1. No category

gudmandsen.net
Geometri C & B
Indholdsfortegnelse
1 Geometri & trigonometri.....................................................................................................2
1.1 Område.......................................................................................................................2
2 Ensvinklede trekanter........................................................................................................3
2.1.1 Skaleringsfaktoren...............................................................................................4
3 Retvinklede trekanter.........................................................................................................5
3.1 Pythagoras lærersætning...........................................................................................5
3.1.1 Bevis for Pythagoras...........................................................................................6
3.1.2 Afstanden mellem to punkter i xy-planet.............................................................7
4 Trigonometriske funktioner.................................................................................................8
4.1 Enhedscirklen.............................................................................................................8
4.1.1 Den rette linjes hældningskoefficient..................................................................9
4.1.2 Grundrelationen.................................................................................................10
4.2 Inverse trigonometriske funktioner...........................................................................10
4.3 Retvinklet trekant med vilkårlig hypotenuse ..........................................................12
4.3.1 Vilkårlig radius...................................................................................................14
4.4 Samlet for retvinklede trekanter................................................................................15
5 Vilkårlige trekanter...........................................................................................................16
5.1 Sinusrelationer..........................................................................................................16
5.1.1 Alternativ udledning...........................................................................................17
5.1.2 Opsummering....................................................................................................17
5.2 Cosinusrelationer......................................................................................................18
5.2.1 Opsummering....................................................................................................20
5.3 'Det dobbelttydige tilfælde' – en variant af cosinusrelationerne...............................20
5.4 Kombination af sinus- & cosinusrelationer...............................................................22
6 Analytisk plangeometri.....................................................................................................23
7 Appendiks.........................................................................................................................25
7.1 Sammenhænge mellem trigonometriske funktioner.................................................25
7.2 Definitioner og forhold for trekanter .........................................................................26
7.2.1 Yderligere forhold for vilkårlige trekanter..........................................................27
© 2000-2012 Jakob SvH Gudmandsen
Kopiering fra dette skrift må kun finde sted i overensstemmelse aftale mellem Copy-Dan og
Undervisningsministeriet.
geometri.odt
Side 1 / 28
2012-10-24
1 Geometri & trigonometri
Geometri er læren om opmåling af jorden (Oldgræsk: Geo=jord, metri=opmåling).
I det antikke Ægypten var der problemer med Nilens årlige oversvømmelser af god
landbrugsjord og landkendingsmærker, der angiveligt skulle have givet anledning
til mange diskussioner om hvor den enkelte lodsejers grænser gik. Derfor var
myndighederne tvungne til at indføre nogle teknikker til at genetablere
grænserne, hvorved de første spæde tiltag til geometrien opstod.
Der var grækerne som formåede at sætte reglerne i system, ved Euklid 1, som
samtidig grundlagde metoderne til moderne deduktiv videnskab. Han skrev
værket Elementer ca. 330-320 f.kr., som angiveligt var grundbog i matematik på
alverdens universiteter i næsten 2000 år.
Euklid opsatte en lang stribe definitioner2 og postulater, inden for geometrien (her
lettere omformulerede):
I. En ret linje går den korteste vej mellem to punkter
II. En afgrænset ret linje er en del af en uendelig ret linje
III. En cirkel er en punktmængde med ens afstand (radius) til ét bestemt punkt
(centrum)
IV. Alle rette vinkler er ens
V. Hvis en ret linje skærer to andre rette linjer, hvor de spidse vinkler er ens, vil
de to sidstnævnte linjer være parallelle
Sidstnævnte postulat, Parallelpostulatet, har givet anledning til mange diskussioner
blandt matematikere lige siden, og har blandt andet afstedført flere nye grene af
geometrien, herunder projektiv geometri og differentialgeometrien, som begge
ignorerer Parallelpostulatet, og i praksis omhandler hhv. perspektiv og kugleflader.
Læren om trekanter kaldes for Trigonometri.
1.1 Område
Dette skrift gennemgår kerneområder for de gymnasiale B- og C-niveauer, hvor
bevisførelsen og 'Det dobbelttydige tilfælde' – en variant af cosinusrelationerne
side 20 ikke indgår på C-niveau.
På C- og B-niveau omhandler geometrien hovedsageligt forhold vedrørende
trekanter, og deraf afledede forhold, hvoraf sidstnævnte først optræder på Aniveau, herunder den Analytisk plangeometri side 23.
Nærværende skrift vil udelukkende forholde sig til geometri i Det fysiske rum
(Euklids rum), hvor koordinatakserne er rette linjer som står vinkelret på hinanden, i
det såkaldte 'kartesiske koordinatsystem'3 og kun i 2 dimensioner (planen).
1 De oprindelige oldgræske tekster er væk i dag, men perserne havde afskrevet (og oversat) dem
til persisk, hvorfra de senere er kopieret til latin og derved er indholdet bevaret.
2 Se http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
3 Angiveligt opkaldt efter den franske filosof og matematiker René Descartes, 1596-1650.
geometri.odt
Side 2 / 28
2012-10-24
2 Ensvinklede trekanter
I to ensvinklede trekanter, gælder det at de korresponderende vinkler har samme
størrelse (gradtal), men at sidelængderne kan være forskellige.
De to trekanter er altså ens i form, men forskellige i størrelse!
A= A' , B=B ' = C=C '
Illustration 1: To ensvinklede trekanter
Det gælder her, at forholdene mellem sidelængderne er proportional med en
faktor, Skaleringsfaktoren k (også kaldet skalafaktoren eller forstørrelsesfaktoren).
a
b
c
=
=
= k
a'
b'
c'
Det vil sige, at hvis forskellen mellem eksempelvis linjestykker a og a' er
a ' = k⋅a
...må forholdene mellem de øvrige sider kunne udtrykkes ved
b ' = k⋅b
c ' = k⋅c
geometri.odt
Side 3 / 28
2012-10-24
2.1.1 Skaleringsfaktoren
Hvornår der skal ganges eller divideres med skaleringafaktoren, er et spørgsmål
om skaleringsfaktoren er udregnet med den største eller mindste trekans
sidelængder i tælleren og om skal arbejdes fra en mindre til større trekant, eller
omvendt.
Nedenstående er baseret på trekanten med notationerne a', b' og c' i tælleren.
her kan der regnes fra eksempelvis a til a' ved at gange med skaleringfaktoren:
⇒
a' b' c'
= = =k
a
b
c
a ' =a⋅k , b '=b⋅k ,
c ' =c⋅k
Forholdet mellem a og a' udtrykker hvilken trekant der størst.
Hvis a er større end a' i oven stående relation, vil skaleringsfaktoren være mindre
end en, 0 < k < 1 (bemærk at 0 < k, da det ikke giver mening at gange eller
dividere med et negativt tal, da længder pr. definition er positive).
Nedenstående tabel forsøger at give et overblik over størrelsen af
skaleringsfaktoiren i forhold til hvorvidt der regnes fra en mindre til en større trekant
eller omvendt, og forholder sig til relationerne herover:
Gange med k
Dividerer med k
Fra stor til lille
Fra lille til stor
Fra lille til stor
Fra stor til lille
0<k<1
1<k
geometri.odt
Side 4 / 28
2012-10-24
3 Retvinklede trekanter
En retvinklet trekant har den ene vinkel lig 90o (π/24). De to øvrige vinkler, må i
sagens natur være spidse.
Illustration 2: En retvinklet trekant med notationer for sider og vinkler.
I en retvinklet trekant kaldes de to sider, som står vinkelret på hinanden for kateder
og den skrå side for hypotenusen.
Trekanten på Illustration 2 bliver til tider benævnt 'standardtrekant' med samme
bogstav for vinkel og modstående side, eksempelvis A og a.
3.1 Pythagoras lærersætning
I den retvinklede trekant gælder Pythagoras' lærersætning 5:
a 2b 2 = c 2
⇔ ∣BC∣2∣AC∣2 = ∣AB∣2
Eller
c =
√ a 2+b2
6
...hvor sidelængderne også er et udtryk for afstanden mellem enderne på
sidelængderne, mellem punkterne A og B jævnførende Illustration 2.
Udregningerne ved løsninger til den ene katete vil løses med normale
omformningsregler for ligninger:
a 2+b 2 = c 2
2
2
2
⇔ a = c −b
⇔ a = √c 2 −b2
4 At måle vinkler i radianer, hvor 360° svarer til 2π, optræder først på Matematik A eller i fysikken.
5 Pythagoras fra Samos (582 f.Kr. – 507 f.Kr.)
6 Længder er pr. definition positive, hvorfor dobbeltløsninger med +/- kan udelades her.
geometri.odt
Side 5 / 28
2012-10-24
3.1.1 Bevis for Pythagoras
Ved at tage 4 ens retvinklede trekanter (grønne) som den på Illustration 2
afbildede trekant og lægge dem ind i et kvadrat, kan nedenstående konstruktion
opnås:
Illustration 3: 4 ens retvinklede trekanter i kvadrat
Det ydre (røde) kvadrat får herved sidelængden a+b og dermed arealet (a+b)2.
Det indre (blå) kvadrat har sidelængden c og dermed arealet c2.
Arealerne af hver af de 4 (grønne) retvinklede trekanter er giver ved
½*højde*Grundlinje, som her vil være ½ab.
Arealerne af de 4 retvinklede trekanter plus arealet af det indre kvadrat må være
lig arealet af det ydre kvadrat, hvorved følgende beregning kan foretages:
A4
trekanter
Aindre
kvadrat
=
A ydre
kvadrat
 
⇔ 4⋅
1
ab c2 = ab2
2
Ved at udregne begge sider og her benytte 1. kvadratsætning på venstres side af
lighedstegnet, og efterfølgende trække det dobbelte produkt fra på begge sider,
fås:
⇔ 2abc2 = a 2b 22ab
⇔ c2 = a 2b 2
herved er Pythagoras' lærersætning bevist.
Der findes flere andre måder at bevise Pythagoras' lærersætning.
geometri.odt
Side 6 / 28
2012-10-24
3.1.2 Afstanden mellem to punkter i xy-planet
Med Pythagoras' lærersætning for øje og med fokus på punkterne A & B i
Illustration 2, kan der også formuleres at:
∣AB∣ = c
 a 2b2
⇔ ∣AB∣ =
Lægges den retvinklede trekant ind i et Karthesisk koordinatsystem (retvinklet
koordinatsystem), vil længderne af katederne være lig forskellene 7 af henholdsvis
x- og y-værdier for punkterne A(xa;ya) og B(xb;yb) , som er lig længderne for
kateterne a og b.
a =  y = ∣BC∣ = y b− y a
og
b =  x = ∣AC∣ = x b −x a
Illustration 4: Retvinklet trekant lagt ind i et
koordinatsystem
Heraf følger at:
⇔ ∣AB∣ =
  x 2  y 2
=
 y − y   x − x 
2
b
a
2
b
a
7 Det græske bogstav Delta (Δ) benyttes i vid udstrækning som notation for forskel eller ændring.
geometri.odt
Side 7 / 28
2012-10-24
4 Trigonometriske funktioner
For at regne på sider og vinkler i trekanter er der tre funktioner, som i dag mest er
udtrykt ved knapper på lommeregneren: Cosinus, Sinus og Tangens 8.
Disse funktioner er defineret ud fra opmålinger på cirklen, og giver regneregler for
beregninger på både retvinklede og vilkårlige trekanter.
4.1 Enhedscirklen
Enhedscirklen er defineret som en cirklen med centrum i koordinatsystemets Origo
(x,y) = (0,0) og med radius r = 1.
Vinklen er målt ud fra 1.aksens positive del og positiv omløbsretning er mod uret.
Illustration 5: Enhedscirklen, r = 1. Her er sinus lig |OY|, cosinus
lig |OX| og tangens lig |EQ|
Cos(v) aflæses på 1.aksen, Sin(v) aflæses på 2.aksen og Tan(v) aflæses på den
lodrette linje x=1.
8 Se eksakte værdier for trigonometriske funktioner ved nogle vinkelværdier på
http://www.gudmandsen.net/res/mat_vejl/trigo_vaerdier.pdf .
geometri.odt
Side 8 / 28
2012-10-24
Det vil sige at punkterne P og Q har koordinaterne:
P = cos v ; sin v
Q = 1 ; tan v
Iagttages en retvinklet trekant OPX på Illustration 5 afgrænset af 1.aksen, radius og
højden i punktet P, kan følgende sammenhænge findes:
Længde fra Origo til X-værdien for Px = Cos(v)
Længde fra Origo til y-værdien for Py = Sin(v)
Navngives denne trekants sider og vinkler som på Illustration 2 vil forholdene
hedde:
b = ∣AC∣ = cos v
a = ∣BC∣ = sin v
c = ∣AB∣ = 1
Dette er definitionerne på Cosinus og Sinus!
For Tangens gælder desuden:
sin  x
cos v
o
v ≠ {90 , 270o , osv. }
tan v =
At Tangens ikke kan udledes for vinklerne 90°, 270° osv., skyldes at den forlængede
radius herved vil være parallel med linjen x = 1.
Ses der på brøken gælder det at Cos(90°) = 0, og der kan ikke divideres med 0.
4.1.1 Den rette linjes hældningskoefficient
Hældningen af en ret linje gennem to punkter med koordinaterne (x 1;y1) og (x2;y2)
er givet ved:
 =
y −y
y
= 2 1
x 2−x 1
x
Betragtes enhedscirklens radius, som en del af en ret linje, vil denne hældning
kunne udtrykkes ved linjen gennem punkterne O(0;0) og P(Cos(v);Sin(v)), som er
den samme for linjen gennem O(0;0) og Q(1;tan(v))
geometri.odt
Side 9 / 28
2012-10-24
α OP =
sin( v)−0
sin(v)
tan(v )−0
Δy
=
=
og α OQ =
= tan( v )
Δx
cos(v )−0
cos (v )
1−0
Det vil sige at vi kan omregne mellem en ret linjes hældningskoefficient og
hældningsvinkel i forhold til 1. aksen ved hjælp af tangens:
−1
tan v  =  ⇔ tan  = v
Herved kan relationen mellem tangens, cosinus og sinus forklares ved, at
hældningskoefficienten for linjen |OP| på Illustration 5 må være lige hældningen
for linjen|OQ|:
αOP =
sin( v)
tan(v)
og αOQ =
= tan( v)
cos(v)
1
4.1.2 Grundrelationen
Når sidelængderne i trekanten med hypotenusen lig 1, kendes ud fra de
trigonometriske funktioner, Cosinus og Sinus, kan disse relateres til Pythagoras'
lærersætning:
a 2b 2 = c 2
⇔ sin 2 v cos 2 v =12
Bemærk notationen sin2(v) som betyder kvadratet af værdien for sin(v) og er det
samme som (sin(v))2. Samme for cos2(v).
4.2 Inverse trigonometriske funktioner
Der gælder følgende relationer for de trigonometriske funktioner:
Cosinus
cos v  = x ⇔ v = cos−1 v 
Sinus
sin v = x ⇔ v = sin v 
Tangens
Dm(f)=R\{90°,
270°,..}
−1
tan v  = x ⇔ v = tan−1 v 
sin v 
cos v
tan v  =
⇔ tan −1 v  =
cos v 
sinv 
Bemærk at tangens bliver til tider betegnet ved tg(v), ligesom de inverse
trigonometriske funktioner kan kaldes acos, asin, atan/atg.
geometri.odt
Side 10 / 28
2012-10-24
Ved de inverse funktioner skal opmærksomheden henledes på
definitionsmængde og relationer der medfører flere løsninger:
cos v  = cos−v 
Invers Cosinus, Dm(f)=[-1;1]
Invers Sinus, Dm(f)=[-1;1]
sin(v) = sin(180 ° −v )
Invers Tangens, Dm(f)=
ℝ ∖{±∞}
tan (v ) = tan( v+180 ° )
Løsningerne for invers sinus, sin-1(v), kan konstateres ved iagttagelse på Illustration
6, hvor der skal findes løsning til sin-1(0,5) i punktet D. Denne kan findes ved at
møde cirkelperiferien i både 1. og 2. kvadrant, hvorved løsningerne bliver
henholdsvis v = 30,29° og v = 149,71°.
Illustration 6: Invers sinus
Det er især relevant ved løsning af sin-1(v) og tan-1(v) at undersøge om den
alternative løsning også kan være rigtig, hvilket typisk sker ved stumpvinklede
trekanter.
geometri.odt
Side 11 / 28
2012-10-24
4.3 Retvinklet trekant med vilkårlig hypotenuse
For tilsvarende cirkel med centrum i Origo, men med vilkårlig radius = r, gælder at
sidelængderne skaleres med en faktor k = r, jfr. reglerne for ensvinklede trekanter
(se kapitel 2).
På Illustration 7 er vist to ensvinklede trekanter, hvoraf den ene er indlagt i
enhedscirklen, og derved med hypotenusen lig 1, og den anden med vilkårlig
hypotenuse.
Da trekanterne har samme vinkler, gælder reglerne for ensvinklede trekanter – her
med værdierne for den ukendte trekant i tællerne:
a'
b'
c'
=
=
= k
a
b
c
På Illustration 7 er notationerne givet ved
∣B ' C '∣
∣C ' A∣
∣AB '∣
=
=
= k
∣CB∣
∣CA∣
∣AB∣
I den lille trekant er katedernes længder kendte, jfr. Enhedscirklen kapitel 4.1,
hvorfor der kan sættes visse værdier ind i forholdsberegningen af
skaleringsfaktoren:
a'
b'
c'
=
=
= k
sin  A
cos  A
1
Heraf kan det ses, at skaleringsfaktoren er lig med hypotenusen på den nye
trekant c', da:
c'
= k ⇔ c' = k
1
geometri.odt
Side 12 / 28
2012-10-24
Illustration 7: Enhedscirkel med indlagt trekant ABC med r = 1 og ensvinklet
trekant AB'C' med vilkårlig radius, indlagt i samme koordinatsystem
Ses der på udtrykkene for de enkelte kateder, kan der udledes at:
a'
b'
= c ' og
= c'
sin  A
cos  A
⇔ a ' = c '⋅sin a og b ' = c '⋅cos  A
Herved er sammenhængene mellem katederne og hypotenusen i retvinklede
trekanter med vilkårlig hypotenuse, som på Illustration 4 fundet.
a
⇔ sin (A) =
sin( A)
b
b = c⋅cos( A) ⇔ c =
⇔ cos( A) =
cos( A)
a = c⋅sin ( A) ⇔ c =
geometri.odt
Side 13 / 28
a
c
b
c
2012-10-24
Skal vinklen findes ved hjælp af ovenstående, skal der anvendes de inverse
trigonometriske funktioner:
sin( A) =
()
a
a
⇔ A = sin−1
c
c
()
og cos( A) =
b
b
⇔ A = cos−1
c
c
og cos (B) =
a
a
⇔ B = cos −1
c
c
Tilsvarende for den anden spidse vinkel:
sin( b) =
()
b
b
⇔ B = sin−1
c
c
()
4.3.1 Vilkårlig radius
Overføres viden om enhedscirklen, retvinklede trekanter og ensvinklede trekanter
til en cirkel med vilkårlig radius, kan det ses at for to trekanter med samme vinkel i
Origo, men den ene med radius r = 1 og den anden med vilkårlig radius r = r kan
følgende sammenligning konstateres:
P =  x p ; y p  =  r⋅cos v ; r⋅sin v 
og
Q =  x q ; x q  =  r ; r⋅tan  v 
...præcis som enhedscirklen, men
skaleret med faktoren r.
Når tangens udregnes på
baggrund af
tan v  =
r⋅sin v
sin v
=
r⋅cos v 
cos v
..vil den altid være uafhængig af
radius, men som skitseret til højre
er den her aflæst på den lodrette
linje x=r i stedet for x=1, hvorfor
aflæsningen giver r· tan(v).
Illustration 8: cirkel med radius r
Herved et forholdene gældende for enhedscirklen udvidet til at gælde alle cirkler
med centrum i Origo.
geometri.odt
Side 14 / 28
2012-10-24
4.4 Samlet for retvinklede trekanter
Forholdene for enhedscirklen og cirkel med vilkårlig radius gælder også hvis cirklen
ikke ligge i Origo, hvorfor der kan generaliseres til alle retvinklede trekanter:
Relationer jfr.Illustration 7 side 13.
a
sin  A
b
b=c⋅cos  A ⇔ c=
cos  A
a
a=c⋅cos  B ⇔ c=
cos  B
b
b=c⋅sin B ⇔ c=
sin  B
a=c⋅sin A ⇔ c=
⇔ A=sin−1




⇔ A=cos−1
−1
⇔ B=cos
⇔ B=sin
−1
a
c
b
c
a
c
b
c
a
⇔ A = tan −1
tan  A
b
b = a⋅tan  B ⇔ a =
⇔ B = tan−1
tan  B
a = b⋅tan A ⇔ b =


a
b
b
a
Hældning for c, jævnførende 'Den rette linjes hældningskoefficient', side 9.
 =
y
c⋅sin  A
sin A
=
=
= tan  A
c⋅cos  A
cos  A
x
Det trigonometriske funktioner summeret op med prosa:
Cosinus til en vinkel er lig med den hosliggende katete divideret med hypotenusen
Sinus til en vinkel er lig med den modstående katete divideret med hypotenusen
Tangens til en vinkel er lig med den modstående katete divideret med
hosliggende katete
Det vil sige at når der arbejdes med;
–
en vinkel, hypotenusen og vinklens hosliggende katete bruges Cosinus
–
en vinkel, hypotenusen og vinklens modstående katete bruges Sinus
–
en vinkel og de to kateter bruges Tangens
geometri.odt
Side 15 / 28
2012-10-24
5 Vilkårlige trekanter
For vilkårlige trekanter (ikke nødvendigvis retvinklede) gælder der følgende
generelle sammenhænge:
Areal
Atrekant =
1
⋅h⋅G
2
Højde
h B = c⋅sin( A) = a⋅sin (C )
Illustration 9: en vilkårlig trekant
5.1 Sinusrelationer
Den vilkårlige trekant på Illustration 9 kan opdeles til to retvinklede trekanter, adskilt
af højden hB, hvorved metoderne fra retvinklede trekanter, beskrevet i kapitel 5
kan anvendes.
Da højden hB i vinkel B kan betragtes fra både vinkel A og vinkel C, kan denne
størrelse beregnes på to forskellige baggrunde, ved hjælp af sinus:
h B = c⋅sin A = a⋅sin C 
Da der er tale om samme højde, må de to udregninger være lig hinanden, og
følgende relation kan udledes:
c⋅sin  A = a⋅sinC 
⇔
sin  A
sinC 
=
a
c
eller
a
c
=
sin  A
sin C
Laves samme betragtninger ved hjælp af højderne i vinkel A og C, vil samme
forhold kunne udledes, og vi summerer op til følgende :
sin ( A) sin ( B) sin(C )
a
b
c
=
=
eller
=
=
a
b
c
sin ( A) sin ( B) sin (C )
geometri.odt
Side 16 / 28
2012-10-24
5.1.1 Alternativ udledning
Betragtes formlen for arealberegning, brugt på trekanten i Illustration 9 kan
følgende udledes, alt efter hvilken højde der anvendes:
1
1
1
⋅h A⋅G A = ⋅hB⋅G B = ⋅hC⋅G C
2
2
2
1
1
eller Atrekant = ⋅a⋅sin(C )⋅b eller Atrekant = ⋅a⋅sin( B)⋅c
2
2
Atrekant =
⇔
Atrekant =
1
⋅c⋅sin( A)⋅b
2
Da arealet er det samme, uanset hvilken beregningsmetode der bruges, må de
tre udledninger være ens (her flyttet lidt rundt for overblikkets skyld:
1
1
1
⋅b⋅c⋅sin A = ⋅a⋅b⋅sin C  = ⋅a⋅c⋅sin B
2
2
2
1
1
1
⋅b⋅c⋅sin A
⋅a⋅b⋅sin C 
⋅a⋅c⋅sin  B
2
2
2
⇔
=
=
1
1
1
⋅a⋅b⋅c
⋅a⋅b⋅c
⋅a⋅b⋅c
2
2
2
Heraf kan der udledes:
⇔
sin( A)
sin( B)
sin(C )
=
=
a
b
c
5.1.2 Opsummering
Sinusrelationerne benyttes når der er oplyst 3 ud af 4 værdier for parvise vinkler og
modstående sider i en vilkårlig trekant.
Skal der findes en vinkel (eksempelvis vinkel A) udledes denne ved
sin ( A)
sin (B)
=
a
b
⇔
geometri.odt
⇔
A = sin−1
a⋅sin (B)
b
sin( A) =
(
a⋅sin ( B)
b
Side 17 / 28
)
2012-10-24
Benyttes sinusrelationerne på en retvinklet trekant, hvor vinkel C = 90° fås der:
sin ( A)
sin (90 ° )
1
=
=
a
c
c
..da Sin(90°) = 1.
Dette medfører at
a = c⋅sin ( A)
...hvilket svarer til anvendelsen af sinus i en retvinklet trekant jævnførende kapitel
4.3 side 12.
5.2 Cosinusrelationer
I Sinusrelationerne udnyttes det, at højden svarer til den modstående katete i en
retvinklet trekant. Her vil vi udnytte at dele af grundlinjen svarer til den hosliggende
katete.
Illustration 10: Vilkårlig trekant
På Illustration 10 er grundlinjen b delt op i to ukendte linjestykker, x og (b-x).
herved kan cosinusreglerne fra den retvinklede trekant benyttes:
x = c⋅cos( A) og b−x = a⋅cos (C )
hvor b = x+(b−x)
Ved at benytte Pythagoras' lærersætning på trekanterne ABH og CBH fås:
h2b− x2 = a 2 og h2x 2 = c 2
⇔ h2 = a 2 −b−x 2 og h2 = c 2− x 2
Sættes de to værdier for kvadratet på højden h2 lig hinanden fås:
geometri.odt
Side 18 / 28
2012-10-24
a 2−b−x 2 = c 2−x 2
⇔ a 2 = c 2b− x2−x 2
⇔a 2 = c 2b2 x 2−2bx− x 2
⇔ a 2 = c 2b 2−2bx
Da x = c∙Cos(A) substitueres dette:
a 2 = b 2+c2 −2bc⋅cos ( A)
Beviserne for de to andre vinkler gennemføres på samme måde, og der endes op
med:
b 2c 2−a 2
a = b c −2bc⋅cos  A ⇔ cos  A =
2bc
2
a c2−b2
b 2 = a 2c2 −2ac⋅cos B ⇔ cos B =
2ac
2
a b2−c2
c 2 = a 2b2−2ab⋅cos C  ⇔ cos C  =
2ab
2
2
2
Med andre ord er relationerne mellem en vinkel og dennes hosliggende sider i
forhold til den modstående side.
a 2=b2 c 2−2bc⋅cos  A
b2=a 2c 2−2ac⋅cos  B
c 2=a2 b2−2ab⋅cos C 
eller
2
2
2
b c −a
2bc
2
a c 2−b 2
cos  B =
2ac
2
a b2−c 2
cos C  =
2ab
cos  A =
geometri.odt
Illustration 11: Vilkårlig trekant
Side 19 / 28
2012-10-24
5.2.1 Opsummering
Cosinusrelationerne benyttes når der oplyses enten
–
en vinkel og de to hosliggende sider, hvorved den modstående side kan
findes
–
alle tre sidelængder, hvorved vinklerne kan findes.
Skal der findes en vinkel (eksempelvis A) ud fra de tre siders længde, benyttes den
inverse cosinus:
cos ( A) =
b2+c 2−a 2
2bc
⇔
A = cos−1
(
b 2+c2 −a 2
2bc
)
Benyttes cosinusrelationerne på en retvinklet trekant med C = 90° fås
c 2 = a 2+b2 −2ab⋅cos( 90 °) = a 2+b 2
...da Cos(90°) = 0.
Derfor kaldes cosinusrelationerne somme tider for 'Den udvidede Pythagoras'.
5.3 'Det dobbelttydige tilfælde' – en variant af cosinusrelationerne
Anvendes på vilkårlige trekanter, hvor der eksempelvis kendes vinkel A, siderne c
og a, det vil sige en vinkel, den modstående samt en hosliggende side, i
modsætning til førnævnte cosinusrelation.
Illustration 12: Vilkårlig trekant
Da cosinusrelationerne optræder i 2 varianter med henholdsvis vinklen og den
modstående side som løsninger, forsøges her at isolere en af de hosliggende sider:
cos  A =

b 2c 2−a 2
2bc

Ved isolering af eksempelvis siden b, vil denne optræde i både 1. og 2.grad,
geometri.odt
Side 20 / 28
2012-10-24
hvorfor løsningen til 2.gradspolynomiets nulpunktsformel må benyttes, ved at samle
alle led på den ene side af lighedstegnet, med et nul (0) til følge på den anden.
b 2+c 2 −a 2
2⋅b⋅c
2
2
2
⇔ 2bc⋅cos( A) = b +c −a
⇔ 0 = b 2 +c2 −a 2−2bc⋅cos ( A)
2
2
2
⇔ 0 = b +(−2c⋅cos ( A))⋅b+(c −a )
cos ( A) =
2., 1. og 0.gradskoefficienterne optræder her som sammensætninger af de
indgående konstanter, og døbes hermed til de græske bogstaver α, β og γ (alfa,
beta og gamma):
=1 ,
 x 2  x = 0
=−2c⋅cos  A , =c 2−a 2
Til denne løsning er diskriminanten givet ved:
⇔ d
⇔
⇔
⇔
=
d
d
d
d = β2−4⋅α⋅γ
(−2c⋅cos (A))2 −4⋅1⋅( c 2−a 2 )
= 4c 2⋅cos 2 ( A)−4c 2+4a 2
= 4 ( c 2⋅cos 2 ( A)−c 2+a 2 )
= 4 ( c 2 (cos 2 ( A)−1)+a 2 )
Da grundrelationen er givet ved
cos 2 (v )+sin 2 (v ) = 1 ⇔ cos2 (v)−1 = −sin2 ( v)
fås
d = 4 ( c 2 (−sin2 ( A) )+a 2)
⇔ d = 4 ( a 2 −c 2 sin 2 ( A) )
Indsættes alt dette i løsningen for 2.gradspolynomiets nulpunkter, fås:
−(−2c⋅cos (A))± √ 4 ( a 2−c2 sin 2( A) )
−β±√ β2−4⋅α⋅γ
b =
=
2⋅α
2⋅1
⇔ b = c⋅cos ( A)±√ a 2−c 2 sin 2 (A)
Gentages proceduren for de tre andre vinkler i den vilkårlige trekant fås:
b = c⋅cos  A±  a 2−c 2⋅sin2  A ⇔ c = b⋅cos  A± a 2−b 2⋅sin 2  A
c = a⋅cos  B± b2−a 2⋅sin2  B ⇔ a = c⋅cos  B± b2−c2⋅sin 2  B
a = b⋅cos C ± c 2−b2⋅sin 2 C  ⇔ b = a⋅cosC ± c 2−a 2⋅sin 2 C 
geometri.odt
Side 21 / 28
2012-10-24
Det bemærkes at ombytning af de to hosliggende sider i formlen er uden
betydning, og i øvrigt kun er i forhold til simpel navngivning af siderne.
5.4 Kombination af sinus- & cosinusrelationer
Det er muligt at beregne samme forhold ud fra en kombination af sinus- &
cosinusrelationerne, som dog kræver nogle flere skridt:
Med sinusrelationerne kan en vinkel beregnes, med udgangspunkt i en anden
vinkel og de to modtsående sider, her mellem vinklerne A og C:
sin  A
sin  B
sin C
=
=
a
b
c
c⋅sin  A
⇔ C =sin−1
a


Vinkel B kan nu beregnes ud fra vinkelsummen, hvorved længden af siden b også
kan beregnes:
sin( A)
sin(180 ° −A−C )
=
a
b
−1 b⋅sin (A)
⇔ B = sin
a
a⋅sin(180 ° −A−C )
⇔ b =
sin ( A)
(
)
Når sidelængden b kendes kan cosinusrelationerne bruges:
B = cos−1

a 2c 2−b 2
2⋅a⋅c

..hvor de indgående parametre giver det samlede udtryk:
−1
B = cos

2
2

a c −

a⋅sin 180 ° −A−sin
−1

c⋅sin  A
a
sin  A
2⋅a⋅c


2
Tilsvarende for vinkel C.
Denne er ikke mere overskuelig, men kan dog anvendes.
geometri.odt
Side 22 / 28
2012-10-24
6 Analytisk plangeometri
Da der i kapitel 7 blev anvendt Pythagoras' lærersætning til at udlede afstanden
mellem to punkter i planen, var der blot tale om at de geometriske figurer (her
retvinklet trekant) var blevet placeret i et koordinatsystem, hvorved punkterne
(vinklerne i trekanten) kan beskrives ved hjælp af koordinater.
Illustration 13: Retvinklet trekant placeret i koordinatsystem
På Illustration 13 er en retvinklet trekant indsat i koordinatsystem, med nogle
relevante størrelser påtegnet, eksempelvis trekantens hjørners koordinater:
A( 4 ; 2)
, B(12 ;8)
, C (12,2)
Ud fra disse oplysninger kan vi beregne kateternes længder, som forskellene
mellem henholdsvis x- og y-værdierne:
∣AC∣ = Δ x = x B− x a = 12−4 = 8
∣BC∣ = Δ y = y B− y a = 8−2 = 6
Afstanden |AB| kan beregnes ved hjælp af Pythagoras:
∣AB∣ =
√ Δ x 2+Δ y 2
=
√( x
2
B
2
−x A) +( y B− y A) =
√8 2+62
=
√100 = 10
Heldigvis passer beregningerne perfekt med de længder der er opmålt med
GeoGebra9.
9 GeoGebra er et godt gratis program, som kan hjemtages fra http://www.geogebra.org/cms/
geometri.odt
Side 23 / 28
2012-10-24
Ved at bruge de trigonometriske funktioner kan vinkel A beregnes som
tan ( A) =
( ) = 36,87 °
∣BC∣
6
⇔ A = tan−1
∣AC∣
8
Der kunne være anvendt cosinus og sinus i stedet, med samme resultat.
Linjen gennem A og B har en hældning på
α AB = tan ( 36,87 ° ) =
3
≈ 0,75
4
Det har vist sig at være ganske nyttigt at iagttage geometrien i et
koordinatsystem, da der derved åbnes muligheder for beregninger på et meget
højere plan end i klassisk geometri, ved at sammensmelte geometrien med
funktioner. Dette er tilfældet i ovenstående eksempel, hvor længden og
hældningen af hypotenusen, faktisk bliver beregnet ved hjælp af viden om den
rette linje og forskelle i koordinatværdier.
Eksempelvis kan en cirkel defineres som en slags funktionsudtryk baseret på
Pythagoras, da alle punkterne P(x;y)på cirkelperiferien ligger lige langt (radius) fra
centrum C(a;b):
r =
√(x−a)2+( y−b)2
y = b±√−x 2+2 · a · x−a 2+r 2
For værdierne C(2;4) og r = 5 giver det:
(x−2)2+( y−4)2 = 5 2
Mere om dette på A-niveau....
geometri.odt
Side 24 / 28
2012-10-24
7 Appendiks
Ikke alle definitioner for trekanter er lige relevante for den trigonometri der
arbejdes med på gymnasieniveau, men bør alligevel være på plads for at
sprogbrug og regler vil kunne benyttes i det efterfølgende.
Vilkårlige trekanter er alle trekanter, som ikke lige passer ind under særtilfældene
retvinklet, ligebenet, ligesidet osv.
7.1 Sammenhænge mellem trigonometriske funktioner
Nedenstående sammenhænge og relationer kan vises ved betragtninger på
enhedscirklen Illustration 510.
cos−v  = cos v
sin −v  = −sin v 
tan −v = −tan v
cos (v−180° ) = −cos (v)
sin (v−180° ) = −sin (v )
cos (v+180° ) = −cos (v)
sin (v+180° ) = −sin (v )
cos (180 °−v) = −cos (v)
sin (180 °−v) = sin (v )
tan (v+180 ° ) =tan( v)
tan (180 °−v) = −tan( v)
cos ( v+90 ° ) = −sin (v )
sin ( v+90 ° ) = cos (v )
cos ( v−90° ) = sin (v )
sin ( v−90 ° ) = −cos (v )
cos ( 90 °−v ) = sin (v )
sin (90 ° −v ) = cos (v )
tan ( 90 ° −v ) = −tan(v)
tan ( 90 °+v ) = tan (v )
tan ( v−90° ) = tan (v )
a 2+b2 = c2
cos 2 (v)+sin 2 (v ) = 1
1
2
1+tan ( v) =
cos 2 (v )
,
tan (v ) =
sin(v)
cos( v )
Cotangens11
cot (v ) =
cos (v )
1
=
tan(v)
sin(v)
1+cot 2 (v) =
1
sin2 (v)
tan(v )⋅cot( v) = 1
10 En større samling geometriske relationer kan ses på
http://www.gudmandsen.net/res/mat_vejl/trigo_relationer.pdf
11 Cotangens er blot den reciprokke til tangens og har ikke den store betydening på
gymnasieniveau.
geometri.odt
Side 25 / 28
2012-10-24
7.2 Definitioner og forhold for trekanter
Vinkelsum
Areal
Atrekant =
∢ A  ∢B  ∢C = 180 o
1
⋅h⋅G
2
Retvinklet trekant
Ene vinkel er ret, 90°
De to andre vinkler er spidse
Stumpvinklet trekant
Ene vinkel er større end 90°
De to andre vinkler er spidse
Spidsvinklet trekant
Ene vinkel er mindre end 90°
De to andre vinkler er ligeledes spidse
Ligebenet trekant
To sider er lige lange og
to vinkler i lige store
∢ A = ∢C
∣a∣ = ∣c∣
geometri.odt
Side 26 / 28
2012-10-24
Ligesidet trekant
Alle tre sider er lige lange og
Alle vinklerne er lige store, 60°
∢ A=∢B=∢C=60 o=

3
∣a∣ = ∣b∣ = ∣c∣
Ensvinklede trekanter
Gælder for to eller flere trekanter
A= A' , B=B ' = C =C '
a
b
c
=
=
= k
a'
b'
c'
7.2.1 Yderligere forhold for vilkårlige trekanter
Højde
Står vinkelret på modstående side ift.
vinkelspids
Median
Forbinder vinkelspids med midt på
modstående side
Vinkelhalveringslinie
Deler vinkelspids i 2 lige store vinkler
geometri.odt
Side 27 / 28
2012-10-24
Midtnormal
Står vinkelret ud fra midt på side
Indskrevne cirkel
Har centrum i skæringspunktet for
trekantens medianer.
Radius har en længde, således at
cirklen har siderne som tangenter
Omskrevne cirkel
Har centrum i skæring mellem
trekantens midtnormaler.
Radius har en længde, således at
cirklen skærer vinkelspidserne
geometri.odt
Side 28 / 28
2012-10-24