1. No category

ØVEHÆFTE
FOR MATEMATIK C
POTENS-SAMMENHÆNG
INDHOLDSFORTEGNELSE
1 Formelsamling ............................................................................................................................. side 2
Uddybning af visse formler .................................................................................................... side 3
2 Grundlæggende færdigheder ........................................................................................................ side 5
2a Finde konstanterne a og b i en formel ........................................................................... side 5
2b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi .............................................................................. side 6
2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning ........................................... side 7
2d Beregne a-tallet, når vi kender to punkter på grafen ......................................................... side 8
2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt på grafen ....................................................... side 10
2f Beregne procentændringen i y-værdi, når vi kender a og procentændringen i x-værdi ... side 10
2g Beregne a, når vi kender procentændringen i x og dens tilhørende procentændring i y .... side 12
3 Blandede opgaver med flere af begreberne (uden kontekst) ........................................................ side 13
5 Tekstopgaver, hvor begreberne bruges ....................................................................................... side 14
6 Eksamensopgaver ...................................................................................................................... side 16
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Side 2 af 17
y = b ∙ xa
Potens-sammenhæng (potensudvikling),
1. Definition af potens-sammenhæng:
y = b ∙ xa
,
b positiv , x positiv
y = b ∙ xa :
Omformning af
x 
 1a 
 
y
b
b
y
a
xa
log
 
y
b
log( x )
2. Bestemmelse af a ud fra to punkter
(x1, y1) og (x2, y2)
a
y 
log 2 
 y1 
 x2 
log

 x1 
(eller
a
log y2 log y1
log x2 log x1
)
3 Konstanten b
x=1
, er
y=b
Betydning i potensudviklingsmodel af a og b
Når
Fremskrivningsfaktorer.
(om a, se nedenfor , Fx og Fy)
4. Fremskrivningsfaktorer og vækstprocenter
Når x ganges med Fx , ganges y med Fy
og
a

Fy = (Fx)
Hvor
x1∙Fx = x2
og
y1∙Fy = y2
Når x ændres med px procent, ændres
y med py procent, hvor:
Fx  1 
px
100
Fy = (Fx)a
py = (Fy – 1) 100
(Kombination af disse tre formler):
a


p 
py    1  x   1   100


100 


Funktionen er voksende, når a er positiv.
Vækstegenskab
Funktionen er aftagende, når a er negativ.
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Side 3 af 17
Uddybning af visse formler
1. Definition af potens-sammenhæng:
y = b ∙ xa
,
b positiv , x positiv
3. Konstanten b
x=1
Når
, er
y=b
Bevis:
x=1 indsættes i regneforskriften
y = b ∙ xa
y = b ∙ xa
og vi får
= b ∙ 1a = b ∙ 1 = b
Vi kan også udtrykke konklusionen sådan at punket (x,y)=(1,b) ligger på grafen.
Læg mærke til at b’s betydning er anderledes her end ved lineære og eksponentielle sammenhænge.
4. Fremskrivningsfaktorer og vækstprocenter
Når x ganges med Fx , ganges y med Fy

og
a
Fy = (Fx)
”Bevis”:
Vi anvender
x1∙Fx = x2
og
y1∙Fy = y2
sammen med regneforskriften y = b ∙ xa
og indskrænker os til et eksempel, hvor a=3 (ellers skal man bruge en potensregneregel).
y1 = b ∙ x1a = b ∙ x13
y2 = b ∙ x2a = b ∙ x23 = b ∙ (x1∙Fx)3 = b ∙ x1∙Fx ∙ x1∙Fx ∙ x1∙Fx
= b ∙ x1∙x1∙x1 ∙
Altså
y2 = y1 ∙
Fx∙Fx∙Fx = b∙x13 ∙(Fx)3 = y1∙(Fx)3
(Fx)a .
Sammenholdt med
y2 = y1 ∙ Fy
ser vi at
Fy = (Fx)a
At lægge px procent til x, er det samme som at gange x med faktoren Fx , hvor

Fx  1 
px
100
At y ganges med Fy er det samme som at y ændres med py procent, hvor Fy  1 

py = (Fy – 1) 100
Formlen

Fy = (Fx)a
kan kombineres på forskellige måder med Fy  1 
Mest enkelt således:
a
py  

p 
1 
  1  x 
100  
100 

py
100
og
Fx  1 
px
100
py
100
d.v.s.
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
2. Bestemmelse af a ud fra to punkter
a
y
log  2
 y1
 x2
log 
 x1
Side 4 af 17
(x1, y1) og (x2, y2)






Bevis:
Formlen om fremskrivningsfaktorer (4.) løses med hensyn til a (potensligning), og
Fx 
x2
x1
og
 Fx 
a
Fy 
 Fy
a
a
5. Graferne
 
log Fy
log Fx 
y 
log 2 
 y1 
 x2 
log

 x1 
y2
y1
indsættes til sidst:
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Side 5 af 17
2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER
2a Indentificere konstanterne a og b i formlen y = b ∙ xa
Eksempel 1
Løsning:
Vi har formlen y = 62 ∙ x0.73 . Bestem a og b i potenssammenhængen.
Tallet ”oven over” x er tallet 0.73; altså er a = 0.73
Tallet ”ikke-ved siden af” x er tallet 62; altså er b = 62
Eksempel 2
Løsning:
Vi har formlen L = 0.27 ∙ h−1.17 . Bestem a og b i potenssammenhængen
Her må L svare til y, og h må svare til x i formlen y = b ∙ xa
Tallet ”oven over” h er tallet −1.17; altså er a = −1.17
Tallet ”ikke-ved siden af” h er tallet 0.27; altså er b = 0.27
Opgaver
Opg. 201
Opg. 202
Opg. 203
Opg. 204
Opg. 205
Opg. 206
Vi har formlen
y = 450 ∙ x2.74
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = 19.4 ∙ x0.16
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
H = 68000 ∙ x−0.4
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = 0.0036 ∙ h-1
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
P = x0.025
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Vi har formlen
y = 61.2 ∙ x
Opskriv hvilken værdi a og b har: a = . . . . . .
b=......
Opg. 207
Sammenhængen mellem diameter og højde for visse amerikanske træer kan beskrives ved
modellen
,
hvor x (meter) er træets diameter 1,5 meter over jorden, og y (meter) er træets højde.
a) Identificer konstanterne a og b i potens-modellen: a = . . . . . . b = . . . . . .
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Side 6 af 17
2b Indsætte x-værdi og beregne y-værdi
Eksempel
Vi har formlen
y = 450 ∙ x2.74.
Hvis vi indsætter x = 7, får vi y-værdien
y = 450 ∙ 72.74 = 93063.9
Hvis vi indsætter x = 0.12, får vi y-værdien y = 450 ∙ 0.122.74 = 1.349
Opgaver
Opg. 213
y = 7 ∙ x0.34
Den potensielle model er:
Beregn y-værdien, når
x = 40:
x = 14:
x = 4.5:
x = 1550:
Opg. 212
y = 12 ∙ x−0.4
Den potensielle model er:
Beregn y-værdien, når
x = 3:
x = 0.5:
x = 1:
x = 12:
Opg. 214
Saturns mange måner har omløbstider, der afhænger af månernes afstand fra Saturn.
Sammenhængen kan beskrives ved
,
hvor T er omløbstiden, målt i døgn, og x er afstanden, målt i tusind km.
Afstanden fra Saturn til månen Calypso er 295 tusind km.
a) Bestem Calypsos omløbstid.
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Side 7 af 17
2c Indsætte y-værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning
y = 450 ∙ x2.74. Bestem x, når y = 70
Eksempel
Vi har formlen
Løsning
Hvis vi indsætter y = 70, står der:
70 = 450 ∙ x2.74.
Det er en ligning, hvor vi skal finde x. Det kan vi gøre på tre måder:
Metode 1
Vi bruger den færdige formel x  a
y
b
eller x 

y
b
1
a
Heri indsætter vi y = 70 , a = 2.74 og b = 450:
x  2.74
Metode 2
Opgaver
Opg. 221
70
450
 x , så x = 0.507
Vi bruger lommeregnerens Solver.
I de næste opgaver skal du bruge alle tre metoder for at finde den metode, der er bedst for dig.
Potens-model:
y =19.4 ∙ x0.16
Beregn x-værdien, når
y = 29:
y = 0.13:
y = 300:
Opg. 222
- så x = 0.507 .
Vi løser ligningen ”i hånden”:
70
 x 2.74
450
2.74
Metode 3
70
450
En potens- model:
Beregn x-værdien, når
y = 6:
y = 0.5:
y = 16:
y = 45:
y = 12 ∙ x−0.4
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Opg. 223
Potens-model:
y = 7 ∙ x0.34
Beregn x-værdien, når
y = 4:
y = 14:
y = 0.5:
y = 1550:
Opgg.224
Ved undersøgelse af ørreder i Gudenåen og Randers Fjord har man fundet følgende
model for sammenhængen mellem en ørreds længde og dens vægt:
hvor x er længden (i cm) og y vægten (i gram).
b) Bestem længden af en ørred, der vejer 500 gram.
Potenssammenhænge, y = b∙ xa
2d Beregne tallet a, når vi kender to punkter (x1 , y1) og (x2 , y2) på grafen
Eksempel
Løsning
Grafen Grafen for y=b·xa går gennem punkterne
(2 , 14) og (9 , 3). Bestem konstanten a.
y 
log  2 
 y1 
Vi skal indsætte i formlen a 
x 
log  2 
 x1 
Vi navngiver koordinaterne:
x1 = 2 , y1 = 14 og så x2 = 9 og y2 = 3.
 3
log  
 14   1.024
Så indsætter vi: a 
9
log  
2
Bemærk, at oplysningssættet
»Til x = 2 svarer y = 14 og til x = 9 svarer y = 3«
i sit indhold er fuldstændig magen til oplysningssættet
med de to punkter.
Side 8 af 17
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Opgaver
Opg. 231
Side 9 af 17
Grafen for y=b·xa går gennem punkterne (5 , 14) og (2 , 10) . Bestem tallet a.
Skriv først: x1 = . . ., y1 = . . . , x2 = . . . , y2 = . . .
Opskriv så formlen: a =
Opg. 232
Grafen for y=b·xa går gennem punkterne (15 , 1.7) og (3 , 1) . Bestem tallet a.
Opg. 233
Grafen for y=b·xa går gennem punkterne (6 , 7) og (1 , 10) . Bestem tallet a.
Opg. 234
For en potenssammenhæng gælder, at til x = 4 svarer y = 0.16 og til x = 0.35 svarer y = 3.
Bestem tallet a.
Opg. 235
Når en kvægavler skal bestemme vægten af en kvie, kan han måle omkredsen af dyrets bryst
(bringemålet) og derefter finde vægten i en tabel.
Tabellen viser sammenhængen mellem bringemål og vægt for kvier af Jersey-racen.
Bringemål (cm)
69
160
Vægt (kg)
30
314
Denne sammenhæng kan med god tilnærmelse beskrives ved
y = b·x a ,
hvor x er bringemålet (cm) og y er vægten (kg).
a) Bestem tallet a.
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Side 10 af 17
2e Finde b-tallet, når vi kender a og et punkt (x, y) på grafen
Formel: b 
Eksempel:
Løsning 1:
y
xa
Grafen for y=b·xa går gennem punkterne
(2 , 14) og (9 , 3).
Bestem konstanten b
(forstsættelse af eksempel 2d på forrige side. Der fandt vi a = -1.024)
Som (x, y) vælges et af de to opgivne punker, her vælger jeg (x, y) = (2 , 14),
Tallene a, x og y indsættes i formlen:
b
Løsning 2:
y
x
14
2
1.024
 28.47
Som (x, y) vælges et af de to opgivne punker, her vælger jeg (x, y) = (2 , 14),
Tallene a, x og y indsættes i regneforskriften, y=b·xa
b · xa = y
b · 2-1.024 = 14
(b isoleres ved at dividere med 2-1.024 på begge sider
b
Løsning 3:

a
14
2
1.024
b = 28,47
Som (x, y) vælges et af de to opgivne punker, her vælger jeg (x, y) = (2 , 14),
Tallene a, x og y indsættes i regneforskriften, y = b · xa :
14 = b · 2-1.024
Med CAS løses ligningen med hensyn til b, og man finder b = 28,47
Opgaver: Bestem b i opgave 231-235 ovenfor
2f Beregne procentændringen i y-værdi, når vi kender a og procentændringen i x-værdi
Metode 1
Eksempel:
Løsning
Vi har en potenssammenhæng y = 0,5 ∙ x2.
Hvor mange procent ændres y med, når x stiger
med 20%?
Vi vælger selv et tal-eksempel, her vælges x1 = 200.
Når x bliver 20% større, får vi:
(
)
(
)
y-værdierne udregnes:
y1 = 0,5 ∙ x1 2 = 0,5 ∙ 2002 = 20000
y2 = 0,5 ∙ x22 = 0,5 ∙ 2402 = 28800
Fremskrivningsfaktor og procentændring i y:
(
)
(
)
Konklusion y bliver 44% større, når x stiger med 20%.
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Metode 2
Løsning
Vi har en potenssammenhæng y = 56 ∙ x−1.1.
Hvor mange procent ændres y med, når x falder
med 25%?
Vi har a = −1.1
Da x bliver 25% mindre, har vi: px = −25
Vi kan bruge den ”kombinerede” formel:
a


p 
py    1  x   1   100


100 


1.1


25 
  100  37.2
py   1 

1



100 


Konklusion y bliver 37,2% større, når x falder med 25%.
Metode 3
Vi har potens-sammenhængen y = 5.4 ∙ x2.5.
Hvor mange procent stiger y, når x stiger 25%?
Løsning
Vi har a = 2.5
Når procentændringen på x er px
og procentændringen på y er py , er formlerne:
p 

Fx   1  x 
 100 
Fy  ( Fx ) a
p y  ( Fy  1)  100
Da x bliver 25% større, har vi:
px = 25
p  
25 

Fx   1  x  = 1 
 =1.25
100
100


 
Fy = (Fx)a = 1.252.5 = 1.747
py = (Fy –1) ∙100 =(1.747 – 1 )∙100 = 74.7
Konklusion
Opgaver
Opg. 251
y stiger 74.7% , når x stiger med 25%.
Potens-sammenhængen er y = 450 ∙ x2.74
Beregn den procentiske ændring i y-værdien, når
x vokser med 55%:
x vokser med 2.7%:
x aftager med 16%:
Side 11 af 17
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Opg. 252
Side 12 af 17
En potensmodel er
y = 0.0036 ∙ x-1
Beregn ændringen i y-værdien, når
x bliver 3.8% større:
x bliver 27.6% mindre:
x falder med 0.5%:
Opg. 253
y = 19.4 ∙ x0.16
Den potensielle sammenhæng er
Beregn ændringen i y-værdien, når
x bliver 40% større:
x vokser med 100%:
Opg. 254
Sammenhængen mellem diameter og højde for visse amerikanske træer kan beskrives ved
modellen
,
hvor x (meter) er træets diameter 1,5 meter over jorden, og y (meter) er træets højde. Et
bestemt træs diameter er over en periode vokset med 40 %.
a) Hvor mange procent højere er dette træ blevet?
2g Beregne a, når vi kender procentændringen i x og dens tilhørende procentændring i y
Eksempel
Om en potens- sammenhæng oplyses, at y vokser med 14%, når x bliver 25% større. Find a.
Løsning
Vi isolerer a i formlen
( )
( )
( )
og indsætter oplysningerne:
(
)
(
)
(
)
(
)
Opgaver
Find a-tallet i de næste fire opgaver:
Opg. 261
Når x bliver 6% større, vokser y med 12%
Opg. 262
Når x bliver 81% større, bliver y 29% mindre
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Opg. 263
y aftager med 7.8%, når x vokser med 14.9%
Opg. 264
Når x bliver 19% mindre, aftager y med 29%
Side 13 af 17
Opg. 265
Trafikken over Øresundsbroen er ikke så stor, som man havde forventet. I 2001 passerede der
dagligt 8500 biler over broen, og den gennemsnitlige billetpris var 120 kr.
Ifølge modelberegninger, som selskabet Øresundsbron har foretaget, vil en nedsættelse af
billetprisen med 10% øge antallet af biler over broen med 28%. I det følgende antages, at
antallet y af biler, der dagligt passerer over broen, er givet ved regneforskriften y = b⋅xa , hvor
x er billetprisen i kr.
(Kilde: Øresundsbron, 2001)
a) Bestem konstanten a
3 BLANDEDE OPGAVER UDEN KONTEKST
Opg. 303
Vi har formlen y = b ∙ xa . Grafen går gennem punkterne (7 , 1) og (2 , 8.5)
a)
Bestem tallene a og b.
b)
Hvilken x-værdi svarer til y = 35?
c)
x bliver 35% større; hvor mange procent ændres y ?
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Opg. 305*
Om en potens-sammenhæng, y = b ∙ xa , oplyses, at grafen går gennem punktet (1 , 75)
a)
Bestem b-tallet i formlen.
Endvidere oplyses, at y bliver 18% mindre, når x vokser med 26%.
b)
Bestem a-tallet i formlen.
c)
Bestem værdien af x, når y = 40
d)
Hvor mange procent aftager y, når x bliver 58% større?
Kapitel 5 Blandede Opgaver i potenssammenhænge
Opg. 501
Side 14 af 17
Jo større en vindmølle er, desto større effekt kan
den producere.
Sammenhængen mellem diameteren af vingerne og effekten beskrives ved en formel y = b ∙ xa , hvor x er diameteren af vingerne.
Hvis vingerne er 29 m i diameter, producerer møllen
225 kW, og med diameter 86 m produceres 2500 kW.
a)
Bestem en model, der beskriver sammenhængen
mellem vingernes diameter og den producerede
effekt.
b)
Beregn diameteren, når effekten er 1000 kW.
En mølleejer har to vindmøller. Mølle B har 20% større
vingediameter end mølle A.
c)
Hvor mange procent er effekten fra mølle B
større end effekten fra mølle A?
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Opg. 502
Side 15 af 17
En kompressor producerer trykluft. Hvis der er et hul i et trykluftsrør, medfører det nedsat
effektivitet for kompressoren. Denne nedsættelse betegnes effekttabet.
Hvis effekttabet kaldes P, er P = b ∙ xa , hvor x er diameteren af hullet.
Et hul på 3.0 mm giver et effekttab på 3.1 kW, og et hul på 7.0 mm giver et tab på 16 kW.
a)
Bestem tallene a og b .
b)
Beregn effekttabet, når hullets diameter er 4.0 mm.
c)
Find den diameter, der giver et effekttab på 10 kW.
Opg. 507
Hvis en bil kører ind i en mur med en
hastighed på 50 km/t, svarer det til, at den rammer
jorden efter et frit fald fra 3. sal. En hastighed på 80
km/t svarer til et frit fald fra 8. sal.
Det oplyses, at hastigheden y , målt i km/t, efter et frit
fald fra x’te sal kan beskrives ved
y = b ∙ xa .
a)
Bestem tallene a og b .
b)
Find hastigheden efter et frit fald fra 4. sal.
c)
Find, fra hvilken sal et frit fald mindst skal starte, for at hastigheden når op over 100
km/t.
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Side 16 af 17
6 EKSAMENSOPGAVER
(Besvar på ark for sig med forklaringer, mellemregninger, konklusioner)
Opgave 1
En funktion er givet ved y = 435 ∙ x2, 56 .
a) Bestem, hvor mange procent y vokser, når x vokser med 11%
Opgave 2
Sammenhængen mellem indtagelse af frugt og grønt gennem
længere tid og det årlige antal kræftdødsfald i Danmark kan
beskrives ved modellen
hvor y angiver det årlige antal kræftdødsfald i
Danmark, og x angiver det gennemsnitlige daglige
indtag af frugt og grønt i gram.
a) Hvor mange procent ville det årlige antal kræftdødsfald
være mindre, hvis det daglige indtag af frugt og grønt var
20 % større?
Opgave 3
Luftmodstanden på en bil afhænger af bilens fart. For en bestemt bil kan sammenhængen
mellem bilens fart x (målt i km/time) og luftmodstanden y (målt i newton) beskrives ved
a) Hvor stor er luftmodstanden, når bilens fart er 80 km/time?
b) Hvor mange procent vokser luftmodstanden, hvis bilens fart øges med 30%?
Opgave 4
Sammenhængen mellem kropsvægt og skeletvægt for pattedyr kan med god tilnærmelse
beskrives ved modellen
y = b ∙ xa
hvor x er kropsvægten, målt i kg, og y er skeletvægten, målt i kg.
Et menneske, der vejer 70 kg, har typisk en skeletvægt på 5,9 kg.
En hund, der vejer 20 kg, har typisk en skeletvægt på 1,5 kg.
a) Benyt disse oplysninger til at bestemme tallene a og b .
Skeletvægten for en elefant er 787 kg.
b) Benyt modellen til at bestemme elefantens kropsvægt.
En katteejer har to katte, en bengalkat og en siameserkat. Bengalkatten vejer 50 % mere end
siameserkatten.
c) Hvor mange procent er bengalkattens skeletvægt større end siameserkattens
skeletvægt?
Øvehæfte matematik C. Potensiel sammenhæng
Opgave 5
Side 17 af 17
Ved undersøgelse af ørreder i Gudenåen og Randers Fjord har man fundet følgende
model for sammenhængen mellem en ørreds længde og dens vægt:
hvor x er længden (i cm) og y vægten (i gram).
a) Bestem vægten af en ørred, der har længden 30 cm.
b) Bestem længden af en ørred, der vejer 500 gram.
c) Hvor mange procent vokser vægten, når en ørred bliver 15 % længere?
Opgave 6
Saturns mange måner har omløbstider, der afhænger af månens afstand fra Saturn.
Sammenhængen kan beskrives ved
,
hvor T er omløbstiden, målt i døgn, og x er afstanden, målt i tusind km.
Afstanden fra Saturn til månen Calypso er 295 tusind km.
a) Bestem Calypsos omløbstid.
Helene er også en af Saturns måner. Afstanden fra Saturn til Helene er 28 % større end
afstanden fra Saturn til Calypso.
b) Hvor mange procent er omløbstiden for Helene større end omløbstiden for
Calypso?