16
14
12
10
10
8
6
x5
4
2
0
2
4
6
t
8
10
12
Matematik og databehandling 2012
Miniprojekt D:
Produktionsfunktioner af to variable
onsdag 31/10
Lokaler og vejledning
Følgende lokaler er til rådighed kl. 8–17 for gruppearbejde:
3-11 (A2-70.01), 3-12 (A2-70.02), vandrehallen samt grupperum:
Thorvaldsensvej 40: 16–29 og
Thorvaldsensvej 57, 2. sal: E302, E304, G304, I304, K304, A306, L306.
Der er adgang til vejledning i marmorhallen onsdag 31/10 kl. 8–16.30.
Aflevering af besvarelsen
Besvarelsen afleveres på papir onsdag 31/10 kl. 16.30–17.00
(senest) i marmorhallen. Sammen med besvarelsen skal I aflevere to identisk udfyldte eksemplarer
af forsiden, som udleveres sammen med Miniprojektet. I får det ene eksemplar tilbage som
kvittering for at I har afleveret.
Besvarelsens form
Skriv gerne besvarelsen i hånden, da det er besværligt at skrive matematiske symboler i tekstbehandling. Besvarelsen skal bestå af:
• Besvarelsen af de enkelte opgaver. Angiv præcise mellemregninger samt forklaringer på,
hvad I har gjort. Det gælder også de resultater, I har opnået ved brug af regneark og R
(beregninger, grafer mm.).
• Vedlæg udskrifter af
– de vigtigste R-kommandoer, I har benyttet,
– relevant output fra regneark og R inklusiv de grafer I har tegnet for at løse opgaverne.
Dette kan gøres ved at kopiere grafer og andet output over i Word. Udskrifterne skal
placeres sammen med jeres håndskrevne løsninger af de pågældende delspørgsmål og ikke
som separate bilag. Besvarelsen skal være sammenhængende og skal kunne læses uden at
man skal blade frem og tilbage i den.
Ved bedømmelsen af besvarelsen lægges der vægt på ovenstående.
Eksamenssnyd
Gruppen skal selv løse opgaverne. Samarbejd gerne med andre grupper,
men afskrift er eksamenssnyd. Bemærk at alle gruppens medlemmer skriver under på, at de har
arbejdet med på hele projektet og har forstået og godkendt den samlede rapport.
Godkendelse og evt. genaflevering af besvarelsen
Hver besvarelse bedømmes enten
som “godkendt” eller “ikke godkendt”, og der kræves 75 point ud af 100 for at en besvarelse bliver
godkendt. I får de rettede og kommenterede besvarelser tilbage, og der vil være mulighed for at
genaflevere ikke-godkendte besvarelser. De praktiske detaljer vedrørende genaflevering vil blive
udsendt pr. email.
1
Miniprojekt D
Matematik og databehandling 2012
Dette miniprojekt består af 3 opgaver, der kan løses uafhængigt af hinanden
Opgave 1 (65%)
En virksomhed producerer et vist produkt. Produktionen P (målt i passende enheder) afhænger
i det væsentlige af to faktorer, nemlig arbejdskraft og mængden af en given råvare. Den anvendte
arbejdskraft x måles i timer og den anvendte mængde af råvaren y måles i kg. Produktionen
P = P (x, y) er altså en funktion af x og y. Det viser sig rimeligt at antage, at P (x, y) er givet
ved
x2
y 1/4
P (x, y) =
for x ≥ 0 og y ≥ 0.
1 + x2
(a) Bestem produktionen ved anvendelse af 3 timers arbejdskraft og 16 kg råvarer.
(b) Lad y > 0 være fast. Hvad sker der med P (x, y) når x → ∞?
Lad x > 0 være fast. Hvad sker der med P (x, y) når y → ∞?
Niveaukurverne for produktionen P (x, y) kaldes i økonomi for isokvanter. En isokvant angiver
således de forskellige mængder af arbejdskraft og råvarer, der resulterer i en given produktion.
(c) Bestem isokvanterne hørende til en produktion på c enheder, hvor c > 0 er vilkårlig, ved
at udtrykke y = y(x) som en funktion af x.
Tegn vha. R graferne for tre isokvanter svarende til c = 1, 2, 3 i samme koordinatsystem.
(Vælg passende grænser for x og y, så alle tre grafer kan ses.)
Ved anvendelse af 2 timers arbejdskraft ønskes en produktion på 4 enheder. Hvor mange
kg råvarer skal anvendes?
Virksomheden køber arbejdskraft og råvarer: Prisen på en times arbejdskraft er 200 kr., mens
prisen på et kg af råvaren er 300 kr. Endvidere sælges virksomhedens produkt til en pris på 1200
kr. pr. enhed.
(d) Opstil den funktion F (x, y), som angiver virksomhedens fortjeneste, dvs. indtægter minus
udgifter ved anvendelse af x timers arbejdskraft og y kg af råvaren.
Bestem derefter de partielle afledede Fx′ (x, y) og Fy′ (x, y) af F (x, y) mht. x og y.
(e) Bestem samtlige stationære punkter for F (x, y) i området x > 0 og y > 0.
12x
[Vink: Vis først, at ligningen Fx′ (x, y) = 0 medfører y −1/4 = (1+x
2 )2 . Indsæt dette i ligningen
′
Fy (x, y) = 0. Løs den fremkomne ligning, hvor den ubekendte er x, vha. uniroot i R. ]
(f) Afgør for hvert af de stationære punkter om der er tale om et lokalt maksimumspunkt,
lokalt minimumspunkt eller et sadelpunkt for F (x, y).
(g) Hent R-funktionen overflade fra
http://matdat.life.ku.dk/mat-dat/eksempler
(Se Appendiks H i Noter om R og Noter om regneark for vejledning i indlæsning og brug
af overflade.) Benyt overflade til at tegne grafen for F (x, y) over et passende område,
sådan at man kan se det (lokale) maksimum for F (x, y).
[Vink: Det kan være en fordel at benytte ticktype="detailed".]
Benyt endvidere R-funktionen contour (se Afsnit 21 i Noter om R og Noter om regneark) til
at tegne nogle af funktionens niveaukurver, hvoraf beliggenheden af det lokale maksimum
fremgår.
2
Miniprojekt D
Matematik og databehandling 2012
(h) Virksomheden ønsker at bruge præcis 1000 kr i alt til arbejdskraft og råvarer. Hvor mange
af disse penge skal bruges på arbejdskraft hhv. råvarer for at virksomheden opnår den størst
mulige fortjeneste?
[Vink: Opstil et maksimeringsproblem under en bibetingelse. Brug bibetingelsen til at reducere problemet til et maksimeringsproblem for en funktion af én variabel, og benyt gerne
R-funktionen optimize til at bestemme maksimum for denne funktion.]
Bemærk at spørgsmål (i)-(j) omhandler funktionen P (x, y); ikke F (x, y).
(i) Bestem en ligning z = T (x, y) for tangentplanen for P (x, y) i punktet (a, b) = (1, 16).
(j) [Der gives IKKE vejledning til dette delspørgsmål, som højst tæller 5%]
Vis at tangentplanen (fundet i (i)) ligger over grafen for funktionen P (x, y) i nærheden af
(1, 16).
[Vink: Vis at funktionen T (x, y) − P (x, y) er større end eller lig med 0 i nærheden af (1, 16)
ved at argumentere for at den har lokalt minimum i (1, 16).]
Opgave 2
Lad
(20%)
f (x, y) = x2 + ay 2 − 2ax ,
hvor a ∈ R.
(a) Lad a 6= 0 være vilkårlig. Vis, at f (x, y) har netop et stationært punkt og bestem dette.
Afgør endvidere om f (x, y) har lokalt maksimum, lokalt minimum eller sadelpunkt i dette
stationære punkt. (Svaret vil afhænge af a.)
(b) Lad a = 1. Benyt R-funktionen overflade (som i Opgave 1(g)) til at tegne grafen for
f (x, y) over et passende område og tegn nogle af funktionens niveaukurver vha. R-funktionen
contour. Begrund at disse grafer bekræfter konklusionerne i spørgsmål (a). Gør derefter
tilsvarende for a = −1.
(c) Lad a ∈ R være vilkårlig. Udregn dobbeltintegralet
ZZ
f (x, y) dxdy,
Ω
hvor Ω = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 og − x ≤ y ≤ x}.
Opgave 3 (15%)
I denne opgave skal I bruge regneark til at analysere data fra studerende (kaldet dommere), der
har prøvesmagt chokoladeprodukter. Resultatet fra prøvesmagningen foreligger i en regnearksfil
kaldet Chokolade.xls , som kan hentes fra
http://matdat.life.ku.dk/mat-dat/miniprojekter
Et udsnit af regnearket er vist nedenfor:
3
Miniprojekt D
Matematik og databehandling 2012
Der er 30 dommere (Karen, Stine osv.) som hver har bedømt 6 forskellige egenskaber (mørkhed,
hårdhed, sødhed, kakaosmag, mælkeagtighed og bitterhed) ved 3 chokoladeprodukter (Dark278,
Dark624 og Milk498). Der er altså 30 · 3 = 90 rækker med observationer. Hver observation har
otte variable, nemlig dels dommernavn og produktnavn, og dels de seks observerede egenskaber.
Kolonneoverskrifter til observationerne står i A3:H3 og selve observationerne står i A4:H93.
(a) Gennemsnitlig bedømmelse for alle produkter og egenskaber
Åbn regnearket og sortér datasættet, så alle observationer vedrørende et givet produkt står
lige under hinanden. Pas på I ikke får sorteret kolonneoverskrifterne med.
Find for hvert produkt gennemsnittet for hver af de seks egenskaber, altså produktets gennemsnitlige mørkhed, gennemsnitlige hårdhed osv.
[Vink: Dette gøres nemmest ved at bruge subtotaler.]
[Vink ved brug af OpenOffice: I dialogboksen Subtotaler skal man under “Beregn subtotaler for” markere (men ikke afkrydse) en egenskab, fx Mørkhed, så den fremtræder skygget,
og så under “Beregn funktion” vælge Middel; og derefter gentage dette for de andre fem
egenskaber.]
Brug disposition, dvs. knapperne 1-2-3 til venstre for arket, til kun at vise gennemsnittene for
hvert af de tre produkter og deres seks egenskaber. (Det gør ikke noget at hovedgennemsnittet
over alle produkter også kommer med nederst).
Lav et xy-plot af gennemsnitlig bitterhed som funktion af gennemsnitlig kakao for de tre
produkter. Der skal altså kun være tre datapunkter i plottet. Punkterne skal ikke være
forbundet med rette linier.
Aflevér: Udskrift af regnearket, hvor kun de beregnede gennemsnit vises. Gennemsnittene
skal vises med to decimaler. Aflevér endvidere en udskrift af xy-plottet.
(b) Hver bedømmelses afvigelse fra gennemsnitsbedømmelsen
Behold subtotalerne beregnet i (a), men udfold dispositionen, så I igen kan se alle tallene.
Fokusér nu på dataene for den mørke chokolade kaldet Dark624. Disse data står i A35:H64,
og de beregnede gennemsnit står i C65:H65. Beregn for hver dommer og hver egenskab
kvadratet på forskellen mellem dommerens bedømmelse og gennemsnittet for den egenskab.
[Vink: Dette gøres nemmest ved at skrive én formel med brug af relative og absolutte
referencer, og kopiere den for alle 6 egenskaber og alle 30 dommere. Hvis formlen skrives
i celle J35, så skal den kopieres til J35:O64, altså området fra kolonne J række 35 til kolonne
(bogstav) O række 64.]
Beregn derefter for hver dommer, men stadig kun for Dark624, summen af kvadratafvigelserne
beregnet ovenfor. (Dette giver et mål for hvor langt dommerens bedømmelser ligger fra den
gennemsnitlige bedømmelse (for chokolade Dark624).)
[Vink: Dette gøres nemmest ved at skrive en formel i celle Q35 og kopiere den til Q36:Q64.]
Aflevér: Angiv den formel, der blev skrevet i J35, samt hvordan denne formel ser ud, når
den er kopieret til M35, og hvordan den ser ud, når den er kopieret til O64.
Angiv endvidere navnet på den dommer, der ligger tættest på gennemsnittet samt summen
af denne dommers kvadratafvigelser. Besvar også dette for den dommer der ligger længst
væk fra gennemsnittet.
(c) Start forfra med det oprindelige regneark Chokolade.xls .
Find for hver dommer gennemsnittet af dommerens bitterhedsbedømmelser og gennemsnittet af dommerens kakaobedømmelser. Lav derefter et xy-plot med ét datapunkt for hver
dommer, som viser dommerens gennemsnitlige bitterhedsbedømmelse som funktion af dommerens gennemsnitlige kakaobedømmelse.
Aflevér: En forklaring af de beregninger I lavede, en forklaring af hvordan I lavede plottet,
og en udskrift af selve plottet.
4