A ALBORG U NIVERSITET
D ET T EKNISK -N ATUR L INEÆR A LGEBRA
VIDENSKABELIGE FAKULTET BEM, GEO, ST OG LAND
F ØRSTE STUDIEÅR
H OLD 1
3. LEKTION
17. SEPTEMBER 2015
L ISBETH FAJSTRUP
Køreplan:
Forelæsningens 2. del:
Repetition og perspektivering:
kl. 15:35 – 16:15 i Auditorium 1.
kl. 12:30 – 13:00 i Auditorium 1.
Forelæsningens 1. del, introduktion til
opgaveregning:
Litteratur
SIF 1.4 og 1.6
kl. 13:05 – 13:45 i Auditorium 1.
Opgaveregning:
Næste gang:
kl. 13:45 – 15:35 i grupperummene.
Mandag 28/9. Lineær uafhængighed: 1.7.
Mål og indhold:
Gauss-algoritme: Det gøres ved den såkaldte rækkereduktionsalgoritme (eller
Repetition:
Gauss-algoritme). Ved at arbejde sig syLineære ligningssystemer. Konsistens. SFI, stematisk gennem søjlerne fra venstre til
højre opnår man
ch. 1.3
Nyt stof:
• ved rækkeombytninger: at ledende
koefficienter optræder længst muligt
til venstre;
Rækkereduktion til række-echelonform:
• og ved rækkeadditioner(“erstatninger”):
(et fint fransk ord for trappeform). Givet
at der kun står 0-taller under en leen (total)matrix [ A| b]. Hvordan kan man
dende koefficient i hver Pivotsøjle.
overføre den i en rækkeækvivalent simpel
matrix [ H | c] således at det tilsvarende lig- Efter et antal operationer ender man med
ningssystem er nemt at løse? Og hvordan en (rækkeækvivalent) matrix på echelonkan man karakterisere “simpel”?
form. Søjler med Pivotpositioner (skal indeholde en ledende koefficient) kaldes Pivotsøjler; de tilsvarende variable er bundne1 ; evt. resterende variable er frie2 variable.
Antallet af Pivotsøjler i echelonmatricen kaldes rangen3 – af både echelonmatricen og af den oprindelige m × nmatrix. Desuden tales om matricens nulli1 på
engelsk: basic
free
3 eng.: rank
2 eng.:
F REDRIK B AJERSVEJ 7G
9220 A ALBORG Ø ST
9940 8848
-
FAJSTRUP @ MATH . AAU . DK
PEOPLE . MATH . AAU . DK /˜FAJSTRUP
A ALBORG U NIVERSITET
D ET T EKNISK -N ATUR L INEÆR A LGEBRA
VIDENSKABELIGE FAKULTET BEM, GEO, ST OG LAND
F ØRSTE STUDIEÅR
H OLD 1
3. LEKTION
17. SEPTEMBER 2015
L ISBETH FAJSTRUP
tet4 : rank( A) + nullity( A) = n = antal søjler i A. Rangen svarer til antallet af bundne
variable, nulliteten til antallet af frie variable.
Om løsningsmængden af systemet givet ved Ax = b ved man nu:
1. Systemet har en løsning (er konsistent) hvis koefficientmatricen A og
totalmatricen [ A| b] har den samme
rang. Det betyder nemlig, at man ved
rækkereduktion aldrig kommer frem
til en ledende koefficient i højresiden.
2. Hvis systemet er konsistent og hvis
koefficientmatricens rang er n (maximal) og dermed nulliteten 0 (minimal), så har systemet netop én løsning.
3. Hvis systemet er konsistent og hvis
koefficientmatricens rang er mindre
end n og dermed nulliteten større
end 0, så har systemet uendelig mange løsninger.
Der er altså enten 0, 1 eller uendelig mange
løsninger.
Spænd: Mængden af alle linearkombinationer c1 a1 + · · · + c p a p ∈ Rn med reelle
koefficienter ci ∈ R (eller vægte) af et antal
vektorer a1 , . . . , a p i Rn kaldes vektorernes
spænd5 Span{a1 , . . . , a p } ⊂ Rn .
Spændet har følgende geometriske interpretation: Spændet af én vektor v 6= 0 svarer til vektorerne på en ret linie med retningsvektor v gennem Origo. Spændet af
to vektorer svarer typisk, men ikke altid,
til en plan gennem Origo (og ikke, hvad
mange fejlagtigt tror, til det område “mellem” de to vektorer; det drejer sig om en
hel plan!)
4 eng.:
5 eng.:
Vektorligninger: Er en given vektor b ∈
Rn indeholdt i spændet Span{a1 , . . . a p }?
Svaret findes ved at løse en vektorligning
x1 a1 + · · · + x p a p = b, eller et ækvivalent lineært ligningssystem hvis totalmatrix har søjler [a1 · · · a p | b]. Vektoren er indeholdt i spændet hvis og kun hvis dette
ligningssystem er konsistent.
Hvornår er spændet af p vektorer i Rm
lig med hele rummet Rm ? For at teste dette,
indsætter man vektorerne som søjlevektorer i matricen A = [a1 · · · a p ]. Hvis rangen
for denne matrix opfylder rank( A) = m –
en Pivotposition i hver række, så kan man
løAx = b for enhver høside b ∈ Rm – og
ellers ikke!
Vi skal nu undersøge, hvor mange vektorer man skal bruge for at udspænde en
plan, rummet eller evt. større “hyperrum”.
1. Hvornår spænder et antal vektorer
hele Rn – med alle vektorer med n koefficienter? Sæt vektorerne ind som
søjler i en matrix. Denne matrix skal
have rang n – Pivoter i hver række
(Theorem 1.6)
2. Hvornår kan man udelade den sidste vektor i en liste uden at spændet
bliver mindre? Det kan man når den
sidste vektor er indeholdt i spændet
af de forudgående (Theorem 1.7)
3. En vektor i spændet er en linearkom-
nullity
span
F REDRIK B AJERSVEJ 7G
9220 A ALBORG Ø ST
9940 8848
-
FAJSTRUP @ MATH . AAU . DK
PEOPLE . MATH . AAU . DK /˜FAJSTRUP
A ALBORG U NIVERSITET
D ET T EKNISK -N ATUR L INEÆR A LGEBRA
VIDENSKABELIGE FAKULTET BEM, GEO, ST OG LAND
F ØRSTE STUDIEÅR
H OLD 1
bination v = c1 u1 + · · · + ck uk . Er
koefficienterne c1 , · · · , ck entydigt bestemt – har v en entydig “adresse”?
Det sidste spørgsmål fører til definition
af lineær uafhængighed og afhængighed
– hvor man undersøger spørgsmål (3) for
u = 0. Det ser vi på ved næste kursusgang.
Supplerende Litteratur:
Wikipedia Linear span
3. LEKTION
17. SEPTEMBER 2015
L ISBETH FAJSTRUP
– Opstil koefficientmatricen og
den udvidede matrix for et ligningssystem: 1,3,5.
– Rækkeoperationer: 7,9,11
– Afgør, om en vektor er løsning
til et ligningssystem. 23, 25.
– Afgør, om et ligningssystem er
konsistent udfra den reducerede
echelonform. Find i så fald den
generelle løsning. 39, 43, 41.
– Som ovenfor, men skriv desuden den generelle løsning på
vektorform. 47, 49.
Opgaver:
• Afsnit 1.2.
– Opskriv 2 × 2 rotationsmatricer.
17, 19
– Test din forståelse af Lineære
ligningssystemer og tilhørende
matricer. 57-76
– Test din forståelse af matrixOpgave i dagens stof. Afsnit 1.4. Bestem,
vektorproduktet. 51-64
om et lineært ligningssystem er konsistent.
Find i så fald den generelle løsning. Opg. 3
• Afsnit 1.3.
F REDRIK B AJERSVEJ 7G
9220 A ALBORG Ø ST
9940 8848
-
FAJSTRUP @ MATH . AAU . DK
PEOPLE . MATH . AAU . DK /˜FAJSTRUP