Forside af
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang. -- 4 udgave.
som fortsættelse af "1. Vektorer" side 23.
Denne forside kan klæbes fast på
indersiden af hæftet:
"Vektorregning for 11 årgang." ´s
forside.
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
Skalarprodukt
Vi har set, hvorledes vektorer kan adderes og subtraheres, og hvorledes disse
beregninger kan foretages med vektorkoordinater. Det har vist sig
formålstjenligt også at indføre et produkt af to vektorer. Vi vil her indføre
skalarprodukt af to vektorer; senere indføres også et såkaldt vektorprodukt.
Skalarproduktet af vektorerne a og b
er bestemt ved
a € b • ‚ a ‚‚ b ‚ cos (v)
hvor v er vinklen mellem a og b
Denne definition på skalarprodukt gælder både for plane vektorer og for
vektorer i rummet. Det skalære produkt bliver således et tal (en skalar) og
altså ikke en vektor. Da man som symbol for skalarproduktet anvender en prik
mellem de to vektorer, kaldes det undertiden også for prikproduktet.
Af definitionen på skalarproduktet ser vi umiddelbart, at der gælder følgende
for to egentlige vektorer:
Eksempel 1.5
For to ensrettede vektorer a og b er den
mellemliggende vinkel 0°. Derfor er
•
a
•
b
a € b • ‚ a ‚‚ b ‚ cos (0ƒ) • € a €€ b €
Specielt ser vi, at
a € a • ‚ a ‚‚ a ‚ • € a €
2
For to modsat rettede vektorer a og b er den
mellemliggende vinkel 180°, så der gælder
a € b • ‚ a ‚‚ b ‚ cos (180‚) • ƒ ‚ a ‚‚ b ‚
side I
•
a
•
b
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
Ud fra definitionen på skalarproduktet kan der udledes forskellige regneregler.
Her anføres uden bevis følgende regler:
1) a „ b
… b „a
2) a „ ( b † c ) … a „ b
† a „ c
Disse regler fører frem til, at vi kan udtrykke skalarproduktet af to vektorer ved
deres koordinater.
Bevis: (i tilfældet to dimensioner)
„a ‡
1
Lad a • … ˆ og
…a2ˆ
† ‰
D.v.s.
„b ‡
1
b • … ˆ
…b2ˆ
† ‰
og
a • a1i Š a2 j
Idet
i € i • 1 ;
Fås:
a €b
=
være givet i den ortonormerede basis ( i , j )
b • b1 i Š b2 j
j € j • 1 og
i € j • 0
( a1 i Š a2 j ) € ( b1 i Š b2 j ) =
a1 i € ( b1 i Š b2 j )
+
a2 j € ( b1 i Š b2 j )
=
a1‹( b1 i € i Š b2 i € j )
+
a2‹(b1 j € i Š b2 j € j )
=
a1‹( b1‹1 Š b2‹0)
+
a2‹( b1‹0 Š b2‹1)
=
Opgave 1.16
Beregn skalarprodukterne a ‹ b , a ‹ c
1)
„ ‡
…-3ˆ
a • …7ˆ
…0ˆ
† ‰
,
„ ‡
…6ˆ
b • …1ˆ
…-3ˆ
† ‰
,
og b ‹ c
a1‡b1 † a2‡b2
når
„ ‡
…2ˆ
c • …-5 ˆ
…1ˆ
† ‰
Løs derefter følgende ligninger
4)
„ ‡ „ ‡
…3ˆ …1ˆ
… 4 ˆ•…-1 ˆ
…5ˆ …zˆ
† ‰ † ‰
= -6
5)
„ ‡ „ ‡
…1ˆ …a ˆ
… a ˆ•…-a ˆ
…2aˆ … a ˆ
† ‰ † ‰
=6
6)
side II
„ ‡ „
‡
…aˆ … a ˆ
… 3 ˆ•… 1-a ˆ
… 4 ˆ … -2 ˆ
† ‰ †
‰
= -5
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
Øvelse 1.11:
a) Beregn det skalære produkt af
a og b
i nedenstående tre eksempler,
først ved at bruge formlen a € b … € a €€ b €cos (v)
og derefter ved at bruge formlen a € b … a1‡b1 † a2‡b2 .
(m ål v ektorernes længder og koordinater, idet én tern v ælges som enhed) .
•
b
•
•
b
b
110
•
•
85
45 o
•
o
o
a
a
a
b) Bruges formlen a € b … € a €€ b €cos (v) til beregning af det skalære
produkt af a og b i nedenstående fire eksempler så fås
a € b • 3‹4,5‹cos (45°) Œ 9,55 i alle fire eksempler.
•
a
45 °
•
b
•
45 ° •
a
b
•
a
•
b
45 °
45 °
•
•
b
a
Aflæs koordinaterne til a og b og beregn skalarproduktet med
formlen a € b … a1‡b1 † a2‡b2 i hvert af eksemplerne ovenfor.
Fås samme værdi i alle fire eksempler ?
side III
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
Til beregning af vinklen mellem to vektorer bruges:
a € b • ‚ a ‚‚ b ‚ cos (v)
•
cos (v) •
a € b
formel (198b)
‚ a ‚‚ b ‚
Eksempel 1.7:
Eksempel 1.6:
„ 3‡
„ 3,7 ‡
a •… ˆ ; b •…
ˆ
† Ž 2‰
† 3 ‰
„ ‡
„6‡
c • … Ž 4ˆ ; d • … ˆ
† 3 ‰
†8‰
a € b • 3‹3,7 Š ( Ž 2)‹3 • 5,2
c € d • ( Ž 4)‹6 Š 3‹8 • 0
‚a‚ •
32 Š ( Ž 2)2 •
13
‚b‚ •
(3,7)2 Š 32 •
22,69 • 4,76
cos(v) •
5,2
Œ 0,3028
•
så vinklen mellem de to
vektorer
er 90°.
v Œ 72,37ƒ
13 ‹ 22,69
Eksempel 1.8:
Eksempel 1.9:
I et plant koordinatsystem er givet
følgende tre punkter:
A(4,8), B(6, Ž 2) og C( Ž 1, 4).
ÓA beregnes:
„
‡
6 Ž 4ˆ „ 2 ‡
AB • …
•
… Ž 2 Ž 8ˆ …† Ž 10ˆ‰
†
‰
„
‡
„
‡
†
‰
†
‰
; AC • …… Ž 1 Ž 4ˆˆ • …… Ž 5ˆˆ
4Ž8
Ž4
„ 2 ‡ „… Ž 5‡ˆ
AB €AC • …
• 2‹( Ž 5) Š ( Ž 10)‹( Ž 4) • 30
ˆ€
† Ž 10‰ …† Ž 4ˆ‰
‚AB‚ •
22 Š ( Ž 10)2 •
‚AC‚ •
( Ž 5)2 Š ( Ž 4)2 •
cos(•A) •
30
104
• 0,4594
41
•
•A • 62,65ƒ
104 ‹ 41
side IV
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
Opgave 1.17
Punkterne A1 = (2,-3,0) , B1 = (-8,2,0) og C1 = (0,1,0) er
projektionerne af A = (2,-3,8) , B = (-8,2,7) og C = (0,1,1) på x-y-planen.
a) Bestem koordinaterne til punktet D1 således, at A1 , B1 , C1 og D1
udspænder et parallelogram.
b) Beregn derefter vinklerne i dette parallelogram.
c) Bestem koordinaterne til punktet D således, at A, B, C og D udspænder
et parallelogram.
d) Beregn derefter vinklerne i dette parallelogram, samt vinklen mellem
diagonalerne.
Opgave 1.18
Bestem tallet t således, at vektorerne a og b bliver ortogonale, når
„ ‡
…1ˆ
a • …tˆ
…tˆ
† ‰
,
„ ‡
… Ž 3ˆ
b • … 2 ˆ
… 1 ˆ
† ‰
Afgør, om der findes en værdi af t, så a og b er er parallelle ?
Kan t vælges, så a bliver en enhedsvektor ?
Opgave 1.19
Bestem de værdier af k, for hvilke vektorerne a og b er parallelle, når
„
‡
… 3k ˆ
a • … kŽ7 ˆ ,
…2k Ž 1ˆ
†
‰
„
‡
… 10 Ž k ˆ
b • …2k Ž 9½ˆ
… kŽ½ ˆ
†
‰
Findes der værdier af k, så a og b er ortogonale?
Opgave 1.20
Bestem tallet k, så vinklen mellem vektorerne a og b er 45ƒ , når
„ ‡
… 1 ˆ
a • … 2 ˆ
… Ž 1ˆ
† ‰
,
„ ‡
…2ˆ
b • …1ˆ
…kˆ
† ‰
side V
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
Lav her en tegning der viser nogle der med stor besvær forsøger
at skubbe en bil op af en bakke.
Hvilke oplysninger skal man have for at kunne beregne, hvor stor en kraft
de mindst skal bruge for at få bilen skubbet opad?.
Opløsning af Vektorer.
På side 7 så vi på, at summen af to vektorer kunne bestemmes som diagonalen i
et parallelogram. De to vektorer, der skulle adderes bestemte parallelogrammets
sider (retning og længde).
I det følgende skal vi bruge denne konstruktion lidt bagvendt, svarende til at vi kender
facitvektoren altså diagonalen.
Vi betragter to vilkårlige linjer b og c, hvorom vi blot forudsætter, at de
skærer hinanden. Vi betragter så en vilkårlig vektor a , og vi vil vise, at
a kan opløses efter linjerne b og c, hvormed menes, at a kan skrives
som en sum b + c , hvor b er parallel med linjen b eller evt. er
nulvektoren, og hvor c er parallel med linjen c eller evt. er nulvektoren.
Og vi vil yderligere vise, at denne opløsning kun kan ske på én måde.
side VI
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
Vi tegner en repræsentant for a . Vi kalder
begyndelsespunkt og endepunkt
henholdsvis 0 og A. Vi tegner dernæst
parallelogrammet OBAC, hvori
siderne er parallelle med
henholdsvis b og c.
b
B
•
a
b
O
A
•
•
c
C
c
Ved brug af de således
konstruerede punkter B og C definerer vi nu vektorerne b og c :
og
b … OB
c … OC .
Vi får da
a = OA = OB Š OC = b + c
Vi har hermed vist, at a i hvert fald på mindst én måde kan opløses efter
linjerne b og c. Vi gør dog opmærksom på, at firkant OBAC kun
eksisterer, hvis a er en egentlig vektor, der hverken er parallel med b
eller c . ( Disse tilfælde behandles i øvelse 1.12.)
Vi vil nu vise vektoropløsningens entydighed. Vi vil altså vise, at det kun
på én måde kan lade sig gøre at skrive a som en sum af vektorer, der er
parallelle med henholdsvis b og c (eller hvor den ene eller begge evt. er
nulvektoren).
Vi vil benytte et indirekte bevis. Vi antager altså, at a kan opløses efter
linjerne b og c på (mindst) to måder. altså at vi kan skrive
a
og
a
= b + c
= b 1 + c1
hvor b ‘ b1 og dermed c ˆ c1 .
Heraf fås, at
b + c =
b1 + c1
b ƒ b1 =
c1 ƒ
og dermed
c
Da b og b1 begge er parallelle med linjen b eller den ene eventuelt er
nulvektoren, så er b ƒ b1 parallel med linjen b, b ƒ b1
egentlig vektor, idet b ‘ b1 ifølge vor antagelse.
side VII
er jo en
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
På tilsvarende måde ses, at vektoren c1 ƒ c er parallel med linjen c.
Da linjerne b og c ikke er parallelle, fås heraf, at b ƒ b1 ˆ c1 ƒ c , og
vi er nået til modstrid med vor antagelse, og hermed har vi også vist
vektoropløsningens entydighed.
Vektoropløsningens mulighed og entydighed giver os følgende
SÆTNING
Idet a er en vilkårlig vektor, og idet b og c er vilkårlige linjer, der
ikke er parallelle, kan a på netop én måde opløses efter b og c,
dvs. a kan på netop én måde skrives
a
=
b
+
c
hvor b h b eller b • 0 = 0 og
c
h c eller c • 0
I specialtilfældet hvor de to linjer er indbyrdes vinkelrette - er den entydige
opløsning af vektorer at finde på side 14. Den udformning af beviset for
entydigheden som er brugt der kunne også være brugt her. For at vise at der
ofte findes flere forskellige beviser for en sætning, er beviset på forgående side
valgt som et eksempel på en meget brugt metode, nemlig, "et indirekte bevis":
Vi viser, at antagelsen af det modsatte af det vi vil vise, fører til en modstrid.
Det betyder her, at vi viser at antagelsen af at der findes mindst to ...... er
forkert. D.v.s. det modsatte gælder: "højst én ..... ".
ØVELSE 1.12
Lad b og c være vilkårlige linjer, der ikke er parallelle.
Vis, at en vektor a også kan opløses efter b og c i hvert af følgende
tilfælde.
1)
a … 0
2)
a h
b
3)
a h
c
Og angiv løsningerne b og c i hvert af de 3 tilfælde.
side VIII
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
Opgave 1.20 :
Opløs vektorerne
a , b og c efter de to retninger
Opgave 1.21 :
Opløs vektorerne a , b og c
efter retningerne l og m.
l og m.
m
•
c
•
b
l
•
a
side IX
Tillæg til Vektorregning for 11 årgang.
Opgave 1.22 :
Figuren viser et 1 Kg lod ophængt i et snoresystem. Figuren ved siden af
viser lidt af hvordan man kan benytte opløsning af en vektor til at
bestemme snoretrækkene i de to ophængningssnore.
1 Kg
Bestem ved konstruktion, opmåling med lineal efterfulgt af en lille
beregning størrelsen af de to snorekræfter F1 og F2 , idet tyngdekraften Ft
på loddet sættes til 10 N.
( I fysik vil man sige at vi opdeler tyngdekraften Ft i de to komposanter F1 og F2 .)
Opgave 1.23 :
Figuren viser en gravko,
hvis grab med fyld i alt
har massen 300 kg.
Grabben hænger stille.
a) Bestem størrelsen af de
to snorekræfter F1 og F2 .
b) Vis at disse to kræfters
vandrette komposanter
er lige store, men modsat rettede.
c) Hvad kan man sige om de to kræfters lodrette komposanter ?
side X