1. No category

Vektorer
og
koordinatgeometri
for gymnasiet, udgave 3
2015 Karsten Juul
VEKTORER
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Koordinater til punkt i planen ......................................................1
Koordinater til punkt i rummet.....................................................1
Vektor: Definition, sprogbrug, m.m. ............................................2
Vektor: Koordinater .....................................................................2
Koordinater til vektors slutpunkt..................................................3
Nulvektor .....................................................................................3
L€ngde af vektor..........................................................................3
Modsat vektor...............................................................................4
Tv€rvektor ...................................................................................4
Tal gange vektor...........................................................................5
Vektor plus vektor........................................................................5
Vektor minus vektor.....................................................................6
Projektion .....................................................................................6
Prikprodukt...................................................................................7
Prikprodukt: Vinkelret?................................................................7
Prikprodukt: Vinkel mellem vektorer...........................................8
Prikprodukt: Projektion af vektor.................................................8
Determinant..................................................................................9
Determinant: Parallel?................................................................10
Determinant: Areal.....................................................................10
Krydsprodukt..............................................................................11
Krydsprodukt: Parallel?..............................................................11
Krydsprodukt: Areal...................................................................11
Krydsprodukt: Vinkelret vektor .................................................12
KOORDINATGEOMETRI
25. Parameterfremstilling for linje ...................................................13
26. Ligning for linje .........................................................................14
27. Ligning for plan..........................................................................15
28. Ligning for cirkel .......................................................................16
29. Ligning for kugle........................................................................16
30. Afstand fra punkt til linje ...........................................................17
31. Afstand fra punkt til plan ...........................................................17
32. Vinkel mellem linjer...................................................................17
33. Vinkel mellem planer .................................................................18
34. Vinkel mellem sideflader ...........................................................18
35. Vinkel mellem linje og plan .......................................................19
36. Vilk•rligt punkt p• linje .............................................................19
37. Sk€ring mellem to linjer l og m .................................................19
38. Sk€ring mellem linje og cirkel ..................................................20
39. Sk€ring mellem linje og kugle...................................................20
40. Sk€ring mellem linje og plan.....................................................20
41. Projektion af punkt p• linje ........................................................21
42. Projektion af punkt p• plan ........................................................21
43. Tangent til cirkel ........................................................................22
44. Tangentplan til kugle..................................................................22
BEVISER
45. Bevis for at vi m• prikke ind i en parentes .................................23
46. Bevis for formel 46a...................................................................23
47. Bevis for at vi f•r nul n•r vi prikker med nulvektor ...................23
48. Bevis for at vinkelrette vektorer har skalarprodukt nul ..............23
49. Bevis for formlen for projektion af vektor .................................24
50. Bevis for parameterfremstilling for en linje ...............................24
51. Bevis for ligning for linje ..........................................................25
52. Bevis for ligning for plan ...........................................................25
53. Bevis for ligning for cirkel .........................................................25
54. Bevis for ligning for kugle .........................................................25
‚VELSER .......................................................................... 26-41
Tidligere versioner af dete hÄfte har skiftet adresse til
http://mat1.dk/vektorer_og_koordinatgeometri_for_gymnasiet_udgave_1.pdf
http://mat1.dk/vektorer_og_koordinatgeometri_for_gymnasiet_udgave_2.pdf
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3 Å 2015 Karsten Juul
Nyeste version af dette hÄfte kan downloades fra mat1.dk/noter.htm . HÄftet mÇ bruges i undervisningen hvis lÄreren med det
samme sender en e-mail til [email protected] som oplyser at dette hÄfte benyttes, og oplyser hold, niveau, lÄrer og skole.
28/7-2015
VEKTORER
y
Det hedder et plan, ikke en plan, men i geometri er begge
dele korrekt. I eksamensopgaver skrives en plan.
Q  (5 ,1)
1. Koordinater til punkt i planen
R  (2 , 4)
R
1a. Koordinatsystem i planen. Se figur.
De to koordinatakser er vinkelret p• hinanden.
1b. Begyndelsepunkt O er koordinataksernes O er et bogstav!
sk€ringspunkt og har koordinats€ttet (0,0).
Q
1
1c. KoordinatsÄt til punktet Q
O
Vi anbringer et flytbart punkt i O.
1
Vi forskyder punktet 5 enheder i x-aksens retning s• det kommer fra O til P.
N•r vi forskyder 5 enheder i x-aksens retning, s• bliver x-koordinaten 5 enheder stƒrre.
N•r vi forskyder i x-aksens retning er det kun x-koordinaten der €ndres.
Alts• har P koordinats€ttet (5, 0).
Fra P forskyder vi punktet 1 enhed i y-aksens retning s• det kommer fra P til Q.
N•r vi forskyder 1 enhed i y-aksens retning, s• bliver y-koordinaten 1 enhed stƒrre.
N•r vi forskyder i y-aksens retning er det kun y-koordinaten der €ndres.
Alts• har Q koordinats€ttet (5, 1).
Det fƒrste tal i koordinats€ttet er punktets x-koordinat.
Det andet tal i koordinats€ttet er punktets y-koordinat.
P
x
1d. KoordinatsÄt til punktet R
P• den ƒverste figur kan vi kan komme til R ved at starte i O , forskyde –2 i x-aksens retning og
forskyde 4 i y-aksens retning. Derfor er R  (2 , 4) .
z
2. Koordinater til punkt i rummet
2a. Koordinatsystem i rummet
Figuren viser et koordinatsystem i rummet
De tre koordinatakser er vinkelret p• hinanden.
2b. Begyndelsepunkt O.
Begyndelsespunktet er koordinataksernes
sk€ringspunkt. Bogstavet O bruges ofte til at
betegne begyndelsespunktet.
O har koordinats€ttet (0,0,0).
R  (5 ,1, 3)
S  (2 , 4 , 2)
T
R
S
1
O
1
1
y
P
Q
2c. KoordinatsÄt til punktet R
x
Vi anbringer et flytbart punkt i O.
Vi forskyder punktet 5 enheder i x-aksens retning s• det kommer fra O til P.
N•r vi forskyder 5 enheder i x-aksens retning, s• bliver x-koordinaten 5 enheder stƒrre.
N•r vi forskyder i x-aksens retning er det kun x-koordinaten der €ndres.
Alts• har P koordinats€ttet (5 , 0 , 0) .
Fra P forskyder vi punktet 1 enhed i y-aksens retning s• det kommer fra P til Q.
N•r vi forskyder 1 enhed i y-aksens retning, s• bliver y-koordinaten 1 enhed stƒrre.
N•r vi forskyder i y-aksens retning er det kun y-koordinaten der €ndres.
Alts• har Q koordinats€ttet (5 , 1, 0) .
Fra Q forskyder vi punktet 3 enheder i z-aksens retning s• det kommer fra Q til R.
N•r vi forskyder 3 enheder i z-aksens retning, s• bliver z-koordinaten 3 enheder stƒrre.
N•r vi forskyder i z-aksens retning, er det kun z-koordinaten der €ndres.
Alts• har R koordinats€ttet (5 , 1, 3) .
Det fƒrste tal i koordinats€ttet er punktets x-koordinat. Det andet tal i koordinats€ttet er punktets ykoordinat. Det tredje tal i koordinats€ttet er punktets z-koordinat.
Bem€rk at punkterne R og T ligger lige langt over xy-planen som indeholder x-aksen og y-aksen.
2d. KoordinatsÄt til punktet S
Vi kan komme til punktet S ved at
starte i O , forskyde –2 i x-aksens retning , 4 i y-aksens retning og 2 i z-aksens retning.
Derfor er S  (2 , 4 , 2) .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
1
2015 Karsten Juul
3. Vektor: Definition, sprogbrug, mm.
3a. En vektor er en pil. Hvis vi forskyder en pil uden at dreje den, s• er pilen stadig samme vektor.
3b. En vektor kan betegnes med et lille bogstav med pil over.
3c. P• figurerne 3f og 3g g€lder:


Vektorerne a og b er samme vektor, for de kan forskydes over i hinanden da de har samme l€ngde og
samme retning.


Vektorerne a og c er ikke samme vektor da de har forskellig l€ngde.


Vektorerne d og e er ikke samme vektor da de har forskellig retning.

3d. P• figur 3f g•r vektoren a fra
 punktet P til punktet Q. S• kan denne vektor betegnes med PQ .

Der g€lder at a  PQ og b  PQ .

3e. N•r en vektor a er anbragt s• den g•r fra et punkt P til et punkt Q, s• siger vi:
z
P er vektorens startpunkt og Q er vektorens slutpunkt.
   3 
N•r vi afs€tter vektoren ud fra P, s• er dens slutpunkt Q.

a
P
  3
a  
 2
Q
2

b
3
d  0 
 2 
 
S
1

d

c
1
1
y

e
Figur 3f
R
3h. En firkant ABCD er et parallelogram
netop hvis AB  DC .
A
x
C
B
Figur 3g
D
4. Vektor: Koordinater
4a. Regel: Vi kan f• en vektors koordinats€t ved at
tr€kke startpunktets koordinater fra slutpunktets koordinater.
4b. SkrivemÅde: En vektors koordinats€t skrives lodret.
4c. N•r A  (a1 , a2 ) og B  (b1 , b2 ) , er
4d. N•r A  (a1 , a2 , a3 ) og B  (b1 , b2 , b3 ) , er
 b1  a1 


AB   b2  a2 
b a 
 3 3
b a 
AB   1 1 
 b2  a2 
4e. Eksempel
P• figur 3f er P  (5 , 1) og Q  (2 , 3)
2  (5)    3 
  
 3  1   2
s•
PQ  
dvs.
  3
  3
a    og b    .
 2
 2

4g. Dette koordinats€t fort€ller at a g•r
3 i x-aksens retning og
2 i y-aksens retning.
Dette kan vi ogs• se p• figur 3f.
4f. Eksempel
P• figur 3g er R  (3 , 0 , 0) og S  (0 , 0 , 2)
s•
 0  3   3 
RS   0  0    0 
 2  0  2 

  
dvs.
  3 
d  0 .
2
 

4h. Dette koordinats€t fort€ller at d g•r
–3 i x-aksens retning,
0 i y-aksens retning og
2 i z-aksens retning.
Dette kan vi ogs• se p• figur 3g.
4i. Hvis en vektors startpunkt er O(0,0) , s• er vektorens koordinater = slutpunktets koordinater.
En vektor er stedvektor for et punkt hvis den g•r fra O(0,0) til punktet. OA er stedvektor for A .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
2
2015 Karsten Juul
5. Koordinater til vektors slutpunkt
 x
5a. N•r A  (a1 , a2 ) og AB    er
 y
B  (a1  x , a2  y )
 x
 
5b. N•r A  (a1 , a2 , a3 ) og AB   y  er
z
 
B  (a1  x , a2  y , a3  z )
B
B
A
A
5c. I ord kan de to formler udtrykkes s•dan:
N•r en vektor er afsat ud fra et punkt,
og man l€gger vektorens koordinater til punktets koordinater,
s• f•r man koordinaterne til vektorens slutpunkt.
5d. Eksempel
5e. Eksempel
 5
 2
 
P

r  P0 P

r
B
P0
r 
  1
P0  ( x0 , y0 , z0 ) , r   r2  , P  ( x , y , z )
r 
 3
( 4 , 1)
Ud fra figuren slutter vi:
B  ( 4  5 , 1 2 )  (9 , 3)
Med disse betegnelser f•r vi ud fra figuren:
( x , y , z )  ( x0 r1 , y0  r2 , z0  r3 )
6. Nulvektor

6a. Vekoren med l€ngde 0 kaldes nulvektor og betegnes med o som er bogstavet lille o med pil over.
 0
  0
  
6b. I planen er o    , og i rummet er o   0  .
 0
 0
 
6c. P• en figur er nulvektor et punkt.
7. LÄngde af vektor


7a. SkrivemÅde: Symbolet v betyder l€ngden af vektoren v .

 x
  
7c. N•r v   y  , er
z
 

v  x2  y2  z2 .
 x
 y
7b. N•r v    , er

v 
x2  y 2 .
  1,5 
7d. Opgave Bestem l€ngden af vektoren a    .
 3,6 
Svar 1 Se 7b.
Svar 2
I rummet er udregningerne de samme
bortset fra at der er tre koordinater.
Svar 3
  1,5 
a  
 3,6 

a  1,5 2  3,6 2  3,9
Afsnit 7 fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
3
2015 Karsten Juul
I rummet er udregningerne de samme
bortset fra at der er tre koordinater.
7e. Opgave Bestem afstand mellem A(2 ,11) og B (6 , 5) .
Svar 1 Se 4c, 7b.
A(2 ,11)
Svar 2 Se 4c.
Svar 3 Se 4i, 4c.
B (6 , 5)
 6  (2)  8 
AB  
   
 5  11    6 
AB 
82  (6) 2  10
Afstand mellem A og B er 10
Kontrol ved elektronisk aflÄsning pÅ figur
Afs€tter punkter med A 's og B 's koordinater.
Forbinder disse med vektor.
M•ler elektronisk dennes l€ngde.
Resultat er 10 ligesom ved udregning.
8. Modsat vektor
8a. Koordinater til modsat vektor
  x
En vektor a    har den modsatte vektor
 y
  x 
a    .
y
8b.
 x
  
En vektor a   y  har den modsatte vektor
z
 
 x 
  
a    y  .
8c.
 z 
 
8d. Modsat vektor pÅ figur


Den modsatte vektor til a har samme l€ngde som a

og har modsat retning af a

a

a
8e. Eksempel
P• figuren er
  4
a   .
 2 
S• er

  4   4 
a  
    .
  (2)   2 
9. TvÄrvektor
Se 8b
I rummet er udregningen den samme
bortset fra at der er tre koordinater.
Kun plangeometri. I rummet kan bruges krydsprodukt.
9a. N•r vi drejer en vektor 90 mod uret, s• f•r vi vektorens
tv€rvektor. Se figur 9b
Vi skriver over en vektor for at betegne tv€rvektoren.


â er tv€rvektoren til a .

â

a
En vektor i rummet har IKKE en tv€rvektor.
Dette skyldes at en vektor i rummet kan drejes 90 p• uendelig
mange m•der. Vi kan ikke vide hvilken af disse vi skal bruge.
Figur 9b
Afsnit 9 fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
4
2015 Karsten Juul
9c. Formel for tvÄrvektor
Vi udregner koordinaterne til tv€rvektoren ved hj€lp af fƒlgende formel:
9d.
 x  y
 y  x 
   
9e. Eksempel:
  2
  3 
Hvis a    , er â    .
 3
2
9f. Eksempel
Figur 9g viser et kvadrat.
Af 9a f•r vi
Se figur 9b.
Du skal IKKE huske at reglen
er nr. 9a. Du skal lÄse reglen,
huske den, og forstÇ at den
bruges her. Det samme gÄlder
alle tilsvarende henvisninger.
 5 
AB   
 1 
Vi omskriver hƒjresiden med Formel 9d og f•r
1
AB   
 5 
Af dette og Formel 5a f•r vi
B  (7  1 , 3  (5) )
Alts• er
B  (8 ,  2)
 5 
 1 
 
A(7,3)
D
B
C
10. Tal gange vektor
Figur 9g
10a. Koordinater til____
Vi ganger en vektor med et tal ved at gange hver af vektorens koordinater med tallet:
10b.
 a1   k a1 

k    

 a 2   k a2 
10c.
 a1   k a1 
  

k  a 2    k a2 
a  ka 
 3  3
10d. ___pÅ en figur



1,5a er ensrettet med a da 1,5 er positiv.
a


1,5a er 1,5 gange s• lang som a .



1,5a
 2a er modsat rettet a da –2 er negativ.



 2a er 2 gange s• lang som a .
 2a


10e.
0a er nulvektoren o .


10f. L€ngden af ka er k gange l€ngden af a . Se 17c.




10g. ka er ensrettet med a hvis k er positiv. ka er modsatrettet a hvis k er negativ.





10h. Hvis b er o eller parallel med a , s• findes et tal k s• b er ka .
11. Vektor plus vektor
Koordinater til_______
11a.
 a1   b1   a1 b1 
    

 a2   b2   a2 b2 
    

11b.
 a1   b1   a1 b1 
    

 a2    b2    a2 b2 
 a   b   a b 
 3  3  3 3
Afsnit 11 fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
5
2015 Karsten Juul
11c. ______pÅ en figur


Hvis b er afsat i forl€ngelse af a


som p• figur 11e, s• er a b vektoren PR


fra a 's startpunkt til b 's spids.
11d. ______pÅ en figur


Hvis a og b er afsat ud fra samme punkt
som p• figur 11f, og PQRS er et parallel 
ogram, s• er digonalen PR lig a b .
Q

b
Q
R

a
R

a
 
a b
 
a b
P
Figur 11e
P
11g. Eksempel
Figur 11h viser tre vektorer. Af regel 11c f•r vi
  8   7 
a   
 1  3 
Heraf og af 11a f•r vi
  8  (7) 
a 

 1  (3) 
Alts• er
 1
a  
 4 
Figur 11f

b
S
8
 1
 

a
 7 
 3 
 
Figur 11h
12. Vektor minus vektor
Koordinater til______
12a.
 a1   b1 
 a b 
     1 1 
 a 2   b2 
 a 2 b2 
   


 a1   b1 
 a1 b1 
   


 a 2    b2    a 2 b2 
a  b 
 a b 
 3  3
 3 3
12b.
12c. ______pÅ en figur


Hvis a og b er afsat i forl€ngelse af
hinanden som p• figur 12e, s• er
 
PT lig a b .
12d. ______pÅ en figur


Hvis a og b er afsat ud fra samme punkt,

 

s• er a b vektoren fra b 's spids til a 's spids.
 
P• figur 12f, er SQ lig a b .

b
T
Q
Q
 
a b

a

a
 
a b
Figur 12e
Figur 12f
P
P

b
S
13. Projektion
P
13a. Projektion af punkt pÅ linje
N•r vi fra et punkt P g•r vinkelret ind p• en linje l,
kommer vi til et punkt Pl p• l som vi kalder
projektionen af P p• l.
l
Pl
13b. SÅdan kan vi tegne projektionen Kun plangeometri.
For at tegne projektionen af et punkt P p• en linje l
tegner vi den linje m som g•r gennem P og er vinkelret
p• l. Sk€ringspunktet mellem m og l er det punkt Pl vi
kalder projektionen af P p• l.
Afsnit 13 fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
6
2015 Karsten Juul
13c. Projektion af vektor pÅ vektor

Linjen l er parallel med b .

N•r vi projicerer startpunkt og slutpunkt for a p• l,

s• f•r vi startpunkt og slutpunkt for en vektor a 

b

som vi kalder projektionen af a p• b .

a
l

a
b

b
P
13d. Projektion af punkt pÅ plan
N•r vi fra et punkt P g•r vinkelret ind p• en plan ,
kommer vi til et punkt P i  som vi kalder
projektionen af P p• .
P

14. Prikprodukt

 

14a. Prikproduktet a  b af to vektorer a og b er et tal.
N•r vi kender koordinaterne, kan vi udregne prikproduktet ved hj€lp af formlerne i rammerne.
Prikproduktet kaldes ogs• skalarproduktet. ”Skalar” betyder tal.
14b.
 a1   b1 
      a1b1  a2 b2
 a2   b2 
   
 a1   b1 
   
 a2    b2   a1 b1  a2b2  a3b3
 a  b 
 3  3
14c.
15. Prikprodukt: Vinkelret?


 


15a. Symbolet a  b l€ses ” a er vinkelret p• b ” eller ” a og b er ortogonale”.
 
 
15b.
a  b netop n•r a  b  0


hvis hverken a eller b er nulvektor.
 t

  3

15c. Opgave a    og b    . Bestem t s• a og b er ortogonale.
1
 2
Svar 1 Uden hjÄlpemidler, se 14b og 15b.
Svar 2 Se 15b.
  3   t 
a   b  .
1
 2
I rummet er udregningerne de samme
bortset fra at der er tre koordinater.
 3
t 
  og   er ikke nulvektor s• de er
1
 
 2
ortogonale netop n•r deres prikprodukt er 0.
Her stÇr hvad Nspire
gÉr i solve-linjen. Det
er ikke nok at skrive
solve-linjen.
 3  t 
   = 0
1  2
3t + 12 = 0
3t = –2
t = – 23


a og b er ortogonale n•r t   23 .
Kontrol pÅ kvadreret papir
  2 
N•r t = – 23 er b   3  .
 2 
 

P• kvadreret papir tegner vi denne vektor og a .
Med vinkelm•ler m•ler vi vinklen mellem vektorerne.
2
Vi f•r at vinklen er 90, som den skulle v€re.
1
 23
3
Afsnit 15c fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
7
2015 Karsten Juul
Tankegang bag spÇrgsmÅlet

P• figuren er den punkterede linje vinkelret p• a .

Vi ser at n•r t stiger fra –2 til 2, s• drejer b 's retning.
 
Det ser ud til at a  b for en v€rdi af t som ligger
mellem –1 og 0 .

a
16. Prikprodukt: Vinkel mellem vektorer
16a. N•r vi afs€tter to vektorer ud fra samme punkt, danner de to vinkler. Den af vinklerne der er mindre end
eller lig 180, kalder vi vinklen mellem vektorerne.


16b. N•r v er vinklen mellem a og b , er
 
a b
cos(v)    .
a b

b
v

a
16c. N•r –1  p  1 har ligningen cos(v) = p netop ‡n lƒsning i intervallet 0 v 180.
I Nspire mÇ cos–1 ikke skrives
Denne lƒsning betegnes cos–1(p) .
som en potens. Tegnet –1 skal
  1

 8

vÄlges pÇ tegnpaletten.
16d. Opgave a    og b    . Bestem vinklen mellem a og b .
2
3
 
 
Svar 1 Se 16b, 16c, 14b, 7b.

  8    1

I rummet er udregningerne de samme
a    b    Vinkel mellem a og b er
bortset fra at der er tre koordinater.
 2
3


8(1)  23
1 a  b
1
cos (   )  cos ( 2 2
)  94,3987  94,4
8  2  (1) 2 32
ab
Svar 2 Se 16b og 16c.
Svar 3 Se 16b og 16c.
Kontrol ved elektronisk aflÄsning pÅ figur
  1
 8
Vi tegner a    og b    .
 2
3
Ved elektronisk m•ling af vinklen mellem disse
f•r vi 94,3987.
Det er samme resultat som vi fik ved udregning.
17. Prikprodukt: Projektion af vektor


17a. Projektionen af a p• b er
 

a b 
a  2b .
b
b


17b. L€ngden af projektionen af a p• b er
 
a b

a   .
b
b
Afsnit 17 fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
8
2015 Karsten Juul
17c. Symbolet x l€ses ”den numeriske v€rdi af x” n•r x er et tal.
Der g€lder 0  0 ,  4  4 , 4  4 ,



b er lÄngden af b fordi b er en vektor.
17d. Opgave
0,5  0,5 , 0,5  0,5 , osv.
 
 
 
a  b er den numeriske vÄrdi af a  b fordi a  b er et tal.
  3

  3 

a    og b    . Bestem projektionen af a p• b .
2
1
I rummet er udregningerne de samme
bortset fra at der er tre koordinater.
Svar 1 Se 17a, 14b, 7b, 10b.
 
  3    3 

a b 
33 21  3 
 3
  2,1
a   b  
a  2 b 
  0,7    
 .
2
2  
b
3  1  1
2
1
1
  0,7 
b
Svar 2 Se 17a.
Svar 3 Se 17a.
Kontrol ved elektronisk aflÄsning pÅ figur
Elektronisk konstruktion af


vektor a og b ud fra O(0,0)

linje l gennem b 's start- og slutpunkt

linje m som er vinkelret p• l og g•r gennem a 's slutpunkt
sk€ringspunkt mellem l og m
vektor fra O til sk€ringspunkt


Denne vektor er projektionen af a p• b .
Dens koordinater er lig endepunkts koordinater da startpunkt er O
Vi afl€ser elektronisk slutpunkts koordinater. Det er (-2,1 , -0,7), samme resultat som ved udregning.
 2

  0

a    og b    . Bestem l€ngden af projektionen a p• b .
 5
 1
I rummet er udregningerne de samme
Svar 1 Se 17b,14b, 7b, 17c.
 
bortset fra at der er tre koordinater.
a b
02  5(1)
5
  0   2 

a   b  
a   

 5.
b
22  (1)2
5
 5
 1
b
17e. Opgave
Svar 2 Se 17b.
Svar 3 Se 17b.
18. Determinant
Kun plangeometri.

 

18a. Determinanten det(a , b ) af to vektorer a p• b er et tal.
N•r vi kender koordinaterne, kan vi udregne determinanten ved hj€lp af formlen i rammen.
To vektorer i rummet har ikke en determinant.
18b.
 a   b1 
det(  1  ,   )  a1b2  a2 b1
 a2   b2 
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
Afsnit 18 fortsÄtter pÇ nÄste side!
9
2015 Karsten Juul
  1
 8
 
a    og b    . Bestem det(a , b ) .
 2
3
Svar 1 Uden hjÄlpemidler, se 18b.
Svar 2
  8    1
a   b  
 2
3


det(a , b )  8  3  2  (1)  26
18c. Opgave
Svar 3
19. Determinant: Parallel?
Kun plangeometri. I rummet kan bruges krydsprodukt.




19a. Symbolet a || b l€ses ” a og b er parallelle”.
 
 
19b.
a || b netop n•r det(a , b )  0


hvis hverken a eller b er nulvektor.
 4

  3 

19c. Opgave a    og b    . Bestem t s• a og b er parallelle.
1
 2t 
Svar 1 Uden hjÄlpemidler, se 19b, 18b. Svar 2 Se 19b.
  3    4 
a   b  
1
 2t 


a og b er ikke nulvektor,
s• de er parallel netop n•r
 
det(a , b )  0
Her stÇr hvad Nspire
gÉr i solve-linjen. Det
er ikke nok at skrive
solve-linjen.
(3)  2t  1 4  0
–6t –4 = 0
–6t = 4
6t  4
6 6
t 2
3
Tankegang bag spÇrgsmÅlet

P• figuren er den punkterede linje parallel med a .

Vi ser at n•r t stiger fra –2 til 1 , s• drejer b 's
 
retning. Det ser ud til at a || b for en v€rdi af t

b n•r t  1

b n•r t  0

a
som ligger mellem –1 og 0 .

b n•r t  1

b n•r t  2
20. Determinant: Areal
20a.
Kun plangeometri. I rummet kan bruges krydsprodukt.


Arealet A af det parallelogram der udsp€ndes af a og b er
 
A  det(a , b ) .
Se figur.

b
A

a
Afsnit 20 fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
10
2015 Karsten Juul
 8

  1

20b. Opgave a    og b    . Bestem areal af parallelogram udsp€ndt af a og b .
3
 2
Svar 1 Uden hjÄlpemidler. Se 20a, 18b, 17c.
Svar 2 Se 20a.
  1   8 
a   b  
3
 2


Areal af parallelogram udsp€ndt af a og b er
 
det(a , b )  (1)  2  3 8  26  26
B
20c. Eksempel
Arealet T af trekant ABC er
T  1 det( AB, AC ) .
2
T
R
Q
A
C
20d. Eksempel
En ”sk€v” firkant PQRS deler vi op i to trekanter for at finde arealet.
P
S
21. Krydsprodukt
Kun rumgeometri.

 

21a. Krydsproduktet a  b af to vektorer a og b er en vektor.
N•r vi kender koordinaterne, kan vi udregne krydsproduktet ved hj€lp af formlen i rammen.
Krydsproduktet kaldes ogs• vektorproduktet.
21b.
 a1   b1   a2b3  a3b 2 
    

 a2    b2    a3b1  a1b3 
 a   b   a b  a b 
 3  3  1 2 2 1
Vi skal vide at denne formel findes.
Vi skal ikke huske formlen.
Vi vil altid bruge Nspire til at udregne krydsprodukt.
21c. Eksempel
 2   3   34 
    

 1   6     23 
5  4  9 
    

22. Krydsprodukt: Parallel?
22a.
 
a || b netop n•r

hvis hverken a eller
Dette er udregnet p• Nspire ved at taste
crossP({2,-1,5},{-3,6,4})
eller
  2    3 
   
crossP   1,  6  
 5   4 
   
Kun rumgeometri. I planen kan bruges determinant.
  
a b  o

b er nulvektor.
22b. Eksempel
 23 
  92 
  
a   19  og b   76 
 16 
 64 
 
 
P• Nspire udregner vi
0
   
a b   0 .
0
 




Da a  b er nulvektor, er a og b parallelle.
23. Krydsprodukt: Areal
Kun rumgeometri. I planen kan bruges determinant.


Arealet A af det parallelogram der udsp€ndes af a og b er
 
23a.
A  a b .
Afsnit 23 fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
11
2015 Karsten Juul
z
23b. Eksempel
 2
  2 
  
a   0  og b   1  .
1
 0
 
 
 
a b
 1
 
 
P• Nspire udregner vi a  b   2  .
2
 
1
Arealet A af det parallelogram der


udsp€ndes af a og b er
 
A  a  b  (1)2  22  22  3 .

a

b
1
1
y
x
B
23c. Eksempel
Arealet T af trekant ABC er
T  1 AB  AC .
A
2
T
R
Q
C
23d. Eksempel: En ”sk€v” firkant PQRS
deler vi op i to trekanter for at finde arealet.
P
z
S
23e. Opgave
B
C
Figur viser klods i koordinatsystem med enhed dm.
Gƒr rede for at at ABCD er et parallelogram,
og bestem areal af ABCD.
Svar 1 Se 3h, 4d, 23a.
A(2,0,0) B(1,1,2) C(1,4,2) D(2,3,0)
 1  2   1
 1  2   1

  

  
AB   1  0    1  DC   4  3    1 
 2  0  2 
 2  0  2 

  

  
A
x
Svar 2 Se 3h, 4d, 23a.
A( 2,0,0)
B (1,1,2)
C (1,4,2)
D (2,3,0)
y
D
Da AB  DC er ABCD et parallelogram.
 2  2  0

  
AD   3  0    3 
 0  0 0

  
Areal af ABCD er
 1  0 
   
AB  AD   1    3   6,7082
 2  0
   
udregnet af
Nspire
Areal af ABCD er 6,71 dm 2
24. Krydsprodukt: Vinkelret vektor
Kun rumgeometri. I planen kan bruges tv€rvektor.
24a. Krydsproduktet af to vektorer er en vektor der er vinkelret p• begge vektorer:
  
  
a  b  a og a  b  b
24b. HÇjrehÅndsreglen:

 

Grib om a  b med hƒjre h•nd s• fingrene peger fra a til b .
 
S• vil a  b pege i tommelfingerens retning.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
12
2015 Karsten Juul
KOORDINATGEOMETRI
25. Parameterfremstilling for linje
25a.
r1 
r 
 2
 r1
t 
 r2
( x0, y0)
l
25b.
(x, y)
 r1
r 
 r2
 3
l
(x, y, z )
 r1 
 
N•r ( x 0, y 0, z 0) er et punkt p• l og  r2 
r 
 3
er parallel med l, s• er fƒlgende
en parameterfremstilling for l:
er parallel med l, s• er fƒlgende
en parameterfremstilling for l:
 x   x0   r1 
      t 
 y   y0   r 2 
25d.
25e. N•r 25c er en parameterfremstilling for l,
s• g€lder:
 x   x0   r1 
     
 y    y0   t  r2 
 z  z  r 
   0  3
25f. N•r 25d er en parameterfremstilling
for l, s• g€lder:
( x 0, y 0) er et punkt p• l.
( x 0, y 0, z 0) er et punkt p• l.
 r1 
  er parallel med l.
 r2 
 r1 
 
 r2  er parallel med l.
r 
 3
25c er erstattet med
25g. Antag at x0, y0, r1 og r2 i 22c
bestemte
tal. S•
g€lder:tal. S• g€lder:
erstattet med
bestemte
25i.
t
( x0, y0, z0 )
r 
N•r ( x 0, y 0) er et punkt p• l og  1 
 r2 
25c.
 r1
r 
 r2
 3
25h. Antag at x0, y0, z0, r1, r2 og r3 i 25d er
erstattet med bestemte tal. S• g€lder:
Hvis vi inds€tter et tal for t og udregner
hƒjresiden, s• f•r vi koordinaterne til et
punkt der ligger p• linjen.
Hvis vi inds€tter et tal for t og udregner
hƒjresiden, s• f•r vi koordinaterne til et
punkt der ligger p• linjen.
Hvis koordinaterne til et punkt ikke kan f•s
p• denne m•de, s• ligger punktet ikke p•
linjen
linjen.
Hvis koordinaterne til et punkt ikke kan f•s
p• denne m•de, s• ligger punktet ikke p•
linjen.
En vektor der er parallel med l, kaldes en retningsvektor for l.
25j. N•r A og B er to forskellige punkter p• l, s• er AB parallel med l.
A
B
l
25k. N•r A er et punkt p• l og AB er parallel med l, s• er B et punkt p• l.
25l. Opgavetype: Bestem parameterfremstilling for linje.
Metode:
Hvis der ikke er oplyst koordinater til et punkt p• linjen,
s• find koordinater til et punkt p• linjen.
Hvis der ikke er oplyst koordinater til en vektor der er parallel med linjen,
s• find koordinater til en vektor der er parallel med linjen.
Inds€t koordinater fra punkt og vektor i 25c eller 25d.
25m. Eksempel
En linje l g•r gennem punkterne A(15 , 20 , 20) og B (25 , 27, 24) .
For at bestemme en parameterfremstilling for l bruger vi 25j , 4d og 25d.
Da A og B ligger p• l, er AB parallel med l.
 2515  10 

  
AB   27  20    7  s• l har parameterfremstillingen
 24 20   4 

  
 x   15  10 
     
 y    20   t  7  .
 z   20   4 
     
Afsnit 25 fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
13
2015 Karsten Juul
25n. Eksempel
Linjen p• figuren har parameterfremstillingen
 x  7
 2 
      t   .
 y   4
3
N•r t = –1 er
x = 7 + (–1)(–2) = 9
y = 4 + (–1) 3 = 1
N•r t = 2 er
x = 7 + 2(–2) = 3
y = 4 + 2 3 = 10
N•r t = 2,5 er
x = 7 + 2,5(–2) = 2
y = 4 + 2,5 3 = 11,5
 x  7
 2 
25o. Opgave l :       t    . Ligger punktet (–13 , 33) p• l ?
 y   4
3
Svar Uden hjÄlpemidler. Se 25g og 25n.
(–13 , 33) ligger kun p• l hvis der er et tal t s•
7 + t(–2) = –13
4 + t 3 = 33
Af fƒrste ligning f•r vi t = –10 .
N•r t = –10 giver den anden lignings venstreside 34 . Da den ikke giver 33:
(–13 , 33) ligger ikke p• l .
26. Ligning for linje
Kun plangeometri.
a
26a. N•r ( x0, y0 ) er et punkt p• l og   er vinkelret p• l,
a
b
b
 
s• kan vi bestemme en ligning for l ved fƒrst at s€tte
ind i formlen
( x0, y0 )
a ( x  x0 )  b ( y  y 0 )  0
og derefter gange ind i parenteserne og tr€kke sammen s• vi f•r en ligning af typen
ax  by  c  0 .
l
a
26b. N•r ax  by  c  0 er en ligning for l, s• er vektoren   vinkelret p• l.
b
26c. N•r vi kender tallene a, b og c i en ligning ax  by  c  0 for en linje l,
s• kan vi undersƒge om et punkt ligger p• l ved at s€tte punktets koordinater ind for x og y i ligningen.
Hvis ligningen bliver sand, s• ligger punktet p• l.
Hvis ligningen bliver falsk, s• ligger punktet ikke p• l.
26d. En vektor der er vinkelret p• l kaldes en normalvektor for l.
26e. Opgave l : 3x + by – 4 = 0 . Punktet (1 , 2) ligger p• l . Bestem b .
Svar Uden hjÄlpemidler. Se 26c.
Da (1 , 2) ligger p• linjen l med ligningen 3x + by – 4 = 0 , bliver ligningen sand n•r vi inds€tter punktet.
31 + b2– 4 = 0
2b = 1
b  12
Afsnit 26 fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
14
2015 Karsten Juul
26f. Opgave
En linje l g•r gennem punkterne A(2 , 7) og B (3 , 1)
Bestem ligning for l p• formen ax + by + c = 0 .
Svar Uden hjÄlpemidler. Se 25j , 9a , 9d og 26a .
3  2   5 
Da A(2 , 7) og B (3 , 1) ligger p• l , er l parallel med AB  
 
 1  7   6 
  (6)   6 
S• er l vinkelret p• AB  
 
 5   5  a
  6
Da ( x0, y0 )  (2 , 7) er et punkt p• l , og      er vinkelret p• l, har l ligningen
 b   5 
a ( x  x0 )  b ( y  y 0 )  0
6( x  2)  (5)( y  7)  0
6 x  5 y  23  0
27. Ligning for plan
Kun rumgeometri.
a 
27a. N•r ( x0, y0 , z0 ) er et punkt i en plan  , og  b  er vinkelret p• ,
c 
s• kan vi bestemme en ligning for  ved fƒrst at s€tte
ind i formlen
a ( x  x0 )  b ( y  y 0 )  c ( z  z 0 )  0

og derefter gange ind i parenteserne og tr€kke sammen
s• vi f•r en ligning af typen
ax  by  cz  d  0 .
a
b
c 
(x0, y0, z0 )
a
27b. N•r ax  by  cz  d  0 er en ligning for , s• er vektoren  b  vinkelret p• .
c 
27c. N•r vi kender tallene a, b, c og d i en ligning ax  by  cz  d  0 for en plan ,
s• kan vi undersƒge om et punkt ligger i  ved at s€tte punktets koordinater ind for x, y og z i ligningen:
Hvis ligningen bliver sand, s• ligger punktet i .
Hvis ligningen bliver falsk, s• ligger punktet ikke i .
27d. N•r A og B er to forskellige punkter i , s• er AB parallel med .
27e. En vektor der er vinkelret p• , kaldes en normalvektor for .


 
27f. N•r a og b er parallelle med , s• er a  b vinkelret p• 


 
hvis a og b ikke er parallelle, dvs. hvis a  b ikke er nulvektor.
27g. Opgave A(0 , 3 , 4) , B (2 ,  2 , 1) og C (1, 4 , 3) ligger i plan . Bestem ligning for  .
Svar Se 4d, 27d, 27f, 27a.
Da A(0 , 3 , 4) , B (2 ,  2 , 1) og C (1, 4 , 3) ligger i , er fƒlgende to vektorer parallelle med  :
 2 0   2 

  
AB   2  3    5 
 1  4   3 

  
8
 
AB  AC   5 
 3 
 
og
1  0   1

  
AC   4  3    1  .
 3  4   1

  
Udregnet af Nspire
Denne vektor er vinkelret p•  da den ikke er nulvektor og AB og AC er parallelle med  .
a  8 
   
Da ( x0, y0, z0 )  (0 , 3 , 4) er et punkt i  , og  b    5  er vinkelret p• , har  ligningen
 c   3 
   
a ( x  x0 )  b ( y  y 0 )  c ( z  z 0 )  0
8( x  0)  5( y  3)  (3)( z  4)  0
8 x  5 y  3z  3  0
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
15
2015 Karsten Juul
28. Ligning for cirkel
28a.
Kun plangeometri.
( x  x0) 2  ( y  y0)2  r 2 .
er ligning for en cirkel med centrum C ( x0 , y0 ) og radius r .
28b. N•r P er et punkt p• en cirkel med centrum C, er cirklens radius r  CP . Se 7e.
28c. Eksempel
En cirkel har ligningen
( x  1)2  ( y  5)2  9 .
Vi omskriver til formen 28a : ( x  1) 2  ( y  (5))2  32 .
Heraf ser vi at centrum er (1, 5) og radius er 3 .
28d. Metode: N•r vi kender en ligning for en cirkel, s• kan vi undersƒge om et punkt ligger p• cirklen ved at
s€tte punktets koordinater ind for x og y i ligningen.
- Hvis ligningen bliver sand, s• ligger punktet p• cirklen.
- Hvis ligningen bliver falsk, s• ligger punktet ikke p• cirklen.
28e. Opgave En cirkel har ligningen x 2  2 x  y 2  10 y  17  0 . Bestem centrum og radius.
Svar Uden hjÄlpemidler.
x 2  2 x  y 2  10 y  17  0
Se i 28f-1 hvordan du kommer frem til nÄste linje.
x 2  1  2 x  y 2  25  10 y  1  25  17 Se i 28f-2 hvordan du kommer frem til nÄste linje.
( x  1)2  ( y  5)2  9
Heraf ser vi at centrum er (1, 5) og radius er 9  3 . Se 28a og 28c.
28f. Forklaring til 28e
28f-1 Koefficienten til x er –2. Halvdelen er –1, og –1 i anden er 1. Vi l€gger 1 til begge sider.
Koefficienten til y er 10. Halvdelen er 5, og 5 i anden er 25. Vi l€gger 25 til begge sider.
Konstantleddet er 17. Vi tr€kker 17 fra begge sider.
28f-2 Koefficienten til x er –2. Halvdelen er –1. Derfor skal der st• –1 i fƒrste parentes.
Koefficienten til y er 10. Halvdelen er 5. Derfor skal der st• +5 i anden parentes.
BemÄrk: Ifƒlge kvadrats€tninger er ( x  1) 2  x 2  1  2 x og ( y  5) 2  y 2  25  10 y .
BemÄrk: Inds€ttes xo=1, yo= –5 og r =3 i ( x  x0) 2  ( y  y0)2  r 2 , s• f•r vi ( x  1)2  ( y  5)2  9 .
28f-3 Hvis x-led eller y-led mangler, ser omskrivningen lidt anderledes ud:
x 2  y 2  10 y  17  0
x 2  y 2  25  10 y  25  17
( x  0)2  ( y  5)2  8
Centrum er (0 , 5) og radius er
8.
29. Ligning for kugle
29a.
Kun rumgeometri.
( x  x0)2  ( y  y0)2  ( z  z0)2  r 2 .
er ligning for en kugle med centrum C ( x0 , y0 , z0 ) og radius r .
29b. Regel: N•r P er et punkt p• en kugle med centrum C, er kuglens radius r  CP .
29c. Eksempel
En kugle har ligningen
Vi omskriver til formen 29a:
Se 7c og 7e.
( x  1)2  y 2  ( z  5)2  8 .
( x  1)2  ( y  0) 2  ( y  (5))2 
Heraf ser vi at centrum er (1, 0 , 5) og radius er
82 .
8.
29d. Metode: N•r vi kender en ligning ( x  x0)2  ( y  y0)2  ( z  z0)2  r 2 for en kugle, s• kan vi
undersƒge om et punkt ligger p• kuglen ved at s€tte punktets koordinater ind for x, y og z i ligningen.
- Hvis ligningen bliver sand, s• ligger punktet p• kuglen.
- Hvis ligningen bliver falsk, s• ligger punktet ikke p• kuglen.
29e. Opgave En kugle har ligningen x 2  2 x  y 2  z 2  10 z  18  0 . Bestem centrum og radius.
Svar Se forklaring i 28e-28f .
x 2  2 x  y 2  z 2  10 z  18  0
x 2  1  2 x  y 2  z 2  25  10 z  1  25  18
( x  1) 2  y 2  ( z  5)2  8
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
Heraf ser vi at centrum er (1, 0 , 5) og radius er
16
8.
2015 Karsten Juul
30. Afstand fra punkt til linje
Kun plangeometri.
P
30a. Afstanden d fra et punkt P ( x1, y1) til en linje l : ax  by  c  0 er
d 
a x1  b y1  c
l
d
.
a 2  b2
30b. Opgave Bestem afstand fra P (1, 2) til linjen l : 4 x  3 y  3  0 .
Svar Afstanden fra P ( x1, y1) = P (2 , 1) til
linjen l : ax  by  c  0 med a = 4, b = –3, c = 3 er
a x1  b y1  c
a 2  b2
=
42  31  3
42  (3)2
31. Afstand fra punkt til plan
8
 1,6 .
5

Kun rumgeometri.
P
h
31a. Afstanden h fra et punkt P ( x1, y1, z1) til en
plan  : ax  by  cz  d  0 er
h 
a x1  b y1  c z1  d
a 2  b2  c 2
.
Se 30b.

32. Vinkel mellem linjer




32a. Metode: Hvis vi kender retningsvektorer rl og rm for linjer l og m, s• find vinklen v mellem rl og rm .
S• vil v og 180v v€re de to vinkler som l og m danner. Se 16b og 16d.
m
u  180  v

rm
v
u
l

rl


32b. Metode: Hvis vi kender normalvektorer n1 og n 2 for to linjer l1 og l2 i planen, s• find vinklen v


mellem n1 og n 2 . S• vil v og 180v v€re de to vinkler som l1 og l2 danner. Se 16b og 16d.


32c. Metode: Hvis vi for to linjer l1 og l2 i planen kender en retningsvektor r1 og en normalvektor n 2 , s•


find vinklen v mellem r̂1 og n 2 . S• vil v og 180v v€re de to vinkler som l1 og l2 danner. Se 9d og
16b og 16d.
 x
 6
2
 x
8
 1
 
 
 
 
 
 
32d. Opgave To linjer l og m er givet ved l :  y    4   t    1 og m :  y    3   s   3  .
z
 5
0
z
 5
 3
 
 
 
 
 
 
Bestem den spidse vinkel mellem l ogm.
Svar 1 Se 32 a.
 x
 6
2
 x
8
 1
2
1
  

 
 
 
 
 
 
 
l :  y    4   t    1
m :  y    3  s   3
rl =   1
rm =  3 
z
 5
0
z
 5
 3
0
 3
 
 
 
 
 
 
 
 


Af parameterfremstillingerne ser vi at rl er parallel l og at rm er parallel med m ,
s• vinklen v mellem disse vektorer er en af de to vinkler mellem l og m :
 
2 1  (1)  3  0  3
1 rl  rm
v = cos (   ) = cos 1 (
) = 95,8888  95,9
2
rl  rm
2  (1) 2  02  12  32  32
Da v > 90 g€lder: Den spidse vinkel mellem l og m er 180–95,9 = 84,1 .
Afsnit 32d fortsÄtter pÇ nÄste side!
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
17
2015 Karsten Juul
Svar 2
33. Vinkel mellem planer
Kun rumgeometri.


33a. Find vinklen v mellem normalvektorer n1 og n 2 til to planer 1 og  2 .
S• vil v og 180v v€re de to vinkler som 1 og  2 danner. Se 16b og 16d.
34. Vinkel mellem sideflader
Kun rumgeometri.
34a. Figuren viser vinklen v mellem to flader.
N•r vi skal finde v, finder vi vinkler mellem de
to planer der indeholder fladerne.
Der er to vinkler v og u mellem disse planer.
Hvis det ikke er oplyst om vinklen mellem fladerne
er den spidse eller stumpe af vinklerne mellem
planerne, s• m• vi bruge 34b.
u
v
De to planer der indeholder
de to flader.
To flader

34b. Til den ene sideflade skal vi finde en normalvektor n1
der peger ind i vinklen. (Brug hƒjreh•ndsreglen 24b)

Til den anden sideflade skal vi finde en normalvektor n 2
der peger ud af vinklen. (Brug hƒjreh•ndsreglen 24b)


Vinklen v mellem n1 og n 2 er vinklen mellem sidefladerne.
34c. Hvis begge vektorer peger ind i vinklen, eller begge peger ud,
finder vi vinklen u (p• figur ovenfor) som ikke dannes af sidefladerne.
De to planer der indeholder sidefladerne, danner vinklerne u og v.

n2

n1
z
34d. Opgave Fladen BCD er indeholdt i planen med ligningen y + 2z – 2 = 0 .
Bestem den stumpe vinkel mellem fladerne ABC og BCD .
B
Svar
A(3,–1,0)
B(0,0,1)
C(3,2,0)
D
y
A
x
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
v
18
C
2015 Karsten Juul
35. Vinkel mellem linje og plan
Kun rumgeometri.


35a. Fƒrst: Find vinklen v mellem en normalvektor n til planen og en retningsvektor r til linjen.
Hvis v er mindre end 90:
Hvis v er stƒrre end 90:
S•:
Fra 90 tr€kkes v for at f• vinkel mellem linje og plan.
Fra v tr€kkes 90 for at f• vinkel mellem linje og plan.
Se 16b og 16d.
Grƒn streg er plan set fra siden.
Bl• streg er linje.

r
v

r

n
?
?
v

n
36. VilkÅrligt punkt pÅ linje
36a. Vi omskriver parameterfremstillingen for en linje l:
 x
5  2 
 5   2t 
 5 2t 
    t       

y
3

1
3

t
 
   
   
 3t 
Et vilk•rligt punkt p• l er ( x, y )  (5 2t , 3t )
I rummet er udregningen den samme
bortset fra at der er tre koordinater.
37. SkÄring mellem to linjer l og m
37a. BÅde l og m er givet ved parameterfremstilling
Fƒrst finder vi et vilk•rligt punt p• hver linje:
l: ( x, y )  (2s , 53s ) og m: ( x, y )  (2 2t ,  2 t )
I 36a stÇr hvordan vi gÉr.
Parametrene s og t i de to punkter
mÇ ikke vÄre samme bogstav.
Vi skal bestemme s og t s• de to punkter har ens x-koordinater og ens y-koordinater:
2 s  2  2t
5  3s   2  t
Skriv at Nspire lÉser ligningssystemet
Vi lƒser dette ligningssystem mht. s og t og f•r:
med solve, eller skriv mellemregninger.
s  2 og t  1
N•r s  2 er ( x, y )  (2 s , 53s )  (22 , 532)  (4 , 1) .
I rummet er udregningerne de samme
bortset fra at der er 3 koordinater.
Sk€ringspunktet er ( x, y )  (4 , 1) .
37b. BÅde l og m er givet ved ligning Kun plangeometri.
Vi skal finde x og y s• begge ligninger er opfyldt:
l:
3x  2 y  10  0
m: x  2 y  6  0
Vi lƒser dette ligningssystem mht. x og y og f•r x  4 og y  1 . Skriv at Nspire lÉser ligningssystemet
med solve, eller skriv mellemregninger.
Sk€ringspunktet er ( x, y )  (4 , 1) .
37c. l er givet ved ligning, m ved parameterfremstilling Kun plangeometri.
Fƒrst finder vi et vilk•rligt punkt p• m : I 36a stÇr hvordan vi gÉr.
m: ( x, y )  (2 2t ,  2 t ) .
Vi inds€tter dette punkt i ligningen
l: 3x  2 y  10  0
og f•r
3( 2 2t )  2(2  t )  10  0
Skriv at Nspire lÉser ligningen med
Vi lƒser denne ligning mht. t og f•r t  1 . solve, eller skriv mellemregninger.
N•r t  1 er ( x, y )  (2 2t ,  2 t )  (2  21,  2 1)  (4 , 1) .
Sk€ringspunktet er ( x, y )  (4 , 1) .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
19
2015 Karsten Juul
38. SkÄring mellem linje og cirkel
Kun plangeometri.
38a. Linjen er givet ved parameterfremstilling
Fƒrst finder vi et vilk•rligt punkt p• linjen : I 36a stÇr hvordan vi gÉr.
( x, y )  (2 2t ,  2 t ) .
Vi inds€tter dette punkt i cirklens ligning
x2  6 x  y 2  2 y  0
og f•r
(2 2t )2  6(2  2t )  (2t ) 2  2(2t )  0
Skriv at Nspire lÉser ligningen med
Vi lƒser denne ligning mht. t og f•r t 0 eller t  2 . solve, eller skriv mellemregninger.
N•r t 0 er ( x, y )  (2  2t ,  2t )  (2 20 ,  2  0)  ( 2 ,  2)
N•r t  2 er ( x, y )  (2  2t ,  2t )  (2 22 ,  2 2)  (6 , 0)
Sk€ringspunkterne er (2 ,  2) og (6 , 0) .
38b. Linjen er givet ved ligning
Linjen og cirklen er givet ved ligningerne
x  2y  6  0
x2  6 x  y 2  2 y  0
Skriv at Nspire lÉser ligningssystemet
med solve, eller skriv mellemregninger.
Vi lƒser dette ligningssystem mht. x og y og f•r
x  2 og y   2
eller
x 6 og y 0
Sk€ringspunktet er ( x, y )  (2 ,  2) og ( x, y )  (6 , 0) .
39. SkÄring mellem linje og kugle
Kun rumgeometri.
39a. Metode: Vi inds€tter et vilk•rligt punkt fra linjen i kuglens ligning, osv. Se 36a og 38a.
40. SkÄring mellem linje og plan
Kun rumgeometri.
40a. Metode: Vi inds€tter et vilk•rligt punkt fra linjen i planens ligning, osv. Se 36a og 37c.
40b. Opgave Plan  og ligning l er givet ved:  : 3x  z  9  0
Bestem sk€ringspunkt mellem l og  .
Svar
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
20
 x  8
 9 
   
 
l :  y    4  t    5
 z  0
 12 
   
 
2015 Karsten Juul
41. Projektion af punkt pÅ linje
Kun plangeometri.
41a. Vi vil finde projektionen Q af punktet P (2 , 1) p• linjen l: 2 x  3 y  20  0 .
Q er sk€ringspunktet mellem l og linjen m der g•r gennem P og er vinkelret p• l.
 2
Af ligningen for l ser vi at vektoren   er vinkelret p• l, s• m har parameterfremstillingen
 3
 x   2  2
m:     t  .
 y  1  3
Herefter kan vi bruge metoden fra 37c til finde Q.
41b. Opgave
En linje l g•r gennem punkterne A(0 , 11) og B(9 , –4) .
Bestem projektionen af P(21 , 10) p• l .
Svar
Projektionen af P p• l er sk€ringspunktet mellem l og linjen m der er vinkelret p• l og g•r gennem P.
Bestemme ligning for l
 90   9 
 3 
AB  

  3 
A(0 , 11) og B(9 , –4) ligger p• en linje l .

4

11

15

 

  5
 3 
 3   5
Vektor parallel med l :   . Vektor vinkelret p• l :      .

5
 
  5  3
a
5
l g•r gennem (x1,y1) = (0,11) og er vinkelret p•      , s• l har fƒlgende ligning:
 b   3
a(x–x1) + b(y–y1) = 0
5(x–0) + 3(y–11) = 0
5x + 3y –33 = 0
Bestemme parameterfremstilling for m
 r1   5 
m g•r gennem (x0,y0) = (21,10) og er parallel med      , s• m har fƒlgende
 r2   3 
x
x
r
   0  1
 x   21  5 
parameterfremstilling:
      t   dvs.       t   .
 y   y0   r 2 
 y  10   3 
Bestemme sk€ringspunkt mellem l og m
Vilk•rligt punkt p• m som er (21+5t , 10+3t) inds€tter vi i ligning for l :
5(21+5t) + 3(10+3t) – 33 = 0
Nspire lƒser denne ligning mht. t og f•r t = –3 .
N•r t = –3 er det vilk•rlige punkt lig (21+5(–3) , 10+3(–3)) = (6 , 1)
Projektionen af P p• l er (6 , 1) .
Kontrol ved elektronisk aflÄsning pÅ figur
Elektronisk konstruktion:
Tegn punkter (0,11) og (9,-4).
Tegn linje l gennem disse.
Tegn punkt (21,10).
Tegn linje m som er vinkelret p• l og g•r gennem (21,10).
Tegn sk€ringspunkt mellem l og m.
Dette sk€ringspunkt er projektionen af P p• l .
Afl€s elektronisk koordinater til sk€ringspunkt.
Resultatet er (6,1) ligesom i udregningen af projektionen.
42. Projektion af punkt pÅ plan Kun rumgeometri.
42a. Vi vil finde projektionen Q af punktet P (6 ,  2 , 5) p• planen : 2 x  3 y  z  5  0 .
Q er sk€ringspunktet mellem  og linjen m der g•r gennem P og er vinkelret p• .
2
 
Af ligningen for  ser vi at vektoren  3  er vinkelret p• , s• m har parameterfremstillingen
1
 
 x  6   2 
     
m :  y     2   t  3 
z  5   1 
     
Herefter kan vi bruge metoden fra 40a og 40b til finde Q.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
21
2015 Karsten Juul
43. Tangent til cirkel Kun plangeometri.
43a. Sprogbrug: En tangent til en cirkel er en linje der har pr€cis
‡t punkt f€lles med cirklen. Dette punkt kaldes rƒringspunktet.
N•r man siger ”tangenten i P”, betyder det at P er rƒringspunktet.
l
43b. Regel: En tangent til en cirkel er vinkelret pÅ linjen gennem
centrum og rÇringspunkt.
P
C
43c. Regel: En linje er tangent til en cirkel netop hvis afstanden fra
centrum til linjen er lig radius.
43d. Metode: Punktet P (4 , 5) ligger p• en cirkel med centrum C (3 , 1) .
Vi vil finde en ligning for tangenten l i P.
Ifƒlge 43b er CP vinkelret p• l, s• vi kan finde ligningen for l ved at bruge 4c og 26a.
43e. Metode: Linjen l: 3x  4 y  24  0 er tangent til en cirkel med centrum C (2 , 5) .
Vi vil finde en ligning for cirklen.
Ifƒlge 43c kan vi finde radius ved at finde afstanden fra C til l (se 30).
S• kan vi bestemme cirklens ligning ved at bruge 28a.
43f. Metode: Vi vil undersƒge om linjen l: 3x  4 y  24  0 er tangent til cirlen M: ( x  2)2  ( y  5)2  81 .
Metode 1: Vi finder centrum og radius som i 28c.
S• udregner vi afstanden fra centrum til l og bruger 43c.
Metode 2: Vi finder sk€ringspunkterne mellem l og M og bruger 43a.
Sk€ringspunkterne finder vi som i 38b.
44. Tangentplan til kugle
Kun rumgeometri.
44a. Sprogbrug: En tangentplan til en kugle er en plan der har
pr€cis ‡t punkt f€lles med kuglen. Dette punkt kaldes rƒringspunktet.
N•r man siger " tangentplanen i P " , betyder det at P er rƒringspunktet.
44b. Regel: En tangentplan til en kugle er vinkelret pÅ linjen gennem
centrum og rÇringspunkt.
P
C

44c. Regel: En plan er tangentplan til en kugle netop hvis afstanden fra
centrum til planen er lig radius.
44d. Metode: Punktet P (4 , 5 , 2) ligger p• en kugle med centrum C (3 , 1, 4) .
Vi vil finde en ligning for tangentplanen  i P.
P ligger i  , og ifƒlge 44b er CP vinkelret p• , s• vi kan finde ligningen for  ved at bruge 4d og 27a.
44e. Metode: Planen : 2 x  y  2 z  24  0 er tangentplan til en kugle med centrum C (1, 0 , 5) .
 2
Vi vil finde rƒringspunktet P. Lad l v€re linjen gennem C og P . Af 27b fƒlger at  1  er vinkelret p•
2
 og derfor (ifƒlge 44b) parallel med l . Vi kan nu (se 25d) opskrive en parameterfremstilling for l og
derefter finde rƒringspunktet P som sk€ringspunkt mellem l og  (se 40).
44f. Metode: Planen : 2 x  y  2 z  24  0 er tangentplan til en kugle med centrum C (1, 0 , 5) .
Vi vil finde en ligning for kuglen. Ifƒlge 44c kan vi finde radius ved at finde afstanden fra C til 
(se 31a). S• kan vi bestemme kuglens ligning ved at bruge 29a.
44g. Metode: Vi vil undersƒge om planen : 2 x  y  2 z  24  0 er tangentplan til kuglen med centrum
C (1, 0 , 5) og radius 4. Vi udregner afstanden fra C til  (se 31a) og bruger 44c.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
22
2015 Karsten Juul
BEVISER
45. Bevis for at vi mÅ prikke ind i en parentes



u1 og u 2 er koordinater til u , og tilsvarende for v og w .
  
(u  v )  w
 u v   w 
  1 1    1   (u1 v1)  w1  (u 2  v 2)  w2  u1 w1  v1 w1  u 2  w2  v 2  w2
 u 2  v 2   w2 
   
u w  v w
u  w  v   w 
  1    1    1    1   u1 w1  u 2  w2  v1 w1  v 2  w2
 u 2   w2   v 2   w2 
  
   
De to udtryk (u  v )  w og u  w  v  w giver samme fire led, s• de er samme tal:
45a.
  
   
(u  v )  w  u  w  v  w
Vi har brugt vektorregel 11a og 14b, og talregler: gange ind i
parentes, og ved plus er rÄkkefÉlge ligegyldig.
I rummet er beviset det samme bortset fra at der er tre koordinater.
46. Bevis for formel 46a

v1 og v2 er koordinater til v .
 
(k v )  v
 kv   v 
  1    1   (k v1)  v1  ( k v 2)  v 2  k v12  k v22
 k v2   v2 
2
k v
2
 k v12  v22  k ( v12  v22 )  k v12  k v22
2
 
De to udtryk (k v )  v og k v giver samme resultat, s• de er samme tal:
 
2
Vi har brugt vektorregel 10b, 14b og 7b, og talregler: ved gange er rÄkkefÉlge
46a.
(k v )  v  k v
ligegyldig, x2=xx, kvadratrod i anden, og gange ind i parentes.
I rummet er beviset det samme bortset fra at der er tre koordinater.
47. Bevis for at vi fÅr nul nÅr vi prikker med nulvektor

v1 og v2 er koordinater til v .
47a.
 
 0  v 
o  v      1   0v1  0v 2  0 s•
 0   v2 
 
o v  0
Vi har brugt vektorregel 14b, og talregel om nul gange tal.
I rummet er beviset det samme bortset fra at der er tre koordinater.
48. Bevis for at vinkelrette vektorer har skalarprodukt nul


u1 og u 2 er koordinater til u , og tilsvarende for v .


N•r vi afs€tter u og v ud fra samme punkt,
 


Her har vi brugt 12d.
er v u vektoren fra u 's spids til v 's spids.
 
N•r u  v kan vi bruge Pythagoras s€tning p• den viste trekant:


 
u 2  v 2  v u 2
2
u12  u 22  v12  v22
2

(v1u1)2  (v 2 u 2)2
2
 
v u

u

v
Her har vi brugt 7b og 12a.
u12  u 22  v12  v22  (v1u1)2  (v 2 u 2)2
u12  u 22  v12  v22  v12  u12  2 v1u1  v22  u 22  2 v2u 2
v1u1 er x-koordinaten til
v 2 u 2 er y-koordinaten til
 
v u
 
v u
v1u1  v2 u2  0

u v  0
Her har vi brugt 14b.
Nu har vi bevist at
 

48a.
hvis u  v er u v  0
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
23
2015 Karsten Juul
49. Bevis for formlen for projektion af vektor
Se figuren til hƒjre.





c
b
Projektionen af b p• a er en vektor der er o eller

parallel med a , s• vi kan f• projektionen

frem ved at gange a med et tal:

ta


b  t a

 a
a
N•r c er vektoren p• figuren, er

 
b  t a c

I et bevis behÉver vi ikke vide hvorfor vi
Begge sider i denne ligning prikker vi med a og f•r:
 
skriver bestemte ligninger. Det er nok at vi
  
b  a  t a  c   a
kan se at ligningerne er rigtige. SÇ har vi
indset at slutresultatet er rigtigt.
Vi prikker ind i parentesen og f•r:
 
  
b  a  (t a )a  c a


Fƒrste led p• hƒjre side omskriver vi med 46a, og sidste led er 0 da c er nulvektor eller vinkelret p• a :
 
2
b a  t a

Begge sider i denne ligning dividerer vi med a 2 og f•r:
 
b a  t
2
a
Vi inds€tter dette udtryk for t i fƒlgende ligning som vi begrundede ovenfor:


ba  t a
og f•r:
49a.
 

b
a 
ba   2 a .
a
50. Bevis for parameterfremstilling for en linje
r 
l er linjen som g•r gennem ( x0 , y0 ) og er parallel med  1  .
 r2 
r1 
r 
 2
 r1

 r2
t
( x0, y0)
l
(x, y)
Et punkt ( x, y ) ligger p• l
netop n•r
vektoren fra ( x0 , y0 ) til ( x, y )
dvs.
vektoren fra ( x0 , y0 ) til ( x, y )
dvs.

r 
o eller parallel med  1  Se figur.
 r2 
r 
er lig t  1  , hvor t er et tal
 r2 
er
r 
vi f•r ( x, y ) n•r vi l€gger t  1  's koordinater til ( x0 , y0 )
 r2 
alts•
50a.
 x   x0   r1 
      t 
 y   y0   r2 
s• vi har bevist at 50a er en parameterfremstilling for
r 
linjen l som g•r gennem ( x0 , y0 ) og har retningsvektoren  1  .
 r2 
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
24
I rummet er beviset det samme bortset
fra at der er tre koordinater.
2015 Karsten Juul
51. Bevis for ligning for linje
Kun plangeometri.
a
l er linjen som g•r gennem ( x0 , y0 ) og er vinkelret p•   .
b
 x  x0 
Vektoren fra ( x0 , y0 ) til ( x, y ) er 
 . Se figur.
 y  y0 
Et punkt ( x, y ) ligger p• l
netop n•r
 x  x0 


 y  y0 
er

a
o eller vinkelret p•  
b
og dette g€lder netop n•r
a
b
 
 a   x  x0 
 
  0
 b   y  y0 
l
( x, y)
( x0, y0 )
dvs.
a ( x  x0 )  b ( y  y0 )  0
51a.
52.
 x  x0 
 y y 

0
a
Vi har nu bevist at 51a er en ligning for linjen der g•r gennem ( x0 , y0 ) og har normalvektoren   .
b
Bevis for ligning for plan Kun rumgeometri.
Beviset er magen til beviset i afsnit 51 bortset fra at der er tre koordinater og vi siger ”plan” i stedet for
”linje” .
53. Bevis for ligning for cirkel
Kun plangeometri.
M er cirklen med centrum C ( x0 , y0 ) og radius r .
Et punkt P ( x, y ) ligger p• M netop n•r
l€ngden af CP er r
dvs.
 x  x0 
l€ngden af 
 er r .
 y  y0 
Ved hj€lp af l€ngdeformlen (se 7b) kan vi skrive dette s•dan:
(x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  r
Da begge sider er 0 , kan vi oplƒfte til anden. S• f•r vi
(x  x0 )2  ( y  y0 ) 2  r 2
Dette er cirklens ligning (se 28a).
54. Bevis for ligning for kugle
Kun rumgeometri.
Beviset er magen til beviset i afsnit 53 bortset fra at der er tre koordinater og vi siger kugle i stedet for
cirkel.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
25
2015 Karsten Juul
Brug blyant og viskel€der
n•r du udfylder. Kuglepen
o.l. er FORBUDT!
‚VELSER
1.1 Évelse
(a) L€s afsnit 1.
(b) Tegn punkterne A(3,4), B(–4,1) , C(–4,–2), D(2,–3).
(c) For A er x = _____ og y = _____ .
(d) Er x – y = 1 for punktet A ? Svar: _____ .
(e) Tegn 4 punkter hvor x–y = 1 og kald dem P, Q, R og S.
(f) Tegn 4 punkter hvor x–y = 4 og kald dem H, I, J og K.
1.2 Évelse Se 1d.
(a) Angiv hvor tallet h er p• x-aksen.
( h, k )
(b) Angiv hvor tallet h er p• y-aksen.
(c) Angiv hvor tallene 2h og –h er p• x-aksen.
(d) Tegn fƒlgende punkter:
A(0 , h) , B (2k , 0) , C (2h ,  2k ) , D(h  k , 0) .
1.3 Évelse
A(5 , 11)
(a) Angiv hvor tallet 5 er p• x-aksen.
B
p
(b) Angiv hvor tallet 5+p er p• x-aksen.
q
(c) Skriv koordinater ved hj€lp af p og q:
B(
,
),
C(
,
),
D(
,
),
E(
,
).
E
C
D
z
2.1 Évelse
(a) L€s afsnit 2.
A
(b) Skriv koordinater:
B
A(
,
,
)
B(
,
,
)
C(
,
,
)
1
1
1
(c) Tegn punktet D( 3 , 1, 4) .
y
(d) Tegn punktet E( –1 , 0, 2) .
x
C
z
2.2 Évelse Se 2d.
Tegn fƒlgende punkter i koordinatsystemet:
P (2 , 3 , 0)
1
Q(2 , 3 , 1)
R (0 , 1, 3)
1
S (2 ,  2 , 3)
y
T (1,  2 ,  2)
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
1
x
26
2015 Karsten Juul
3.1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3.2
(a)
(c)
Évelse Se 3c.
Hvilke af vektorerne er ens?
Hvilke af vektorerne har samme l€ngde?
Hvilke af vektorerne har samme retning?
Hvilke af vektorerne har modsat retning?


Tegn en vektor g som er parallel med e og har


samme l€ngde som e , men ikke er samme vektor som e .
(f )
Évelse Se 3e.


Afs€t u ud fra A. (b) Afs€t u ud fra B.

N•r vi afs€tter v ud fra
, er slutpunktet C.

N•r vi afs€tter v ud fra
, er slutpunktet A.

N•r slutpunktet for v er D, er startpunktet
.

N•r vi afs€tter u ud fra P, er slutpunktet C . Tegn P .
4.1
Évelse Se 4a-4f.
(d)
(e)

b

a

d

c

f

e
B

v
A
C

u
D

a
Skriv koordinater:
P(
Q(
 
a  

 
b  

R(
P

b
z
S (

 
c 


S

d
 
d 



c
1
R
1
x
4.2
Q
1
y
z
Q
Évelse Se 3h og 4d .
Der er givet punkterne
P(30, –12, 40)
P
Q(–15, 2, 40)
R(–20, 22, 0)
R
S(30, 10, 0) .
(a)
Undersƒg om firkant PQRS er et parallelogram.
y
x
4.3
(a)
og
(b)
(c)
(d)
S
Évelse Se 4g.
  2

Koordinats€ttet a    fort€ller at a g•r
3
 
i y-aksens retning.

Afs€t a ud fra P.
 3

Koordinats€ttet b    fort€ller at b g•r
 1
og
i y-aksens retning.

Afs€t b ud fra P.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
i x-aksens retning
i x-aksens retning
27
P
2015 Karsten Juul
4.4 Évelse
  6    1 
A(4 , 1) , p    , q    .
3
 7 
(a) Tegn A .

(b) Afs€t p ud fra A , og kald slutpunktet B .

(c) Afs€t q ud fra B , og kald slutpunktet C .
(d) B = (
,

) . AC  

4.5 Évelse

m er stedvektor for A.

p er stedvektor for C.

 .


n er stedvektor for B.

q er stedvektor for D.
(a) L€s afsnit 4i.
 
(b) Tegn m , n , C og D .
  
(c) m    , A = (
,
 
  
(d) p    , C = (
,
 
B
A

p
).

q
).
5.1 Évelse
 7
P(5 , 9) , Q(–3 , 0,5) , a    .
 2
(a) L€s afsnit 5c.


(b) N•r a er afsat ud fra P, s• har a slutpunktet ( +
, +


(c) N•r a er afsat ud fra Q, s• har a slutpunktet ( +
, +


(d) N•r a er afsat ud fra R(
,
) s• har a slutpunktet (9 , 5).
) = (
) = (
5.2 Évelse Se 5c.
h
k 
 
Skriv koordinater:
P = (
,
,
,
) = (
,
).
).
Q
( 4 , 5)
)
Q = (
 -2 
 -7 
 
6.1 Évelse
A  (8 , 3) og B  ( 4 , 6)
(a) L€s 6a-6b.

(b) AA  

P
Se 4c.

(c) Hvis BC  o , er C = (
Se 5c.



(d) Hvis a er nulvektor, og startpunktet for a er (–7 , 0) , s• har a slutpunktet (
7.1 Évelse
,
).
z
(a) L€s 7c-7d.
(b) Skriv koordinater:

v
A = (
B
B = (


AB  


(c)

u
1
1

u 
x
1
A
y

(d) Udregn l€ngden af v .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
28
2015 Karsten Juul
7.2 Évelse Se 7b.
  2t 

N•r a    , er a
1

t
 
2

7.3 Évelse
L€s afsnit 7e. Bestem afstanden mellem punkterne P(2 , 1) og Q(10 , –5) .
8.1
Évelse Se 8b.
  k 3 
 
N•r u  
 , er u  
9



8.2
Évelse Se 8d.

Afs€t den modsatte vektor til c ud fra P.
9.1
(a)
9.2
Évelse Se 9d.
   12 

N•r a  
 , er â 
5


b)
(c)
9.3
Évelse Se 9a, 4c, 9d og 5c.
(a)
Figuren viser to ens kvadrater.
A(15 , 0) , B (0, 7) .
(b)

c
  k 3 
̂
N•r b  
 , er b 
 k 1 
Évelse Se 9a og 8d.

Afs€t tv€rvektoren til v ud fra A.

Afs€t den modsatte vektor til v ud fra A.

Afs€t v̂ ud fra A.
(a)
P

v
A
C
Skriv sand eller falsk ved hver ligning:
D
B
AB  AC ,
BA  AC ,
(b)
Udregn koordinats€ttet til C.
(c)
Udregn koordinats€ttet til D.
AB  CD ,
BA  CD .
A
10.1 Évelse Se 10b.
(a)
  3 


N•r a    , er 6a  
1
 

  
  
  
10.2 Évelse Se 10d.


(a) Tegn 3v .
(b) Tegn 0,5v .
(b)
  2 

N•r a    , er 4a 
1

t
 

(c) Tegn  4v .

v
11.1 Évelse Se 11a og 10b.
  3    5 
  t 
a    , b    og c    .
1
 2
 4 
(a)
 

ab  

(b)


3b  

(c)


a  3b 
  
   
  
  
  
  
(d)
 

2a  b  

(e)
 
ta  b 
(f)


a  2c 
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
29
       
       
       
  
   
  
2015 Karsten Juul

c
11.2 Évelse Se 11c og 11d.
 
(a) Tegn vektoren a b .
 
(b) Tegn vektoren b  c .
 
(c) Tegn vektoren b  d .
11.3 Évelse Se 11c og 5c.
  3    2
a    , b    og
 5 
 3
(a) Udregn koordinats€ttet til
(b) Udregn koordinats€ttet til

b

d

a
P

c
P  (1, 2) .

c.
Q.
Q

a

b
12.1 Évelse Se 12a og 10b.
  2    4 
  3 
a    , b    og c  
 .
7
3
 
 
 k 2
 



  
(a)
a b  
(b)
a  5c 
   

  
12.2 Évelse Se 12c og 12d.
 
(a) Tegn vektoren a b .
 
(b) Tegn vektoren b c .
 
(c) Tegn vektoren b  d .

c

b

d

a
12.3 Évelse Se 11d, 12d og 7b.
  4 
  1
a    og b    .
8
 4




Vi afs€tter a og b ud fra et punkt P . Vektorerne a og b udsp€nder et parallelogram.
(a) Bestem l€ngden af den af parallelogrammets diagonaler der udg•r fra P .
(b) Bestem l€ngden af den anden diagonal.
12.4 Évelse Se 12d .
 2 
 4 
AB    og AC    . BC 

5
 
 4 
P
13.1
(a)
(b)
(c)
Évelse Se 13b.
Tegn den linje n som g•r gennem P og er vinkelret p• l.
Tegn det punkt Pl som er projektionen af P p• l.
Tegn det punkt Pm som er projektionen af P p• m.
13.2 Évelse Se 13b og 13c.

(a) Tegn en linje l som er parallel med b .

(b) Tegn a 's startpunkt, og tegn det punkt som er
projektionen af dette punkt p• l.

(c) Tegn projektionen af a 's slutpunkt p• l.


(d) Tegn den vektor som er projektionen af a p• b .


(e) Tegn projektionen af b p• a .

b
l
m

a
P
l
13.3 Évelse Se 13b og 13c.
(a)
(b)
Tegn projektionen af P p• l

n

Tegn projektionen af P0 P p• n .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
30
P0
2015 Karsten Juul
14.1 Évelse Se 14a, 14b og 14c.
(a)
(b)
  2   3
 6
a    , b    og c    .
1
4
 
 
 4
Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende 5 p•stande:





(1) Prikproduktet af a og b er c .
(4) Prikproduktet af a og b er 10.

 

(2) Prikproduktet af a og b er 14.
(5) b c  34 .


 
(3) Skalarproduktet af a og b er 10.
(6) c  a  17 .
 
 
ac 

(c)
b a 

(d)
 t 2   3 

  
 2   3t 
(e)
 k   3
   
 1   8  
 5   2
   

15.1 Évelse Se 15a og 15b.
Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende 7 p•stande:

 

(1)
a b  0
(5)
a er vinkelret p• b
 
 
(2)
a c  0
(6)
a c


(3)
a og b er ortogonale
 4   3
(7)
  


(4)
a og c er ortogonale
 2   6 

a

b

c
15.2 Évelse Se 5c og 15c.
  6 
  2t 
a    og b    .
5
 4
(a)
(b)
 
  
N•r t 3 er a  
  .

  
N•r vi afs€tter vektoren fra (a) ud fra punktet
P (7 , 1) , s• bliver endepunktet
(
(c)
(d)
(e)
,
) = (
,

b
P
).
Afs€t vektoren fra (a) ud fra P .

For t 0 , for t 1 og for t  2 skal du afs€tte a ud fra P . Skriv t-v€rdierne ved de 4 vektorer.


 
a er vinkelret p• b netop n•r
a b 
N•r vi udregner venstre side, bliver denne ligning til

Vi lƒser denne ligning mht. t og f•r
t 
dvs. for denne v€rdi af t er
. Dette kan godt passe med figuren.
16.1 Évelse Se 16d.
2
  4 
  
a   3  og b   1 
1
 1
 
 

v  cos 1



. N•r v er vinklen mellem a og b , er


  cos 1 



 


C (1 , 3)
16.2 Évelse Se 4c og 16d.
Brug 16b til at udregne vinkel A i trekant ABC.
B (9 , 0 )
A( 2 , 1)
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
31
2015 Karsten Juul
17.1 Évelse Se 13c, 4g og 17d.



(a) Tegn den vektor a b som er projektionen af a p• b .
(b)
(c)
 
a 

 
b 


Udregn koordinats€ttet til a b og skriv mellemregninger:

ab 

a

b
17.2 Évelse Se 17c.
Skriv sand eller falsk ved hver af de 4 p•stande:
(1) Den numeriske v€rdi af –6 er 6 . (2) 7  7
(3) 15  15
(4) N•r x  5 , er x   x .
17.3 Évelse Se 17e, 4g og 13c.
  5 
  4
a    og b    .
 2
4

(a) Udregn l€ngden af ba , og skriv mellemregninger:

ba 




(b) Afs€t a og b ud fra P, tegn ba , og m•l l€ngden af ba .
P
18.1 Évelse Se 18a, 18b og 18c.
(a)
(b)
(d)
  2   3
 8
a    , b    og c    .
1
 4
 3 
Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende 4 p•stande:





(1) Determinanten af a og b er c .
(3) Determinanten af a og b er 11.

 

(2) Determinanten af a og b er 5.
(4)
det(b , c )   41 .
 
 
det(a , c ) 

(c)
det(b , a ) 

 t 3   2 
det( 
,  ) 
 t   1
19.1 Évelse Se 19a og 19b.
Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende 6 p•stande:
(1) det( AB, AC )  0
(2) det( AB, AD)  0
(3) det( AB, DE )  0
(4) det( AD, BE )  0
(5)
AB || AC
B
E
D
A
5 7
(6)   ||  
 2  3
C
19.2 Évelse Se 19c.
  2t 
  6
a    og b  
 .
 5
 4 t 

(a) For hver af t-v€rdierne –1, 0, 1, 2 og 3 skal du afs€tte b ud fra P.


(b)
a og b er parallelle netop n•r
 
det(a , b ) 
N•r vi udregner venstre side, bliver denne ligning til

Vi lƒser denne ligning mht. t og f•r
t
dvs. for denne v€rdi af t er

a
P
.
Vi ser at dette godt kan passe med figuren.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
32
2015 Karsten Juul
20.1 Évelse Se 17c.
Skriv sand eller falsk ved hver af de 4 p•stande:
(1) Den numeriske v€rdi af 5 er –5 . (2) 33  33 (3) 2  2 (4) N•r x  2 , er x   x .
20.2 Évelse Se 20a, 20c og 18b.
Skriv sand eller falsk ved hver af de 3 p•stande:


 
(1) N•r vektorer a og b i planen udsp€nder et parallelogram med areal A, s• er altid A  det(a , b ) .
(2) N•r PQR er en trekant i planen med areal T, s• er T  det( PQ, PR) .
 4
1
42  31 er arealet af det parallelogram der udsp€ndes af vektorerne   og   .
3
 
 2
20.3 Évelse Se 20b.


Udregn arealet A af det parallelogram der udsp€ndes af a og b , og skriv mellemregninger.
  2
  6
a    og b    . A =
 5
 3
(3)
21.1 Évelse Se 21c.
 1  5  
    
(a)  3    2   
 4   3 
    





(b)
 8   4  
    
 2  5   
11  9  
    





22.1 Évelse Se 21c og 22a.
(a)
 3

  9 
  
  
a    2  og b   7  . a  b  
1
 3 

 
 



 .




(b) Af (a) kan vi se at a og b ikke er parallelle da
.
z
23.1 Évelse Se 21c, 23c og 23b.
(a)
A = (
(d)


AB  


(f)


AB  AC  


(b) B = (
(c) C = (


(e) AC  


C
1
(g) Arealet af trekant ABC er
1
T =
1
B
A
y
x
z
23.2 Évelse Se 21c, 23d, 23c og 23b.
Udregn arealet af firkant ABCD,
og skriv mellemregninger.
A(6, 0, 0)
B (2, 8, 0)
C (1, 6, 4)
D(3, 0, 6)
E (0, 8, 0)
F (0, 0, 7)
F
D
C
E
A
x
23.3 Évelse Se 23a.


(a) Vektorerne u og v er vinkelret p• hinanden og deres l€ngder er 2 og 3.
 
u v 
(b)
B
y
I parallelogrammet PQRS har grundlinjen PQ l€ngden 10, og hƒjden er 4.
PQ PR 
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
33
2015 Karsten Juul
24.1 Évelse Se 24a, 24b, 23a og 22a.

f
Figuren viser 6 vektorer der er afsat ud fra samme punkt
og har l€ngde 1. Vektorerne er to og to enten modsat rettede
eller vinkelret p• hinanden.
 
 
 
 
a b  .
ac  .
ad  .
e b  .

d

a
(a)
(b)
(c)
(d)

b

e
25.1 Évelse Se 10b og 11a.
En linje l har parameterfremstillingen
 x   4  2
l :     t 
 y   3 1
 x
 4   
N•r t  2 er          
 y
 3   
Tegn punktet med disse koordinater.
 x
 4   
N•r t  3 er          
 y
 3   
Tegn punktet med disse koordinater.
 x
 4   
N•r t 1 er          
 y
 3   
Tegn punktet med disse koordinater.
 x
 4   
N•r t  0 er          
 y
 3   
Tegn punktet med disse koordinater.

c
l



 2
1
 



( 4, 3)






(e)
(f)
25.2 Évelse Se 25g.
 x
 4    
N•r t  1 er           
 y
 3    
Tegn punktet med disse koordinater.
 x
 4 
 
N•r t  1,5 er       
  
y
3
 
  
 
Tegn punktet med disse koordinater.



En linje m har parameterfremstillingen
 x   1
 2 
m :       s 
 y   8
 4
 x 

(a) N•r s  3 er    
,
) ligger p• m.
 , s• punktet (
y
  

 x  5
(b) N•r s 
er      , s• punktet (5 , 0) ligger p• m.
 y  0
 x   8 
(c) N•r s 
er      , s• punktet (8 , 26) ligger p• m.
 y   26 
 x   3 
(d) Find et tal s s•      eller skriv at det ikke kan lade sig gƒre.
 y   15 
(e) Ligger punktet (3 , 15) p• m ?
(f)
(g)
 x
 19 
Find et tal s s•    
 eller skriv at det ikke kan lade sig gƒre.
 y
 48 
Ligger punktet (19 , 48) p• m ?
25.3 Évelse Se 25c, 9a, 9d og 25j.
(a)
(b)
(c)
 4
En linje l g•r gennem punktet (3 , 5) og er parallel med vektoren   .
7
Skriv en parameterfremstilling for l :
 3
En linje m g•r gennem punktet (2 , 1) og er vinkelret p• vektoren   .
 4
Skriv en parameterfremstilling for m :
En linje k g•r gennem punkterne (1 , 3) og (2 , 8) .
Skriv en parameterfremstilling for k :
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
34
2015 Karsten Juul
25.4 Évelse Se 25a, 25c.
h
k 
 
Linjen l har parameterfremstillingen
 x  p h
   t  ,  t   .
 y  q  k 
( p , q)
(a) Tegn de punkter p• l hvor parameteren t har
fƒlgende v€rdier: 1, –2, 3 og 4,5 .
(b) For det punkt p• l hvor t = 5 , er (x , y) = (
,
).
25.5 Évelse Se 25a, 25c.
(a)
Skriv parameterfremstilling for linjen l :
m
 x    
    t 
 y    
(b)
l
Skriv parameterfremstilling for linjen m :
25.6 Évelse Se 25i, 25e, 25f og 15b.
(a)
(b)
Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende 6 p•stande:

(1) Hvis to linjer k og n begge er parallelle med en vektor r , s• er k og n parallelle.


(2) Hvis r er retningsvektor for linjen n, s• er r vinkelret p• n.


(3) Hvis r er retningsvektor for linjen n, s• er r parallel med n.
(4) To linjer er ortogonale netop n•r deres retningsvektorer er ortogonale.
7
(5)   er retningsvektor for linjen med parameterfremstillingen
5
 x   7   2
  t .
 y   5  0
 2
(6)   er retningsvektor for linjen med parameterfremstillingen
0
 x   7   2
  t .
 y   5  0
To linjer l og m i rummet har fƒlgende parameterfremstillinger:
 x
6
 3
 
 
 
l :  y    1   s  1  og m :
z
 3 
 3
 
 
 
Undersƒg om l og m er ortogonale.
 x
 4   3 
 
   
y

 
 2   t  6  .
z
 2 1
 
   
26.1 Évelse Se 26c.
(a)
En linje l har ligningen
l : 2x  y  6  0 .
N•r vi inds€tter koordinaterne for punktet P (3 , 0) for x og y i ligningen for l, s• f•r vi ligningen
.
(b)
Er denne ligning sand? Svar:
.
(c)
Ligger P p• l ? Svar:
(d)
N•r vi inds€tter koordinaterne for punktet Q(2 , 11) for x og y i ligningen for l, s• f•r vi ligningen
.
(e)
Er denne ligning sand? Svar:
(f)
Ligger Q p• l ? Svar:
(g)
N•r vi inds€tter koordinaterne for punktet R (1, t ) for x og y i ligningen for l, s• f•r vi ligningen
.
(h)
Ligningen er sand netop n•r t 
(i)
Af punkterne med x-koordinat 1 er det kun punktet (
.
.
.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
.
35
,
) der ligger p• l .
2015 Karsten Juul
26.2 Évelse Se 26a, 9a, 9d og 25e.
 2
(a) Linjen l g•r gennem punktet (8 , 5) og er vinkelret p• vektoren   . Brug 26a til at skrive ligning for l .
 3
 3
(b) Linjen m g•r gennem punktet (4 , 3) og er parallel med vektoren   . Brug 26a til at skrive ligning for m.
 5
 x   2 1
(c) Linjen k har parameterfremstillingen       t   . Heraf ser vi at ( , ) er et punkt p• k , og
 y   4   3
 
at   er parallel med k . Brug 26a til at skrive en ligning for k .
 
26.3 Évelse Se 26b, 26d og 25e.
(a) Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende p•stande:
(1) Hvis to linjer i planen er vinkelret p• samme vektor, s• er de to linjer parallelle.

(2) For linjer l og m i planen g€lder at hvis l er vinkelret p• n , m er vinkelret p•

vinkelret p• p , s• er l vinkelret p• m .


(3) Hvis n er normalvektor for linjen l , s• er n vinkelret p• l .


(4) Hvis n er normalvektor for linjen l , s• er n parallel med l .
(5) To linjer i planen er ortogonale netop n•r deres normalvektorer er ortogonale.
(6) To linjer i planen er parallelle netop n•r deres normalvektorer er parallelle.
3
(7)   er normalvektor for linjen med ligningen 3x  y  5  0 .
 5 
 3
(8)   er retningsvektor for linjen med ligningen 3x  y  5  0 .
1
 3
(9)   er normalvektor for linjen med ligningen 3x  y  5  0 .
1
 1
(10)   er retningsvektor for linjen med ligningen 3x  y  5  0 .
3
 x  0  8
(b) To linjer l og m er givet ved l :  x  2 y  0 og m :       t   . Er l og m
 y  1  4
27.1 Évelse Se 27a og 27c.
2
  
(a) En plan  er vinkelret p• n   1 og g•r gennem P(4, 6, –5). Bestem en ligning for
3
(b) Ligger Q(3, 16, –1) i  ?
 


p , og n er
er parallelle.
.
27.2 Évelse Se 27a, 27d, 27f, 27g.
(a) I planen  ligger punkterne A(4, 1, 3) , B(–2, 2, 3) og C(1, 4, 2).
(b) Bestem to vektorer der er parallelle med  og ikke er parallelle med hinanden.
(c) Bestem en vektor der er vinkelret p•  , og bestem en ligning for  .
27.3 Évelse Se 27e, 27b, 27d og 27f.
(a) Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende p•stande:


(1) Hvis r er parallel med linjen l , og n er vinkelret p• planen  , s• er l parallel med  netop n•r


r er vinkelret p• n .


(2) Hvis r er parallel med linjen l , og n er vinkelret p• planen  , s• er l parallel med  netop n•r


r er parallel med n .


(3) Hvis n er normalvektor for planen  , s• er n parallel med  .


(4) Hvis n er normalvektor for planen  , s• er n vinkelret p•  .
1
 
(5)  1 er vinkelret p• planen med ligningen x  y  2 z  6  0 .
2
 
(6) Hvis en plan  sk€rer koordinatakserne i punkterne A(4,0,0) , B (0,2,0) og C (0,0,1) , s• er
AB  AC en normalvektor til  .
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
36
2015 Karsten Juul
 x   2 1
27.4 Évelse Se 25f, 27d og 27f .
     
I planen  ligger punktet P(3, 1, 5) og linjen m:  y    4   t  3  , – < t <  .
 z   6  2
     
(a) P• m ligger punktet (
,
,
) . Punkterne (
,
,
) og (
,
,
) ligger i  og
linjestykket med disse endepunkter er ikke parallel med m .
 
 
 
 
 
 
(b) Vektoren   er parallel med m. Vektorerne   og   er parallelle med  og er ikke parallelle
 
 
 
 
 
 
 
 
med hinanden. Vektoren   er vinkelret p•  .
 
 
28.1 Évelse Se 28a og 28c.
(a) Cirklen med ligningen ( x  2) 2  ( y  1) 2  9 har centrum C(
,
) og radius r =
.
(b)
Cirklen med ligningen ( x  4) 2  ( y  5) 2  7 har centrum C(
(c)
2
2
Cirklen med ligningen ( x  p )  ( y  q )  4
2
) og radius r =
,
har centrum C(
.
) og radius r =
,
.
28.2 Évelse Se 28e.
Bestem centrum og radius for cirklen med ligningen x 2  6 x  y 2  8 y  0 .
29.1 Évelse Se 29a og 29b.
En kugle har centrum (2 , 5 ,  3) , og punktet (3 , 7 , 0) ligger p• kuglen. Skriv en ligning for kuglen.
30.1 Évelse Se 30a. Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende p•stande:
(1) Afstanden fra P (3 , 7) til l: 2 x  y  3 er
2 3  7  3
22  (1)2
(2) Afstanden fra Q(2 , 3) til m: 4 x  5 y  1  0 er
.
4  2  53  1
.
22  32
322
(3) Afstanden fra R (1,  2) til n: 3x  y  2  0 er
.
9 1
31.1 Évelse Se 31a og 17c.
(a) Planen  har ligningen 2 x  2 y  z  d  0 hvor d er et negativt tal.
Afstanden fra begyndelsespunktet O(0, 0, 0) til planen  er 2 .
d
(b)
Afstanden fra P (t , 0, 0) til planen  : x  y  z  0 er
3 .
.
t
eller t 
.
  3    3 
 5
32.1 Évelse r    , s    og n    .
5
 4
 2 



Afs€t r og s ud fra ud fra P(9, 4), og n ud fra Q(24, 5).

Linjen l er parallel med r og g•r gennem P. Tegn fire
punkter p• l, og tegn l . Tegn ogs• linjen m som er paral

lel med s og g•r gennem P. Afs€t n̂ ud fra Q. Tegn fire
punkter p• linjen h som g•r gennem Q og er vinkelret p•

n , og tegn h . Udregn vinklen mellem l og m, og
vinklen mellem l og h, og kontroll‡r med vinkelm•ler.
32.2 Évelse Se 32a, 32b og 32c.
Fire linjer er givet ved
 x a
c
 x  e   g
l1:       s   , l2:       t   , l3: ix  jy  k  0
y
b
d
   
 
 y  f   h

(a) For at finde vinkel mellem l1 og l2 vil vi fƒrst finde vinklen v mellem 

som l1 og l2 danner, er s•
.
(b)
(c)
, l4: lx  my  n  0 .

 
 og   . De to vinkler

 

For at finde vinkel mellem l3 og l4 vil vi fƒrst finde vinklen v mellem 

som l3 og l4 danner, er s•
.

For at finde vinkel mellem l1 og l4 vil vi fƒrst finde vinklen v mellem 

som l1 og l4 danner, er s•
.
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
37

 og


 og








 . De to vinkler


 . De to vinkler

2015 Karsten Juul
33.1 Évelse Se 33a, 27b, 27d og 27f.
To planer  og  har ligningerne
 : ax  by  cz  d  0
 : ex  fy  gz  h  0 .
og
En plan  indeholder punkterne A(a1 , a2 , a3 ) , B (b1 , b2 , b3 ) og C (c1 , c2 , c3 ) som ikke ligger p• linje.
 
 
(a) For at finde vinkel mellem  og  vil vi fƒrst finde vinklen v mellem   og   . De to vinkler
 
 
som  og  danner, er s•
.
 
 
(b) For at finde vinkel mellem  og  vil vi fƒrst finde vinklen v mellem de to vektorer
 
     
 

 

.
  og       . De to vinkler som  og  danner, er s•
 
     
 

 

z
34.1 Évelse Se 34a, 34b, 24a og 24b.
v er vinklen mellem sidefladerne ABD og BCD . Skriv sand eller falsk:
D
(1) Vektoren AB  AD peger ind i vinklen.
(2) Vektoren BA BD peger ind i vinklen.
(3) Vektoren BC  BD peger ud af vinklen.
(4) Vektoren DC  DB peger ud af vinklen.
(5) v er lig vinklen mellem AB  AD og BC  BD .
C
A
y
x
(6) v er lig vinklen mellem BA BD og BC  BD .
B
35.1 Évelse Se 35a.
 x a  d 
     
 er en plan og l og m er linjer:
 : 4x  2 y  z  0 , l :  y    b   t  e 
 z c  f 
     
 

 

(a) For at finde vinklen mellem  og l vil vi fƒrst finde vinklen mellem   og 
 

 

Hvis denne vinkel er 8 , s• er vinklen mellem  og l lig



(b) For at finde vinklen mellem  og m vil vi fƒrst finde vinklen mellem 


Hvis denne vinkel er 150 , s• er vinklen mellem  og l lig




og







 x g
   
m :  y  t h .
z  i 
   
,


 .


.


 .


.
36.1 Évelse Se 36a.
 x   3  1   
(a) l :       s       
 y   8   4    
 x   9   12    
(b) m:       t       
 y   0   7    
 
  
 


  



 Et vilk•rligt punkt p• l er ( x, y )  (


 Et vilk•rligt punkt p• m er ( x, y )  (

,
)
,
)
37.1 Évelse Se 37a.
 x  0
1
l :       s  ,
y
1
   
 2
 x  1  1 
m :   t  .
 y   6    1
37.2 Évelse Se 37b.
l : x  2 y  4  0 , m : 3x  2 y  20  0 .
Brug metoden fra 37a til at finde sk€ringspunktet mellem
linjerne l og m uden at bruge elektronisk hj€lpemiddel.
Brug metoden fra 37b til at finde sk€ringspunktet mellem
linjerne l og m uden at bruge elektronisk hj€lpemiddel.
37.3 Évelse Se 37c.
l : 4x  3y  2  0 ,
 x    2   3
m :     t  .
 y   1   1
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
Brug metoden fra 37c til at finde sk€ringspunktet mellem
linjerne l og m uden at bruge elektronisk hj€lpemiddel.
38
2015 Karsten Juul
38.1 Évelse Se 38a.
 x   2  1 
l :       t   , C : x2  y2  2y  9  0 .
 y   0  2
Brug metoden fra 38a til at finde de to sk€ringspunkter mellem linjen l og cirklen C uden at bruge
elektronisk hj€lpemiddel.
38.2 Évelse Se 38b.
l : 3x  y  1  0 ,
C : x 2  ( y  1) 2  10 .
Brug metoden fra 38b til at finde de to sk€ringspunkter mellem linjen l og cirklen C uden at bruge
elektronisk hj€lpemiddel.
39.1 Évelse Se 25d, 29a, 39a.
(a) Linjen l er sammenfaldende med z-aksen. Skriv parameterfremstilling for l.
(b) Kuglen K har centrum i A(0, 1, 0) og sk€rer y-aksen i B(0, –1, 0). Bestem ligning for K.
(c) Bestem koordinats€t til sk€ringspunkt mellem l og K.
40.1 Évelse Se 40a.
P• figuren er en skr• v€g der indeholder punkterne A, B og C .
En metalstang er fastgjort p• denne v€g i punktet F .
A
Metalstangen er ogs• fastgjort i punkterne D og E ƒverst p• to lodrette st€nger.
z
E
D
F
Skriv hvordan vi kan udregne koordinaterne til F
n•r vi kender koordinaterne til A, B, C, D, E.
C
y
41.1 Évelse Se 25c, 41a.
x
B
 x  1
 2
P(3, 4) . l :       t    , – < t <  .
 y  1
1
(a) Bestem parameterfremstilling for linjen m der g•r gennem P og er vinkelret p• l.
(b) Bestem projektionen Q af P p• l.
(c) Der er andre punkter end P hvis projektion p• l er Q. Bestem koordinats€ttet til to af dem.
41.2 Évelse Se 41.
(a) Bestem koordinats€t til retningsvektor og til normalvektor for l.
(b) Tegn normalvektoren, og det punkt Q som er projektion af P p• l.
(c) Bestem koordinats€t til retningsvektor og til normalvektor for m.
(d) Tegn nornalvektoren, og det punkt R som er projektion af P p• m.
(e) Udregn koordinats€t til R.
P
l
m
42.1 Évelse Se 42a.
En linje l g•r gennem punktet P (6 , 4 , 2) og er vinkelret p• planen  : 2 x  z  0 .
(a) Bestem koordinats€t til vektor der er vinkelret p•  .
(b) Bestem koordinats€t til vektor der er parallel med l .
(c) Bestem parameterfremstilling for l .
(d) Bestem sk€ringspunkt mellem l og  .
(e) Bestem koordinats€t til projektionen af P p•  .
43.1 Évelse
l : ax  by  c  0 ,
C : ( x  5) 2  ( y  3) 2  16 .
Vi inds€tter bestemte tal for a, b og c s• linjen l er tangent til cirklen C .
Hvilket tal f•r vi s• n•r vi udregner
a5  b3  c
? Svar:
.
a2  b2
For at svare p• dette har vi brugt fƒlgende tre regler fra dette h€fte:
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
39
og
og
.
2015 Karsten Juul
43.2 Évelse I en opgave st•r ligningerne for en linje l og en cirkel C i planen.
(a) Disse to ligninger er et ligningssystem. Hvis vi lƒser ligningssystemet, hvordan kan vi s• se om l er
tangent til C ? Svar:
.
(b) P• C 's ligning kan vi se centrums koordinater og radius. Hvis vi udregner afstanden fra centrum til l ,
hvordan kan vi s• se om l er tangent til C ?
Svar:
.
44.1 Évelse Se 44d. Punktet A(1, 1, 1) ligger p• en kugle K med centrum B (1, 0 , 0) .
Find en ligning for den plan  som er tangentplan til K i A .
44.2 Évelse Se 44e.  : x  y  2 z  0 er tangentplan til en kugle K med centrum Q(0, 2, 0) .
Find koordinats€ttet til rƒringspunktet .
44.3 Évelse Se 44f.  : x  y  z  1  0 er tangentplan til en kugle K med centrum O(0, 0, 0) .
Find en ligning for K .
44.4 Évelse Se 44g.
Er planen  : 3x  4 y  6  0 tangentplan til kuglen K med centrum Q(0,1, 3) og radius 2 ?
45.1 Évelse Se 11a og 14b.
 1
  x
  3
a    , b    og c    .
y
2
 
 
 4
  
 
(a) a  b  
(b) a  c 

  
(d) (a  b )  c 
 
(c) b  c 
  
(e) a  c  b  c 
  x
a  
 y
 
(b) (3a )  a 
46.1 Évelse Se 10b, 14b og 7b.


(a) 3a  

 2
(d) a 

(e) 3 a
2
(c)

a 

(f) Hvilke af de 5 udtryk (a)-(e) er lig hinanden?
48.1 Évelse Se 14b, 7b, 11a, 11c.
  x
  3
a    og b    .
 5
 y



(a) a  b 
(b) a 
 

(e) a b  

 2
(g) a b 
(f)

2  
(c)

a
2

(d)

b
2
 
a b 


b
2



(h) Tegn vektoren a b p• figuren til hƒjre.


(i) Hvis a er vinkelret p• b , s• fƒlger af

a
at
2 
a b
(j) Heri inds€tter vi resultaterne fra (c), (d) og (g) og f•r

2
 
 a b
2
.
.
(k) Vi tr€kker det samme fra begge sider i denne ligning og f•r
0 
.
(l) Vi dividerer begge sider med 2 og f•r
 
0 
dvs.
a b 
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
.
40
2015 Karsten Juul

a
49.1 Évelse Se 13b, 13c og 10d.



Tegn den vektor ab som er projektionen af a p• b .


ab  t b n•r t 
.

b
49.2 Évelse Se 13b, 13c og 10d.


Tegn den vektor ba som er projektionen af b p• a .


ba  t a n•r t 
.

b
49.3 Évelse Se 11c, 45a, 46a og 48a.

a
Hvilke af fƒlgende 7 udtryk er lig hinanden?
   
 
(1) e  d
(5) (2d )  d  f  d
 

(2) f  d
(6) 3d
2
  
(3) (2d  f )  d
(7) 2 d
  
(4) 2d  f  d
50.1 Évelse Se 10d og 25j.

e

f

2d
E
P
(a) Tegn vektoren PA .

r
A
D
C
(b) Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende 10 p•stande:
B
(1) A ligger p• l .
(7) E ligger p• l .
(2)
PA er parallel med l .
(8)
PE er parallel med l .


(3) Der findes et tal t s• PA  t r .
(9) Der findes et tal t s• PE  t r .

(4) B ligger p• l .
(10) Der findes et tal t s• PP  t r .

(5)
PB er parallel med l .
(11) Der findes et tal t s• PC  t r .

(6) Der findes et tal t s• PB  t r .
(12) C ligger p• l .


(c) N•r PD  t r , er t 
.
(d) N•r PE  t r , er t 
.
(a, b)
51.1 Évelse Se 4c, 15b og 14b.
 m
Figuren viser vektoren   og nogle punkter.
n

(a) Tegn vektoren v fra punktet ( p, q ) til punktet (e, f ) .
(c, d )
(e, f )


(b) v  

(c) Skriv sand eller falsk ved hver af fƒlgende p•stande:
 m  a p 
(1)    
  0
 n   bq 
(3) m (c  p)  n (d  q)  0
m
n
 
 m   c p 
(2)    
  0
 n   d q 
(4) m (e  p )  n ( f  q )  0
( p, q )
( g , h)
 m  g  p 
(5)    
  0
 n   hq 
(d) Tegn tre nye punkter ( x, y ) hvor m ( x  p )  n ( y  q )  0
A( x1 , y1)
CB 
(d)
(e) ( x1  x0 ) 2  ( y1  y0 ) 2 
C ( x0 , y0)
( x1  x0 ) 2  ( y1  y0 ) 2 
.
B( x2 , y2 )
10
53.1 Évelse Se 4c og 7b.
P• figuren er en cirkel med radius 10.

(a) Tegn vektoren CB . (b) CB  

(c)
l
.
(f) Tegn tre nye punkter ( x, y ) hvor ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  100
Vektorer og koordinatgeometri for gymnasiet, udgave 3
41
2015 Karsten Juul
A
afstand ............................................................4, 17
afstand fra punkt til linje i planen.......................17
afstand fra punkt til plan.....................................17
afstand mellem punkter ........................................4
afs€tte vektor ud fra punkt ...............................2, 3
areal ..............................................................10, 11
areal af firkant...............................................11, 12
areal af firkant i planen.......................................11
areal af firkant i rummet .....................................12
areal af parallelogram ...................................10, 11
areal af parallelogram i planen ...........................10
areal af parallelogram i rummet..........................11
areal af trekant ..............................................11, 12
areal af trekant i planen ......................................11
areal af trekant i rummet.....................................12
B
begyndelsespunkt .................................................1
beviser ................................................................23
C
cirkel, bestem centrum og radius........................16
cirkels ligning .....................................................16
D
determinant .....................................................9, 10
G
gange, krydsprodukt .....................................11, 12
gange, prikprodukt............................................7, 8
gange, tal og vektor ..............................................5
gange, vektorprodukt..........................................11
H
hƒjreh•ndsregel...................................................12
K
koordinater til punkt i planen................................1
koordinater til punkt i rummet..............................1
koordinater til vektors slutpunkt...........................3
koordinatgeometri...............................................13
koordinatsystem i planen......................................1
koordinatsystem i rummet ....................................1
koordinats€t til punkt ...........................................1
koordinats€t til vektor..........................................2
krydsprodukt.................................................11, 12
kugle, bestem centrum og radius ........................16
kugles ligning .....................................................16
L
ligning for cirkel ...........................................16, 25
ligning for kugle ...........................................16, 25
ligning for linje .............................................14, 25
ligning for plan .............................................15, 25
l€ngde af projektion af vektor..............................8
l€ngde af vektor ...............................................3, 9
M
minus, vektorer .....................................................6
modsat vektor .......................................................4
N
normalvektor.....................................14, 15, 17, 19
normalvektor for linje.........................................14
normalvektor for plan .........................................15
nulvektor.........................................................3, 23
numerisk v€rdi .....................................................9
O
ortogonal .............................................................. 7
P
parallel ..........................................................10, 11
parallel i planen.................................................. 10
parallel i rummet................................................ 11
parallelogram ....................................................... 2
parameterfremstilling for linje ......................13, 24
plus, vektorer ....................................................... 5
prikke ind i en parentes...................................... 23
prikke med nulvektor ......................................... 23
prikprodukt ...................................................... 7, 8
projektion................................................6, 7, 8, 21
projektion af punkt p• linje.............................6, 21
projektion af punkt p• plan .............................7, 21
projektion af vektor p• vektor.......................... 7, 8
R
retningsvektor .........................................13, 17, 19
rƒringspunkt....................................................... 22
rƒringspunkt p• cirkel ........................................ 22
rƒringspunkt p• kugle ........................................ 22
S
skalarprodukt ....................................................... 7
sk€ring..........................................................19, 20
sk€ring mellem linje og cirkel........................... 20
sk€ring mellem linje og kugle........................... 20
sk€ring mellem linje og plan............................. 20
sk€ring mellem to linjer .................................... 19
slutpunkt .............................................................. 3
slutpunkt for vektor.............................................. 2
startpunkt for vektor ............................................ 2
stedvektor............................................................. 2
T
tal gange vektor.................................................... 5
tangent................................................................ 22
tangent til cirkel ................................................. 22
tangentplan......................................................... 22
tv€rvektor ............................................................ 4
V
vektor ................................................................... 2
vektor gange tal.................................................... 5
vektor minus vektor ............................................. 6
vektor plus vektor ................................................ 5
vektorprodukt..................................................... 11
vektors koordinats€t ............................................ 2
vektors l€ngde ..................................................... 3
vektors slutpunkt.............................................. 2, 3
vektors startpunkt................................................. 2
vilk•rligt punkt p• linje...................................... 19
vinkel ..................................................8, 17, 18, 19
vinkel mellem linje og plan ............................... 19
vinkel mellem linjer ........................................... 17
vinkel mellem planer ......................................... 18
vinkel mellem sideflader.................................... 18
vinkel mellem vektorer ........................................ 8
vinkelret ....................................................7, 12, 23
X
xy-planen.............................................................. 1