1. No category

HJEMMEOPGAVESÆT 4
1
Hjemmeopgavesæt 4
Egenværdier og Differentialligninger
I vurderingen af dette sæt vil der blive lagt særlig vægt p˚a at du
• forst˚ar definitionen p˚a en egenværdi og en egenvektor
• kan finde egenværdier og udregne deres geometriske og algebraiske multipliciteter
• kan finde egenvektorer og tilhørende egenrum
• kan fortolke egenværdiers og egenvektorers geometriske betydning
• forst˚ar ideen i at man benytter gættemetoder ved løsning af visse differentialligninger
• kan udnytte struktursætningen ved løsning af ikke-homogene lineære
differentialligninger
• skriver sammenhængende og præcist og kan udføre simple matematiske ræsonnementer
Deadline for upload: Lille Dag i semesteruge 12, kl. 6:00. Husk det skal være i pdf og med navn
og studienummer øverst p˚a side 1.
Opgave 1
Givet matricen
Diagonalisering af kvadratisk matrix


8
3 12
A =  4 −3
4
−4 −1 −8
(1)
a) Find alle egenværdier for A, og angiv deres algebraiske og geometriske multipliciteter.
b) Opskriv en regulær matrix V og en diagonalmatrix Λ der opfylder
V−1 A V = Λ .
Opgavesættet fortsætter 7−→
HJEMMEOPGAVESÆT 4
2
c) Angiv en egentlig vektor i R3 som ikke er en egenvektor for A .
Opgave 2
Lineær afbildning i planen
Vi betragter mængden af plane vektorer, som tænkes afsat ud fra Origo. Ved en lineær
afbildning f bliver det bl˚a objekt afbildet p˚a det røde objekt, se figuren nedenfor.
a) Bestem afbildningsmatricen for f med hensyn til basis (x1 , x2 )
b) Bestem afbildningsmatricen for f med hensyn til standardbasis (i, j) .
c) Hvordan ville afbildningsmatricen for f med hensyn til standardbasis se ud hvis
man alternativt ønskede det viste røde objekt spejlet i x2 -aksen?
Opgavesættet fortsætter 7−→
HJEMMEOPGAVESÆT 4
Opgave 3
3
En førsteordens differentialligning som model
P˚a figuren nedenfor ses et elektrisk kredsløb best˚aende af følgende komponenter:
En modstand R , en kapacitor med kapaciteten C og en spændingsgenerator E med
spændingen E(t) = sin(2t) .
Spændingen V (t) over kapacitoren (kondensatoren) bestemmes af differentialligningen
d V (t)
RC
+ V ( t ) = E( t ) .
dt
a) Find ved kompleks gættemetode en partikulær løsning til differentialligningen, og
benyt den ved opstillingen af den fuldstændige løsning til differentialligningen.
b) Sæt R = 1 og C = 1. Plot den løsning der opfylder begyndelsesbetingelsen
V (0) = 2 sammen med den partikulære løsning du fandt vha. den komplekse
gættemetode, og komment´er resultatet.
Opgave 4
Koblede differentialligninger
Et system best˚aende af to førsteordens lineære differentialligninger med de ukendte
funktioner x1 ( t) og x2 ( t) har systemmatricen
9 −10
A=
.
2
1
a) Opskriv differentialligningssystemet.
2. Bestem ved hjælp af egenværdier og egenvektorer for A den fuldstændige reelle
løsning til differentialligningssystemet.
3. Bestem den løsning til differentialligningssystemet for hvilken graferne for x1 ( t)
og x2 ( t) begge g˚ar gennem punktet (0, 1) , og plot dem i intervallet t ∈ [−1, 0.2] .
Opgavesættet er slut