
Opg. 507
For perioden 1983–2000 kan antallet af landbrug med god tilnærmelse beskrives ved en
formel
y=a∙x+b,
hvor y er antallet af landbrug, og x er antal år efter 1983.
I 1983 var der 98 680 landbrug, og i 2000 var der 54 541 landbrug.
a)
Bestem konstanterne i formlen.
b)
Beregn antallet af landbrug i 2010, hvis denne udvikling fortsætter.
c)
Hvornår kommer antallet af landbrug under 40 000, hvis udviklingen fortsætter.
d)
Hvor meget aftager antallet af landbrug i en 5-års periode?
e)
Hvad fortæller a om udviklingen i antal landbrug?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 23 af 28
Opg. 508
Algers produktion af næringsstof kræver lys. I
de arktiske have er der en sammenhæng mellem længden
af den isfri periode og produktionen af næringsstof.
Hvis y er produktionen af næringsstof, målt i gram pr.
m2 pr. år, og x er længden af den isfri periode, målt i
måneder, er sammenhængen en lineær funktion.
På figuren ses den rette linje gennem punkterne P(4 , 29)
og Q(10 , 90)
a)
Beregn tallene a og b .
b)
Beregn produktionen af næringsstof, når
den isfri periode varer 4.5 måneder.
Et år måltes produktionen af næringsstof til 10 gram pr. m2 pr. år
c)
Beregn, hvor lang en isfri periode det svarer til.
Langs Grønlands østkyst er havet nu isfrit ca. en kvart måned længere end tidligere.
d)
Beregn den tilsvarende forøgelse i produktionen af næringsstof.
e)
Hvad fortæller hældningskoefficienten om produktionen af næringsstof?
Opg. 509
Vi ser på sammenhængen mellem de to forskellige temperaturskalaer Celsius og Fahrenheit.
Sammenhængen beskrives ved formlen
F = 1.8C + 32
a)
Hvilken betydning har tallet 1.8 for sammenhængen mellem de to skalaer?
b)
Find Fahrenheittemperaturerne, der svarer til 0°C og til 100°C
Det siges, at Fahrenheit fastlagde skalaen bl.a. ved at tage sin egen temperatur og så skrive
100 der hvor termometret blev stående.
c)
Var Fahrenheit syg den dag, han fastlagde skalaen?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 24 af 28
Opg. 510
Figuren viser udviklingen af
vægten af en gris i perioden 3–10 uger
efter fødslen.
I en model beskrives denne udvikling ved
y = ax + b ,
hvor y er vægten af grisen, målt i kg, og
x er antal uger efter fødslen.
På figuren er modellen vist ved den rette
linje gennem punkterne P(3 , 6.5) og
Q(10 , 35.5).
a)
Beregn tallene a og b .
b)
Beregn grisens vægt efter 12 uger, hvis udviklingen fortsætter.
c)
Hvornår vil grisen veje 70 kg - forudsat udviklingen fortsætter?
d)
Hvor meget stiger vægten af grisen i løbet af en uge?
- og i løbet af et døgn?
e)
Hvad fortæller b-tallet om grisens vægt? Kommentér svaret!
Opg. 511
I en beholder er der luft. Man har målt sammenhørende værdier for luftens tryk og
temperatur:
Temperatur i °C
27
71
Tryk i mm Hg
750
860
Der er en lineær sammenhæng mellem trykket og temperaturen.
a)
Bestem denne lineære sammenhæng.
b)
Bestem trykket, når luftmassen afkøles til 0°C.
c)
Den temperatur, der svarer til et tryk på 0 mm Hg, kaldes det absolutte nulpunkt.
Bestem denne temperatur.
d)
Hvad fortæller hældningskoefficienten om denne sammenhæng?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 25 af 28
6 LIDT AF HVERT - SVÆRERE OPGAVER
Opg. 601
=506fortsat
I en personbil måltes motorstøj, når bilen kørte i 5. gear med hastigheder mellem 70 km/t og
130 km/t. Målingerne viste, at støjniveauet, målt i dB, er en lineær funktion af hastigheden,
målt i km/t. Ved 70 km/t er støjniveauet 60 dB og ved 130 km/t er støjniveauet 70 dB.
e)
Hvor meget skal hastigheden nedsættes, for at støjniveauet falder med 3 dB?
Opg. 602
Andelen af analfabeter blandt kvinder i verdens lavindkomstlande kan for årene 1970–2000
beskrives ved en formel
y = −0.87x + 73 ,
hvor y er andelen af kvindelige analfabeter, målt i antal analfabeter pr. 100 kvinder, og x
er antal år efter 1970.
a)
Hvad fortæller tallene −0.87 og 73 om andelen af kvindelige analfabeter?
Andelen af mandlige analfabeter i verdens lavindkomstlande kan beskrives ved en model:
y = −0.73x + 50 ,
hvor y er andelen af mandlige analfabeter, og x er antal år efter 1970.
b)
Beregn andelen af mandlige analfabeter i år 2005.
c)
Beregn andelen af kvindelige analfabeter på det tidspunkt, hvor andelen af mandlige
analfabeter er 20.
d)
Hvor mange år skal der gå, før andelen af kvindelige analfabeter er faldet med 11 ud
af 100?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Side 26 af 28
Opg. 603
I perioden 1970–2004 er antallet af elever på efterskolerne vokset med i gennemsnit 532
elever om året.
I 1984 var der 13267 elever på efterskolerne.
a)
Bestem en formel, der giver sammenhængen mellem antallet af elever på efterskolerne
og antal år efter 1970.
b)
Bestem antallet af elever på efterskolerne i 2007.
c)
Hvor meget vokser antallet af elever på efterskolerne i en 8-årsperiode?
Opg. 604
For en kobbertråd er sammenhængen mellem modstanden og temperaturen bestemt ved
formlen
y = ax + b , hvor y er modstanden, målt i ohm, og x temperaturen, målt i °C.
Ved 16.5°C er modstanden 59.5 ohm, og ved 67°C er modstanden 70.6 ohm.
a)
Bestem tallene a og b.
b)
Hvad fortæller tallene a og b om kobbertrådens modstand?
c)
Bestem modstanden ved en temperatur på 100 °C.
d)
Modstanden i en kobbertråd ønskes gjort 5 ohm mindre. Hvor mange grader skal
temperaturen så sænkes?
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Opg. 605
Tabellen viser antallet af flypassagerer i Kastrup Lufthavn i visse udvalgte år.
År
1958
1968
1978
1988
Antal flypassagerer (mill.)
1.40
5.33
9.60
12.1
a)
b)
c)
d)
e)
Opg. 606
Side 27 af 28
1998
16.8
Indtegn tabellens oplysninger i et koordinatsystem, og gør ved hjælp heraf rede for, at
sammenhængen mellem årene og antallet af flypassagerer med god tilnærmelse er af
formen
y = ax + b . (Som inspiration: se oplægget til opgave 510.)
y er antallet af flypassagerer, angivet i millioner, og x er antal år efter 1958.
Bestem tallene a og b .
Forklar hvad hældningskoefficienten a fortæller om væksten i antallet af
flypassagerer.
Benyt modellen til at give et skøn over antallet af flypassagerer i 2005.
I hvilket år vil antallet af flypassagerer overstige 20 millioner ifølge denne model?
En af de skatter, vi betaler som danskere, er kommuneskatten. Den betales med en bestemt
procent af det beløb, der kaldes den skattepligtige indkomst.
I Københavns Kommune betales 23.8% af den skattepligtige indkomst.
a)
Skriv en formel, der beregner skattebeløbet, når x er den skattepligtige indkomst.
Så let er det ikke! Hver person har et personfradrag, som er et beløb, der ikke skal betales
skat af. Hvis dette beløb er 42900 kr., betyder det altså, at de første 42900 kr. af den
skattepligtige indkomst beholder man selv, og derefter begynder man at betale de 23.8% af
beløbet over 42900 kr.
b)
Prøv at finde en formel, der beregner kommuneskattebeløbet, når x er den
skattepligtige indkomst.
Øvehæfte matematik C. Lineær sammenhæng
Opg. 607
På tegningen ses en ret linje i et koordinatsystem.
a)
Aflæs koordinaterne til to punkter på
linjen.
b)
Bestem derudfra tallene a og b i ligningen.
c)
Bestem x-værdien svarende til y = −4.
Opg. 608
På tegningen ses to rette linjer.
a)
Find tallene a og b i de to ligninger for de
to linjer.
Opg. 609
a)
b)
Løs ligningen 0.6x + 0.2 = −1.25x + 5.75
Hvordan kunne opg. 608 have hjulpet med at løse denne ligning?
Side 28 af 28