1. No category

gudmandsen.net
Ophavsret ©
Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge,
sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse kræver forfatterens skriftlige tilladelse
[mailto:[email protected]].
Indholdet stilles til rådighed under Open Content License [http://opencontent.org/openpub/].
1 Differentialkvotient
Det kan være hensigtsmæssigt at kunne beregne den absolutte funktionstilvækst for en
funktion for en bestemt x-værdi. Dette kan gøres ved hjælp af differentialkvotienter, beskrevet
i det efterfølgende.
For at udregne og bevise differentialkvotienter og disses regneregler ses der på
grundlæggende forhold vedrørende funktionstilvækst og den rette linjes hældning.
Nedenstående er en oversigt over grundlæggende forhold vedrørende differentialkvotienter,
samt en oversigt over differentialkvotienter for de mest grundlæggende funktioner.
1.0.1 Kontinuert, monoton og differentialbel
Illustration 1: Grafen for en funktion, som er både kontinuert og monoton
En funktion er kontinuert, ved ikke at være afbrudt – ubrudt kurve.
En funktion er monoton, ved at være konstant voksende eller aftagende. Det kan også være
gældende inden for et interval af definitionsmængden. Er en funktion monoton, har den
blandt andet en invers funktion.
En funktion er differentiabel, ved at være kontinuert og monoton; være glat uden overgange.
Der kan både være tale om kontinueritet og differentiabilitet for et punkt, et interval eller i
hele funktionens definitionsmængde.
diff_kvotient.odt
Side 1 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.0.2 Funktionstilvækst
En funktionstilvækst er et udtryk for hvor meget funktionsværdien, f(x), ændrer sig i forhold til
en ændring i den frie variable, x.
Det er for visse funktioner kendt, at funktionstilvæksten kan udregnes enten som eksempelvis
en relativ størrelse (eksponentielle funktioner) eller absolut størrelse (lineære funktioner), men
hvordan kan vi finde den absolutte størrelse for alle funktioner til en bestemt x-værdi?
Illustration 2: Funktionstilvækst gennem to punkter på grafen for f(x)
Tilvæksten i mellem punktet P1(x0; f(x0)) og punktet P2(x0+Δx; f(x0+Δx), hvor Δx er forskellen
mellem x-værdierne og Δy er forskellen mellem de to funktionsværdier.
Her kan der tages udgangspunkt i den rette linje, hvor hældningen mellem 2 punkter på
linjen, P1(x1;y2) og P2(x2;y2) er defineret som:
α =
y −y
Δy
= 2 1
Δx
x 2− x1
Dette kan bevises (på C-niveau) at gælde uanset afstanden mellem x 1 og x2 i forhold til
hældningen som ændring i funktionsværdien ved en Δx-værdi på 1, ved ensvinklede
trekanter eller ligefrem proportionalitet.
Da y = f(x) giver punkterne på Illustration 2 en funktionstilvækst, svarende til den rette linjes
hældning:
α =
diff_kvotient.odt
f (x 0+Δ x )− f ( x 0 )
f ( x 0+Δ x )− f ( x 0)
Δy
=
=
Δx
( x 0+Δ x)− x 0
Δx
Side 2 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.0.3 Sekant til tangent
Den relative tilvækst i punktet (x0;y0) svarer til hældningen as af den rette linje gennem de to
punkter på grafen, svarende til sekantantens hældning 1.
Illustration 3: Sekant gennem to punkter på grafen for en differentiabel funktion
Som før nævnt kan sekantens hældning udtrykkes ved hældningen af en ret linje gennem to
punkter:
as =
f ( x 0+Δ x )− f (x 0)
Δy
=
Δx
Δx
Den reelle tilvækst i punktet (x0;y0) svarer hældningen at af en ret linje som tangerer
funktionen, differentialkvotienten for Δx → 0.
Ved at lade afvigelsen Δx blive meget lille ('uendelig lille'), vil sekantens hældning nærme sig
tangentens hældning.
Dette udtrykkes ved at sekantens hældning as går mod tangentens hældning at for Δx
gående mod nul:
as =
Δy
dy
→ at =
for Δ x → 0
Δx
dx
Sekantens hældning as kaldes også for differenskvotient, da den udtrykke differensen
(forskellene) i x- og y-værdierne.
Tangentens hældning i x0 udtrykkes ved differentialkvotienten og kan skrives på mange
måder:
1 Sekant er 'lånt' fra geometrien og afspejler en ret linje gennem 2 punkter på en cirkelperiferi.
diff_kvotient.odt
Side 3 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
a t = f ' ( x0 ) =
dy
= y0 '
dx 0
Illustration 4: Tangenten i x0 for samme differentiable funktion
Hermed er tangentens hældning i form af differentialkvotient defineret.
1.1 3-trinsreglen
For at udregne differentialkvotienter, ud fra ovenstående benyttes arbejde med
differenskvotienten, gående mod differentialkvotienten, kaldet 3-trinsreglen.
Det er måske lidt misvisende, da de to første trin er en integreret del af ovenstående
udledning af differenskvotienten, men der er tradition for dette, ligesom differensen i x-værdi,
Δx, i visse lærebogsystemer bliver kaldt h.
Trin 1: Ændring i funktionsværdi
Δ y = f ( x 0+Δ x )− f ( x0 )
Trin 2: Forholdet mellem ændring i funktionsværdi og værdien af den frie variable
f ( x 0+Δ x)− f ( x 0)
f (x 0+Δ x )− f (x 0 )
Δy
=
=
Δx
(x 0+Δ x )−x 0
Δx
Trin 3: Lade Δx gå mod nul
as =
Δy
dy
→ at =
Δx
dx
for Δ x → 0
Udledning af differentialkvotienter for simple funktioner kan ses under 1.3.1 Udledning af
differentialkvotient side 8.
diff_kvotient.odt
Side 4 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.2 Tangentens ligning, det approksimerede 1.grads polynomium
Ikke alle funktioner er lige lette at arbejde med algebraisk, hvorfor det kan være praktisk kun
at undersøge en lille del af grafens forløb. Som udgangspunkt vil en kontinuert og monoton
funktion kun have en meget lille ændring inden for et meget lille interval omkring x0.
Derfor tillader vi os at approksimere funktionen til et 1.grads polynomium / ret linje.
Når både funktionsværdien og differentialkvotienten kendes for x0, er det oplagt at finde en
ligning for tangenten i punktet (x0 ; f(x0)).
Den rette linje kan beskrives som:
y− y 0 = α (x− x 0)
...hvor α (alfa) er udtryk for linjens hældning.
I denne sammenhæng benytter vi os af følgende notationer:
y 0 = f ( x0 ) og α = f ' ( x 0)
Dette giver os en ligning for tangenten i punktet (x0 ; f(x0)) på grafen for en differentiabel
funktion:
y− f ( x0 ) = f ' ( x 0 )(x− x 0)
Denne kaldes Tangentens ligning eller Det approksimerede 1.grads polynomium og kan med
fordel formuleres i anden rækkefølge:
y = f (x 0 )+ f ' ( x 0 )( x−x 0 )
...svarende til 0.grads- og 1.gradsleddene i en lineær funktion på formen y = ax+b.
1.2.1 Eksempel på tangentens ligning
Benyttes førnævnte eksempel for f(x) = x2 kan tangentens ligning i x0 = 2 findes ved:
y− f ( 2) = f ' ( 2)⋅( x−2)
2
⇔ y−2 = 2⋅2⋅( x−2)
⇔ y−4 = 4⋅( x−2)
⇔ y = 4x−4
diff_kvotient.odt
Side 5 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.2.2 Taylors approksimerede polynomier af højere orden
Det approksimerede 1.grads polynomium kan siges at være næsten lig med funktionen i
umiddelbar nærhed af punktet (x0;y0).
Ved at bruge polynomier af højere orden, kan approksimeringen udstrækkes til et større
område væk fra punktet (x0;y0).
0.grads polynomium i (x0;y0)
Funktionværdien
y0 = f  x0 
1.grads polynomium i (x0;y0)
Tangentens ligning
y 1 = f (x 0)+ f ' ( x 0)⋅(x− x 0)
2.grads polynomium i (x0;y0)
( x− x 0)1
( x−x 0) 2
y 2 = f (x 0 )+ f ' ( x 0 )⋅
+ f ' ' ( x0 )⋅
1!
2!
n.grads polynomium i (x0;y0)
1
n−1
n
( x−x 0)
( x−x 0 )
(x− x 0)
y n = f ( x0 )+ f 1 ( x0 )⋅
+ ... + f n−1 ( x 0)⋅
+ f n (x 0 )⋅
1!
(n−1)!
n!
Note: Her benyttes notationen fn(x0) for den nte afledede (i stedet for funktionen
opløftet i nte.)
Noter:
•
•
Notationen n! dækker over fakultet, som udtrykker tallet n gange med n-1 gange med
n-2 osv. ned til 1. n ! = n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅3⋅2⋅1
Eksempelvis er 1! = 1, 2! =2∙1=2 og 3! =3∙2∙1=6 osv.
dn y
udtrykker den afledede i nte orden, dvs. funktionen differentieret n gange.
n
dx
Dette vil give approksimerede funktioner, udtrykt ved polynomier, som ligger lige oven i grafen for den
oprindelige funktion, inden for et afgrænset område i nærheden af den ønskede værdi af x0.
Illustration 5: Approksimeret n.grads polynomium. Her brugt på sinusfunktion. Ved 17.grad opnås
perfekt sinusform i perioden [0; 2π].
diff_kvotient.odt
Side 6 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.2.3 Eksempel på approksimeret n.gradspolynomium
Tager vi en funktion, som ikke er et polynomium, kan et approksimeret polynomium af højere
orden findes:
x
f (x ) = e for x 0 = 2
⇔ y 0 = e 2 ≈ 7.389
⇔ y 1 = y 0+e 2 (x −2) ≈ −7.389+7.389 x
(x−2) 2
⇐ y 2 = y 1+e 2⋅
≈ 7.389056100−7.389056100 · x+3.694528049 · x 2
2
Dette 2.gradspolynomium følger grafen for den naturlige eksponentialfunktion noget tættere,
i et større område nær x0 = 2.
Illustration 6: Den naturlige eksponentialfunktion med approksimerede 1.grads- og 2.gradspolynomier.
Går vi højere op i graderne, vil det approksimerede polynomium dække et endnu større
interval, som illustreret ved Taylors approksimerede polynomier af højere orden side 6.
diff_kvotient.odt
Side 7 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.3 Afledede funktioner
Herunder vises hvordan differentialkvotienten for en simpel funktion i bestemt x0-værdi
udledes ved hjælp af 3-trinsreglen.
Efterfølgende kan denne viden benyttes til at finde tangentens ligning (det approksimerede
1.gradspolynomium) og polynomier af højere orden.
1.3.1 Udledning af differentialkvotient
Ved at betragte en simpel funktion og en given x-værdi benyttes 3-trinsreglen, som følger:
f (x ) = x
2
og x 0 = 2
Dette vil give Trin 1:
Δ y = ( x 0+Δ x )2−x 20 = x20 +Δ x 2+2⋅Δ x⋅x 0−x 20 = Δ x 2+2 Δ x⋅x 0
Trin2:
(x 0+Δ x )2−x 20
Δ x 2+2 Δ x⋅x0
Δy
=
=
= Δ x+2x0
Δx
Δx
Δx
Ved at lade Δx gå mod nul i Trin 3, vil leddet indeholdende netop Δx gå mod , hvorfor der
kun er er leddet uden Δx tilbage:
Δy
→ 2 x 0 for Δ x → 0
Δx
I dette tilfælde vil det give mening af lad Δx gå mod nul, hvorved differentialkvotienten er løst
uden problemer, men tit og ofte giver det ingen mening, hvorfor kreative løsninger bliver
tilføjet for at nå til et fornuftigt resultat. Dette gør sig gældende for udledninger af
differentialkvotienter for flere relativt simple funktioner og udledning af regnereglerne.
I praksis findes et udtryk for differentialkvotienten for af alle x-værdier, kaldet den afledte
funktion, f'(x).
Det vil i praksis sige, at den afledede funktion bliver:
f ( x ) = x 2 ⇔ f ' ( x ) = 2x
Afprøves dette for alle (!) potensfunktioner kan der udledes en sammenhæng:
f (x ) = x n , n∈ℝ
⇔ f ' ( x ) = n⋅x n−1
Se en Oversigt over afledede funktioner side 16.
Indsættes en værdi for x0 (her x0 = 2) fås at differentialkvotienten i denne x-værdi bliver:
f ' (x 0) = 4
diff_kvotient.odt
Side 8 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.3.2 Udledninger af udvalgte afledede funktioner
Vi så før (1.3.1) hvordan den afledede funktion for f(x) = x2 kan udledes. Herunder skal vi se på
nogle flere afledede funktioner:
Reciprokfunktionen
1
, x ∈ℝ \ { 0}
x
1
1
Δy =
−
x 0+Δ x x 0
Δy
1
1
1
1
=
⋅( f (x 0+Δ x)− f ( x 0) = ) =
⋅
−
Δx
Δx
Δ x x0 +Δ x x 0
f (x) =
(
)
Her giver det ingen mening at lade Δx gå mod nul, hvorfor der arbejdes videre med udtrykket,
ved at sætte på fælles nævner:
(
)
x0
x 0+Δ x
Δy
1
1 x 0−( x0 −Δ x )
1
−Δ x
=
⋅
−
=
⋅
=
⋅
Δx
Δ x x0 ( x0 +Δ x) x 0( x 0+Δ x)
Δ x x0 ( x 0−Δ x)
Δ x x 0 ( x0 +Δ x)
Δy
1
⇔
=−
Δx
x 0 ( x 0+Δ x)
Nu giver det mening af lade Δx gå mon nul:
−
1
1
→ − 2
x 0 ( x 0+Δ x)
x0
for Δ x → 0
Da reciprokfunktionen kan omskrives, jfr. potensregnereglerne, kan denne udledning
kontrolleres ved hjælp at udledning af afledet for potensfunktion, 1.3.1 side 8:
f (x ) =
1
1
= x−1 , x ∈ℝ \{ 0} ⇔ f ' ( x) = −1⋅x−1−1 = − x−2 = − 2
x
x
Ergo:
f (x) =
diff_kvotient.odt
1
1
⇔ f ' (x ) = − 2
x
x
Side 9 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
Kvadratrod
f (x ) =
√x
Δy
=
Δx
√ x0 +Δ x0 −√ x0
, x∈ [ 0 ; ∞ ]
Δx
Det giver her ingen mening at lade Δx gå mon nul, hvorfor en kreativ tilføjelse må indføres i
form af skalaren √ x 0+Δ x+ √ x0 .
(
)
Δy
=
Δx
√ x 0+Δ x 0−√ x 0
Δx
2
=
( √ x 0+Δ x+ √ x0 )⋅( √ x0 +Δ x−√ x0 )
Δ x⋅(√ x 0+Δ x+ √ x 0 )
2
Δy
√ x 0+Δ x −√ x0 =
Δx
⇔
=
, da ( a+b)(a−b) = a 2−b 2
Δx
Δ x⋅( √ x 0+Δ x+ √ x0 )
Δ x⋅( √ x0 +Δ x+√ x0 )
Δy
1
⇔
=
Δx
√ x 0+Δ x+ √ x0
Ved at lade Δx gå mon nul, findes der kun to rødder i nævneren:
Δy
→
Δx
1
1
=
2√ x
√ x0 +√ x0
, for x → 0
Igen kan der kontrolleres ved hjælp af udledning af potensfunktion:
1
f (x ) =
√x
1
= x 2 , x∈ [ 0 ; ∞ [ ⇔ f ' ( x) =
1
1 2 −1
1 −
1 1
1
⋅x
= ⋅x 2 = ⋅ 1 =
2
2
2 2
2√x
x
Ergo:
f (x ) =
√x
, x∈ [ 0 ; ∞ [ ⇔ f ' ( x) =
1
2√x
, x∈ ] 0 ; ∞ [
Den naturlige logaritmefunktion
Her skal der benyttes en mindre ligefrem metode til at bevise at vi har fat i den rigtige
afledede funktion. Til at starte med defineres følgende:
diff_kvotient.odt
Side 10 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
f (x ) = ln(x ) , x ∈ℝ \{0 } ,
d
1
d
( ln(x )) =
og
( ln(1) ) = 1
dx
x
dx
Det gælder for netop den naturlige logaritmefunktion, at hældningen i punktet (1,0) er lig 1.
For at undersøge om den afledede er korrekt ser vi på f(x) = ln(ax) som er en sammensat
funktion (se 1.4.6 side 23):
f ( x ) = ln( a⋅x) ⇔
dy
d
d
=
( ln(u) )⋅ ( u ) , hvor u = a⋅x
dx
du
dx
dy
1
1
⇔
=
⋅a =
dx
ax
x
Reciprokfunktionen kan altså godt være en mulig afledet funktion for den naturlige logaritme
(ikke det samme som at den er det, eller den er den eneste løsning).
Indsætter vi nu x0 = 1, hvor det i øvrigt gælder at hældningen er lig med 1, fås:
f ' (1) = 1 ⇔
1
= 1
1
Hvilket er korrekt, ergo:
f (x ) = ln( x) ⇔ f ' ( x ) =
1
x
Konstantfunktionen
Konstantfunktionen y = k, kan betragtes som et 0.gradspolynomium og derved løses ved
reglen for potensfunktioner:
d n
(x )
dx
f ( x) = k eller f ( x) = k⋅x 0
d
= n⋅x n −1 ⇒
( k⋅x 0) = 0⋅k⋅x 0−1 = 0
dx
Hvilket illustreres ved at grafen for konstantfunktionen er en vandret linje, med en konstant
hældning på 0 (nul).
d
(k ) = 0
dx
diff_kvotient.odt
Side 11 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
Sinus
For at finde differentialkvotienten af den trigonometriske funktion, sinus, skal vi se på nogle
trigonometriske relationer:
sin( A)−sin( B) = 2⋅cos
( ) ( )
A+ B
A−B
⋅sin
2
2
Dette bevises ikke her, men godtages og benyttes i forbindelse med 3trinsreglen.
1)
Δ y = sin (x 0+Δ x)−sin (x 0) = 2⋅cos
= 2⋅cos
(
) ( )
2x 0+Δ x
Δx
⋅sin
2
2
(
) (
x 0 +Δ x+x 0
x +Δ x−x 0
⋅sin 0
2
2
(
= 2⋅cos x 0+
)
) ( )
Δx
Δx
⋅sin
2
2
2)
Δy
=
Δx
(
2⋅cos x0 +
) ( )
Δx
Δx
⋅sin
2
2
Δx
(
cos x0 +
=
) ( )
Δx
Δx
⋅sin
2
2
Δx
2
( )
Δx
sin
2
Δx
= cos x 0+
⋅
2
Δx
2
(
)
3)
Ved at se på de to leds afledede fås
( (
))
( )
d
Δx
cos x 0 +
dx
2
d
dx
( )
sin
Δx
2
Δx
2
→ cos( x) for Δ x → 0
→ 1 for Δ x → 0
Udledningen af den grænseværdien for sinus kan argumenteres i sin(0) → 0 hvorved brøken
bliver tæt på 1. Dette kan bekræftes ved at beregne brøken for værdier gående mod 0 (nul)
eksempelvis, x0 = 0.1, x0 = 0.01, x0 = 0.001 osv.
Herved kan der udledes at
( )
Δx
sin
2
Δx
cos x0 +
⋅
2
Δx
2
(
)
→ cos ( x 0 )⋅1 = cos (x 0 ) for Δ x → 0
Ergo:
d
( sin( x ) ) = cos( x)
dx
diff_kvotient.odt
Side 12 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
Cosinus
Til udledning af differentialkvotienten for cosinus skal der benyttes følgende relation:
cos ( A)−cos ( B) = −2⋅sin
( ) ( )
A+ B
A−B
⋅sin
2
2
Benyttes dette i forbindelse med 3trinsreglen fås
Δ y = cos( x 0+Δ x)−cos( x 0) = −2⋅sin
= −2⋅sin
(
) ( )
2x 0+Δ x
Δx
⋅sin
2
2
(
) (
x 0+Δ x+x 0
x +Δ x−x 0
⋅sin 0
2
2
(
= −2⋅sin x 0+
)
) ( )
Δx
Δx
⋅sin
2
2
2)
Δy
=
Δx
(
) ( )
Δx
Δx
⋅sin
2
2
Δx
−2⋅sin x 0+
(
−sin x 0+
=
) ( )
Δx
Δx
⋅sin
2
2
Δx
2
( )
Δx
sin
2
Δx
= −sin x 0+
⋅
2
Δx
2
(
)
3)
Ved at betragte de indgående led fås
(
)
( )
Δx
→ −sin( x0 ) for Δ x → 0
2
Δx
sin
2
→ 1 for Δ x → 0
Δx
2
−sin x0 +
Samlet giver det at
Δy
→ −sin (x 0 )⋅1=−sin( x 0) for Δ x → 0
Δx
Da vi allerede kender den afledede til Sinusfunktionen, kan dette bruges til alternativ
udledning ved hjælp af Sammensat funktion - kædereglen side 23 og en af relationerne
mellem sinus og cosinus.
diff_kvotient.odt
Side 13 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
(sin (x) ) ' = cos( x)
( f ( g ( x)) ) ' = f ' ( g (x))⋅g ' ( x)
sin( x) = cos π −x
2
(
)
Herved kan den afledede for cosinus findes:
( cos( x) ) ' = sin π −x ' = cos π − x ⋅( π −x )' = sin (x)⋅(−1) = −sin( x)
( ( 2 ))
(2 )
2
Ergo:
d
( cos( x) ) = −sin (x )
dx
Sammenholdes differentialkvotienten for sinus og cosinus kan der opstilles en model til
afledede af højere orden (differentialkvotienten flere gange):
Det vil sige, at hvis sinus eller cosinus differentieres 4 gange, er den tilbage ved
udgangspunktet.
diff_kvotient.odt
Side 14 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
Tangens
Som udgangspunkt benyttes de afledede funktioner for cosinus og sinus er givet herover.
Tangens er defineret som forholdet mellem sinus og cosinus, hvilket giver (jfr. Division af
funktioner side 23):
sin (x )
cos ( x )
tan( x ) =
d
d sin (x)
cos( x)⋅cos ( x )−sin( x)⋅(−sin( x))
cos 2 (x)+sin2 ( x)
=
=
( tan( x)) =
dx
dx cos ( x )
sin 2( x)
sin2 ( x)
(
)
Grundrelationen på baggrund af Pythagoras' og enhedscirklen er givet ved
2
2
cos ( x)+sin ( x) = 1
Hvilket medfører at tælleren er lig 1:
d
1
( tan( x)) =
dx
sin2 ( x)
Alternativt kan kvotientudledningen deles op i to brøker:
d
cos 2( x)+sin2 ( x)
cos 2 ( x) sin2 ( x)
( tan( x) ) =
=
+
=
dx
sin2 ( x)
sin 2 ( x ) sin2 ( x)
(
2
)
cos (x )
+1 = tan 2 ( x )+1
sin ( x )
Ergo:
d
1
( tan( x) ) =
= tan 2 ( x)+1
2
dx
sin ( x)
diff_kvotient.odt
Side 15 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.3.3 Oversigt over afledede funktioner
Nedenstående lister er gældende differentialkvotienter for de mest grundlæggende
funktioner.
Potensfunktioner
Funktion
Afledet funktion
y = k = k⋅x 0
dy
= 0
dx
y = x = x1
dy
= 1
dx
y = xn
dy
= n⋅x n−1
dx
y = k⋅x n
dy
= k⋅n⋅x n−1
dx
y =
1
= x−n
n
x
y =
x = x2
dy
1
= −n⋅x −n −1 = − n1
dx
x
1
1
dy
1 −
1
= ⋅x 2 =
dx
2
2⋅ x 
NB: lever også op til den
afledede af xn
Eksponentielle- og logaritmefunktioner
diff_kvotient.odt
Funktion
Afledet funktion
y = ax
dy
x
= a ⋅ln a 
dx
y = ex
dy
x
= e
dx
y = 10 x
dy
x
= 10 ⋅ln 10
dx
y = a kx
dy
kx
= k⋅a ⋅ln a 
dx
y = e kx
dy
= k⋅e kx
dx
y = log a  x
log a e 
dy
1
=
=
dx
x
ln a⋅x
y = ln  x 
dy
1
=
dx
x
y = log x  = log 10  x 
log e
dy
1
=
=
dx
x
ln 10⋅x
Side 16 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
Trigonometriske funktioner
Funktion
Afledet funktion
y = sin x
dy
= cos x
dx
dy
= −sin  x 
dx
dy
1
=
= 1tan2  x
2
dx
cos  x
y = cos  x 
y = tan  x 

x ≠
, p 
2
{
}
y = cos−1  x 
x  [ −1 ; 1 ]
y = sin−1  x
x  [ −1 ; 1 ]
−1
y = tan  x 
− 
tan  x  
;
2 2
]
dy
1
=−
dx
 1− x 2
dy
1
=
dx
1− x 2
dy
1
=
dx
1x 2
[
Desuden findes en lang stribe afledede for de såkaldte hyperbolske trigonometriske
funktioner. Se http://www.gudmandsen.net/res/mat_vejl/hyperbolsk.pdf .
Flere af de mest relevante trigonomestriske relationer kan ses på
diff_kvotient.odt
Side 17 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.4 Regneregler for differentialkvotienter
Nedenstående omfatter beviser for regneregler for differentialkvotienter; sum/differens,
produkt, reciprok, division, sammensat og invers.
Alle beviser er baseret på 3-trinsreglen:
1) Δ y = f ( x 0+Δ x)− f ( x 0 )
f (x 0+Δ x )− f (x 0 )
Δy
2)
=
Δx
x 0+Δ x−x 0
Δy
3)
→ f ' (x 0 ) for Δ x →0
Δx
Bemærk forskellige notationer for samme:
y = f ( x)
dy
d
f ' (x) = y ' =
=
( y)
dx
dx
Alle notationer med index (eksempelvis x0) angiver en bestemt værdi.
Uden index angiver det vilkårlig værdi inden for tilladte afgrænsning, definitionsmængde.
Det forudsættes at de indgående (del)funktioner er differentiable.
diff_kvotient.odt
Side 18 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.4.1 Flerleddede funktioner
 f g '  x 0 = f '  x 0 g '  x 0 
Som udgangspunkt defineres en sumfunktion:
s  x 0 = f  x 0g  x 0 
...hvor f(x) og g(x) er begge differentiable i x0, det vil sige:
f (x 0+Δ x )− f (x 0 )
→ f ' ( x 0) for Δ x →0
Δx
g ( x 0+Δ x)−g ( x 0 )
→ g ' (x 0 ) for Δ x → 0
Δx
Det samme gør sig gældende for s(x), ved anvendelse af 3-trinsreglen:
1)
 y = f  x 0 xg  x 0 x − f  x 0g  x 0 
= f  x 0 x − f  x 0 g  x 0 x−g  x 0 
2)
f  x 0 x− f  x 0 g  x 0 x −g  x0 
y
=
x
x
f  x 0 x− f  x 0 g  x 0 x−g  x 0 
=

x
x
3)
Da grænseværdien for de to brøker er givet ved:
f (x 0+Δ x )− f (x 0 )
g ( x 0+Δ x)−g ( x0 )
→ f ' ( x 0) for Δ x →0 og
→ g ' (x 0 ) for Δ x → 0
Δx
Δx
Grænseværdien for sumfunktionen vil være givet ved:
f ( x 0+Δ x)− f (x 0 ) g ( x 0+Δ x )−g ( x 0)
Δy
=
+
→ f ' ( x 0 )+g ' ( x0 )
Δx
Δx
Δx
for Δ x → 0
Da Δy/Δx har en grænseværdi for Δx → 0 er sumfunktionen s(x) differentiabel med
grænseværdien:
s '  x 0  = f '  x 0 g '  x 0
Samme argumentation er gældende for differens:
 f −g '  x 0 = f '  x 0 −g '  x 0
Ergo:
( f ± g)' ( x ) = f ' ( x)±g ' ( x )
diff_kvotient.odt
Side 19 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.4.2 Produkt af funktioner
 f ⋅g '  x 0  = f '  x 0⋅g  x 0  f  x 0⋅g '  x0 
Det forudsættes at både f(x) og g(x) er differentiable.
Ved benyttelse af 3-trinsreglen fås:
1)
Δ y = ( f⋅g )( x0 +Δ x)−( f ⋅g )(x 0 ) = f ( x 0+Δ x )⋅g ( x 0+Δ x)− f ( x 0)⋅g (x 0 )
2)
f  x 0 x⋅g  x 0 x − f  x 0 ⋅g  x0 
y
=
x
x
Her findes ingen løsning for Δx → 0, hvorfor der adderes i tæller med tallet 0 (nul) udformet på
følgende kreative måde:
0 = f ( x 0)⋅g ( x 0 +Δ x)− f ( x 0)⋅g ( x 0+Δ x )
Dette medfører (med det adderede 0-tal i rødt):
f ( x 0+Δ x)⋅g (x 0 +Δ x)− f ( x 0)⋅g (x 0 )+ f ( x0 )⋅g ( x 0+Δ x )− f (x 0 )⋅g ( x 0+Δ x )
Δy
=
Δx
Δx
Ved at sætte henholdsvis g(x0 + Δx) og f(x0) uden for parentes og opdele i to brøker fås:
g  x 0 x⋅ f  x 0 x− f  x 0  f  x 0⋅ g  x 0  x −g  x 0 
y
=
x
x
g

x

x
⋅
f

x

x
−
f
 x 0 f  x 0 ⋅ g  x 0 x−g  x 0
y
0
0
⇔
=

x
x
x
f  x 0 x − f  x 0 
g  x 0 x −g  x0 
y
⇔
= g  x 0 x ⋅
 f  x 0⋅
x
x
x
I dette udtryk optræder følgende differentialkvotienter:
g  x 0 x g  x 0  for  x  0
f  x 0  f  x 0  for  x 0
f  x 0 x− f  x 0 
 f '  x0  for  x 0
x
g  x 0 x −g  x0 
 g '  x 0  for  x  0
x
diff_kvotient.odt
Side 20 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
Dette medfører:
y
 g  x 0 ⋅ f '  x 0 g '  x 0 ⋅ f  x 0  for  x 0
x
Ergo:
( f ⋅g ) ' (x ) = g ( x)⋅ f ' (x )+g ' ( x)⋅ f ( x)
1.4.3 Produkt med konstant
k⋅ f '  x 0  = k⋅ f '  x 0 
På baggrund af produktreglen defineres en funktion g(x) = k:
(k⋅ f )' (x 0) = k '⋅ f (x 0)+k⋅ f ' (x 0 )
Da k = k∙x0 giver dennes afledede 0 (nul):
d
( k⋅x 0 ) = k⋅0⋅x 0−1 = 0
dx
Hermed giver udledningen:
⇔ (k⋅ f )' ( x 0) = 0⋅f (x 0 )+k⋅ f ' ( x 0) = k⋅ f ' ( x 0)
Ergo:
(k⋅ f )' (x) = k⋅f ' ( x)
diff_kvotient.odt
Side 21 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.4.4 Reciprokfunktion
− f ' (x 0 )
1
' =
f ( x 0)
f 2 ( x0 )
( )
Det forudsættes af f(x) er differentiabel og at f(x) ≠ 0.
Vi definerer en funktion:
h ( x0 ) =
1
f ( x 0)
Ved brug af 3-trins reglen fås:
1)
Δ h = h( x 0+Δ x)−h( x 0) =
1
1
−
f ( x0 +Δ x) f ( x 0 )
Sat på fælles brøkstreg:
f ( x0 )
f (x 0+Δ x ) 1
1
⋅
−
⋅
f ( x0 ) f ( x 0+Δ x) f (x 0+Δ x ) f ( x0 )
−( f (x 0+Δ x)− f ( x0 ) )
f ( x0 )− f ( x0 +Δ x)
−Δ f
=
=
=
f ( x0 +Δ x)⋅ f ( x 0)
f ( x 0+Δ x)⋅ f ( x 0)
f ( x 0+Δ x)⋅ f ( x 0)
Δh =
2)
Δf
Δh
−Δ f
Δx
=
=
Δx
Δ x⋅ f ( x 0+Δ x )⋅ f ( x 0 )
f (x 0 +Δ x)⋅ f ( x0 )
−
3)
Her gælder at:
−
Δf
→− f ' (x 0 ) for Δ x → 0
Δx
og
f ( x 0+Δ x )⋅f ( x 0 ) → f 2 ( x 0) for Δ x →0
Dette medfører:
− f ' ( x0 )
Δh
→
for Δ x →0
Δx
f 2( x 0)
Ergo:
( )
1
− f ' ( x)
' =
f (x)
f 2 ( x)
diff_kvotient.odt
Side 22 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.4.5 Division af funktioner
f ' (x 0 )⋅g ( x 0)− f (x 0 )⋅g ' (x 0 )
f
' (x 0 ) =
g
(g ( x 0))2
()
Det forudsættes at både f(x) og g(x) er differentiable og der defineres en funktion:
h ( x0 ) =
f ( x 0)
1
= f (x 0 )⋅
g (x 0)
g (x 0 )
( )
Ved brug af regnereglerne for differentiering af både produktfunktion og reciprokfunktion fås:
f ' ( x 0)
g'(x )
1
1
+ f (x 0 )⋅
' =
− f ( x 0)⋅ 2 0
g ( x0 )
g (x 0 )
g ( x 0)
g ( x 0)
( )
h ' ( x 0) = f ' ( x0 )⋅
( )
Sat på fælles brøkstreg fås:
h ' ( x) =
( )
f (x )
f ' (x)⋅g ( x )− f ( x)⋅g ' ( x)
' =
2
g ( x)
g ( x)
1.4.6 Sammensat funktion - kædereglen
( f (g ( x 0)))' = f ' ( g ( x 0))⋅g ' ( x 0)
eller
dy
dy du
=
⋅
dx
du dx
Ved omskrivning af g(x) = u, fås at den sammensatte funktion nu hedder f(u) og 3-trinsreglen
bliver benyttet på baggrund af Δy/Δu:
Δ u = g ( x 0+Δ x)−g (x 0 ) , Δ y = f (u 0+Δ u )− f (u )
Δy
Δ y Δu
Δ y Δu
⇒
=
⋅
=
⋅
Δx
Δx Δu
Δu Δ x
Dette vil sige at:
f (u0 +Δ u). f (u0 ) g (x 0+Δ x )−g ( x 0)
f (u 0+Δ u)− f ( u 0) g ( x 0+Δ x)−g (x 0)
Δy
=
⋅
=
⋅
Δx
Δx
g (x 0+Δ x )−g ( x 0)
g ( x 0+Δ x)− g ( x 0 )
Δx
Dette medfører følgende differentialkvotienter:
diff_kvotient.odt
Side 23 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
f (u0 +Δ u)− f (u0 )
Δy
=
→ f ' ( u) for Δ u → 0
Δu
g ( x0 +Δ x)− g (x 0 )
g ( x 0+Δ x)−g (x 0 )
Δu
=
→ g ' (x ) for Δ x → 0
Δx
Δx
⇒
Δy
→ f ' (u )⋅g ' ( x ) for Δ x → 0
Δx
Da u = g ( x )
⇔
dy
= f ' (g ( x))⋅g ' ( x) for Δ x → 0
dx
Hvilket giver:
( f ( g ( x))) ' = f ' (g ( x))⋅g ' ( x )
eller
dy
dy du
=
⋅
dx
du dx
Dette kan udvides til også at gælde for funktioner med flere led end 2:
dy
dy du dv
dn
=
⋅ ⋅ ⋅...⋅
dx
du dv dw
dx
...også kaldet kædereglen, da den kan forøges til lige så mange funktioner inden i som
nødvendigt.
1.4.7 Invers funktion
( f −1 ( x ))'
=
1
f ' ( f −1 ( x))
Er f(x) monoton, har den en omvendt funktion f–1(x). Vi viser, at hvis f(x) er differentiabel og f
'(x) ≠ 0, er den omvendte (også) differentiabel.
Graferne for f(x) og f–1(x) ligger symmetrisk om linien y = x (se Illustration 7, side 25).
f(x)-grafen har tangenter med hældningskoefficienter f'(x) > 0. Det medfører, at den spejlede
graf (for f–1(x)) også har tangenter større end 0, så f–1(x) er differentiabel.
Tangenthældningerne vil være hinandens reciprokke.
diff_kvotient.odt
Side 24 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
Illustration 7: Funktionen f(x), dens inverse f-1(x) samt spejlingslinjen y = x. Tangenter for både f(x) og den
inverse f-1(x)er indtegnet, med reciprokke hældninger.
Definitionen på inverse funktioner lyder:
f −1 ( y ) = x
y = f ( x) ⇔
f −1 ( f ( x ) ) = x
eller
f ( f −1 ( x) ) = x
Ved differentiation af sammensat funktion (på venstre side) og differentiation af
1.gradsleddet (på højre side) fås:
( f ( f −1 (x ))) '
= f '( f
−1
( x) )⋅( f
−1
( x ))'
og x ' = 1
Dette medfører:
f ' ( f −1 ( x 0) )⋅( f −1( x 0) ) ' = 1
Isoleres den aflede af den inverse funktion fås:
( f −1 ( x ))'
diff_kvotient.odt
=
1
f ' ( f −1 ( x))
Side 25 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27
1.5 Oversigt over regneregler
Listen herunder er regneregler for differentaition af funktioner.
1.5.1 Sum, differens og kvotient
 f  x± g  x  ' = f '  x± g '  x
1.5.2 Produkt og division
 f  x⋅g  x  = f '  x ⋅g  x  f  x ⋅g '  x 
( k⋅f ( x )) ' = k⋅f ' (x)
( )
1
f ' (x)
' = − 2
f ( x)
f (x )
 
f x
f '  x ⋅g  x − f  x ⋅g '  x 
' =
2
g  x
 g  x 
( f −1 ( x )) '
=
1
f ' ( f −1 ( x))
1.5.3 Sammensatte funktioner
 f  g  x  '
= f '  g  x ⋅g '  x
Kædereglen:
dy
dy du
=
⋅
dx
du dx
dy
dy du
dn
=
⋅ ⋅ ... ⋅
dx
du dv
dx
1.5.4 Andre regler
(
diff_kvotient.odt
)
1 2
f ( x) ' = f ( x)⋅ f ' ( x )
2
Side 26 /26
rev. Jakob Gudmandsen 11-12-27