Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet 19. februar 2015 MGF MM541 – Kombinatorisk Matematik – 2015 Træningstime 5 Studiefasetimerne i ugerne 8, 9 og 10 Arbejd på egen hånd med følgende emner: • Gennemgå almindelige grafkoncepter med hinanden; Hvad betyder for eksempel – Rute, tur, kantfølge, Eulertur, lukket tur, åben tur, sammenhængende? • Med udgangspunkt i afsnit 10.1 og 10.2, diskuter forskellige typer grafer (simple grafer, multigrafer, og pseudografer). Prøv at finde på problemstillinger som kan modelleres med grafer. I behøver ikke at læse de to afsnit i Rosen grundigt. I kan både tage udgangspunkt i Rosen kapitel 10, Bjarne Tofts noter, internetsøgning eller prøve at finde på nogle eksempler selv (brug dog ikke alt for lang tid på det). • Gennemgå opgaverne 1 og 2 fra afsnit 10.2 i Rosen. Hvis I er uenige om svarene gennemgår vi dem til træningstimerne, ellers gør vi ikke. Opgaver Til Træningstimerne d. 2. Marts • Find en sætning fra tidligere i kurset. Vælg enten en du godt kunne eller en du syntes var svær. Det kunne for eksempel være Theorem 2 på side 390, Theorem 1 på side 404 eller Theorem 2 på side 413. Genlæs beviset, forstå det, prøv at fremlægge det for studiegruppen. Til træningstimen vil en (forhåbentlig) frivillig studerende gennemgå et bevis på tavlen i samme detaljegrad og hastighed som man vil gøre det i en eksamenssituation. Fra tidligere mangler vi fra afsnit 8.2 opgaverne: • 19, 20, 28. Nye opgaver: • Fra afsnit 8.5: Opgave 5 • Fra afsnit 8.6: Opgave 3, 7, 14 • Gennemgang af aktivitet i studiefasen 1 • Lad G være en ikke-orienteret simpel graf. En åben Eulertur i G er en rute i G, der benytter hver kant præcis en gang, og slutter og starter i to forskellige knuder. Med andre ord er det netop det samme som en lukket Eulertur (også kaldet en Eulerkreds) med den forskel at start- og slutknuderne er forskellige. Bevis at en sammenhængenge graf G har en åben Eulertur hvis og kun hvis der er præcis to punkter i G med ulige valens. Hint: I må gerne benytte sætning 1.3. • I timerne har vi set et bevis for at en graf G har en lukket Eulertur hvis og kun hvis alle punkterne har lige valens. I beviset betragtede vi en lukket tur T , og argumenterede for at enten var denne tur en lukket Eulertur eller også kunne den udvides til en lukket Eulertur. Det er antydet i noterne (Side 1.10 opgave 1.3), at matematisk set kan dette gøres mere elegant. Bevis følgende: Lad G være en sammenhængende graf hvori alle punkterne har lige valens. Lad T være en tur af maksimal længde startende i en knude x0 . Da er T en lukket Eulertur. • Opgave 1.10 på side 1.16 i Bjarne Tofts noter. 2