1. No category

matx.dk
Vektorer
Dennis Pipenbring
10. oktober 2011
Indhold
1 Vektorer
1.1 Vektoraddition . . . .
1.2 Vektorkomponenter . .
1.3 Skalarprodukt . . . . .
1.4 Vektor definition ud fra
1.5 Vektorprodukt . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
punkter
. . . . .
2 Fremstillinger af rette linier,
2.1 Den rette linie i planet . . .
2.2 Den rette linie i rummet . .
2.3 Planet . . . . . . . . . . . .
2.4 Cirkler . . . . . . . . . . .
2.5 Kugler . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
planer, cirkler
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
og
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
kugler
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
5
7
12
13
.
.
.
.
.
14
14
15
15
16
16
3 Bevægelse i én retning
16
4 Bevægelse i 2 og 3 dimensioner
16
2
1
Vektorer
En vektor er en størrelse med retning. Geometrisk angives vektorer som pile.
Aritmetisk angives de med tal.
b
P2
~a
b
P1
Størrelsen af vektoren = |~a|, er repræsenteret ved længden af pilen og retningen
er repræsenteret ved retningen på pilen.
En størrelse som ikke har en retning og derved er repræsenteret ved et enkelt tal
kaldes en skalar.
Vektorer bruges især til to ting. For det første bruges vektorer til at repræsentere
forskellige fysiske størrelser f.eks. trækkraft eller tyngdekraft eller vind. Det væsentlige er, at det vektorer kan beskrive skal ikke ’bare’ være en størrelse, som
f.eks. det blæser med 2 m/sek. eller der er 40 kr på min konto eller der er en
elektrisk strøm på 25 volt eller tyngdekraften er på 9,43 N osv. Udover at der
skal være tale om en størrelse skal der også være tale om en retning, så vinden
blæser med 2 sek/m fra NNV (Nord-nord-vest) eller tyngdekraften trækker i retning mod Jorden også kaldet ned. De 40 kr. på min konto har ikke nogen retning,
saldoen kan godt ændre sig men, i sig selv har saldoen ingen retning.
3
−~a
~a
En vektor som har samme størrelse som ~a men modsat retning betegnes −~a.
1.1
Vektoraddition
To vektorer kan lægges sammen og resultatet, kaldes den resulterende vektor.
De to vektorer ~a og ~b lægges sammen og
~b
~a
den resulterende vektor bliver ~c.
~a + ~b = ~c
~c
~b
~a
Bemærk at det giver samme resultat, om
det er ~a + ~b eller ~b + ~a.
~c
~b
4
~a
1.2
Vektorkomponenter
y
En vektor består af lige så mange komponenter som der er dimensioner i det rum
vektoren er. Her begyndes med at beskrive
vektorer i to dimensioner. De betyder at
der er to komponenter ~ax og ~ay . Og der
gælder at ~a = ~ax + ~ay .
~ay
~a
v
~ax
x
Vinklen v, og størrelsen af komponenterne ~ax og ~ay , kan beregnes med formlerne:
|~ax | = |~a| · cos(v)
(1)
|~ay | = |~a| · sin(v)
(2)
Vektoren og komponenterne i vektoren skrives ofte
!
ax
eller ~a = hax, ay i
~a =
ay
hvor ax og ay er størrelsen af komponenterne ~ax og ~ay .
Nu kan størrelsen af en vektor bestemmes, ved Pythagors’ sætning.
q
|~a| = a2x + a2y
Sætning 1.1 Størrelsen eller længden af en vektor kan beregnes med formlen
q
|~a| = a2x + a2y
hvor ax og ay er størrelsen af komponenterne i ~a.
5
y
Summen af to vektorer kan vises på følgende måde med komponenterne.
!
!
!
ax + bx
bx
ax
~
=
+
~c = ~a + b =
ay + by
by
ay
~b
~by
~a
~ay
~c
~bx
~ax
Sætning 1.2 Summen af to vektorer ~a =
ax
ay
!
bx
og ~b =
størrelsen af hhv. x- og y-komponenterne.
!
!
ax
bx
~
~c = ~a + b =
+
=
ay
by
by
ax + bx
ay + by
!
x
er summen af
!
y
~a
~ay
2 · ay
En skalar multipliceres på en vektor på følgende måde.
!
!
k · ax
ax
=
k · ~a = k ·
k · ay
ay
~ay ~a
~ax
~ax
2 · ax
x
Sætning 1.3 En skalar multipliceres på en vektor på følgende måde.
!
!
k · ax
ax
=
k · ~a = k ·
k · ay
ay
De tre formler for summen, skalarmultiplikation og størrelsen af vektorer gælder
for vektorer af en vilkårlig dimension. Her ses de for 3-dimensioner.
6
|~a| =
q
a2x + a2y + a2z
    

ax
bx
ax + bx
    

~c = ~a + ~b = ay  + by  = ay + by 
az
bz

  
k · ax
ax

  
k · ~a = k · ay  = k · ay 
k · az
az
1.3
az + bz
Skalarprodukt
Definition 1.4 Skalarproduktet mellem to vektorer ~a og ~b er
~a · ~b = ax · bx + ay · by + · · ·
Sætning 1.5 For to vektorer ~a og ~b gælder, at
|~a − ~b|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2 · ~a · ~b
Bevis.
|~a − ~b|2 =
=
=
=
=
!
a − b 2
x x
ay − by p
2
(ax − bx)2 + (ay − by )2
a2x + b2x − 2 · ax · bx + a2y + b2y − 2 · ay · by
a2x + a2y + b2x + b2y − 2 · (ax · bx + ay · by )
|~a|2 + |~b|2 − 2 · ~a · ~b
Q.E.D.
7
y
Skalarproduktet mellem to vektorer er multiplikationen mellem størrelsen af projektionen af ~b på ~a (|~b| · cos(v)) og størrelsen
~a. Resultatet af et skalarprodukt er en skalar.
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos(v)
~b
~a
v
|~b| · cos(v)
x
Sætning 1.6 Vinklen mellem to vektorer ~a og ~b , som ikke er 0, opfylder at
~a · ~b
cos(v) =
|~a| · |~b|
Bevis.
y
For at bestemme vinklen anvendes cosinusrelationen på trekanten.
|~b − ~a|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2 · |~a| · |~b| · cos(v)
derfor
1
|~a| · |~b| · cos(v) = (|~a|2 + |~b|2 − |~b − ~a|2)
2
~b − ~a
~b
v
~a
x
og ved at udregne |~b − ~a|2 = |~b|2 + |~a|2 − 2 · ~a · ~b (Sætning 1.5), fås at
1
|~a| · |~b| · cos(v) = (|~a|2 + |~b|2 − (|~b|2 + |~a|2 − 2 · ~a · ~b))
2
så så reduceres til
|~a| · |~b| · cos(v) = ~a · ~b
Heraf ses det ønskede.
Q.E.D.
8
Sætning 1.7 Vektor ~a projekteret på vektor ~b giver projektionsvektoren a~b,
som er givet ved formlen
~a · ~b ~
·b
a~b =
2
~
|b|
Opgave 1.8 To vektorer ~a =
3
−5
!
og ~b =
!
−2
1
1. Beregn længden af ~a.
2. Beregn længden af ~b.
5. Beregn vinklen mellem ~a og ~b.
3. Beregn 4 · ~a.
7. Beregn længden af projektionen
af vektor ~b på ~a.
4. Beregn 2~a − ~b.
8. Bestem koordinatsættet til projektionen af ~b på ~a.
6. Beregn længden af projektionen
af vektor ~a på ~b.
Svar på opgave 1.8. 1. |~a| = 5,83, 2. |~b| = 2,24, 3. h12, −20i, 4. h8, −11i,
5. 147,5◦, 6. 4,92, 7. 1,89, 8. (−0.97,1.62).
y
~b1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4
−2
−3
−4
−5
x
~a
Definition 1.9 To vektorer ~a og ~b er ortogonale hvis vinklen mellem dem
er 90◦.
9
Definition 1.10 En normalvektor er en vektor der står vinkelret på den kurve
eller flade den er normal til.
Sætning 1.11 To vektorer ~a og ~b er ortogonale hvis og kun hvis
~a · ~b = 0
Definition 1.12 En tværvektor til en vektor ~a er en vektor som
står vinkelret på ~a drejet i mod uret retning. En tværvektor kaldes aˆ.
y
~a =
ax
ay
!
aˆ =
−ay
ax
4
3
2
1
!
aˆ
−1
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
x
~a
y
To vektorer vil ’udspænde’ et areal, som
enten kan være en trekant eller et parallelogram. Arealet af parallelogrammet er
dobbelt så stort som arealet af trekanten.
~a
x
~b
10
Sætning 1.13 Arealet af trekanten udspændt af to vektorer ~a og ~b er
1
· |~a| · |~b| · sin(v)
2
hvor v er vinklen mellem de to vektorer.
Definition 1.14 Determinanten det(~a,~b) mellem to vektorer ~a =
!
~b = bx er
by
det(~a,~b) = ax · by − ay · bx
Sætning 1.15 For to vektorer ~a =
ax
ay
!
og ~b =
det(~a,~b) = |~a| · |~b| · sin(v)
hvor v er vinklen mellem de to vektorer.
11
bx
by
!
gælder at
ax
ay
!
og
Opgave 1.16 To vektorer ~a =
3
t
!
og ~b =
t−1
1
!
1. Beregn længden af ~b når t = 4.
5. Beregn værdien af t, så arealet af
trekanten udspændt af ~a og ~b er 42.
2. Beregn vinklen mellem ~a og ~b når 6. Beregn værdien af t, så ~a og ~b er
t = 3.
lige lange.
3. Beregn værdien af t, så ~a og ~b er 7. Beregn værdierne af t, så ~a er tre
ortogonale.
gang så lang som ~b.
4. Beregn arealet af det parallelo- 8. Bestem værdien af t, så ~a og ~b er
gram som ~a og ~b udspænder når parallelle.
t=2
1.4
Vektor definition ud fra punkter
y
En vektor kan defineres ud fra
Vektor ~a bliver så
!
6 − (−1)
~a =
=
5−2
to punkter.
b
~a
!
7
b
5
P2 : (6,5)
P1 : (−1,2)
x
12
1.5
Vektorprodukt
 
ax
 
Definition 1.17 Vektorproduktet mellem to vektorer ~a = ay  og ~b =
az
 
bx
 
by  er
bz

ay · bz − by · az



~a × ~b = az · bx − bz · ax 
ax · by − bx · ay
 
 
ax
bx
 
 
Sætning 1.18 For to vektorer ~a = ay  og ~b = by  gælder, at ~a × ~b er
bz
az
en normalvektor til både ~a og ~b.
~a · (~a × ~b) = 0
~b · (~a × ~b) = 0
 
 
ax
bx
 
 
Sætning 1.19 For to vektorer ~a = ay  og ~b = by  gælder, at
az
bz
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin(v)
hvor v er vinklen mellem de to vektorer.
13
2
Fremstillinger af rette linier, planer, cirkler og kugler
Rette linie og planer kan fremstilles som ligninger, parameterfremstillinger og via
deres normalvektor.
2.1
Den rette linie i planet
Den!rette linie har ligningen y = ax + b. Denne linie har retningsvektoren ~r =
1
og den går gennem punktet (0,b). Derfor kan linien også fremstilles med
a
parameterfremstillingen
x
y
!
=
!
0
b
Omvendt hvis retningsvektoren er p~ =
+s·
px
py
!
1
!
a
og linien går gennem punktet
(x0,y0) så er parameterfremstillingen
x
y
!
=
x0
y0
!
+s·
px
py
!
Endelig kan linien også fremstilles via sin normalvektor ~n =
0 = nx · (x − x0) + ny · (y − y0)
14
nx
ny
!
med ligningen
2.2
Den rette linie i rummet
Den rette linie har ligningen 0 = ax + by + cz + d. Linien også fremstilles med
parameterfremstillingen
   
 
x
px
x0
   
 
y  =  y0  + s · py 
z
pz
z0
 
nx
 
Endelig kan linien også fremstilles via sin normalvektor ~n = ny  med ligningen
nz
0 = nx · (x − x0) + ny · (y − y0) + nz · (z − z0 )
 
px
 
Hvor (x0, y0, z0) er et punkt på linien, og hvor p~ = py  er retningsvektoren
pz
for linien og s ∈ R.
2.3
Planet
Planet har ligningen
0 = nx · (x − x0) + ny · (y − y0) + nz (z − z0)
 
nx
 
Hvor ~n = ny  er normalvektor for planet og (x0, y0, z0) er et punkt i planet.
nz
Planet kan også fremstilles med parameterfremstillingen
 
   
 
qx
x
px
x0
 
   
 
y  =  y0  + s · py  + t · qy 
z
pz
z0
15
qz
 
 
px
qx
 
 
Hvor p~ = py  og ~q = qy  er retningsvektorer i planet og s,t ∈ R.
pz
qz
2.4
Cirkler
En cirkel kan fremstilles med ligningen
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2
hvor (x0,y0) er centrum for cirklen og r er radius.
2.5
Kugler
En kugle kan fremstilles med ligningen
(x − x0)2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2
hvor (x0,y0,z0) er centrum for cirklen og r er radius.
3
Bevægelse i én retning
4
Bevægelse i 2 og 3 dimensioner
16