1. No category

16
14
12
10
10
8
6
x5
4
2
0
2
4
6
t
8
10
12
Matematik og databehandling 2012
Miniprojekt A:
Matematiske modeller med funktioner
onsdag 12/9
Lokaler og vejledning
Følgende lokaler er til rådighed kl. 10–17 for gruppearbejde:
3-11 (A2-70.01), 3-12 (A2-70.02), vandrehallen samt grupperum:
Thorvaldsensvej 40: 16–29 og
Thorvaldsensvej 57, 2. sal: D302, D304, E302, E304, G304, I304, K304, A306, L306.
Der er adgang til vejledning i marmorhallen onsdag 12/9 kl. 11–17 samt fredag 14/9 kl. 13–14.
Aflevering af besvarelsen
Besvarelsen afleveres på papir mandag 17/9 kl. 12.00–12.30
i marmorhallen. Sammen med besvarelsen skal I aflevere to identisk udfyldte eksemplarer af
forsiden, som udleveres sammen med Miniprojektet. I får det ene eksemplar tilbage som kvittering
for at I har afleveret.
Besvarelsens form
Skriv gerne besvarelsen i hånden, da det er besværligt at skrive matematiske symboler i tekstbehandling. Besvarelsen skal bestå af:
• Besvarelsen af de enkelte opgaver. Angiv præcise mellemregninger samt forklaringer på,
hvad I har gjort. Det gælder også de resultater, I har opnået ved brug af R (beregninger,
grafer mm.).
• Vedlæg udskrifter af
– de vigtigste R-kommandoer, I har benyttet,
– relevant output fra R inklusiv de grafer I har tegnet for at løse opgaverne.
Dette kan gøres ved at kopiere grafer og andet output over i Word. Udskrifterne skal
placeres sammen med jeres håndskrevne løsninger af de pågældende delspørgsmål og ikke
som separate bilag. Besvarelsen skal være sammenhængende og skal kunne læses uden at
man skal blade frem og tilbage i den.
Ved bedømmelsen af besvarelsen lægges der vægt på ovenstående.
Eksamenssnyd
Gruppen skal selv løse opgaverne. Samarbejd gerne med andre grupper,
men afskrift er eksamenssnyd. Bemærk at alle gruppens medlemmer skriver under på, at de har
arbejdet med på hele projektet og har forstået og godkendt den samlede rapport.
Godkendelse og evt. genaflevering af besvarelsen
Hver besvarelse bedømmes enten
som “godkendt” eller “ikke godkendt”, og der kræves 75 point ud af 100 for at en besvarelse bliver
godkendt. I får de rettede og kommenterede besvarelser tilbage fra jeres øvelseslærer. Der vil
være mulighed for at genaflevere ikke-godkendte besvarelser. De praktiske detaljer vedrørende
genaflevering vil blive udsendt pr. email.
1
Miniprojekt A
Matematik og databehandling 2012
Dette miniprojekt består af 3 opgaver, der kan løses uafhængigt af hinanden
Opgave 1 (25%)
For en række pattedyr har man målt kropsvægten (målt i kg) og pulsen (målt i hjerteslag pr.
minut). Disse data er i filen a_data_1.txt, som findes på
http://matdat.life.ku.dk/mat-dat/miniprojekter
Et uddrag af datafilen:
Dyr
Mus
Rotte
Hamster
Kropsvaegt
0.025
0.2
0.3
Puls
750
400
320
(a) Gem filen a_data_1.txt på din computer og indlæs den i R som et datasæt ved brug af
funktionen read.table.
Tegn vha. R datapunkterne med pulsen P som funktion af kropsvægten K.
I det følgende vil vi undersøge, hvilken af følgende 3 modeller der bedst kan benyttes til at
beskrive sammenhængen mellem K og P :
(I)
Lineær model:
P = aK + b
(II)
Eksponentiel model:
P = berK
dvs. ln P = ln b + rK
(III)
Potens model:
P = bK a
dvs. ln P = ln b + a ln K
hvor a, b og r er parametre.
(b)
(i) Bestem vha. lineær regression i R den rette linie P = aK + b, som bedst beskriver
sammenhængen mellem K og P .
Tegn vha. R denne linie sammen med datapunkterne.
(ii) Tegn vha. R de transformerede datapunkter (K, ln P ).
Bestem vha. lineær regression i R den rette linie, som bedst beskriver sammenhængen
mellem K og ln P .
Tegn vha. R denne linie sammen med de transformerede datapunkter (K, ln P ).
(iii) Tegn vha. R de transformerede datapunkter (ln K, ln P ).
Bestem vha. lineær regression i R den rette linie, som bedst beskriver sammenhængen
mellem ln K og ln P .
Tegn vha. R denne linie sammen med de transformerede datapunkter (ln K, ln P ).
2
Miniprojekt A
Matematik og databehandling 2012
(c) Benyt graferne lavet i (b) til at vurdere, hvilken af modellerne
(I): P = aK + b,
(II): P = berK
og
(III): P = bK a ,
der bedst beskriver sammenhængen mellem datapunkterne (K, P ).
Opskriv for den bedste model sammenhængen mellem K og P , dvs. opskriv P som funktion
af K.
Tegn vha. R grafen for denne funktion for 0.02 ≤ K ≤ 70 sammen med datapunkterne.
(d) Benyt den bedste model bestemt i (d) til at besvare følgende:
(i) Hvilken puls vil man forvente for en elefant på 7 tons?
(ii) Hvilken kropsvægt vil man forvente for en kat med en puls på 165?
(iii) Hvis et dyr er fem gange så tungt som et andet, hvilken sammenhæng vil man så
forvente mellem de to dyrs puls?
Opgave 2 (45%)
En mark tilføres gødning. Udbyttet af en vis afgrøde (målt i tons pr. ha.) ved tilførsel af t ≥ 0
enheder gødning pr. ha. betegnes U (t). Som modeller for funktionen U (t) overvejes følgende tre
muligheder:
2
(I) U (t) = AeBt + C
2
(II) U (t) = A 1 − e−Bt + C
(III) U (t) =
A
2 + C,
1 + eBt
hvor A, B og C i alle tre tilfælde er positive parametre.
(a)
(i) Afgør for hver af de tre modeller, om U (t) er en voksende eller en aftagende funktion
af t ≥ 0.
(ii) Afgør for hver af de tre modeller, om U (t) har en endelig grænseværdi for t → ∞, og
bestem i bekræftende fald denne grænseværdi.
I resten af opgaven antages det, at model (II) gælder.
(b) Sæt A = 30 og B = 0.01. Det oplyses, at udbyttet er 40 tons pr. ha., hvis der ikke gødes.
Hvor mange enheder gødning skal tilføres pr. ha. for at opnå et udbytte på 60 tons pr. ha.?
(c) Sæt A = 25 og C = 35. Tegn vha. R graferne for U (t) for flere forskellige værdier af B i
samme koordinatsystem.
Hvilke fælles egenskaber har disse grafer?
3
Miniprojekt A
Matematik og databehandling 2012
(d) På en mark har man målt udbyttet for en række forskellige gødningsmængder. Disse
målinger er i filen a_data_2.txt, som findes på
http://matdat.life.ku.dk/mat-dat/miniprojekter
Et uddrag af filens indhold:
Goedning,Udbytte
0,39.13
0.1,39.85
0.2,40.17
0.3,39.66
0.4,40.09
Hver linie efter overskrifterne indeholder gødningsmængden t efterfulgt af udbyttet U .
Gem filen a_data_2.txt på din computer og indlæs den i R som et datasæt ved brug af
funktionen read.table.
Tegn vha. R målingerne med udbyttet U som funktion af gødningsmængden t.
Benyt plottet til at bestemme de værdier af A og C, som ser ud til at få grafen for funktionen
U (t) til at passe bedst muligt med målingerne.
[Vink: Søg evt. inspiration i jeres svar til (c).]
Tegn for disse værdier af A og C grafen for U (t) for forskellige værdier af B sammen med
datapunkterne. Bestem herved den værdi af B (med 3 decimaler), som ser ud til at få
grafen for funktionen U (t) til at passe bedst muligt med målingerne.
Vi lader q betegne salgsprisen i kr. pr. tons udbytte og p betegne prisen i kr. pr. enhed gødning.
(e) Opskriv fortjenesten F (t) pr. ha. (dvs. indtægter minus udgifter) som funktion af t.
(Parametrene A, B, C, p og q vil indgå i udtrykket.)
(f) Sæt B = 0.02, C = 40 og q = 3000. Det oplyses, at den økonomisk optimale gødningsmængde er 12 enheder pr. ha. samt at dette resulterer i en fortjeneste på 170 000
kr. pr. ha. Bestem A og p, begge med 2 decimaler.
(g) Sæt A = 20, B = 0.02, C = 40, p = 2500 og q = 3000. Tegn vha. R grafen for F (t) med
disse parameterværdier.
Foretag endvidere en funktionsundersøgelse af F (t) for t ≥ 0 og bestem samtlige lokale
ekstrema (med 2 decimaler).
[Vink: I får brug for R-funktionen uniroot.]
Er disse lokale ekstrema også globale ekstrema?
4
Miniprojekt A
Matematik og databehandling 2012
Opgave 3 (30%)
Vi betragter funktionen
for t > 0.
f (t) = 2t ln t
(a) Find Taylorpolynomierne f1 (t) og f2 (t) af orden hhv. 1 og 2 med udviklingspunkt a = 1
for funktionen f (t).
(b) Tegn vha. R graferne for f (t), f1 (t) og f2 (t) i samme koordinatsystem med et passende
valg af t-interval.
(c) Tegn vha. R grafen for |f (t) − f2 (t)| (afvigelsen mellem f (t) og f2 (t)) for 1 ≤ t ≤ 2.
Tegn derefter vha. R grafen for |f (t) − f2 (t)| for passende valgte t-intervaller og benyt
disse grafer til at aflæse de værdier af t (med 2 decimaler) i intervallet [1, 2] for hvilke
|f (t) − f2 (t)| ≤ 0.04.
(d) Bestem konstanter A og B således at
F (t) = At2 ln t + Bt2
er en stamfunktion til f (t).
[Vink: Bestem F ′ (t) og bestem A og B således at F ′ (t) = f (t).]
R 1.3
Benyt F (t) til at bestemme integralet 1 f (t) dt med 4 decimaler.
Kontrollér, at der er regnet rigtigt ved at foretage numerisk integration i R.
Vi ved, at en (vilkårlig) funktion g(t) tilnærmes af g1 (t) (Taylorpolynomiet af orden 1 med
udviklingspunkt a = 1) for t i nærheden af a = 1. Den følgende sætning viser, at integralet af
g(t) over et interval i nærheden af a = 1 ligeledes tilnærmes af integralet af g1 (t) over intervallet.
Sætning AA Lad M være en konstant, som opfylder
|g′′ (t)| ≤ M
for 1 ≤ t ≤ 1.3.
Så gælder
Z
1
1.3
g(t) dt −
Z
1.3
1
g1 (t) dt ≤ 0.0045 M.
(e) Aflæs ud fra en graf for f ′′ (t) en konstant M , gerne så lille som muligt, som opfylder
|f ′′ (t)| ≤ M
for 1 ≤ t ≤ 1.3.
Brug dette til at kontrollere, at Sætning AA gælder i tilfældet g(t) = f (t).
(f) [Der gives IKKE vejledning til dette delspørgsmål, som højst tæller 5%]
Vis Sætning AA ved brug af Sætning A.6.1.
5