1. No category

En analyse af optimal pengepolitik
i en nykeynesiansk makromodel
med vanedannelse
Det Samfundsvidenskabelige Fakultet
Økonomisk Institut
Københavns Universitet
Bachelorprojekt
Niels Storm Knigge &
Casper Nordal Jørgensen
Vejleder: Henrik Jensen
27. november 2009
(redigeret 2. September 2010)
Abstract
This bachelor thesis considers and discusses the addition of habit formation to a New
Keynesian general equilibrium model. The addition is shown to cause a higher level of persistence in output and inflation, increases the influence of the disturbance terms and induces a lower level of inflation targeting for the central bank. Habit formation causes utility
of consumption in a given period to depend on the level of consumption in previous periods. The assumption is then added to a general equilibrium framework, and the entire
model in this thesis represents a variation of a simple New Keynesian macroeconomic
model.
The model is solved assuming classical optimizing behaviour and rational expectations as
the agents’ method of forming expectations of future values of economic variables. It is
shown that a result of assuming habit formation is that the problem of optimizing utility of
consumption is no longer time separable. The optimal choice of current consumption depends on consumption in the previous period and of the expectation of future levels of
consumption. This has great implications for the model, since it induces a significant increase in the level of persistence displayed in the model. The low level of persistence has
generally proved to be a problem for simple models based on rational expectations, since it
does not fit well with empirical data. Habit formation proves to be an elegant, micro economically based way of improving this property of a simple model.
We have analyzed the impact of habit formations on the problem of the central bank,
namely how to implement optimal monetary policy. The assumption greatly complicates
the formal way of solving this problem. Therefore we have used a qualitative approach and
discuss the results from Amato and Laubach (2004) who have treated the topic of optimal
monetary policy in a habit formation-model very similar to ours. It is shown that optimal
behaviour is to minimize a social loss function based not only on inflation and output gap,
but also on output itself. It is shown that increased strength of the habit in general also
increases the weight on output fluctuation.
The optimal plan of monetary policy is then compared to a simpler interest rule, a so-called
Taylor rule, which is shown to perform remarkably well in approaching the optimal plan in
this small-scale model. This result is not changed in any significant way by the introduction
of habit formation in the utility function of the households.
Indholdsfortegnelse
Forord............................................................................................................................................................................. 2
1 Indledning................................................................................................................................................................. 3
2 En nykeynesiansk makromodel med vanedannelse ............................................................................. 5
2.1 Husholdningerne........................................................................................................................................... 5
2.1.1 Husholdningernes nyttefunktion .................................................................................................. 5
2.1.2 Vanedannelsen ...................................................................................................................................... 7
2.1.3 Løsning af forbrugernes nytteoptimering ................................................................................. 8
2.1.4 Linearisering omkring steady state ............................................................................................. 9
2.2 Økonomiens prisniveau .......................................................................................................................... 10
2.3 Virksomhederne ......................................................................................................................................... 11
3 Modellen med stød ............................................................................................................................................ 17
4 Monetær politik................................................................................................................................................... 19
4.1 Den optimale plan og den social tabsfunktion ......................................................................... 20
4.2 Tabsfunktionen med vanedannelse .............................................................................................. 21
4.3 Diskretionær versus forpligtende monetær politik .............................................................. 22
4.4 Reaktion på stød under optimal plan i en model med vanedannelse............................ 24
4.5 Taylor-regler ........................................................................................................................................... 26
4.6 Taylor-regler overfor den optimale plan.................................................................................... 27
5 Bemærkninger til modelanalysen............................................................................................................... 29
6 Konklusion............................................................................................................................................................. 31
Appendiks A.............................................................................................................................................................. 32
A.1 Udledning af IS-kurven ........................................................................................................................... 32
A.2 Udledning af den Nykeynesianske Phillips-kurve ...................................................................... 33
A.3 Udledning af modellen med stød ........................................................................................................ 36
Appendiks B.............................................................................................................................................................. 39
Litteraturliste ........................................................................................................................................................... 40
1
Forord
Denne opgave undersøger hvordan vanedannelse i forbruget påvirker den nykeynesianske
generelle ligevægtsmodel og centralbankens optimale monetære politik. Vanedannelse er
interessant at undersøge, fordi det er en intuitiv stærkt tiltalende antagelse. Det synes oplagt, at glæden ved forbrug afhænger af hvad man tidligere har haft af forbrug. Populært
sagt: Har man været vant til at nyde røde bøffer og rødvin hver weekend, vil ærgrelsen ved
på et efterfølgende tidspunkt at skulle leve på smalkost være særlig stor og nytten derfor
mindre, end hvis man tidligere havde været vant til mere beskedne måltider.
Vi tager udgangspunkt i en generel ligevægtsmodel med et mikroøkonomisk fundament, en
såkaldt nykeynesiansk makromodel. Vi diskuterer vanedannelsens effekt på modellens
strukturelle ligninger og hvordan vanedannelse påvirker måden hvorpå centralbanken
fører optimal monetær politik, via rentesætningen.
Vi holder os i denne opgave tæt op ad to hovedkilder Walsh (2003) og Amato og Laubach
(2002) samt (2004). Walsh gennemgår den nykeynesianske model med stød. Amato og
Laubach gennemgår effekten af vanedannelse på centralbankens optimale monetære politik. Vi begrænser denne opgave til at fremstille og udlede den økonomiske model, som ville
kunne bruges til simulering og fastsættelse af, hvordan centralbanken bør føre en optimal
monetær politik. En formel udledning af centralbankens optimale plan samt egen modelsimulering ligger udenfor rammerne af denne opgave.
Opgaven er opbygget som følger: Kapitel 1 indleder med en diskussion af det grundlæggende fundament for den økonomiske model. Kapitel 2 udleder modellens strukturelle
relationer fra de nytteoptimerende husholdninger og profitmaksimerende virksomheder.
Kapitel 3 beskriver, hvordan modellen udvides med stød. Kapitel 4 diskuterer hvordan
centralbanken kan føre monetær politik og hvordan den optimale plan ser ud for modellen.
Kapitel 5 kommenterer på en række af de grundlæggende antagelser. Kapitel 6 konkluderer. Vi har set os nødsaget til at lade en række udledninger fremstå af appendiks.
Denne opgave skal ses som resultatet af et stærkt samarbejde mellem forfatterne, men en
påkrævet opdeling af hensyn til individuel bedømmelse er følgende. Casper Nordal Jørgensen har skrevet kapitel 2 fra 2.1.3 og resten af kapitel 2, kapitel 3 og 5 samt appendiks A.
Niels Storm Knigge har skrevet kapitel 1, afsnit 2.1.1, 2.1.2 i kapitel 2 og kapitel 4. Øvrige
dele i opgaven er udarbejdet i fællesskab. De individuelle bidrag har samtidig været udsat
for gensidig sparring og kritik.
2
1 Indledning
I det følgende kapitel præsenteres kort nogle af de vigtige antagelser der ligger bag vores
model. Modellen der bearbejdes er en simpel, nykeynesiansk model, som er modificeret
med en antagelse omkring vanedannelse i husholdningernes nyttefunktion, hvilket præciseres senere. Den simple nykeynesianske model, eller modifikationer heraf, har været flittigt brugt indenfor økonomiske analyser i de senere år. Dette skyldes hovedsageligt, at
modellen bygger på få helt basale antagelser omkring nyttemaksimerende husstande, profitoptimerende virksomheder, pristrægheder mv., som benyttes til at udlede økonomiens
sammenhænge helt fra bunden. Et sådan mikroøkonomisk fundament er vigtigt for at modellen er tilfredsstillende rent teoretisk. Modellen kan i sidste ende beskrive økonomien
med relativt simple sammenhænge, som er brugbare ift. makroanalyser. Modellen ender
således med at bestå af blot 3 sammenhænge 1) en relation for økonomiens samlede efterspørgsel, den såkaldte IS-kurve, 2) en prisudviklingsrelation som sammenfatter udbudssiden til én relation, den såkaldte Phillips-kurve, samt 3) en relation der beskriver den monetære politik, repræsenteret ved et simpelt instrument, som en Taylor-regel, eller en mere omfattende såkaldt ”optimal plan”.
Den nykeynesianske model er baseret på nogle af de elegante mikroøkonomiske principper, som i mange afskygninger har vist sig særdeles holdbare i analyser og over for empiriske test. I modellen bliver efterspørgslen udledt på baggrund af nyttemaksimerende husstande, som står overfor klassiske budgetbetingelser. Dette er en vigtig kontrast til helt
simple modeller med fx antaget fast forbrugskvote. På udbudssiden står konkurrerende
virksomheder, der optimerer i forhold til deres ønske om at maksimere profitten.
Den nykeynesianske model er formuleret med rationelle forventninger, hvilket tilsiger at
agenterne har ”gennemskuet” økonomien, og derfor sætter deres forventninger, så de svarer til den rent matematiske forventningsoperator
Equation Section (Next)
 te1  E  t 1 | It  .
(1.1)
Givet informationssættet It (den tilgængelige viden) til periode t, sætter agenterne deres
forventning til perioden t+1 på basis af den matematiske forventningsoperator, E   . I den
resterende del af opgaven vil den rationelle forventning i periode t til en given variabel, X, i
periode t+1, givet I t til og med t, udtrykkes ved
Et X t  i .
En stærk anke mod rationelle forventninger vil naturligvis være, at alle agenter ikke kan
gennemskue økonomiens ligninger og tage de ubetingede middelværdier som er nødven3
dige. Essensen er dog, at det behøver de sådan set heller ikke. Det vigtigste er at de agerer
som om (”as if”) de gør, som fx Milton Friedman har argumenteret for. En måde at beskrive
rationelle forventninger mere realistisk, er at sige at der findes tusindvis af professionelle
økonomer, som alle udarbejder forskellige prognoser, og hvis agenterne bruger disse
prognoser i deres forventningsdannelse, vil de reagere svarende til hvis de selv havde rationelle forventninger.1
Tidligere, mere simple, specifikationer af forventningsdannelse var en form for rent bagudskuende forventninger, eksempelvis
 te  1  t 1   2  t 2   n  t n  ,
n
 a  1.
i 1
i
(1.2)
Ofte formuleret med kun en eller to perioder i funktionen – ’forventningen til i morgen er
hvad vi oplever i dag’. De bagudskuende forventninger illustreret ved (1.2) gør på mange
måder et godt stykke arbejde ift. at matche empirien, men de lider grundlæggende under
nogle uheldige implikationer som strider mod kriteriet om rimelighed i antagelserne. Som
det vises i Sørensen og Whitta-Jacobsen (2005), vil disse forventninger uundgåeligt kunne
medføre, at agenterne vedbliver med at have systematisk forkerte forventninger til fremtiden, hvilket synes svært ulogisk. Rationelle forventninger lider omvendt af at det skaber et
såkaldt ”Policy Inefficiency Proposition” (PIP), i simple modeller. Det medfører en situation
hvor det faktisk er umuligt at føre nogen form for stabiliserende økonomisk politik.2 En
metode til at afhjælpe dette problem, som påpeget af de keynesianske økonomerne, kan
også være træge priser. Disse træge priser, hvis præcise udformning vil blive beskrevet
senere, udgør en meget vigtig del af de nykeynesianske modeller.
Den nykeynesianske model er en generel ligevægtsmodel. En generel ligevægtsmodel er
kendetegnet ved et fokus på de aggregerede størrelser i økonomien. Derfor anvendes en
række forsimplende antagelser, som eksempelvis symmetri og uendelig tidshorisont. Vi
kommer nærmere ind på disse antagelser i vores modelgennemgang. Vi følger ydermere
de gængse konventioner i litteraturen, og tager en række forsimplende antagelser på de
områder som ikke relaterer sig direkte kvalitativt til vores fokusområde. Disse antagelser
ændrer ikke vores kvalitative resultater, men hjælper meget på muligheden for at præsentere resultaterne af vores analyse. En højere grad af generalisering i antagelserne øger an-
Her under antagelse af at de økonomer der laver prognoser har det! Men det er en noget anden diskussion.
2 Da ustabilitet kun opstår pga. stokastiske stød, som per definition ikke kan forudses. Stabiliseringspolitikken kunne således ikke afhjælpe nogen ”fejl” i økonomien, da de var væk i den følgende periode.
1
4
tallet af parametre, og dermed kompleksiteten i udledninger og simulationer, samt kan
medføre at de endelige resultater er svære, eller direkte umulige at fortolke på.
En rent forsimplende antagelse er, at vi helt vælger at ignorere tilstedeværelsen af både
udlandet, den offentlige sektor, og den finansielle sektor. Vi betragter udelukkende en
virksomhedssektor, en husholdningssektor samt en centralbank, der styrer renten.
2 En nykeynesiansk makromodel med vanedannelse
I dette kapitel præsenteres en kortsigtet lineær makromodel til analyse af optimal pengepolitik. Modellen er en nykeynesiansk generel ligevægtsmodel udvidet med vanedannelse.
Den nykeynesianske makromodel er kendetegnet ved udelukkelsen af endogen kapital i
produktionen, prisstivhed og ved at monetær politik udmøntes i fokus på realrenten. Kapitlet er opbygget som følgende. I afsnit 2.1 præsenteres økonomiens efterspørgselsside,
2.2 udleder det generelle prisniveau og i afsnit 2.3 præsenteres økonomiens udbudsside.
2.1 Husholdningerne
I dette afsnit opbygges økonomiens husholdningssektor, hvorfra IS-kurven udledes. Først
bliver nyttefunktionen for den repræsentative husholdning beskrevet. Herefter diskuteres
vanedannelsens betydning for nytten af forbrug. Vanedannelse inkorporeres i husholdningens nyttefunktion, hvorefter husholdningens nyttemaksimeringsproblem kan opskrives.
Problemet løses og leder os frem til en relation mellem forbruget i nuværende og tidligere
samt fremtidige perioder og dets afhængighed af realrenten, den såkaldte IS-kurve.
2.1.1 Husholdningernes nyttefunktion
Med udgangspunkt i mikroøkonomiens antagelse om nyttemaksimerende agenter beskriver vi husholdningssektoren. Det antages, at der er symmetri i husholdningssektoren,
hvorfor det i beskrivelsen af økonomiens generelle ligevægt er tilstrækkeligt at præsentere
en repræsentativ husstand. På aggregeret niveau fanger denne repræsentative husstand
samtlige individuelle husstande under sig. Antagelsen om symmetri fint i en generel ligevægtsmodel, men er samtidig utrolig simpel at arbejde med. Husholdningerne antages at
have en uendelig tidshorisont, hvilket forklares ved at husholdningerne reproducerer sig
selv og at der eksisterer en hvis omtanke for de næste genererationer. Endelig øger det
endnu engang simpelheden.
5
Antages det at husholdningen diskonterer sin fremtidige nytte mellem hver periode med
den konstante faktor β,3 formuleres husholdningens nyttemaksimeringsproblem som


N 1 
Equation Section (Next) Et   i u  ct i , Ht i    t i  ,   0,   -1.
1  
i 0

(2.1)
Det første led i parentesen viser den positive nytte, u   , af forbrug, mens det sidste led
viser disnytten af arbejde. Summen i parentesen angiver husholdningens periodevise nytte. Husholdningens nyttemaksimeringsproblem er da at maksimere summen af nutidsværdien af den fremtidige periodevise nytte. Nt angiver husholdningens udbud af arbejdskrafts til periode t.  er restrikteret til at være større end -1 for at lade disnytten af arbejde indtræde negativt i husholdningens nytteproblem. En nærmere diskussion af betydningen af størrelsen for  følger.
Husholdningernes nytte af forbruget i en given tidsperiode er et centralt element i denne
opgave. Vi benytter os af en variation af en meget populær nyttefunktionstype, givet ved
1
u  ct , Ht  
1 
1
 ct 
 h
 Ht 
,   1, h[0,1].
(2.2)
Forbruget for husholdningen i periode t benævnes ct . Vanedannelsen, H t , uddybes senere.
Parameteren h angiver styrken af vanedannelsen. For h  0 afhænger nytten af forbrug i
periode t alene af forbruget i periode t, hvilket leder tilbage til den mere simple nyttefunktion, kendt fra eksempelvis Ramsey-modellen som præsenteret i Romer (2003). Det er en
såkaldt Constant Relative Risk Aversion (CRRA) funktion, der som navnet antyder, har en
konstant relativ risikoparameter, per definition givet ved

u ''  ct  ct
u '  ct 
 ct  ct
 1

  ct  ct1ct   .

ct
 1
Parameteren  indtager en vigtig rolle i forhold til vanedannelsen, hvorfor  begrænses
til at være større end 1. Var dette ikke tilfældet ville tidligere forbrug ikke påvirke den
marginale nytte i nuværende periode positivt, hvilket er essentielt i en model med vanedannelse.4 I tilfældet uden vanedannelse ses let, at nyttefunktionen opfylder de basale mikroøkonomiske principper om monotone og konvekse præferencer, da u '  ct   ct  0 og
u ''  ct    ct 
 1  
 0.
Om vi lader husholdningen diskontere med en konstant rate eller lade raten variere, er ikke noget som
kvalitativt vil påvirke vores resultater, og det vil dermed komplicere vores udregninger unødvendigt.
4 Vi diskuterer i kapitel 5 hvordan en kombination af inefficiens i steady state og risikoparameter mindre
end 1, medfører modsatrettede velfærdseffekter.
3
6
2.1.2 Vanedannelsen
Vanedannelsen i vores nyttefunktion er helt central for analysen i denne opgave. Vanedannelse er i litteraturen blevet formuleret på en række forskellige måder. I (2.2) er vanedannelsen vist som det relative forhold mellem forbruget og vanestørrelsen, dvs. ct Hth . Alternativt kunne det være formuleret med additiv vanedannelse, dvs. ct  Hth . Dennis (2009)
noterer, at den multiplikative version viser sig at være et specialtilfælde af den additive,
når man benytter en log-lineær approksimation. Han viser dog samtidig, at der ikke er kvalitativ forskel mellem de to specifikationer. Vi vælger derfor den multiplikative vanedannelse for at kunne sammenligne vores model med Amato og Laubach (2004).
En generel form for den vanedannelse kan udtrykkes ved


Ht  pHt 1  1  p  ct11DCtD1 ,
(2.3)
hvor ct-1 er den repræsentative husholdnings forbrug, mens Ct-1 er det aggregerede forbrug,
begge til periode t-1. Vanedannelsen, Ht , beskrives dermed som en autoregressiv proces
hvor parameteren p 0;1 måler hukommelsen i processen. Størrelsen af vanen afhænger
af en aritmetisk vægtning mellem sidste periodes vane og en geometrisk vejning mellem
husholdningens eget forbrug i forhold til økonomiens samlede forbrug i sidste periode. Et
større p vil lægge relativt større vægt på sidste periodes vanedannelses størrelse, Ht 1 ,
mens et p på nul vil gøre at vanedannelsen udelukkende dannes som en vægtning mellem
eget og det aggregerede forbrug i sidste periode. For at holde modellen så simpel som mulig og for at kunne sammenligne med modellen fra Amato og Laubach (2004) lader vi p=0.
Parameteren D 0;1 angiver vægten mellem den interne (eget forbrug) og eksterne
(samlede forbrug) vanedannelse i husholdningens nytte af forbrug. Det synes intuitivt rigtigt, at husholdningen i dannelse af sin vane både påvirkes af eksternt og internt forbrug.
Størrelsen af D er dog ikke helt triviel at definere, og i særdeleshed ikke at estimere. Dette
betyder, sammen med ønsket om simpelhed, at de fleste artikler som regel kun vælger enten intern eller ekstern vanedannelse. Samtidig fremgår det af Dennis (2009), at forskellen
mellem at formulere en model enten med ren intern eller med ren ekstern vanedannelse er
meget lille. Vi vælger derfor at sætte D  0 . Disse forsimplinger samt en kombination af
(2.1), (2.2) og (2.3) giver os husholdningens samlede nutidsværdi af fremtidig nytte

 1  c 1
Nt1i 
t i
.
Et   i 


 h 
1  
 1    ct 1i 
i 0

7
(2.4)
2.1.3 Løsning af forbrugernes nytteoptimering
Den repræsentative husholdning søger at maksimere (2.4) med hensyn til dens budgetbetingelse. Med udgangspunkt i Walsh (2003) opstilles den repræsentative husholdnings
budgetbetingelse for forbrug og indkomst i periode t til
ct 
Bt Wt
B

Nt  1  it 1  t 1  t .
Pt Pt
Pt
(2.5)
Venstresiden viser husholdningens reale forbrug, ct, og reale opsparing i obligationer,5
Bt Pt . Højresiden viser husholdningens reale lønindkomst, Nt  wt Pt , samt reale værdi og
afkast af sidste periodes opsparing, 1  it 1  Bt 1 Pt . Husstanden opfatter profitten fra virksomhederne,  t , eksogent, selvom disse er ejet af husholdningerne.6 Husstandens problem er da at maksimere (2.4) med (2.5) som bibetingelse. Vi opskriver Lagrangefunktionen
 1  c 1

Nt1i
t i







1    cth1i 
1 

i 
L  ct , Bt , Nt   Et   
.
i 0


B
W
B
 

t i
t i
t  i 1
 t i ct i  P  P Nt i  1  it i 1  P   t  i 
t i
t i
t i



(2.6)
Det leder frem til følgende tre førsteordensbetingelser
og
L
 1 h1  
 h 1
 0  ct ct 1    h Et ct11 ct 
 t ,
ct
(2.7)
L
 0   1  it  Et t 1 Pt11  t Pt1
Bt
(2.8)
 Nt Wt
L
0

.
Nt
t
Pt
(2.9)
Førsteordensbetingelserne er Euler-ligningerne for det optimale intertemporale forbrugsplan (2.7), det optimale relative prisniveau (2.8), samt den optimale intertemporale betingelse for, at den marginale substitutionsrate mellem arbejde og forbrug (λt er marginalnytte af forbrug) netop er lig reallønnen (2.9). Det bemærkes, at ovenstående Euler-ligninger
kun repræsenterer et optimum når andenordensbetingelserne er opfyldt.7
Mere præcist som etårige risikofrie obligationer.
Hvis en husstand modtog profit som følge af direkte medejerskab (dvs. hvis husstand havde signifikant
indflydelse i virksomhedens bestyrelse), ville husstanden nødvendigvis medtage virksomhedens profitmaksimeringsproblem i sit eget nyttemaksimeringsproblem. Da antallet af husstande i en økonomi som
modtager profit er relativ lille, ser vi bort fra dette.
7 Andenordensbetingelserne for optimum er L2 /  2 v  0, hvor v  c , b ,  N
 t t t  . En yderligere dist
t
5
6
kussion af efficiens af steady state følger senere i kapitel 5.
8
Uden vanedannelse, dvs. for h=0, reduceres ovenstående Euler-ligningerne til de klassiske
Euler-ligninger i den nykeynesianske model, som vist i Walsh (2003, se kapitel 5). Med
vanedannelse har vi, at den marginale nytte af forbrug i denne periode er voksende i både
sidste periodes forbrug samt i forventningen til næste periodes forbrug. Des større grad af
vanedannelse i husholdningens forbrug, des kraftigere påvirker sidste periodes forbrug og
det forventede fremtidige forbrug den marginale nytte af forbrug i denne periode.
2.1.4 Linearisering omkring steady state
For at finde en relation mellem forbrug og realrente approksimeres Euler-ligningerne omkring deres steady state værdier. I appendiks A vises hvordan (2.7) kan omskrives til en
log-lineær form via en Taylor-approksimation omkring steady state. Resultatet giver følgende udtryk


1
     h 1  h 1       h 1    L   h 1    L1  Et cˆt 1  ˆt ,


1  h  
(2.10)
hvor L betegner lag-operatoren, dvs L1vt  vt 1 , cˆt  log  ct c  og ˆt  log  t   .
En log-linearisering af (2.8) kombineret med (2.10) vises i appendiks A at give os relationen mellem aggregeret forbrug og opsparing,8 den såkaldte IS-kurve
Et cˆt 1 
1
cˆ   Et cˆt 2  
2  t
 1   h
2
rt  Et  t 1  ,
(2.11)
hvor 1  h1    <0, 2     h1  h1      0, rt  log   1  it   og  t  log Pt Pt 1 .
Uden vanedannelse, dvs. for h=0, reduceres (2.11) til den simple IS-relation,
Et cˆt 1   1  rt  Et  t 1  , dvs. at den forventede stigning i forbrugets afvigelse fra steady
state er ligefrem proportionel med størrelsen rt  Et  t 1 .9 IS-kurven med vanedannelse
viser os således, at den forventede ændring i forbrugets afvigelse fra steady state udover
realrenten, både afhænger af ændringen i det laggede og fremtidige forbrugs afvigelse fra
steady state.
Da relationen udledes fra én (repræsentativ) husstand bør den sande relation skaleres med antallet af
husholdninger i økonomien. Med antagelsen om symmetri vælger alle husstande samme forbrugsplan,
ct, hvorfor (2.11) fanger hele dynamikken i økonomiens efterspørgselsside.
9 Denne kunne betegnes som den krævede realrente til perioden t. Helt præcist måler  den procentvit
8
se afvigelse af prisniveauets ændring fra sin steady state værdi og rt måler den nominelle rentes procentvise afvigelse fra sin steady state værdi, da lineariseringerne er taget omkring et steady state med
nul inflation. Derfor må størrelsen rt  Et  t 1 måle forskellen mellem det nominelle rentegab og det forventede inflationsgab i næste periode.
9
Da 1  0 og 2  0 afhænger den forventede ændring i forbruget til periode t+1 positivt af
en stigning i periode t og af en forventet stigning i forbruget til periode t+2. Det forventede
fremtidige forbrug stiger dels hvis det nuværende forbrug stiger og dels hvis det forventede efterfølgende forbrug gør det. Dette følger direkte af (2.7), hvor en stigning i forbruget
til periode t-1 eller en stigning i det forventede forbrug til periode t+1, får den marginale
nytte af forbrug i periode t til at stige. Denne effekt ses at være stigende i h. Det betyder, at
des kraftigere vanedannelse, des stærkere påvirkning er der på forventede forbrugsændring fra forbrugsændringer i alle andre perioder. Det bemærkes, at en stigning i forholdet
rt  Et  t 1 øger forventningen til næste periodes forbrug. Dette kommer af stigningen i afkastet fra husholdningernes beholdning af obligationer. Effekten påvirkes negativt fra
1   h , men positivt fra nævneren, 2     h1  h1    . Lidt algebra giver os, at påvirkningen fra differensen mellem realrenten og forventede inflation på forventningen til
forbrugsstigningen i periode t+1 er aftagende i vanedannelsen.10
2.2 Økonomiens prisniveau
I dette afsnit beskrives økonomiens generelle prisniveau og den enkelte husholdnings efterspørgselskurve udledes. Vi starter med at definere husholdningens sammensætning af
forbrugsvarer, den såkaldte forbrugskurv. Derefter vises hvordan husholdningen minimerer sine omkostninger ved køb af disse, hvilket leder frem til økonomiens prisniveau. Dette
udnyttes igen i definitionen af forbrugskurven til at finde den repræsentative husholdnings
efterspørgsel.
Vi lader os i dette afsnit stærkt inspirere af Walshs (2003, kapitel 5) gennemgang af prisniveauet for en nykeynesiansk økonomi uden vanedannelse. Husholdningerne forbruger en
kurv af internt substituerbare varer udbudt af økonomiens virksomheder gennem monopolistisk konkurrence. Det antages, at markedet består af et kontinuum af virksomheder,
hvor den repræsentative virksomhed, s, til tidspunkt t udbyder den enkelte vare cst. Forbrugskurven, ct, til tidspunkt t, kan da udtrykkes som

 1  1    1
ct    c st ds  ,   1, 11
0


10

Ændringen i brøken mht. h findes ved en snild omskrivning til h1  
(2.12)
  h
1

  1  h 1     hvil-
ket klart ses at blive mindre for en stigning i h, da   1.
11 Der tages integralet fra 0 til 1, hvilket blot er et udtrykt for tætheden hvormed kontinuet af virksomheder ligger. Alternativt kunne specificeres integralet fra 0 til 100 pct.
10
hvor  måler den enkelte vares priselasticitet. Det er vigtigt at fokusere på, at husholdningens optimale forbrugsplan består af en kombination af at maksimere selve forbrugskurven, ct, men samtidig minimere omkostningerne af at købe ct. Husholdningen står over for
problemet, at

 1  1    1
st .   c st ds   ct ,
0


1
min  pst  c st ds
c st
0
hvor pst er prisen på cst og bibetingelsen kommer af, at antallet af producerede varer er
større eller lig efterspørgslen. Betingelsen binder med lighed i optimum, hvilket giver markedsclearing. Er t Lagranges multiplikator får vi førsteordensbetingelsen for det s’te gode
til
1

 1  1   1  1
pst  t   c st ds  c st
0



 
c st   t  ct .
 pst 
(2.13)
Dette udnyttes i definitionen i (2.12), hvorfra der løses for t og vi finder det aggregerede
prisniveau
t    p ds 
1

0
1
st

1
1
 Pt .
(2.14)
Den repræsentative husholdnings efterspørgsel efter cst fra (2.13) bliver da

p 
c st   st  ct ,
 Pt 
(2.15)
hvilket ses, at være en ikke-lineær efterspørgselfunktion, hvor den relative efterspørgsel
efter vare cst er aftagende i dens relative pris. Man kan heraf udlede, at økonomiens varer
opfattes som komplementer, dvs. at alle varer efterspørges og den repræsentative forbrugskurv består af et kontinuum af samtlige udbudte varer.
2.3 Virksomhederne
I dette afsnit udledes økonomiens nykeynesianske Phillips-kurve. Først defineres økonomiens udbudsside ved den repræsentative virksomhed. Med udgangspunkt i virksomhedens omkostningsminimeringsproblem findes de reale marginale omkostninger. Dette
kombineres med den repræsentative husholdnings efterspørgsel, hvormed vi bliver i stand
til at løse virksomhedens prissætningsproblem. Linearisering af denne løsning omkring
steady state giver os den nykeynesianske Phillips-kurve i vores økonomi.
Med udgangspunkt i Walsh (2003) bygges udbudssiden op om profitmaksimerende virksomheder betinget af dels deres produktionsteknologi, dels efterspørgselskurven, (2.15),
11
og dels at ikke alle virksomheder er i stand til at ændre deres priser i hver periode. Der
antages symmetri på udbudssiden med udgangspunkt i samme argumenter som for husholdningssektoren. I forhold til begrænsningen om prissætning holder vi os tæt op ad Calvos (1983) model for prisstivheder. Andelen 1-ω af virksomhederne i stand til at skifte
priser i hver periode. Vi lader  0;1 være uafhængig af fortiden, så sandsynligheden for
at den enkelte virksomhed har samme priser i periode t+i som i periode t, er  i . Calvos
specifikation er simpel, men brugbar når man betragter den aggregerede økonomi. Vi oplever i virkeligheden, at kun en hvis mængde virksomheder skifter priser hver periode,
svarende til at det er styret af en stokastisk proces.
I virksomhedens optimeringsproblem tages der ikke højde for samme vanedannelse som
husholdningen oplever i sit problem. Walshs specifikation afviger fra Amato og Laubach
(2002) ved, at der antages adskillelse mellem input af arbejdskraft fra husholdningerne og
udbud af varer til husholdningerne. Begge fremgangsmåder antager monopolistisk konkurrence på udbudssiden, hvor Walsh (2003) gør det på klassisk manér, mens Amato og
Laubach (2002) gør det ved at lade den enkelte husholdning udbyde en differentieret vare.
Hver husholdning opfattes dermed samtidig som en virksomhed, som elastisk udbyder en
vare og møder en ikke-lineær efterspørgsel. De to forskellige fremgangsmåder diskuteres
nærmere i henhold til udformningen af den nykeynesianske Phillips-kurve.
I henhold til de førnævnte begrænsninger, er det vigtigt at pointere, at udelukkelse af kapital og hermed kapitalakkumulation ikke har kvalitativ indflydelse på vores model.12 Tillige
udelukker vi teknologivækst. Produktionen er alene afhængig af anvendte arbejdskraft Nst
og et aggregeret produktivitetsstød, Zt13, dvs.
cst  Zt Nst ,
E  Zt   1.
(2.16)
Produktionsfunktionen oplever konstant skalaafkast, mens Iñada betingelserne ikke er
opfyldt.14 Virksomheden oplever hverken aftagende marginalprodukt eller stigende mar-
Antages en eksogen proces for kapitalakkumulationen har det ikke den store effekt på resultaterne i
en kortsigtsanalyse. Walsh henviser dog til, at udviklingen i kapitalapparatet og dettes sammenhæng
mellem andre endogene variable er vigtig for forståelsen af inflationen opførsel.
13 Øvrige stød beskrives først i kapitel 3. Vi medtager produktivitetsstøddet allerede i dette kapitel for at
have mulighed for at udlede og beskrive økonomiens fleksible pris-output (som er nul, hvis Zt ikke tages
med).
14 Iñada betingelserne for en kontinuert funktion f(x), opskrives formelt ved f  0   0, f '  x   ,
12
f '  x   0, f ''  x   0, lim f '  x    og lim f '  x   0.
x 0
x 
12
ginale omkostninger. Dette går i mod gængse antagelser om virksomhedernes profitmaksimering, men specifikationen hjælper til at simplificere vores model.15
Omkostningsminimering er første skridt mod profitmaksimering. Virksomhed s løser derfor problemet at minimere omkostningen på arbejde, givet produktionsteknologien, hvilket giver følgende problem
W

min  t Nst  st  c st  Zt Nst   ,
Nst
 Pt

hvor φst er virksomhed s reale marginale omkostninger til tiden t. Virksomheden hyrer
arbejdskraften, Nst, til lønnen Wst, men grundet symmetri og fleksible lønninger er Wst = Wt.
Alle virksomhederne løser samme problem og finder da samme førsteordensbetingelse
st  t 
Wt Pt
.
Zt
(2.17)
De marginale omkostninger er i optimum reallønnen over det stokastiske produktivitetsstød. Virksomhedens problem er at maksimere nutidsværdien af fremtidig forventet profit
ved at sætte den optimale pris. Dette giver virksomhedens prissætningsproblem

p

Et   i i ,t 1  st c st i  t i c st i  ,
i 0
 Pt i

(2.18)
hvor Δi, t+i er diskonteringsfaktoren til tiden t.16 Problemet skal løses med hensyn til prisen
pst, da virksomheden i hver periode har muligheden for at skifte priser med sandsynligheden 1   . Dernæst anvendes den førnævnte begrænsning i forbrugernes efterspørgsel,
(2.15), til at fjerne cst hvormed (2.18) formuleres til

 p 1
 pst  
st
Et   i ,t i 
  t i 
  ct i .
 Pt i 
i 0
 Pt i  

i
(2.19)
Antagelsen om symmetri giver samme prisfastsætningsproblem for samtlige virksomheder. Kombineret med at virksomhederne oplever samme sandsynlighed for at skifte
deres priser, medfører dette at virksomhederne løser samme problem, (2.19), hvilket giver
samme førsteordensbetingelse for den optimale pris pst* dvs.

 1
p*
Et   i ,t i 1    st  t i  *
Pt i
i 0

 pst

i

 pst* 

 ct i  0.
 Pt i 
(2.20)
Walsh (2003) beskriver hvordan stigende marginale omkostninger giver en mindre effekt af stigende
omkostninger og dermed outputgabets indflydelse på inflationen.
16 Givet ud fra husholdningernes diskontering af forbrug fremover for nuværende, dvs.
15
i ,t i   i  ct i ct 

13
Alle virksomheder med mulighed for at skifte priser sætter samme optimale pris pt*, hvorfor vi dropper fodtegnet ”s”. Vi omskriver (2.20) til
1
 1 
1    p Et  i ,t i  
i 0
 Pt i 
*
t

i
ct i

 1 
 Et  i ,t i 
 ct it i .
i 0
 Pt i 

i
Vi anvender nu definitionen af Δi, t+i, dividerer med det generelle prisniveau til tiden t og
isolerer den optimale relative pris


i i 1  Pt  i 
E


 ct  i 


t
t

i
Pt 
pt*
i 0


,
 1

Pt
i i 1  Pt  i 
E t    ct  i 

i 0
 Pt 
(2.21)
som fortæller hvordan den optimale pris i forhold til det generelle prisniveau er en markup,      1  1 , over nutidsværdien af en geometrisk vægtning af forventningen til
fremtidige prisstigninger, de marginale reale omkostninger, sandsynligheden for ingen
prisændring samt den relative efterspørgsel efter virksomhedens vare.
Da blot 1   af virksomhederne ændrer priser i hver periode, bliver det generelle prisniveau i periode t
 
Pt1  1    pt*
1
 Pt11 ,
(2.22)
når vi anvender den generelle pris, som defineret i (2.14). Det vises i appendiks A hvordan
en log-linearising af (2.22) giver os
qˆt 

t ,
1 
(2.23)
når qˆ  log Qt  log Q og hvor Qt  pt* Pt . Det ses da, at inflationen er proportionel med steady state afvigelsen af virksomhedens optimale relative pris. Vi viser i appendiks A, at en
Taylor-approksimation af (2.21) giver os følgende

qˆt  pˆ t  1      i  i Et ˆt i  pˆ t i  ,
(2.24)
i 0
hvor pˆ t  log Pt  log P og ˆt  log t  log  . Venstresiden af (2.24) er den optimale pris
pˆ t*  qˆt  pˆ t virksomheden sætter til tidspunkt t.17 Det bemærkes, at φ er virksomhedens re-
ale omkostninger, ω er sandsynligheden for at virksomheden ikke skifter pris og β er husholdningernes tidspræference. Dette giver, at højresiden viser nutidsværdien af de fremti-
17
Fra Qt  pt* Pt  qˆt  pt*  pˆ t .
14
dige nominelle marginale omkostninger. Den optimale pris virksomhedens ønsker at sætte
til ethvert tidspunkt t er nutidsværdien af de fremtidige nominelle omkostninger.
Tager man igen fat i ligning (2.21), og studerer denne med fleksible priser, dvs. med ω=0,
vil alle virksomheder have mulighed for at skifte priser i hver periode, hvorfor man får
pt*  t Pt ,
(2.25)
hvor det bemærkes, at    1     1. (2.25) viser hvordan virksomheden sætter sin pris,
pt* , som en markup over de nominelle marginale omkostninger når den kan skifte priser i
hver periode. Med fleksible priser sætter alle virksomheder den samme pris, hvorfor
pt*  Pt og t   1 . Det vises i appendiks A, hvordan dette udnyttes til at finde det struktu-
relle output i økonomien, når priserne er fleksible,
Et yˆ tf 
1   h 
zˆ ,
1 L1 3 1 L t
(2.26)
hvor 3   2       h1  h1      0 , og L fortsat betegner lag-operatoren. Ligning
(2.26) viser det naturlige outputs afvigelse i procent fra steady state niveauet for økonomien med vanedannelse. Er økonomien uden vanedannelse, h=0, reduceres (2.26) til
yˆ tf  1       zˆtf . Da 1  0 ses det, at et positivt produktivitetsstød i sidste periode
og/eller en forventning til samme i næste periode, har positiv indflydelse på det naturlige
outputs afvigelse fra steady state niveauet i denne periode. Denne effekt er stigende i h.
Ved hjælp af (2.24) og (2.26) gennemgås en mængde kedelig algebra i appendiks A, hvilket
resulterer i, at den nykeynesianske Phillips-kurve for vores økonomi nu kan opskrives som
 t   Et  t 1 
hvor

 1 L1 3 1 L Et xˆ t ,
1  h
Et xˆ t  Et yˆ t  Et yˆ tf og  
(2.27)
1   1    .

Det ses således, at inflationen til tidspunkt t afhænger af forventningen til inflationen i næste periode og af outputgabet i både den foregående, nuværende og forventningen til næste periode. Sættes h=0 reduceres (2.27) til  t   Et  t 1   (   ) xˆt , som vist i Walsh
(2003) i en model uden vanedannelse.
Inkorporering af vanedannelse i husholdningernes forbrug giver en tidsbestemt effekt på
den marginale substitutionsrate mellem fritid og forbrug, hvilket spiller ind på virksomhedernes reale lønomkostninger og dermed deres optimale pris. Et positivt outputgab
i denne periode giver en stigning i denne periodes inflation. Holdes den forventede inflation fast, ses det, at et positivt outputgab, via et negativt produktivitetsstød, til periode t-1,
15
eller et forventet positivt outputgab til periode t+1, har negativ indflydelse på inflationen i
denne periode, da 1  0 . Dette kommer af, at et negativt produktivitetsstød til periode t-1
eller til periode t+1 mindsker det fleksible pris-output til periode t resulterende i et positivt outputgab til periode t. Ignorerer vi effekten fra sidste periodes outputgab påvirkes
inflationen til periode t negativt ved et positivt outputgab til den forrige eller efterfølgende
periode.
For at se hvordan en forventet stigning i outputgabet til periode t+1 påvirker inflationen til
periode t, itereres (2.27) to perioder frem for at dække hele betydningen af xˆ t 1 . Lader vi
  1   h , findes
1
 t  1 xˆ t 1   3  1  xˆ t   1  3  1  Et xˆ t 1
  2 1  3  Et xˆ t 2   31 Et xˆ t 3   3 Et  t 3 ,


hvorfra det konkluderes, at  t  Et xˆ t 1     h1   h   1  h1   1  h    0, dvs.
at et forventet positivt outputgab i næste periode allerede skaber positiv inflation i denne
periode. Resultatet stemmer overens med Amato og Laubach (2002) ved en iteration af
deres Phillips-kurve. Dette synes også intuitivt ved et output over steady state niveauet,
giver et skub til de reale marginale omkostninger hos virksomheden. Det øger den optimale pris for virksomheden, som øger prisniveauet over det langsigtsoptimale og dermed får
inflationen til at stige.
Den nykeynesianske Phillips-kurve i (2.27) minder meget om samme i Amato og Laubach
(2002), selvom vi anvender en anden specifikation for økonomiens udbudsside. De lader
den enkelte husholdning udbyde et differentieret produkt, hvor samme husholdning efterspørger en kurv af de producerede varer. Hermed tager husholdningen ikke stilling til det
optimale forhold mellem forbrug og arbejde, men snarere mellem forbrug af andre varer i
forhold til mindre forbrug (= salg) af eget. Husholdningen løser dermed, implicit, virksomhedens problem i sin nyttemaksimering. Forskellen bliver da alene, at i Amato og Laubachs
specifikation spiller disnytten af arbejdsudbuddet ind i relationen for Phillips-kurven. Dette viser den ekstra effekt med inkorporering af vanedannelse direkte i virksomhedens
problem. A&Ls form mindsker vanedannelsens påvirkning på inflationen.
16
3 Modellen med stød
I dette kapitel inkorporeres stød til den nykeynesianske model fra kapitel 2.
Vi er interesserede i at omskrive (2.11), udtrykt i afvigelsen fra steady state. Det udnyttes,
at når inflationen er nul i steady state og markedet clearer, så cˆt  yˆ t og realrenten kan
udtrykkes ved
Equation Section (Next) rtn  1   h 1 2L1 1  L2  Et yˆ tf .
1
(3.1)
rn kaldes den Wicksellianske realrente, den naturlige realrente når inflationen er nul i
steady state. Dette anvendes i (2.11), hvilket giver IS ligningen udtrykt i outputgab
2 Et xˆ t 1  1 1   L2  Et xˆ t  1   h rt  rtn  Et  t 1  ,
(3.2)
Hvor xˆ t  yˆ t  yˆ tf måler outputgabet.
I udledningen af ligning (3.2) er der ikke inkorporeret stød til efterspørgslen. I (2.27), er
udbudsstød også udeladt. Dette skyldes at ovenstående udledninger ønskes simple. Vi udvider nu husholdningens nytte af forbrug med et smagsstød  t , E  t   1, og disnytten af
arbejde udvides med et lønmarkup, e t . 18 Det giver et nyt udtryk for husholdningens prow
blem

 1
Et   i 
 1  
i 0
1
 ct i t i 
 h

 ct 1  i 
e t Nt1i 
.
1  

w

(3.3)
Maksimeres problemet med hensyn til bibetingelsen i (2.5), vises i appendiks A.3 hvordan
de lineariserede Eulerligninger (2.7), (2.8) og (2.9) findes til
ˆt  1   h
og
1
1      L
1
1

 Etˆ t  1 L 2  1 L1  Et cˆt ,
(3.4)
ˆt  Et ˆt 1  rt  Et  t 1
(3.5)
wˆ t  pˆ t  nˆt  tw  ˆt .
(3.6)
Hvor Etˆ t  Et  t    Et  t  1 . Vi udnytter da igen ovennævnte Wicksellianske realrente, hvormed IS ligningen udtrykt i forventet afvigelse fra steady state findes til
1
1
1   L2  Et xˆt   1 L1  1    Et ˆ t 1
2
2
1 h

 rt  rtn  Et t 1 .
2
Et xˆt 1  
(3.7)
Markuppen er ikke strengt nødvendig at restriktere, da den opløftes i den naturlige logaritme og altid
vil have en monotont voksende påvirkning på disnytten af arbejde. Vi antager for simpelhedens skyld, at
18
E[ tw ]  0.
17
Finder husholdningerne pludselig en større glæde af forbrug til et senere tidspunkt,
Et ˆ t i  0 , kaldes dette for et positivt efterspørgselsstød. Dette kan tolkes som en stigende efterspørgsel efter forbrug i periode t+i, men samtidig som en stigende tålmodighed hos
husholdningen for alle perioder t+i-j, for j<i. Fastholdes formuleringen om et efterspørgselsstød, ses fra IS ligningen at et forventet positivt stød til efterspørgslen i periode t+1,
Et ˆ t 1  0 , alt andet lige giver en forventet negativ ændring i outputgabet i periode t+1.
Alt andet lige giver hele betydningen af en stigning i Etˆ t 1 et fald i Et xˆ t 1 , da
1   h for h  1. Det synes intuitivt korrekt, at et forventet stød til efterspørgslen i periode
t+1 medfører en forventet stigning i outputgabet i periode t+1. Udvides (3.7) med udtrykket for xˆ t , fremgår da også, at samlet set vil et forventet efterspørgselsstød i næste periode give et forventet outputgab, når vi danner forventningen i denne periode.
Med stød findes det nye fleksible pris-output til
Et yˆ tf 
1   h 
1
  w  1     1 L1  Etˆ t  .
zˆ 
1 t
1  t



1 L 3  1 L
1 L 3  1 L
(3.8)
Udtrykket for det fleksible pris-output er udvidet med efterspørgselsstød og et lønmarkup.
Det fleksible pris-output afhænger negativt af stød til efterspørgslen og lønmarkuppen. I
steady state er effekten af et enperiodes efterspørgselsstød stigende i vanedannelsen. Det
samme viser sig for en stigning i en enkelt periodes lønmarkup.19
Via (2.17), (3.6) og (3.8) findes de reale marginalomkostninger for virksomhederne
ˆt  1   h 1 L 3  1 L1  Et  yˆ t  yˆ tf  .
1
(3.9)
Et efterspørgselsstød eller højere lønmarkup påvirker virksomhedernes marginalomkostninger gennem økonomiens fleksible pris-output. Stød påvirker det fleksible pris-output
negativt, hvilket øger de reale marginalomkostninger for virksomhederne. Større lønmarkup giver naturligt at lønnen stiger, hvilket mindsker outputtet under fleksible priser,
hvormed de reale marginalomkostninger i produktionen øges. Analogt mindsker et efterspørgselsstød det fleksible pris-output og påvirker således virksomhedens reale marginalomkostninger positivt. Begge effekter er aftagende i vanedannelsen.20
Den nykeynesianske Phillips-kurve med inkorporeret udbuds- og efterspørgselsstød kan
nu udtrykkes ved
19
Da 3 h  0.
20
Da
   h
1
1

1
 1
h
18
 t   Et  t 1 

 1 L1  3  1 L Et xˆ t .
1  h
(3.10)
Af (3.10) ses, at inflationen i en periode afhænger positivt af den forventede inflation i næste periode samt outputgabet i foregående, nuværende og forventede næste periode. Inflationen i næste periode diskonteres med husholdningernes tålmodighed. Inflationen afhænger ydermere af de reale størrelser for outputgabet. Indvirkningen på inflationen fra
stød til efterspørgslen og lønmarkuppen går igennem de reale marginale omkostninger
som beskrevet ovenfor. Des større vanedannelse, des kraftigere effekt har et stød til efterspørgslen eller en større lønmarkup på inflationsdannelsen.
Vi har nu formuleret den relevante model til brug i vores analyse af den optimale monetære politik. Modellen består således af to strukturelle ligninger 1) en IS-kurve, (3.7), der beskriver den samlede efterspørgsel i økonomien, og 2) en den nykeynesianske Phillipskurve, (3.10), der samler udbudssiden i en prisudviklingsrelation, begge udvidet med
stødvariable. Med inkorporering af vanedannelse øges antallet af lags i vores strukturelle
ligninger. Samtidig forstærkes de simultane påvirkninger mellem outputtet og inflationen.
I en model med vanedannelse vil inflationen og outputgabet derfor opleve en højere grad
af persistens. Centralbankens problem bliver derfor en kende mere avanceret, idet der
også skal tages hensyn til nuværende og fremtidig vanetænkning.
4 Monetær politik
I dette kapitel vil vi kigge nærmere på monetær politik i lyset af vores model med vanedannelse. Den monetære politik beskriver den dynamik der driver rentesætningen i økonomien, og er således den sidste byggeklods i modellen. I en økonomi, som rammes af stokastiske stød, skubbes økonomien konstant væk fra sin ligevægt. Økonomiens renteniveau
vil derfor skulle tilpasses nye omstændigheder frem for at være på et konstant niveau. I
dette kapitel sammenlignes en såkaldt optimal monetær plan, hvor det lykkes centralbanken at sætte en monetær politik, der optimerer sit mål, med en metode hvor centralbanken
i stedet sætter en simpel regel for sin rentesætning. Vi vil vha. af en gennemgang af Amato
og Laubachs (2004) modelsimuleringer forsøge at illustrere nogle af konsekvenserne af
indførslen af vanedannelse både i lyset af en optimal monetær plan og i tilfældet med en
simpel regel for rentesætningen.
19
4.1 Den optimale plan og den social tabsfunktion
Den optimale monetære plan er karakteriseret ved at renten sættes på en sådan måde, at
det på optimerer hele økonomiens velfærd. Målet for sådan en optimering kan være meget
kompleks, når man forestiller sig, at staten eller centralbankens skal tage hensyn til millioner af forskellige husholdningers præferencer, eksternaliteter, informationsproblematikker og andre markedsfejl. I den komplekse virkelighed kan det derfor være ret svært bare
at få defineret målet med en eventuelt optimal monetær plan.
Det synes intuitivt korrekt at centralbanken ønsker at agere som en socialplanlægger og
søger at maksimere den samlede nytte i økonomien. I en simpel symmetrisk økonomi, som
den skitserede, hvor virksomhederne ejes af husholdningerne, kan det retfærdiggøres at
en maksimering af husholdningernes nytte er ækvivalent med at maksimere samfundsnytten. Vi vælger at begrænse opgavens omfang på dette område: Da det ligger udenfor denne
opgaves sigte selv at udføre modelsimuleringer, vil vi i stedet basere vores analyse på andres resultater i lignende analyser, nemlig en kvalitativ gennemgang af metoderne og
sammenligning af modelsimuleringsresultater baseret på Walsh (2003) samt Amato og
Laubach (2004). Den formelle udledning af den sociale tabsfunktion er overordentlig kompliceret og givet denne opgaves begrænsninger vælger vi at undlade denne.
Walsh (2003) gennemgår en metode til hvordan man kan gribe centralbankens problem an
i en simpel nykeynesiansk model uden vanedannelse. Han vælger at tage en andenordens
Taylor-approksimation af husholdningernes nyttefunktion omkring steady state for at finde frem til målet for maksimering. Han kommer som resultat af denne approksimation
frem til et vældig interessant resultat, som her er fremstillet i sammenlignelig notation


2
Equation Section (Next) Et   iVt i  Et   i  t2i    xˆ t i  xˆ *  .


i 0
i 0
(4.1)
Den forventede sum af den tilbagediskonterede nytte, V, er med modsat fortegn approksimeret til summen af en vægtning mellem kvadratet på inflationen,  t , og på outputgabets
afvigelse fra steady state, xˆ t . Størrelserne på konstanterne   0 og   0 er bestemt af
modellens parametre.21 Der indgår derudover et element, xˆ *  0 , som måler forskellen
mellem et efficient steady state og det steady state der opstår som konsekvens af de forvridninger der er resultatet af den monopolistiske konkurrence som Walsh (og vi) antager.
Som nævnt antages at steady state er efficient, dvs. xˆ *  0. Samtidig kan optimeringsproParametrene i Ω og λ er som sådan også meget interessante, men vi henviser til Walsh (2003) appendiks 11.6 for en eksplicit forklaring af dem, da disse er slutresultatet i de lange udregninger der ligger
bag.
21
20
blemet vendes om, hvis man udnytter, at det at maksimere en positiv nyttefunktion, er
ækvivalent til at minimere en negativ tabsfunktion. Efter at have byttet rundt og simplificeret udtrykket en smule,22 når Walsh (2003) frem til følgende funktion, som kaldes ”social
loss function”, den sociale tabsfunktion


i 0
i 0


SLt  Et   i Lt  Et   i  t2i   xt2i .
(4.2)
Udtrykket er nu kogt sammen til et simpelt udtryk, hvor det sociale tab til periode t er forventningen til periode t til den tilbagediskonterede værdi af en periodevis tabsfunktion,
Lt . Funktionen afhænger af den kvadrerede inflation og det kvadrerede outputgab, med en
vægt på outputgabet bestemt af modellens eksogene variable, givet af  .
4.2 Tabsfunktionen med vanedannelse
Udformningen af tabsfunktionen bliver naturligvis også påvirket af tilføjelsen af vanedannelse. Metoden i en model med vanedannelse afviger dog ikke fra metoden i den simple
nykeynesianske model som Walsh skitserer. Amato og Laubach (2004) søger således også
at maksimere repræsentative husholdningernes nytte med en andenordens Taylorapproksimation omkring det samme steady state, som resten af økonomiens relationer er
opbygget omkring. De antager direkte at steady state er efficient og når på denne måde
frem til følgende sociale tabsfunktion

SLt  Et   i Lt i .
(4.3)
i 0
Det sociale tab er den forventede nutidsværdi til den periodevise tabsfunktion, Lt , som i
vores notation er defineret ved


Lt   t2  x 2 xˆ t2 1 xˆ t21   xˆ t21 1  yt 1yt   yt 1yt 1  , 23
hvor
(4.4)
x   /  1   h .
Vægtningen af output og outputgab bliver vægtet med en parameter, x , der er stigende i
h. Graden af vanedannelse har dermed en vigtig betydning for vægten af output(gab) i den
sociale tabsfunktion. Vægten på det nuværende outputgab er positivt, da parameteren
2  0. Parameteren 1  0 såfremt h  0 . Dermed påvirkes den sociale tabsfunktion nega-
Fx er Ω i praksis overflødig – om man minimerer SL eller SL/Ω er jo omsonst, da Ω er en konstant, og
nyttebegrebet ordinalt.
23 Amato og Laubach anvender en yderligere simplificering for at gøre simuleringen uafhængig af startbetingelse. Vi vælger at gengive denne version af den sociale tabsfunktion, da den står klarest fortolkningsmæssigt.
22
21
tivt af tidligere samt fremtidige outputgab ceteris paribus. Leddet på selve outputtet er
umiddelbart tvetydigt, men det kan vises at forbindelsen mellem forbrug (output) i tidligere perioder og den nuværende marginale nytte af forbrug sikrer at outputvariationer øger
værdien af den sociale tabsfunktion. Uden vanedannelsen simplificeres den periodevise
tabsfunktion til
Lt   t2  
 2
xˆ ,
 t
hvilket samlet set får tabsfunktionen, SLt , til at være meget lig med Walshs tabsfunktion
(4.2) når steady state er efficient.
Selv om der er visse ligheder, fx tilbagediskonteringen og den kvadrerede inflation, mellem
(4.4) og (4.2) som Walsh kommer frem til, er forskellene dog stadig markante. Med vanedannelse er både vægtningen og indholdet af output og outputgab i tabsfunktionen ændret.
I modellen med vanedannelse indgår såvel outputgab, xˆ t , samt variationen i selve output,
yt , i vægtningen af det sociale tab.
4.3 Diskretionær versus forpligtende monetær politik
Mens den sociale tabsfunktion giver os målet for den monetære politik i en optimal plan,
fortæller den intet om metoden til at nå frem til denne. Grundlæggende kan centralbanken
følge to metoder: Enten kan den følge en monetær politik der på forhånd er annonceret,
eller den kan følge en politik, som bliver taget op til genovervejelse hver periode, en såkaldt diskretionær politik. Den på forhånd annoncerede monetære politik kunne i princippet deles op i to dele, 1) én hvor centralbanken annoncerer en politik, men så efterfølgende
snyder ”agenterne” og optimerer diskretionært, og 2) én hvor den annoncerede politik er
forpligtende og troværdig. Som vist i Sørensen og Whitta-Jacobsen (2005) vil de rationelle
agenter gennemskue et evt. snyderi, da de kender til økonomiens sammenhænge og til
centralbankens incitament til at snyde. Derfor er det ikke realistisk, at tro at gevinsten ved
at snyde kan fastholdes og heraf vil en sådan politik ikke fastholdes. Vi udelader derfor
denne type politik i den følgende sammenligning.
Walsh (2003) demonstrerer hvilke implikationer metoderne, henholdsvis diskretionær og
forpligtende24 monetær politik, har for en nykeynesiansk model uden vanedannelse. Under
en diskretionær politik har centralbanken ikke mulighed for at påvirke agenternes for-
Det er ret vigtigt, at politikken er bindende og troværdig. Såfremt den kan ændres, vil centralbanken
reelt kunne føre diskretionær politik. Walsh viser da også, at forpligtende politik er dynamisk inkonsistent, hvis ikke det er bindende. Er den ikke bindende, vil man have incitament til at føre en diskretionær politik i stedet.
24
22
ventninger til fremtidige perioder, da de ved at politikken bliver revurderet hver periode.
Centralbankens problem simplificeres dermed til i hver periode at minimere alene det periodevise tab Lt   t2   xt2 .
I en forpligtende politik vil centralbanken påvirke de rationelle agenters forventninger. En
centralbank der følger en forpligtende politik skal således tage hensyn til hele den sociale
tabsfunktion, (4.2), som minimeres i hver periode under bibetingelse af IS-kurven og den
nykeynesianske Phillips-kurve.
Metodevalget medfører en mærkbar forskel i hvordan økonomien reagerer på stød. Med
diskretionær politik opnås den laveste ubetingede middelværdi af inflationen (den rationelle forventning), nemlig 0. Den forpligtende politik har en positiv inflationsforventning,
dvs. den har et inflationsbias. Den diskretionære politik vil til gengæld reagere kraftigere
på stød, som fx det omkostningsstød beskrevet nedenfor. Det skyldes at en diskretionær
politik per definition ikke påvirker forventningerne. Det gør den forpligtende politik, og
derfor er første reaktion på et stød mindre, fordi det samtidig påvirker forventningsdannelsen. Den diskretionære politik har således et stabiliseringsbias. Walsh demonstrerer i
sin gennemgang den markante forskel i konsekvenserne af et omkostningsstød til hans
model uden vanedannelse, der har den tidligere beskrevne, simple Phillips-kurve
 t   Et  t 1   xt  et .
(4.5)
Hvor variablen et er det såkaldte omkostningsstød. Vi gengiver i figur 1 de figurer, som
Walsh udleder på basis af numerisk løsning af modellen.
Figur 1: Effekt på outputgab og inflation ved et omkostningsstød
Anm.: Forpligtende politik er den fuldt optrukne linje, mens diskretionær er den stiplede linje.
Kilde: Walsh (2003) figur 11.1 og 11.2 side 528-529
23
Under en diskretionær politik indeholder modellen ingen persistens – i perioden efter
støddet er afvigelsen igen forsvundet. Centralbanken sætter netop den rente, som minimerer den periodevise tabsfunktion beskrevet i (4.2). Den umiddelbare reaktion er kraftigere
under diskretionær politik. Omvendt vil en forpligtende monetær politik give en lang og
vedvarende persistens i både inflation og output. Figur 1 viser, at der er en væsentlig forskel på, hvilken type monetær politik centralbanken fører i en simpel nykeynesiansk model.
Da målet med denne opgave er at sammenligne den optimale plan med en simpel Taylorregel, er det især situationen med en forpligtende politik, som vil være interessant, da en
sådan regel repræsenterer en simpel form for forpligtende politik. Vi vil derfor fremover
ignorere muligheden for diskretionær politik og antage, at den monetære politik som føres
er af den forpligtende type. En sammenligning mellem diskretionær og forpligtende politik
i en model med vanedannelse er ikke et uinteressant emne og kunne være oplagt for andre
opgaver eller artikler at bearbejde.
4.4 Reaktion på stød under optimal plan i en model med vanedannelse
Den sociale tabsfunktion giver målet med den monetære politik – denne skal minimeres
under bibetingelse af at økonomiens øvrige ligninger overholdes. Den optimale plan under
forpligtende monetær politik kan dermed findes ved Lagrangeoptimering af tabsfunktionen under bibetingelse af IS-kurven og den nykeynesianske Phillips-kurve. I tilfældet med
vanedannelse giver dette et sæt af ganske komplekse førsteordensbetingelser. Som tidligere nævnt er egne modelsimulering uden for denne opgaves sigte. Vi vælger derfor at gennemgå resultaterne fra en lignende model med vanedannelse, som beskrevet i Amato og
Laubach (2004). Amato og Laubach antager fra start, at centralbanken fører en forpligtende monetær politik. De viser dernæst, ved hjælp af modelsimuleringer, konsekvenserne af
forskellige grader af vanedannelse. De løser den optimale plan beskrevet i afsnit 4.2. De
gør dette for de tre tilfælde af vanedannelse: 1) h  0,8 , den størrelse som svarer til Fuhrers (2000) estimat, 2) h  0 , som svarer til ingen vanedannelse, og dermed næsten til
Walshs (2003) model, og 3) h  0,4 som et middeltilfælde. I takt med at h ændres, ændres
størrelsen på parametrene i tabsfunktionen (4.4). Samtidig påvirkes det umiddelbare udslag ved et stød, som beskrevet i kapitel 3. Dette gør samlet, at økonomien reagerer anderledes givet størrelsen af h.
For at illustrere ændringen af modelegenskaberne ved vanedannelse simulerer Amato og
Laubach (2004) effekten under den optimale monetære plan, skitseret ovenfor, af et posi-
24
tivt stød til husholdningens marginale nytte af forbrug, svarende til et stød i vores  t . Effekten på de endogene variable, her inflation, outputgab, selve outputtet og renten, rapporteres såvel kvantitativt med en række variansmål, og mere kvalitativt med en figur. De
kvantitative resultater af deres simulering ses af Appendiks B. Vi fokuserer her på de kvalitative resultater, jævnfør de tidligere nævnte afgræsninger for opgaven. Figur 2 gengiver
effekten af et efterspørgselsstød under en optimal plan i deres model.
Figur 2: Vanedannelsens betydning for effekten af et efterspørgselsstød
Anm.: h= 0 er den solide linje, mens den stiplede linjer er h = 0,4, og den stiplede/prikkede
linje er h = 0,8. Perioderne er kvartaler, og inflation og rente er udtrykt i procent på årsbasis,
mens outputvariationen og outputgab er afbilledet i procent.
Kilde: Amato og Laubach (2004) figur 2 side 318
Vi ser på denne måde mere konkret konsekvenserne af indførelsen af vanedannelse. Retningerne for bevægelsen i første periode (periode 0) er for alle 3 værdier af h den samme –
men desto større værdi af h, desto større udsving. Dette kan ses direkte af udregningerne i
afsnit 3.1, hvor støddets effekt vises at være stigende i h. Derudover ses det, at mens der i
modellen uden vanedannelse er meget hurtig tilpasning tilbage til nul i de to outputstørrelser, så indeholder begge situationer med vanedannelse en klart langsommere tilpasning. Mest tydeligt er det for h=0,8, der er så påvirket af forrige periode, at den vedholder
et positivt outputgab i perioden efter chokket, og først derefter følger tilpasningen ned
under nul og tilbage til nul. Ligeledes er der for både inflation og rente en markant langsommere tilpasning tilbage til nul efter chokket. Vanedannelse medfører en større umiddelbar effekt og samtidig en mere gradvis (og langvarig) tilpasning tilbage til steady state.
Dette er et interessant billede på hvordan vanedannelsen medvirker til både en øget dy-
25
namik (større udsving ved stød), samt en øget persistens i de økonomiske variable efter et
sådan stød.
4.5 Taylor-regler
Det ovenstående afsnit er baseret på en optimal monetær politik. Da betingelserne for
denne optimale plan er en række komplicerede førsteordensbetingelser, kan der med rimelighed sættes spørgsmålstegn ved, om det er realistisk at kunne opnå en sådan optimal
plan i praksis. Antagelsen om rationelle agenter, der kan gennemskue hele økonomien,
bliver sværere og sværere at argumentere for, desto mere kompliceret økonomien bliver.
Da den optimale plan er baseret på antagelsen om, at agenterne kan gennemskue økonomien og herunder den optimale plan, kan en sådan avanceret plan vise sig alligevel ikke at
være optimal i praksis. Den optimale plan kan derfor risikere alene at være et teoretisk
benchmark.
Alternativt kan man vælge en mere simpel, gennemskuelig renteregel, et såkaldt instrument. Derefter kan man se hvordan instrumentet klarer sig, dels ift. den teoretiske optimale plan, og dels i forhold til virkeligheden. Formentlig det mest berømte eksempel på et
simpelt instrument findes hos Taylor (1993). I artiklen opstiller Taylor en simpel politikregel, hvis evne til at passe på empiriske data undersøges i artiklen. Det viser sig at tidsperioden 1987-1992 havde FEDs rente ligget meget tæt op af den rente, som ville opstå ved
at følge Taylors meget simple regel.25
Begrebet Taylor-regel er senere blevet mere generaliseret, og udtrykket bruges nu om alle
simple regler af denne form. En simpel Taylor-regel kan noteres som


it  r *   T   x xˆ t    t   T .
(4.6)
Den nominelle rente til tidspunkt t, it , er ligevægtsrealrenten plus inflationsmålet, samt to
vægtede udtryk for outputgabet og inflationens afvigelse fra målet. Bemærk at hvis der
ingen afvigelser er, reduceres udtrykket til identiteten rt  it   t . 26
Taylors artikel fra 1993 har affødt en række artikler og afhandlinger, der behandler emnet
omkring simple Taylor-regler. Vi agter ikke at gå ind i en dybere diskussion af Taylorreglernes udformning samt evne til at matche empirisk data. Ifølge Walsh (2003) har en
25
Reglen i Taylors oprindelige notation: r  p  0,5 y  0,5 p  2  2. Hvor r er FEDs rente, p er den årli-
ge inflation, y er afvigelsen fra trend BNP, og 2-tallet i parentesen er inflationsmålet (procent per år), og
det sidste 2-tal repræsenterer ligevægtsrealrenten. Størrelsen – 2 – er som Taylor vurderer dem.
26 Gælder kun for små procentsatser.
26
simpel Taylor-regel, hvor der samtidig medregnes et led med den laggede nominelle rente,
gjort det godt i mange empirisk analyser.
4.6 Taylor-regler overfor den optimale plan
Taylor-reglen skitseret i ligning (4.6) har særligt én styrke udover dens attraktive simpelhed: Den benytter en vægtning af inflationen og outputgabet som målene for justeringen af
den nominelle rente. De beskrevne sociale tabsfunktioner vægter disse to udtryk i størrelsen på det sociale tab. Dermed giver det god mening at centralbanken skulle reagere på
disse størrelser. Men hvordan klarer sådan en simpel Taylor-regel sig så i forhold til en
optimal monetær plan?
Amato og Laubach (2004) vælger at adressere dette emne med den ændring, at man nu
lader den monetære politik styres af en simpel regel, som optimeres således, at den giver
udslag i en minimeret social tabsfunktion. Den simple Taylor-regel de beskriver, er af formen
it  ait 1  b t  cyt .
(4.7)
27
Renten sættes som en vægtning af renten i forrige periode, it 1 samt inflationen  t og output yt . Den nominelle rente fra forrige periode gør det som tidligere nævnt godt empirisk
og derudover kan den rent intuitivt begrundes med, at der eksisterer en målsætning for
finansiel stabilitet, hvilket en mere stabil centralbankrente kan medvirke til.28
De forskellige parametres, a, b og c, optimale størrelse (de som minimerer tabsfunktionen)
afhænger af hvor stor en grad af vanedannelse modellen specificeres med. Tabel 1 gengiver resultaterne af Amato og Laubachs (2004) modelsimuleringer.
Tabel 1: Optimale parametre i Taylor-reglen under varierende vanedannelse
a
b
c
h=0
1,72
2,37
0
h = 0,4
1,66
1,97
-0,001
h = 0,8
1,32
0,76
0,007
Kilde: Amato og Laubach (2004) table 2 side 323
I takt med at vanedannelsen vokser, skal der lægges gradvist mindre vægt på den laggede
nominelle rente. Inertien fra vanedannelsen træder delvist i stedet for inertien i rentesætningen. I alle tre tilfælde er værdien a dog mærkbart over 1. Selvom denne form for super-
De vælger denne form for at sammenligne med en empirisk undersøgelse nævnt i artiklen.
Den finansielle sektor er ikke medregnet i denne opgave, men det virker plausibelt, at en stabil centralbankrente medvirker stabiliserende på det finansielle marked som helhed, og at dette kan være et
mål også.
27
28
27
inerti umiddelbart virker noget urealistisk29 er den helt i tråd med Taylor (1993). Hans
oprindelige regel svarer til en værdi på   1,5 i (4.6). Størrelsen på denne lag-parameter
er omdiskuteret, men vi konstaterer, at en værdi over 1 ikke er noget unikt særsyn. En sådan superinerti kan forstås som, at centralbanken annoncerer en meget aggressiv politik
for dermed at have stærkere indvirkning på økonomiens forventningsdannelse.
Variablen b, vægten på inflation i Taylor-reglen, rasler ned til omkring 1/3 størrelse, når
værdien for vanedannelse, h, går fra 0 til 0,8. Samtidig stiger vægten på output, c, fra 0 til
0,007. I takt med at h vokser, skal der lægges en smule vægt på outputvariationer, hvilket
stemmer overens med tabsfunktionen (4.4), mens vægten på både nominel rente og inflationen bliver mærkbart mindre. Det ses samlet, at en større vanedannelsesparameter
gradvist dæmper behovet for kraftige reaktioner fra centralbankens side. Bemærk hvordan
parameteren på output er positiv i det kraftigste vanedannelsestilfælde og dermed erstatter en hvis del af inflationsstabiliseringen med outputstabilisering. Behovet for outputstabilisering, udtrykt ved c, må stige yderligere for kraftigere vanedannelse, h 1 , da nytten
af forbrug alene ville afhænge af den relative ændring i forbrug.
I forhold til målet, at minimere den sociale tabsfunktion, klarer den simple Taylor-regel sig
forbavsende godt. Amato og Laubach (2004) gennemgår variansen for de 4 endogene størrelser inflation, outputgab, output og renten, i både tilfældet med den optimale plan og
med den simple Taylor-regel, se appendiks B. Konklusionen er at Taylor-reglen kun
øger/sænker variansen med maksimalt +/- 1,5 procent for output, outputgab og renten,
mens den for variansen i inflationen stiger med op til godt 8 procent. Da det samtidig ikke
giver anledning til mærkbare stigninger i værdien af den sociale tabsfunktion (størrelsen
SL), som ligeledes stiger med maksimalt 1,5 procent, må det siges at den simple Taylorregel er i stand til replicere den optimale plan særdeles godt.
29
Den laggede nominelle rente svarer jo til at have en autoregressiv proces: yt   yt 1   xt   t , hvor
en værdi for a>1 normalt ville blive karakteriseret af eksplosiv vækst – noget den nominelle rente trods
alt ikke udviser.
28
5 Bemærkninger til modelanalysen
I dette kapitel diskuteres enkelte overvejelser om antagelserne i den præsenterede model.
Vi er i gennemgangen sprunget uden om en formel introduktion af pengeefterspørgslen
samt forskellen mellem den korte og lange rente i økonomien. Centralbanken kontrollerer
den korte rente og pengemængden i en økonomi.30 Det er derfor relevant at undersøge
hvilke muligheder centralbanken har, dels via styring af pengemængden og dels gennem
indirekte styring af den lange rente. De såkaldte MIU-modeller (Money In Utility) indbygger en positive nytte af at holde penge i husholdningens nyttefunktion. Derfor kan (2.4)
udvides med et led for mængden af penge. Denne udformning kan ses som et ønske fra
husholdningens side om altid at være likvid. Undersøgelser af centralbankens indflydelse
på den lange rente kræver et avanceret makroøkonometrisk fundament. Det er uden for
denne opgaves mål at undersøge en optimal politik for centralbanken med hensyn til fastsætning af pengemængden og af den lange rente, men begge ville være interessante i yderligere analyser.
I gennemgangen af modellen er økonomien alene evalueret i et efficient steady state. Dermed har vi ignoreret konsekvenserne af markedsimperfektioner, som træge priser og monopolistisk konkurrence blandt virksomhederne. Markedsimperfektioner medfører at en
funden ligevægt formentligt ikke er efficient. Det betyder, at der findes en tilstand, som kan
være en Paretoforbedring. Kim og Kim (2003) har undersøgt hvornår et steady state er
efficient og hvilke konsekvenser et inefficient steady state kan have for økonomiens velfærdseffekter. Da den beskrevne model er antaget at være kvadratisk, findes den korrekte
lineære løsning ved en andenordens (eller højere) approksimation af modellen.31 Med forsimplet notation kan outputtets afvigelse fra steady state nu udtrykkes lineært ved
Equation Section (Next)
xˆ t  x   t  R2 ,
(5.1)
hvor x er steady state niveauet,  t er hvid støj og R2 er restleddet, dvs. al indflydelse fra 2.
orden og højere. Når modellen er kvadratisk, er restleddet af en størrelse der lovligt kan
ignoreres i en approksimation.
Da vi antager en lukket økonomi kan centralbanken bestemme mængden af penge i økonomien. Centralbanken fastsætter den korte rente, mens den lange rente har indflydelse på virksomhedernes investeringer. Den korte og lange rente korrelerer stærkt, men mister centralbanken indflydelsen over den
lange rente via den korte, risikerer økonomien at opleve en såkaldt kreditklemme, som den japanske
økonomi har befundet sig i den sidste årrække.
31 Vi nævner her at for en sådan økonomi, er det nødvendigt med en andenordens approksimation. Denne kommer af en førsteordens approksimation af modellens Euler-ligninger, som i sig selv, er førsteordens approksimationer nær optimum.
30
29
Woodford (2002) giver en udførlig analyse af inefficiens i steady state for beregningerne af
IS- og Phillips-kurven, samt betydningen for beregningen af den sociale tabsfunktion. Kim
og Kim (2003) beskriver hvordan absurde velfærdseffekter kan opstå i en økonomi med et
inefficient steady state. Vi skitserer her blot betydningen af inefficiens i steady state for at
give en kvalitativ diskussion af konsekvensen for den sociale tabsfunktion. Vi studerer en
simpel kvadratisk tabsfunktion
W   xˆ t   x  I    R3 ,

(5.2)
hvor I viser graden af inefficiens i steady state. Vi anvender (5.1) i (5.2) og skriver parentesen ud
W   t2  R22   t R2  I 2  2I  t  R2   R3 .
(5.3)
Da E t  0 finder vi, at EW     I 2  2IR2  R3  R4 . Vi har da, at i et efficient steady state,
I  0 , vil forventningen til tabsfunktionen alene variere med den ubetingede varians på
 t  E t2 . Når steady state er inefficient, I  0 , bestemmes variationen i forventningen til
tabsfunktionen yderligere af andenordenseffekterne i økonomien. Disse er ikke konstante,
hvilket kan resultere i absurde resultater. Kim og Kim (2003) viser, hvordan inefficiens i
steady state kan give absurde velfærdseffekter, som at lukkede grænser er bedre end frihandel, hvis ikke der korrigeres for inefficiensen.32 De finder, at kontraintuitive velfærdseffekter opstår i en økonomi når elasticiteten af arbejdskraftudbud er større end ½ og hvis
husholdningens risikoparameter er mindre end 1.
Med et efficient steady state bruges førsteordensapproksimationer af Euler-ligningerne til
at finde det globale optimum. Med et inefficient steady state derimod, er det nødvendigt
med en approksimation af højere orden. Alternativt kan modsatrettede velfærdseffekter i
et inefficient steady state undgås ved at følge Kim og Kim (2003) og restriktere arbejdsudbudselasticiteten til at være mindre end ½ og husholdningens risikoparameter til at være
større end 1.
Politik som eksempelvis giver større konkurrence, mindsker det skævvridende lønmarkup eller modvirker efterspørgselsstød, er skridt i retningen af at korrigere for effekterne af inefficiens i steady state.
32
30
6 Konklusion
Vi har i denne opgave undersøgt og diskuteret, hvordan vanedannelse i husholdningernes
forbrug påvirker ligevægten i en nykeynesiansk generel ligevægtsmodel samt på hvilken
måde centralbanken kan føre en optimal monetær politik. Vi har ydermere forholdt os til
at medtage vanedannelse ved en gennemgang og drøftelse af flere kilder, som har beskæftiget sig med dette emne.
Når husholdningerne oparbejder en vane i deres forbrug, påvirkes det aggregerede outputgab gennem den marginale forbrugsnytte. Nytten af forbrug bliver afhængig af tidligere
forbrug og det forventede fremtidige forbrug. Husholdningerne oplever en stigende aversion imod ændringer i forbrug med vanedannelse. Modellens IS-kurve udvides dermed
med variable for det tidligere output og forventede fremtidige ditto. Vanedannelsen påvirker på samme måde udbudssiden via det fleksible pris-output. Dette øger både umiddelbare udslag og persistens ved stød til økonomien.
Vanedannelse tilføjer dermed, på en intuitiv tiltalende måde, en kraftigere persistens i den
nykeynesianske generelle ligevægtsmodel. Dette giver en større overensstemmelse med de
empiriske data fra eksempelvis den amerikanske økonomi, jævnfør Amato og Laubach
(2002). Vi ser dermed et kraftigt teoretisk belæg for at lade vanedannelse indgå i den mikroøkonomisk funderede nykeynesianske generelle ligevægtsmodel.
Med vanedannelse udvides kompleksiteten i analysen af centralbankens optimale monetære politik. Det blev diskuteret og vist, at et simpelt politikinstrument, som en Taylorregel, stadig beskriver den monetære politik tilfredsstillende, til trods for indførslen af
vanedannelse i modellen. Vi har anskueliggjort, at en kraftigere vanedannelse ændrer på
centralbankens relative vægt mellem den tidligere periodes rente, inflationen og output
under en sådan regel. Med en stærkere vanedannelse finder Amato og Laubach (2004), at
centralbankens fokus på inflationsstabilisering mindskes. I forhold til en økonomi uden
vanedannelse skal der lægges større vægt på at stabilisere outputtet. Modellen med vanedannelse har en endogen inerti som gør, at økonomien er mere selvregulerende og behovet
for (trusler om) stærk reaktion fra centralbankernes side bliver mindre påkrævet.
31
Appendiks A
A.1 Udledning af IS-kurven
I omskrivningen af (2.7) laves en Taylor-approksimation omkring et antaget efficient steady state. Den teoretiske baggrund for Taylor-approksimationer er beskrevet i Sydsæter
(2005). Her fremgår, at for en funktion f  x  
n
og x0   x  samt f x   x    i f  x  x i
i
i
kan det n’te ordens Taylor-approksimation formuleres ved
n
1 i 
i
f x  x0  x  x0   Rn1  x  .
i 0 i !
Equation Chapter (Next) Section 1 f  x   
Hvor det sidste led er resten, kendt som Lagranges restled. Vi vælger at benytte en førsteordens approksimation, altså f  x   f  x0   f x'  x0  x  x0   R2  f  x0   f x'  x0  x0
hvor
x  x0
x0
log
x  x0
 R2 ,
x0
x
 log x  log x0 er den procentmæssige afvigelse af x fra x0. Antages et
x0
efficient steady state er det blot nødvendigt med en førsteordens approksimation.33 Vi ignorerer samtidig restleddet R2 for overskuelighedens skyld, hvormed viste argument ikke
binder med lighedstegn, men blot bliver en tilnærmelse.34 Vi kan dermed omskrive (2.7) til
1    log ct  log c   h 1    log ct 1  log c 


   h1   
c 


  hc 1  1    Et  log ct 1  log c   1  h 1     Et  log ct  log c   



(A.1)
   log t  log  
I steady state må
log ct  log c  log t  log   0 , hvorfor det fra (A.1) ses, at
   h 1
  1   h c    . Vi anvender dette og får (2.10).
Vi log-lineariserer (2.8) og får
ˆt  Et ˆt 1  rt  Et  t 1 ,
P 
rt  log  1  it  ,  t 1  log  t 1  .
 Pt 
For overskuelighedens skyld finder vi Et ˆt 1 fra (2.10) og indsætter i ovenstående til
ˆt  1   h
1
1   h      h1  h1    h1   L   h1   L
1

 Et cˆt 1  rt  Et  t 1 .

Derefter sættes dette lig (2.10)
33
34
Vi diskuterer antagelserne for et efficient steady state nærmere i selve papiret.
For nærmere diskussion om validiteten af Taylor approksimationer og restleddet, se Sydsæter (2005).
32
1   h      h 1  h 1     h 1    L   h 1    L  E cˆ 
 1   h  1   h       h 1  h 1       h 1    L   h 1    L  E cˆ    r  E 
1   h 
1
1
t
1
t
1
t


      h 1  h 1       h 1    L   h 1    L1  E t cˆt 1
 1   h  rt  Et t 1 
t 1
t
t


   h 1  h 1      Et cˆt 1
 h 1     L   L1  E t cˆt 1  1   h  rt  Et t 1 
Hvilket hurtigt kan ses at lede frem til IS-kurven i (2.11).
A.2 Udledning af den Nykeynesianske Phillips-kurve
Vi starter med at finde den procentmæssige afvigelse fra prisniveauet i steady state med
nulprocentsinflation. Lader vi Qt  pt* Pt være den relative pris sat af alle virksomheder
som ændrer deres pris til tiden t. Det ses trivielt at Q  1 , er steady state værdien for Qt .
Udtrykt i relativ afvigelse fra steady state findes (2.22) da til 1  1    Qt1    Pt 1 Pt 
1
.
Ved en førsteordens Taylor-approksimation får vi da
1  1    Q 1    P P
 1      P P

1

1
 1   1    Q 1  log Qt  log Q 

Pt 1
P
 log 
 log
Pt
P


1  1  1   1     qˆ t   1      t  ,
hvilket reduceres til
qˆt 

t .
1 
(2.23)
Før vi giver os i kast med at linearisere (2.21) omskrives svinet til

Qt  Et    c
i 0
i
i 1
t i
 1
 Pt i 


 Pt 

   Et t i  c
i
i 0
Hvis vi starter med venstresiden, approksimeres denne til
33
i 1
t i

 Pt i 

 .
 Pt 
t 1




P
P 
c 1 Et   i  i 1   log Qt  log Q   1    log ct i  log c     1   log t 1  log  
Pt
P  
i 0






P
P 
c 1 Et   i  i 1  qˆ t  1    cˆt  i    1  log t 1  log  
Pt
P  
i 0




c 1
1  qˆt   c 1 Et   i  i 1    cˆt i    1  pˆ t 1  pˆ t 
1  
i 0
Vi finder på tilsvarende vis højresiden til

  c 1 Et   i  i 1   log t i  log    1    cˆt i    pˆ t i  pˆ t  
i 0



c 1
  c 1 Et   i  i ˆt i  1    cˆt i    pˆ t i  pˆ t  
1  
i 0
Vi anvender da, at µφ = 1 i steady state35 og samler udtrykkene for højre- og venstresiden
 1

 1  


i i
 qˆ t  Et    1    cˆt i    1  pˆ t i  pˆ t  
i 0


   i  i Et ˆt i  1    cˆt i    pˆ t i  pˆ t   .
i 0
Vi reducerer dette og får

qˆt  pˆ t  1     i  i Et ˆt i  pˆ t i  .
(2.24)
i 0
Når løsningen til (2.24) smukt udtrykkes ved qˆt  pˆ t  1   ˆt   Et  qˆt 1  pˆ t 1  ,36 kan vi
da anvende, at
qˆt  1   ˆt   Et qˆt 1   t 1 ,
hvilket, kombineret med (2.23), giver os

 

 t  1   ˆt   Et 
 t 1   t 1  .
1 
1  

Med en enkel omskrivning, får vi nu
 t  ˆt   Et  t 1 ,
35
Dette kommer af, at i steady state er ligevægt som for økonomi med fleksible priser, hvor pt* Pt  t
men da p  P i st. st. giver dette, at
*
36
(A.2)
  1.
Da 1   ˆt  pˆ t    Et  qˆt 1  pˆ t 1   1    ˆt  pˆ t   ˆt 1  pˆ t 1     2  2 Et qˆt 2  pˆ t 2  Hvil-
ket itereret giver 1    Et

  E ˆ
i
i
t
t i
 pˆ t i 
i 0
34

hvor
1   1    .

Hvis vi nu tager fat i ligning (2.21) igen og studerer denne med fleksible priser, dvs. med
ω=0 så alle virksomheder har mulighed for at skifte priser i hver periode, finder vi da
pt*  t Pt .
(A.3)
Hvor det huskes, at    1     1. (A.3) viser blot hvordan virksomheden sætter sin pris
pt* som en markup over den nominelle marginale omkostninger når de har mulighed for at
skifte priser i hver periode. Med fleksible priser sætter alle virksomheder den samme pris,
hvorfor pt*  Pt og t   1 . Vi bruger dette og anvender da (2.17) til at sige, at
Wt Zt

Pt

(A.4)
når vi har fleksible priser. Reallønnen er da lig produktivitetsstøddet over virksomhedens
markup. Fra husholdningens Euler-ligning om reallønnen (2.7) får vi, at ovenstående må
være
Wt Zt
 Nt
 
.
Pt
 ct cth11    h Et ct11 ct1 h1 
(A.5)
En Taylor-approksimation af (A.5) omkring steady state giver os

  cˆtf  h 1    cˆtf1 
 

f

 ,
ˆ
ˆ
1

z

1


n

 t

t

  h Et 1    cˆtf1  1  h 1     cˆtf   
1   h c  h1  


 N
z
1
   h 1
hvor det smukt ses, at i steady state må   c     n  hvorfor vi reducerer til
1
1
zˆ t  1   h nˆtf  1   h   cˆtf  h 1    cˆtf1   h Et 1    cˆtf1  1  h 1     cˆtf  



zˆ t  1   h nˆtf  1   h
1
1
  1  h1    cˆ
f
t

 h 1    cˆtf1   h Et 1    cˆtf1 ,
hvor h=0 giver os den velkendte zˆtf  nˆtf   cˆtf . Vi anvender nu lag-operatoren, L, samt, at
fra produktionsfunktionen og ved markedsclearing har vi cˆtf  yˆ tf  nˆtf  zˆtf , hvilket indsættes og reduceres


zˆ t  1   h  yˆ tf  zˆ t  1   h h 1    L    1  h 1       h 1    L1  Et yˆ tf

1
1
1   h    zˆ t  1 L    2  1 L1  Et yˆ tf

1   h    zˆt  1 L  3  1 L1  Et yˆ tf ,
35
hvor 3   2       h1  h1     . Vi finder da output i økonomien når priserne er
fleksible
Et yˆ tf 
1   h 
zˆ .
1 L1 3 1 L t
(2.26)
Selvom vi har rigide priser, har vi antaget fleksible lønninger, hvilket giver, at reallønnen
må være netop lig den marginale substitutionsrate mellem forbrug og fritid fra (2.9). Approksimerer vi denne omkring steady state, får vi ved samme udregninger som for zˆ t
wˆ t  pˆ t  1   h nˆt  1   h  1L1 2 1L Et cˆt .
1
1
Fra (2.17) har vi
ˆt  wˆ t  pˆ t  zˆ t

ˆt  1   h nˆt  1   h  1 L1  2  1 L Et cˆt  zˆ t
1
1


ˆt   1 L1  3  1 L  1   h Et yˆ t 
1


1   h 
zˆ t  .
1
1 L  3  1 L 
Hvilket fra (2.26) giver os
ˆt   1 L1 3 1 L 1   h Et  yˆ t  yˆ tf  .
1
(A.6)
Når vi udnytter, at xˆ t  yˆ t  yˆ tf kan vi omskrive (A.2) til den nykeynesianske Phillips-kurve
 t   Et  t 1 

 1 Et L1  3  1 L xˆ t .
1  h
(2.27)
A.3 Udledning af modellen med stød
Vi maksimerer (3.3) med hensyn til budgetbetingelsen (2.5) og finder vi de tre Eulerligninger
ct ct 1
 t1   hct 
 h 1 
 1 h1  
Et ct 1 Et t11  t ,
1
t   1  it  Et t 1 Pt Pt 1
(A.8)
t Wt Pt   Nt e  .
(A.9)
w
t
og
En førsteordens Taylor-approksimation af (A.7), (A.8) og (A.9) giver os


   h 1
 1  ˆt  c    1 1cˆt 1 2cˆt  1Et cˆt 1  1   ˆ t  1Etˆ t 1  ,


 1  ˆt   1  log   1  it    Et ˆt 1  Et log Pt 1 P 
og
(A.7)
 WP 1 1  ˆt  wˆ t  pt    N e  1 nˆt  tw  .
w
36
   h 1
Det ses desuden fra (A.7) og (A.9), at i steady state uden stød er   1   h c    og
e   WP 1 , hvilket vi anvender til at finde (3.4), (3.5) og (3.6).
w
IS-kurven findes ved at kombinere de to Eulerligninger for det optimale forbrugsplan, (3.4)
, og den intertemporale relation for renten, (3.5),
1      L  E ˆ   L    L  E cˆ 
 1   h 1      L  E ˆ   L     L  E cˆ   r  E 
1   h
1
1
t
1

1
t
1
2
1
t t
1
1
1   h
1
1
1      L
1
1
1
t
t 1
1
2
t t 1
1
t
t
t 1

 Et ˆ t 1  1 L  2  1 L1  Et cˆt 1  Et  t 1  rt ,
hvilket med en kombination af markedsclearing, cˆt  yˆ t , og lidt algebra giver
Et yˆ t 1  
1
1
1  h
1   L2  Et cˆt  1     1 L1  Et ˆ t 1 
rt  Et  t 1 .
2
2
2
Med definitionen af den Wicksellianske realrente fra (3.1) og outputgabet xˆ  yˆ t  yˆ tf , findes husholdningens forbrugsrelation, IS-kurven, til
Et xˆt 1  
1
1
1   L2  Et xˆt   1 L1  1    Et ˆ t 1
2
2
1 h

rt  rtn  Et t 1 .

2
(3.7)
I udledningen af økonomiens udbudsside med stødvariable anvendes, at stød påvirker den
nykeynesianske Phillips-kurve gennem virksomhedens reale marginalomkostninger, hvorfor (A.2) stadig gælder. Med en kombination af (A.4) udtryk i sin steady state afvigelse og
(3.6) får vi
z

1  zˆt  

 1cˆtf1 2cˆtf  1Et cˆtf1  


f
w
ˆ
1


h


n




 ,
t
t
  h1   
ˆ
ˆ

1





E

 t
 1   h c
1 t t 1

 
 


 N e 
w

w
   h1  
 N e 
hvor det smukt ses, at med fleksible priser er   c 

1
. Vi anvender desu-
den, at markedsclearing giver cˆt  yˆ t og reducerer ovenstående
1
1
zˆ t  1   h nˆtf  tw   1   h  1L 2  1L1  Et yˆ tf  1     1L1  Etˆ t  ,
hvor L fortsat betegner lag-operatoren. Fra produktionsteknologien ses, at yˆ t  nˆt  zˆ t ,
hvorfor
37
1
1
zˆ t  1   h   zˆ t  tw   1   h  1 L  3  1 L1  Et yˆ tf  1     1 L1  Etˆ t 

1   h   zˆt  tw   1 L  3  1 L1  Et yˆ tf  1     1 L1  Etˆ t 

zˆ t 
1 L  3  1 L1
1
 tw  1     1 L1  Etˆ t  .
Et yˆ tf 



1   h 
1   h  
Det fleksible pris-output i modellen med stød bliver da
Et yˆ tf 
1   h 
1
  w  1     1 L1  Etˆ t  .
zˆ 
1 t


1 L 3  1 L
1 L 3  1 L1  t 
(3.8)
Når lønningerne er fleksible, er reallønnen lig den marginale substitutionsrate mellem nytten af forbrug og disnytten af arbejde
wˆ t  pˆ t  1   h
1
nˆ

 tw  1cˆtf1 2cˆtf  1Et cˆtf1  1   ˆ t  1Etˆ t 1  .
f
t
Vi udnytter dette i (2.17)
ˆt  wˆ t  pˆ t  zˆ t

ˆt  1   h
1
nˆt  tw  1 L  2  1 L1  Et yˆ t 



 ˆ

  zt
1
 1     1 L  Etˆ t


ˆt  1   h
1
 tw  1 L  3  1 L1  Et yˆ t  1   h   




zˆ t .


1
1 h
 1     1 L  Etˆ t

Anvender vi (3.8), reduceres dette til
ˆt  1   h
1

w
t
 1 L  3  1 L1  Et yˆ t  1     1 L1  Etˆ t

 L  3  1 L1

1  w
 1
Et yˆ tf 
t  1     1 L1  Etˆ t   ,

1 h
1 h


hvorfra virksomhedernes marginalomkostning findes
ˆt  1   h 1 L 3  1 L1  Et  yˆ t  yˆ tf  .
1
(3.9)
Når outputgabet xˆ t  yˆ t  yˆ tf , indsættes (3.9) i (A.2), hvilket giver os den nykeynesianske
Phillips-kurve med stød til efterspørgslen og lønmarkup
 t   Et  t 1 

 1 L1  3  1 L Et xˆ t .
1  h 
38
(3.10)
Appendiks B
Tabel A: Variansmål og størrelse af socialt tab i modelsimulering med vanedannelse
h=0
Den optimale plan
h = 0,4
h = 0,8
h=0
1,86
1,88
1,97
1,86
1,87
1,96
0,5
0,66
1,46
0,54
0,70
1,58
17,49
19,84
22,38
17,47
19,86
22,33
13,47
32,41
146
13,35
32,62
146
0,091
0,10
0,18
0,090
2,39
3,03
10,26
2,42
Kilde: Amato og Laubach (2002), table 2 side 16 og table 3 side 19.
0,10
3,07
0,18
10,34
V r 
V  
V  xˆ 
V  y

SL
39
Simpel regel
h = 0,4
h = 0,8
Litteraturliste

Amato, Jeffrey D. og Laubach, Thomas (2002) "Implication of Habit Formation for
Optimal Monetary Policy”, BIS Working Papers, no 121.

Amato, Jeffrey D. og Laubach, Thomas (2004) "Implication of Habit Formation for
Optimal Monetary Policy”, Journal of Monetary Economics, vol. 51 pp. 305-325.

Calvo, Guillermo A. (1983) “Staggered Prices in a Utility-Maximizing Framework”,
Journal of Monetary Economics, vol. 12 pp. 383-398.

Dennis, Richard (2009) “Consumption Habits in a New Keynesian Business Cycle
Model”, Journal of Money, Credit and Banking, vol. 41, issue 5.

Fuhrer, Jeffrey C. (2000) “Habit Formation in Consumption and Its Implications for
Monetary-Policy Models”, The American Economic Review, vol. 90, No. 3 (June), s. 367390.

Kim, Jinill og Kim, Henry Sunghyun (2003) “Spurious welfare reversals in international business cycle models”, Journal of International Economics, vol. 60 pp. 471-500.

Romer, David (2003), ”Advanced Macroeconomics”, third edition, McGraw-Hill

Sydsæter, Knut (2005), “Matematisk analyse, Bind 1”, 7. utgave, 3. oplag, Gyldendal
Akademisk.

Sørensen, Peter Birch og Whitta-Jacobsen, Hans Jørgen (2005), ”Introducing Advanced Macroeconomics: Growth & Business Cycles”, McGraw-Hill.

Taylor, John B. (1993) “Discretion versus policy rules in practice”, Carnegie-Rochester
Conference Series on Public Policy, Issue 39.

Walsh, Carl E. (2003) ”Monetary Theory and Policy”, (second edition) MIT Press.

Woodford, Michael (2002) ”Inflation Stabilization and Welfare”, Contributions to Macroeconomics, vol. 2 Issue 1, Berkeley Electronic Press.
40