1. No category

Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
HVAD ER EN FUNKTION?
Def:
En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel.
F.x. f(x)=2x+5 , ovenstående betyder at funktionen f er afhængig af værdien x.
f(x) eller y er altså værdien af et regneudtrykket 2x+5. f(x) vil variere, alt efter hvad man sætter ind
på x’s plads.
Eks. hvis man sætter 3 ind på x’s plads bliver værdien 2*3+5=11. Sætter man 4 ind på x’s plads vil
værdien blive 2*4+5=13
Funktioner kan man tegne ind i et koordinatsystem. f(x)=2x+5 er en lineær (førstgradsfunktion)
Et koordinatpunkt består af 2 punkter (1. koordinat, 2. koordinat) (x,y)
Dvs. den vandrette akse hedder 1. akse(x) og den lodrette akse hedder 2. akse(y)
Eks.
Når vi som person løber en tur, vil vi løbe x antal skridt. Turens samlede længde (y)/f(x) vil derfor
afhænge 2 ting, personens skridtlængde og det antal skridt (x) personen bruger på at løbe turen.
En person med skidtlængden 80cm pr. skridt vil have en funktionsforskrift der hedder
F(x)=80x, dvs. hvis jeg løber en tur, og min skridttæller viser 100 skridt, så vil jeg have løbet
80·100=8000cm
Hvis jeg løber 100 skridt (x) så vil jeg have løbet 8000 cm (f(x))
Da min skridtlængde er konstant hele løbet igennem, så vil min funktion være lineær. Derfor
kalder man også for lineære funktioner for førstegradsfunktioner.
Hvor mange skridt skal jeg så tage for at løbe 4 km?
4km = 4000m = 400000cm
400000/80cm=5000skridt.
-1Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
Hvis jeg gerne ville have resultatet i meter frem for cm, så vil forskriften hedde
F(x)=0,8x
(x er antal skridt, f(x)=antal meter løbet i alt)
OPGAVE 1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Hvor mange meter løber jeg for hvert skridt?
Hvor mange meter løber jeg pr. 500 skridt?
Indsæt punkter for hvert 500 skridt i nedenstående graf
Beregn hvor mange skridt jeg skal bruge på at løbe 1000m?
Indsæt grafer der viser en person med en skridtlængde på 75cm og 85cm
Indsæt en graf der viser en person med skridtlængden 70 cm. Personen har fået et forspring på
1000m
a) Hvad hedder forskriften?
g) Marker med en vandret linje hvor løberene har rundet de 4km.
a) Hvor mange skridt har hver løber brugt?
b) Hvad sker der med hældningen når skridtlængden forøges?
c) Hvad sker der med hældningen når skridtlængden formindskes?
d) Hvad sker der med grafen, når en løber får et forspring på 1000m?
-2Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
Når forskriften hedder: f(x)=ax+b, så vil det altid være sådan, at:


a i forskriften siger noget om hældningen af grafen.
o Hvis a er positiv, vil hældningen være positiv. Det vil sige, hældningen vil stige fra
venstre mod højre.
o Hvis a er nul, vil der ingen hældning være. Grafen vil være vandret.
o Hvis a er negativ, vil hældningen være negativ. Det vil sige, at den vil falde fra
venstre mod højre
o Jo større a-værdi, jo kraftigere vil hældningen være.
 Hvis f.eks. a er 2, så vil f(x)-værdien stige med 2, hver gang x-værdien stiger
med 1.
 Derfor skal man, hver gang man går 1 enhed ud af x-aksen, gå 2
enheder op af y-aksen.
b i forskriften siger noget om, hvor på y-aksen grafen skærer.
o Hvis b er 10, vil grafen skære y-aksen i 10. Det vil sige i koordinatet (0,10)
o Ændrer man i b-værdien vil grafen bliver flyttet op og ned af 2. aksen
En graf med forskriften F(x)=2x+10 vil derfor se således ud:
Figur 1: f(x)=2x+10, afstanden på x og y-aksen er ens
Figur 2: f(x)=2x+10, y-aksen er trukket sammen, men det
er stadig den samme graf som i figur 1
Aksernes enhed har stor betydning for hvordan grafen ser ud, Figur 1 ser ud til at have en meget
stejlere hældning end på Figur 2. Når man aflæser en graf, er det derfor meget vigtig at man
lægger mærke til hvad enhederne er på grafen.
-3Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
Hvilken graf har det største hældningstal ? (Sæt ring om)
-4Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
TRIN 1
Hvis man skal løse et problem ved hjælp af matematik, ja, så er man nogle gange nødt til at gøre
problemet matematisk!
Førstegradsfunktioner er et eksempel på, hvordan et problem fra ”dagligdagen” kan gøres
”matematisk” og løses ved hjælp af matematik.
Eks. Man har mulighed for at betale på tre forskellige måder, når man skal til fest i
gymnastikforeningen ”Kvak”.
Her er tre muligheder:
Mulighed 1
Mulighed 2
Mulighed 3
Det koster 5 kr. for hver drink. + 0 kr. for at komme ind til festen
Det koster 2 kr. for hver drink. + 10 kr. for at komme ind til festen.
Det koster 0 kr. for hver drink + 20 kr. for at komme ind til festen.
Ved første øjekast kan man se, at hvis man ikke drikker noget til festen, så er første mulighed
billigst, fordi det ikke koster noget, at komme ind. Hvis man vil drikke ”uendelig” meget, ja, så vil
mulighed 3 være billigst, fordi det koster ikke noget, det man drikker, så man kun skal betale for at
komme ind.
Problemet er at finde ud af, hvor meget man mere præcist skal drikke, før de forskellige
muligheder er billigst. Det er nemlig ikke ”synligt” ved blot at ”kigge” på tilbuddene.
Med andre ord er vi nødt til at gøre tilbuddene ”matematiske”, før vi kan regne på dem.
Tilbudene gøres matematiske ved, at de laves om til en funktion. Når man skriver en funktion ned,
kalder man det for en funktionsforskrift.
Det gøres ved at bruge ”modellen” f(x) = ax+b, hvor f(x) er den samlede pris for at deltage i festen.
Vi kender ikke prisen, det er den vi gerne vil finde. a er prisen pr. drink og b er prisen for at
komme ind.
f(x) udtales som ”f af x” og det betyder, at vi har en funktion, hvor vi kan indsætte forskellige xværdier og dermed få forskellige resultater.
Ved at sætte forskellige x-værdier ind, som i denne forskrift er det antal drinks, som man drikke,
kan man finde ud af, hvad det koster samlet at deltage i festen (forbrug+indgang).
Forskrifter for de tre muligheder1
Mulighed 1
f(x)=5x+0
Mulighed 2
g(x)=2x+10
Mulighed 3
h(x)=0x+20
1
Bogstaverne f, g og h bruges her for at vise, at det er forskellige funktioner. Det, som er skrevet med kursiv, er noget,
som kan udlades af formlen.
-5Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
Nu har vi gjort tilbuddene matematiske og kan derfor bruge matematikken til at løse vores
problem.
Vi kan løse problemet på to måder:
1.) Ved at tegne grafer, som viser grafisk, hvor meget det vil koste samlet, alt efter hvor mange
drinks man drikker.
2.) Ved at sætte ligningerne over for hinanden og regne os frem til resultatet.
I første omgang vælger vi at ”tegne” os til en løsning, hvilket kan gøres på to måder:
1.) Enten ved at opstille en forskrift f(x)=ax+b og indsætte den i geogebra
2.) Eller vi bruger en metode, hvor vi ud fra funktionen kan finde skæringspunktet med y-aksen
og hældningen herefter.
3.) Tegne forskrifter
Find forskrifterne for de grafer vi skal bruge, sætte dem ind i geogebra
Brug skæring mellem to objekter i geogebra, og aflæs skæringspunktet i
”algebra vinduet”
o Hvad fortæller skæringspunktet?
1.) Beregn skæringspunkt
På denne måde kan man indtegne de tre funktioner, som vi fandt ovenfor.
Tegn de tre funktioner vi fandt ovenfor i samme koordinatsystem i geogebra.
-6Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
Trin 2
Prøv at besvare følgende med egne ord uden at kigge på siderne i trin 1
Lav en video vha. Af www.screenr.com - Log ind med dit facebooklogin.
Lav en 2 skydere kald dem a og b. Skriv i input feltet f(x)=ax+b
Fortæl om hvilken betydning a og b har funktionen.
Publish filmen og skriv et svar på bloggen - hvor du henviser til din video.
Hvis vi har funktionen: f(x)=ax+b

Hvad betydning har a for funktionen 
o Når a er positiv er hældningen 
o Når a er negativ er hældningen 
o Når a er nul er hældningen 

Hvad fortæller b 
o Når b er nul 
o Hvad fortæller b ellers? 
-7Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
BEREGNING AF SKÆRINGSPUNKT MELLEM TO FUNKTIONER
Hvis man har to førstegradsfunktioner og gerne vil finde ud af, hvor de krydser (skærer) hinanden,
kan man enten tegne dem ind som to grafer, som vi gjorde på trin 1. Eller man kan beregne, hvor
de skærer hinanden.
Når man vil beregne, hvor de skærer hinanden, sætter man de to funktioner lig med hinanden.
Eks.
f(x) = 2x - 9
og
g(x) = -x + 6
Når f(x) = g(x) så må det også være sådan at:
2x - 9= -x + 6
Ved at løse ligningen, finder vi ud af, at x-værdi er 5
Nu kan vi så tage vores x-værdi og sætte ind i en af de to funktioner
Når x = 5 så må f(x) være lig med f(5)=2*5 -9)= 1
Derfor må de to grafer skære hinanden i koordinatet (5,1)
-8Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
Trin 3
Opgave 2:
a) Tegn nedenstående funktioner ind i et koordinatsystem:
f(x) = 2x – 4
og
g(x) = -x + 2
Hvor skærer de to funktioner hinanden? (brug skæringspunkt i geogebra)
Hvad fortæller skæringspunktet?
Lav en trinsvis beregning af det præcise skæringspunkt.
b)
Tegn nedenstående funktioner ind i et koordinatsystem:
f(x) = 4
og
g(x) = 2x - 4
Hvor skærer de to funktioner hinanden?
Lav en trinvis beregning af det præcise skæringskoordinat
c)
Tegn nedenstående funktioner ind i et koordinatsystem:
f(x) = x
og
g(x) = - 2x + 6
Hvor skærer de to funktioner hinanden?
Lav en beregning af det præcise skæringskoordinat
d)
Beskriv med egne ord hvilke fordele der er ved at bruge grafer til at tegne sig frem til løsningen.
Beskriv med egne ord hvilke fordele der er ved at bruge beregninger til at beregne sig frem til
løsningen.
-9Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
Trin 4
Opstil en funktionsforskrift ud fra oplysninger
OPGAVE 3
a)
Jørgen er medlem af en side på internettet, hvor der kan downloades musik. Han skal betale 7,50
kr. pr. musiknummer han downloader. Dertil kommer et fast grundbeløb på 150 kr. for at være
medlem.
Gør teksten ”matematisk” ved at lave teksten om til en funktionsforskrift
De 150kr er en engangsudgift derfor ikke afhængig af noget. De 7,50 kr er altså pr musiknr. Man
downloader.
Dvs. f(x) = 150+7,50x
OPGAVE 4
Opstil forskrifter for følgende oplysninger
a) Morten lejer en bil. Det koster et grundgebyr på 500 kr, samt 1,5kr pr. km:
m(x)=
b) Kim køber sodavand i føtex de koster 8,5 kr stykket
k(x)=
c) Helle lave løbetest hun skal løbe med en hastighed på 1 km pr 7.5 min
h(x)=
hvor mange minutter bruger hun på at løbe 5 km.?
Hvor langt løber hun på en time?
d) BS-eleverne skal på tur, det koster 4000kr for bussen + 100kr pr. elev.
e) BS købmanden havde et lager på 500stk. æbler, han sælger 8 æbler om dagen
bs(x)=
Hvor mange dage går der til at lageret er tomt?
f) Morten og Kim er på cykeltur. Kim cykler med en hastighed på 25km/t og Morten cykler med
en hastighed på 20 km/t, for at gøre det retfærdigt får Morten lov til at starte 3km længere
fremme end Kim.
m(x)=
k(x)=
Hvor langt kører Kim før han indhendter Morten?
Hvor lang tid har Kim kørt?
g) Denne er svær!
Morten og Kim er på cykeltur. Kim cykler med en hastighed på 25km/t og Morten cykler med
en hastighed på 20 km/t, for at gøre det retfærdigt - Skal Kim først køre 20 min efter Morten
m(x)=
k(x)=
Hvor langt kører Kim før han indhendter Morten?
Hvor lang tid har Kim kørt?
- 10 Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
Trin 5 – Hvornår kan det bedst betale sig?
OPG. 5
a)
Da en efterskole på 140 elever – skulle til Tjekkiet, indhentede de ”forhånds-tilbud” fra tre
forskellige busselskaber. De vidste, at der ca. var 1000 km til Prag, men det helt nøjagtige
kilometerantal – og hvor meget der skulle køres i Prag vidste de ikke.
De tre tilbud kan man se nedenfor.
Selskab
Tilbud
SB Turist
Jørgens Rejser
H.C.´s Busser
15000 kr. + 15 kr. pr. km.
25000 kr. + 12 kr. pr. km.
55000 kr. (fast pris)
Hvornår vil de forskellige tilbud være gode (Hvor mange km skal der køres)?
b)
I Næsby skal de holde en byfest.
Til denne fest skal der lejes et festlokale.
”Leje-af-festlokale-udvalget” har fået tilbud fra tre selskaber, som lejer festlokaler ud.
Tilbud 1:
Pris: 5 kr. pr. person som deltager i festen + 4000 kr. for leje af lokalerne, uafhængig af hvor
mange personer, som er med til festen.
Tilbud 2:
45 kr. pr. person som deltager i festen.
Tilbud 3:
4500 kr. for leje af festlokale, uafhængig af hvor mange der deltager i festen.
Opstil funktionsforskrifter for de tre tilbud.
Tegn grafer og find skæringspunkter.
Lav en beregning af skæringspunkterne mellem tilbuddene.
I hvilke tilfælde er de forskellige tilbud billigst?
- 11 Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
b)
Rikke, som er elev på Næsbjergskolen, skal stå for, at der bliver bestilt nogle årstrøjer.
Hun har fået tilbud fra tre steder.
Alle stederne er det prisen ved køb af 140 trøjer med tryk. Den samlede pris for trøjerne er
omkostninger til fragt o.s.v. + pris pr. bogstav, der skal trykkes på trøjen.
Firma
Omkostninger til fragt
osv.
Pris pr. bogstav der
skal trykkes på trøjen
TT - TrøjeTrykken
17.000 kr.
EP redskaber
13.000 kr.
HJ Kleider (Tysk firma)
20.000 kr.
34 kr.
120 kr.
12,5 kr.
Opstil funktionsforskrifter for de tre firmaer og indtegn dem i et koordinatsystem (eller beregn
skæringspunkterne)
Der er 3 forslag til tekst som skal stå på trøjerne.
Hvis teksten er: ”Næsbjerg 4ever”
Hvilket firma skal Vera så vælge?
Hvis teksten er: ”Vi vil savne vores lærere, fordi de synes, vi er nogle rare elever!”
Hvilket firma skal Rikke så vælge?
Hvis teksten er:
”Tak for et fantastisk år.
Det er trist som tiden går.
For det er slut når
Ove den sidste dag på talerstolen står
Vi håber ikke sjælen får sår
Og mon ikke vi mødes og får
snakket sammen igen og drukket en lille tår”
Hvilket firma skal Rikke så vælge?
- 12 Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
d)
Til et opvisningsstævne er der lagt et budget inden stævnet.
Af udgifter vidste man der var for 22000 kr. (leje af hal , forplejning, lyd- og lysanlæg osv.).
Billetterne til stævnet sælger man for 40 kr. pr. person
Opskriv en funktionsforskrift for ovenstående
Man satser på 700 – 900 tilskuere i løbet af dagen.
Lykkes det for dem at få et overskud?
Hvilket antal tilskuere skal der mindst være, før opvisningsstævnet giver overskud?
Det viste sig, at der kom 1000 tilskuere.
Hvad kom der i kassen af overskud?
Såfremt man ønsker et overskud på 10000 kr. og man ved der kommer 1000 tilskuere.
Hvad skal billetprisen så være ? (husk at vise udregning)
e)
Nedenfor kan I se priserne for udlejning ved to forskellige biludlejere
BILUDLEJNINGSDISCOUNT
Personbil
1 dag Kr. 275,00
Lille varebil
Kr. 375,00 Incl. 100
km.
1 uge Kr. 1199,00 Kr. 1899,00 Incl. 250
km.
BS biler
1 dag
1 uge
Personbil
Kr. 200,00
1000,00
Lille varebil
Kr. 300,00
Kr. 1500,00
Pr. km. over 100 =>
2,00 kr.
Pr. km. over 250 =>
2.00 kr.
Pris pr. km.
Kr. 2,50
Kr. 2,50
Beskriv de to udlejningstilbud matematisk så meget som muligt (både i tal,
tekst og grafisk)
(Tip: lav et nyt skema, hvor beløb er udskiftet med forskrifter)
- 13 Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
FIND FORSKRIFT
Lav forskrift når du kender
hældningstallet og et punkt
(x1,y1)
Find hældningstallet udfra 2 punkter
(x1,y1) og (x2,y2)
f(x)-y1=a(x-x1)
a
y2  y1
x2  x1
1. Bestem hældningstallet og forskriften for de indtegnede funktioner.
Find evt. skæringspunkt mellem g(x) og h(x)
Er du god så find skæringspunkt mellem i(x) og g(x)
2. Bestem hældningstallet og forskriften for en ret linie, der går gennem: (Regn eller tegn)
a: (3,7) og (-1,-9)
b: (8,10) og (-2,5)
c: (4,-1) og (-2,11)
d: (-2,-7) og (1,2)
3. m er en ret linie, der går gennem punkterne (-1,2) og (2,-2)
bestem hældningstallet for linien m.
n er en ret linie, der er parallel med m.
Angiv en forskrift for linien n, når n går gennem punktet (0,-1)
- 14 Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
4. Tegn i et koordinatsystem, hvor enheden på akserne er 1 cm, fire rette linier, l, m, n, og p
der har flg. Forskrifter. L: x = 5; M: y=4; n: Y=-2; p: 2x - y = -4.
n skærer p i punktet A, m skærer p i punktet B,
l skærer m i punktet C og skærer n i punktet D.
Angiv koordinatsættene til punkterne A, B, C og D. Hvor mange cm2 er arealet af firkant
ABCD? Hvor mange cm (1 dec.) er omkredsen af firkanten?
- 15 Redigeret: 19. august 2014
Matematikbanken.dk FØRSTEGRADSFUNKTIONER (LINIEÆRE FUNKTIONER)
STYKVISLINIÆRFUNKTIONER
1. Morten skal holde fest, han tager i føtex og køber 20 stk. ½. liters cocacola
For de første 10 stk. skal han give 8,95 kr. pr. stk.
For de næste 20 stk. skal han give 17,95 kr. pr. stk.
Tegn den stykvise funktion
2. Kaffekaj importer kaffe, jo mere han køber jo billigere bliver det.
For de første 10 sække skal han betale 146 USD
Når han køber mere end 10 sække, skal han kun betale 130 USD
Når han køber mere end 50 sække, skal han kun betale 115 USD
Tegn den stykvise funktion, enheden på 2. aksen skal være i kr.
Kursen for USD er 555
Hvis kaffekaj køber 75 sække hvad er stykprisen pr. sæk så?
Hvad er forskrifterne for de 3 funktioner som grafen er sammensat af?
Hvilke x-værdier må x have inden for de 3 funktioner?
Kaffekaj, kan også vælge at købe hos et andet firma
3. Leje af bil
Bak Biler
Her koster det følgende at leje en bil:
1000 kr. i startomkostninger
2 kr. pr. km de første 200 km
1,5 kr. pr. km ved mere end 200 km
Ekstrøm Elbiler
Her koster det følgende at leje en bil:
1500 kr. i startomkostninger
De første 200 km. koster ikke ekstra pris
1 kr. pr. km ved mere end 200 km
Lav grafer for de to biludlejere
Forklar hvornår de to biludlejere er bedst
4. På Nøhr-Mejeri vil man gerne indkøbe mælk til produktion af kakaomælk.
Det koster 100 kr. at have en leveringsaftale med en landmand, uanset hvor mange kg
mælk man køber (Også selvom man skal have 0 kg).
Derudover skal man betale 2 kr. pr. kg mælk, man køber, hvis man køber fra 0 til og med
100 kg.
Hvis man køber mere end 100 kg. skal man betale 1 kr. pr. kg., som man køber mere end
de 100 kg.
Hvad er forskrifterne for de 2 funktioner som grafen er sammensat af?
Hvilke x-værdier må x have inden for de 2 funktioner?
- 16 Redigeret: 19. august 2014