1. No category

matx.dk
Geometri og
trigonometri
Dennis Pipenbring
16. august 2011
Indhold
3
1 Indledning
2 Simple geometriske figurer
2.1 Trekanter . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Højde i trekanter . . . .
2.1.2 Median i en trekant . . .
2.1.3 Midtnormal i en trekant .
2.1.4 Retvinklet trekant . . . .
2.1.5 Ensvinklede trekanter . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Trigonometri
3.1 Sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . .
3.2 Arealet af en trekant . . . . . . . . . . .
3.3 Sinusrelationerne . . . . . . . . . . . . .
3.4 Cosinusrelationerne . . . . . . . . . . . .
3.5 Anvendelse af sinus- og cosinusrelationerne
3.6 Kapiteloversigt . . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
5
5
6
7
7
10
.
.
.
.
.
.
16
16
25
26
27
29
36
1
Indledning
Geometri og trigonometri er et meget praktisk redskab, når man har med konstruktion og opmåling at gøre. Det ville f.eks. være umuligt at bestemme længder
eller arealer hvis man ikke viste noget om geometri. Geometri bruges også når
man skal bygge noget, enten det er broer, huse, hegn eller mælkekartoner. Lad
os starte med at indfører nogle af de mest simple geometriske figurer.
2
Simple geometriske figurer
B
b
A
b
Det mest simple er et punkt. Et punkt er et sted og et
punkt kan ikke deles, når punkter navngives bruges store
bogstaver typisk A,B,C osv.
Den næst mest simple geometriske figur er en linie. En
linie er én række af punkter, hvor alle punkterne ligger ved
c
siden af to andre punkter. Dette gælder naturligvis ikke
endepunkterne, som kun ligger ved siden af et andet punkt.
A
Linier navngives ved brug af små bogstaver typisk a,b,c osv.
Som du måske kan fornemme, er det ikke let at være præcis om noget, der er så
simpelt og intuitivt.
B
b
b
b
b
c
B
Denne linie er et eksempel på en ret linie. En ret linie er
defineret som den korteste afstand mellem to punkter.
A
b
r
C
En cirkel er en samling af punkter som alle ligger med
samme afstand til et fældes punkt, kaldet centrum, C. Den
korteste afstand mellem centrum og et af punkterne i samlingen af punkter kaldes radius r. Samlingen af punkter
kaldes cirkelperiferien.
3
Der er flere ting omkring cirklen der er interessante, men nu vil vi går vidder til
den næste simple element i geometri, vinkler.
w
v
b
v
w
En vinkel er en brøkdel af en cirkel. Hvis man har to rette
linier der skærer hinanden så vil de danne fire vinkler, de vil
med andre ord dele en cirkel med centrum i skæringspunktet
i fire dele.
Cirklen her er delt op i fire dele. Delene er parvis lige store, vinklerne overfor
hinanden kaldes topvinkler. Topvinkler er lige store. Man har tradition for at dele
cirklen op i 360 dele, disse dele kalder man grader. Cirklen er altså 360◦. Vinklerne
v og w kaldes for supplementvinkler og v + w = 180.
Der er fire typer af vinkler som har specielle navne. En vinkel der er 180◦, altså
en halv cirkel, kaldes for en lige vinkel. En vinkel der er 90◦, altså en kvart cirkel,
kaldes for en ret vinkel. En vinkel der er mellem 90◦ og 180◦ kaldes for en stump
vinkel. En vinkel der er mellem 0◦ og 90◦ kaldes for en spids vinkel.
Lige vinkel
Ret vinkel
Stump vinkel
Spids vinkel
Et centralt begreb i geometrien er parallelle rette linier. To
rette linier er parallelle, hvis de
kan forlænges uendeligt, uden at
skærer hinanden.
4
v
En ret linie som skærer to parallelle rette linier vil skærer dem
med samme vinkel.
v
2.1
Trekanter
Nu er vi klar til den første komplicerede geometriske figur, trekanten.
C
b
En trekant er en figur der består
af tre rette linier der skære hinanden i tre punkter.
a
b
b
A
b
c
B
I en trekant vil siderne få navne efter det punkt som de er modstående til. Så
den side som er overfor det punkt der hedder A vil komme til at hedde a.
I trekanten er der flere interessante linier.
2.1.1
Højde i trekanter
C
b
b
A
hc
b
a
b
c
En højde i en trekant er defineret ved
den korteste afstanden fra et hjørne i trekanten til dens modstående side. Derved
kan højden defineres ved længden af den
rette linie som går gennem et hjørne af
B trekanten og som står vinkelret på den
modstående side til dette hjørne.
5
b
b
En højden i en trekant kan også
falde udenfor trekanten.
hc
a
b
A
b
C
c
B
C
b
Der er tre højder i en trekant.
b
b
A
2.1.2
B
Median i en trekant
C
En median i en trekant er en linie der gå gennem et hjørne i en
trekant og midtpunktet at den
B modstående side.
b
a
b
A
b
b
c
C
b
a
b
A
b
b
c
Der er tre medianer i en trekant og de skærer hinanden i ét
punkt. Det sidste er en påstand
B som bør vises.
6
2.1.3
Midtnormal i en trekant
C
En midtnormal i en trekant er en
linie der står vinkelret på en af liniestykkerne i trekanten og deler
B liniestykket i to lige store dele.
b
a
b
A
b
b
c
2.1.4
Retvinklet trekant
Katete
en
s
u
t en
o
p
Hy
Katete
I en retvinklet trekant kaldes den
sider som er modstående til den
rette vinkel for hypotenusen og
de to andre sider kaldes for kateter. For retvinklede trekanter
gælder følgende sætning.
Sætning 2.1 I en retvinklet trekant ABC hvor c er hypotenusen, vil
a2 + b2 = c2
A
b
c
b
b
C
b
a
B
Bevis.
7
a
b
a
c
c
c
c
b
b
a
a
Den markerede firkant er et kvadrat fordi, det har fire rette vinkler og de fire sider er lige lange
(a+b). Derfor vil arealet af dette
kvadrat være (a + b) · (a + b) =
a2 + b2 + 2ab.
b
a
b
A
a
c
B
c
c
b
b
c
a
b
a
b
B
A
a
a
Summen af vinkel A og B er 90◦
fordi vinkelsummen i en trekant
er 180◦ og den rette vinkel er
90◦.
c
c
b
a
b
c
c
a
Da trekanterne er ens betyder
det at summen af disse vinkler
A og B også er 90◦.
b
8
a
b
B
A
a
c
b
a
a
c
a
a
Den lille firkant er et kvadrat, da
den har fire rette vinkler og alle
sider er lige lange (c). Det betyder at arealet af kvadratet er
c2.
a b
b
c
c
c
b
b
c
c
b
a
Det betyder at vinklen inden i
den lille firkant er 90◦. En tilsvarende argumentation kan føres for de resterende tre hjørner.
De også retvinklede.
a b
c
b
a
c
c
b
b
c
c
a
Summen af arealet af de fire trekanter (4 · 21 · a · b = 2ab) og det
lille kvadrat (c2 ) er det samme
som arealet af det store kvadrat
(a2 + b2 + 2ab). Følgende ligning
kan derfor opstilles
2ab + c2 = a2 + b2 + 2ab
a
b
Der reduceres til c2 = a2 + b2.
Q.E.D.
Eksempel 2.2 Hypotenusen c i den retvinklede trekant, med siderne 4 og 6 vil
9
være
√
c = 4 + 6 ⇔ c = 16 + 36 ⇔ c = 52 ⇔ c = 52
2
2
2
2
2
Eksempel 2.3 siden b i den retvinklede trekant, hvor den anden side er 3 og
hypotenusen er 8 vil være
√
2
2
2
2
2
2
8 = 3 + b ⇔ 64 = 9 + b ⇔ 64 − 9 = b ⇔ 55 = b ⇔ b = 55
Eksempel 2.4 For den retvinklede trekant herunder er hypotenusen c
√
2
2
2
2
2
c = 5 + 8 ⇔ c = 25 + 64 ⇔ c = 89 ⇔ c = 89
Opgave 2.5 Bestem længden af den side hvor længden ikke kendes i trekant
ABC hvor c er hypotenusen.
1. a = 4 og b = 3
5. a = 2 og c = 9
2. a = 4 og b = 2
6. a = 5 og b = 4
3. a = 3 og b = 3
7. b = 1 og c = 13
4. a = 3 og c = 5
8. a = 4,2 og c = 4,4
Svar på opgave 2.5. 1. 5, 2. ≈ 4,472, 3. ≈ 4,243, 4. 4, 5. ≈ 8,775, 6.
≈ 6,403, 7. ≈ 12,96, 8. ≈ 1,311.
2.1.5
Ensvinklede trekanter
E
To trekanter kaldes ensvinklede
hvis alle deres vinkler er parvis
ens.
B
f
b
d
b
a
c
b
A
b
b
CD
b
b
e
10
F
Sætning 2.6 Forholdet mellem ensliggende sider i ensvinklede retvinklede trekanter er konstant. Konstanten kaldes forstørrelsesfaktor F .
a b
c
= = =K
d e f
E
b
B
d
f
b
a
c
b
b
A
b
b
b
C
D
e
Bevis.
Arealet af trekanterne er
hhv. TABC = 12 · b · c og
TDEF = 21 · e · f .
B
a
b
A
b
b
b
d
f
b
c
E
C
b
b
D
e
11
F
F
Arealet af trekant DEF er også summen af den lille trekant
og trapezen ABDE. Det betyder at
1
1
1
·e·f = ·b·c+ ·(e−b)·(c+f )
2
2
2
Som kan reduceres til
E
b
f
b
a
c
e·f = b·c+e·c+e·f −b·c−b·f
b
der kan reduceres til
b·f =e·c⇔
B d
D
b
b
A
e
b
CF
c
b
=
e f
Nu er den første del bevist. For at bevise den anden del skal Sætning 2.1 bruges.
I dette tilfælde siger Sætning 2.1 at b2 + c2 = a2 og e2 + f 2 = d2 for de to
trekanter. Der ud over skal det allerede viste bruges, men det skal omskrives først.
c
b
= ⇔ b · f = c · e ⇔ b2 · f 2 = c2 · e2
e f
Dette gælder kun fordi alle længder i trekanterne er positive. Nu bruger vi at
e2 + f 2 = d 2 .
e2 + f 2 = d2 ⇔ e2 · c2 + f 2 · c2 = d2 · c2
Der ganges på begge sider med c2
⇔ b2 · f 2 + f 2 · c2 = d2 · c2 Da b2 · f 2 = c2 · e2
⇔ f (b + c ) = d · c
f 2 sættes udenfor parantes.
⇔ f 2 · a2 = d2 · c2
Da b2 + c2 = a2
2
2
2
2
2
Da alle størrelserne er positive.
Der divideres med f ·d på
begge sider
⇔ f ·a=d·c
f ·a
d·c
=
f ·d f ·d
a
c
⇔
=
d f
⇔
Brøkerne forkortes.
12
Nu har vi vist den anden del af sætningen og sætningen er bevist.
Q.E.D.
Den netop viste sætning er i sig selv ikke specielt nyttig fordi den kun gælder
for retvinklede trekanter. Det ville være langt bedre om det galt for alle typer af
trekanter.
Sætning 2.7 Forholdet mellem ensliggende sider i ensvinklede trekanter er
konstant.
a b
c
= = =K
d e f
K kaldes for forstørrelsesfaktoren.
E
b
B
d
f
b
a
c
b
b
A
b
C
b
b
D
e
F
Bevis.
I begge trekanter angives højden, og herved fremkommer der
2 retvinklede trekanter i begge
trekanter.
B
f
E
b
he
b
c
b
hb
d
a
b
C
b
b
F
e
b
Herved kan den netop viste sætningen anvendes. Herved fås følgende forhold.
A
xb
D
c
xb hb
=
=
f
xe he
xe
a b − xb hb
=
=
d e − xe he
13
c
hb a
=
= , hvilket er den første del af det der
f
he d
skulle vises. Det kan også konkluderes at.
e − xe
xb b − xb
e − xe b − xb
Ganger med
=
⇔
=
xb
xe e − xe
xe
xb
xe
b
xb
e
−
=
−
⇔
Opdeler brøkerne
xe xe xb xb
e
b
⇔
=
Lægger 1 til
xe xb
xb
b xb
Ganger med
=
⇔
e
e xe
b xb
xb
c
c
b
Nu er det vist at =
og det betyder sammen med =
at = hvilket
e xe
f
xe
e f
er den anden del af det der skulle vises.
Af dette kan det konkluderes at
Q.E.D.
Eksempel 2.8 De to trekanter ABC og DEF er ensvinklede. Siden a er
ensliggende med siden d og siden b er ensliggende med siden e. Siden d er 10 og
siden e er 12 og siden a er 5. Siden b kan så bestemmes idet forholdet mellem
= 2 da trekanterne er ensvinklede er dette forhold konstant, så
d og a er 10
5
forholdet mellem b og e er det samme.
2 gange større
E
B
a=5
c
A
d = 10
f
C D
b
e = 12
½ så stor
Det betyder at b =
12
2
=6
14
F
Opgave 2.9 De to trekanter ABC og DEF er ensvinklede. Bestem, i de
E
følgende opgaver, de manglende sider.
b
f
B
c
A
b
b
d
a
b
C
D
b
1. a = 3, b = 7, c = 5 og e = 14
b
b
e
F
5. Forholdet a : d er 4:1 og siderne
b og c er 6 og d er 2.
2. a = 2, c = 2, b = 3 og d = 6
6. I trekant ABC er alle sider lige
lange og f = 8 og forholdet b : d er
1:2
3. d = 3, c = 3, a = 9 og e = 4
7. I den retvinklede trekant ABC
er c hypotenusen og a = 5, d = 15,
f = 39.
4. Forholdet mellem sider a : b : c 8. I den ligebenede trekant ABC er
er 2 : 5 : 1 og siden d = 4
a = 3 og b = 8. f er 4.
Svar på opgave 2.9. 1. d = 6, f = 10, 2. e = 9, f = 6, 3. b = 12, f = 1, 4.
e = 10, f = 2, 5. a = 8, e = 1,5, f = 1,5, 6. a = b = c = 4, d = e = f = 8,
7. b = 12, c = 13 e = 36, 8. c = 8, d = 1,5, e = 4.
15
3
3.1
Trigonometri
Sinus, cosinus og tangens
Sinus, cosinus og tangens er defineret ud fra enhedscirklen. Enhedscirklen er en
cirkel med radius 1 og med centrum i (0,0).
Definition 3.1 Sinus til en vinkel, v, er defineret som y-koordinaten til skæringspunktet mellem enhedscirklen og den rette linie som skærer x-aksen i (0,0)
og danner vinklen v med x-aksen.
1
sin(v)
v
1
−1
−1
16
Definition 3.2 Cosinus til en vinkel, v, er defineret som x-koordinaten til skæringspunktet mellem enhedscirklen og den rette linie som skærer x-aksen i (0,0)
og danner vinklen v med x-aksen.
1
v
cos(v)
−1
−1
17
1
Definition 3.3 Tangens til en vinkel, v, er defineret som y-koordinaten til
skæringspunktet mellem den lodrette tangent til enhedscirklen i punktet (1,0)
og den rette linie som skærer x-aksen i (0,0) og danner vinklen v med x-aksen.
tan(v)
1
v
1
−1
−1
18
Eksempel 3.4 For vinklen v = 50◦ er sin(v), cos(v) og tan(v) defineret som:.
1,192
1
0,766
50◦
0,643
−1
1
−1
Det ses at figuren at sin(50◦) = 0,766 og cos(50◦) = 0,643 og at tan(50◦) =
1,192.
19
Sætning 3.5 Tangens til en vinkel er
tan(v) =
sin(v)
cos(v)
Bevis.
1
D
tan(v)
sin(v)
B
v
O
−1
cos(v)
A 1C
1
−1
De to trekanter er ensvinklede så derfor vil
tan(v) sin(v)
=
1
cos(v)
hvilket kan reduceres til
sin(v)
tan(v) =
cos(v)
Q.E.D.
Sætning 3.6 For enhver vinkel v gælder følgende formel
sin(v)2 + cos(v)2 = 1
Bevis.
Se på trekanten i enhedscirklen.
20
1
sin(v)
1
v
cos(v)
−1
1
−1
Ved at bruge Pytagoras’ sætning (Sætning 2.1) på denne trekant fås, at
12 = sin(v)2 + cos(v)2
og heraf følger det ønskede.
Q.E.D.
1
v
cos(v)
sin(v)
Hy
s en
u
t en
o
p
v
Hosliggende side
21
Modstående side
Hvis sinus, cosinus og tangens kun kunne bruges til retvinklede trekanter med
en hypotenuse på 1, vil det ikke være særligt nyttige funktion. Det er derfor
vær at bemærke at hvis man har en trekant der er ensvinklet med trekanten i
enhedscirklen.
Da vil der gælde at
sin(v) · hypotenusen = modstående side
cos(v) · hypotenusen = hosliggende side
og ifølge sætning 3.5 vil der gælde at
sin(v)
tan(v) =
=
cos(v)
modstående side
hypotenusen
hosliggende side
hypotenusen
=
modstående side
hosliggende side
Dette giver følgende tre formler for en retvinklet trekant.
Sætning 3.7 For en retvinklet trekant gælder, at
sin(v) · hypotenusen = modstående side
(1)
tan(v) · hosliggende side = modstående side
(3)
cos(v) · hypotenusen = hosliggende side
v
Hosliggende side
22
Modstående side
Hy
s en
u
t en
o
p
(2)
Eksempel 3.8 For den retvinklede Eksempel 3.9 For den retvinklede
trekant hvor den hosliggende side er 25 trekant hvor hypotenusen er 17 og den
modstående side er 8.
og den modstående side er 12.
B
B
c
A
25
17
12
A
C
b
8
C
Vinklen A:
Vinklen A:
8
⇔
17 8
⇔
A = sin−1
17
A = 28,07◦
12
⇔
25 12
A = tan−1
⇔
25
A = 25,64◦
sin(A) =
tan(A) =
Vinkel B:
Vinkel B:
B = 180◦ − 90◦ − 28,07◦
B = 180◦ − 90◦ − 25,64◦
= 61,93◦
= 64,36◦
Siden, b, er
Hypotenusen, c, er
cos(28,07◦) · 17 = b ⇔
sin(25,64◦) · c = 12 ⇔
12
⇔
c =
sin(25,64◦)
c = 27,73
b = 15
Resultatet kan kontrolleres ved brug af
Pythagoras’ sætning.
Resultatet kan kontrolleres ved brug af
Pythagoras’ sætning.
23
Opgave 3.10 Bestem de resterende sider og vinkler i trekanterne
B
1.
10
A
b
14
A
7
c
5
C
B
3.
B
2.
A
C
B
4.
17
a
C
12
8
A
6
a
C
Svar på opgave 3.10. 1. A = 30◦, B = 60◦, b = 8,66, 2. A = 33,69◦,
B = 56,31◦, c = 14,42, 3. A = 60◦, B = 30◦, a = 12,12, 4. A = 69,33◦,
B = 20,67◦, a = 15,91.
Opgave 3.11 Bestem de resterende sider og vinkler i trekanterne
B
1.
c
A
5
A
C
B
3.
b
c
5
30
b
B
2.
A
17
A
C
B
4.
10 a
C
b
50 8
a
20
b
C
Svar på opgave 3.11. 1. B = 60◦, c = 10, b = 8,66, 2. A = 40◦, c = 12,45,
b = 9,53, 3. A = 80◦, a = 4,92, b = 0,87, 4. B = 70◦, a = 5,81, b = 15,97.
24
3.2
Arealet af en trekant
Arealet, T , af en trekant kan bestemmes ved formlen
T =
1
·h·g
2
hvor h er højden og g er grundlinien. Men efter at vi har indført sinus er det ikke
længde nødvendigt at bruge denne formel.
Sætning 3.12 For en vilkårlig trekant ABC gælder, at
TABC =
1
· b · c · sin(A)
2
Bevis.
I enhver trekant kan der tegnes en højde h.
Sinus til en vinkel gange hypotenusen er den modstående side, i
denne trekant vil det betyde, at
B
c
A
h
b
a
sin(A) · c = h
C
Grundlinien for højden i trekanten er b. Det betyder at formlen for arealet af
trekanten 21 · h · g kan omskrives til
1
· sin(A) · c · b
2
Arealet af en trekant kan altså beregnes som produktet af to sider i trekanten og
deres mellemliggende vinkel og en halv.
Q.E.D.
25
3.3
Sinusrelationerne
Sætning 3.13 For en vilkårlig trekant ABC gælder, at
b
a
c
a
b
c
=
og
=
og
=
sin(B) sin(A)
sin(C) sin(A)
sin(B) sin(C)
Bevis.
Sinus til en vinkel gange hypotenusen er
den modstående side, i denne trekant vil
det betyde, at
C
b
A
h
c
a
B
sin(A) · b = h og sin(B) · a = h
Da vil
sin(A) · b = sin(B) · a
da de begge er lig h. Til sidst divideres med sin(B) · sin(A) på begge sider.
b
a
=
sin(B) sin(A)
Tilsvarende kan man gennemfører argumentet for de andre sider og vinkler, så
derfor gælder følgende tre ligninger
a
c
a
b
c
b
=
og
=
og
=
sin(B) sin(A)
sin(C) sin(A)
sin(B) sin(C)
som ønsket.
Q.E.D.
26
3.4
Cosinusrelationerne
Sætning 3.14 For en vilkårlig trekant ABC gælder, at
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(A)
Bevis.
Beviset er delt op i to dele, en del hvor højden er inde i trekanten og en del
hvor højden er udenfor trekanten. Vi starter med den del hvor højden er inde i
trekanten.
C
b
a
h
A
c
x
Sinus til en vinkel gange hypotenusen er
den modstående side, i denne trekant vil
det betyde, at sin(A) · b = h. Cosinus
til en vinkel gange hypotenusen er den
B hosliggende side, i denne trekant vil det
betyde, at cos(A) · b = c − x.
Det betyder at
x = c − cos(A) · b og sin(A) · b = h
Vi kan nu bruge sætning (2.1) - Pytagoras’ sætning
a2 = (sin(A) · b)2 + (c − cos(A) · b)2
Parenteserne ganges ud
a2 = sin(A)2 · b2 + c2 − 2 · c · b · cos(A) + cos(A)2 · b2
b2 sættes udenfor parantes
a2 = b2 · (sin(A)2 + cos(A)2) + c2 − 2 · c · b · cos(A)
Da sin(A)2 + cos(A)2 = 1 (Sætning 3.6) fås at
a2 = b2 · 1 + c2 − 2 · c · b · cos(A)
Hvilket viser det ønskede.
27
Beviset var delt op i to dele, en del hvor højden er inde i trekanten og en del
hvor højden er udenfor trekanten. Vi viser nu den del hvor højden er udenfor
trekanten.
b
a
A
c
x
B
Sinus til en vinkel gange hypotenusen er
C den modstående side, i denne trekant vil
det betyde, at sin(A) · b = h. Cosinus
h
til en vinkel gange hypotenusen er den
hosliggende side, i denne trekant vil det
betyde, at cos(A) · b = c + x.
Det betyder at
x = cos(A) · b − c og sin(A) · b = h
Vi kan nu bruge sætning (2.1) - Pytagoras’ sætning
a2 = (sin(A) · b)2 + (cos(A) · b − c)2
Parenteserne ganges ud
a2 = sin(A)2 · b2 + c2 − 2 · c · b · cos(A) + cos(A)2 · b2
b2 sættes udenfor parantes
a2 = b2 · (sin(A)2 + cos(A)2) + c2 − 2 · c · b · cos(A)
Da sin(A)2 + cos(A)2 = 1 (Sætning 3.6) fås at
a2 = b2 · 1 + c2 − 2 · c · b · cos(A)
Hvilket viser det ønskede.
Q.E.D.
28
3.5
Anvendelse af sinus- og cosinusrelationerne
Der er fire typer af opgaver hvor man skal bruge sinus- og/eller cosinusrelationerne. Det er en god idé altid at bruge relationerne frem for Pytagoras’ sætning
eller sinus og cosinus for retvinklede trekanter. Dette skyldes at relationerne altid
kan bruges mens Pytagoras’ sætning og sinus og cosinus for retvinklede trekanter
kun gælder for retvinklede trekanter.
29
Eksempel 3.15 SSS: Vi kender 3 sider og ingen vinkler.
C
11
A
7
15
B
Først bestemmes vinkel A med cosi- Dernæst bestemmes vinkel B med
nusrelationerne.
cosinusrelationerne.
b2 + c2 − a2
cos(A) =
2·b·c
2
11 + 152 − 72
⇒ cos(A) =
2 · 11 · 15
297
⇔ cos(A) =
330
−1
⇔ A = cos (0,9)
a2 + c2 − b2
cos(B) =
2·a·c
2
7 + 152 − 112
⇒ cos(B) =
2 · 7 · 15
153
⇔ cos(B) =
210
−1
⇔ B = cos (0,7286)
⇒ A = 25,84◦
⇒ B = 43,23◦
Dernæst bestemmes vinkel C med Til sidst udføres kontrol i det vinkelcosinusrelationerne.
summen skal være 180◦.
a2 + b2 − c2
cos(C) =
2·a·b
2
7 + 112 − 152
⇒ cos(C) =
2 · 7 · 11
−55
⇔ cos(C) =
154
−1
⇔ C = cos (−0,3571)
25,84◦ + 43,23◦ + 110,9◦ = 179,97◦
Dette er så tæt på 180◦ at vi kan
konkludere at afvigelse skyldes afrunding.
⇒ C = 110,9◦
30
Eksempel 3.16 SAS: Vi kender 2 sider og en mellemliggende vinkel.
C
12
A
80◦
c
9
B
Først beregnes siden c med cosinus- Dernæst bestemmes vinkel A med
relationerne.
cosinusrelationerne.
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
b2 + c2 − a2
cos(A) =
2·b·c
2
c2 = 92 + 122 − 2 · 9 · 12 · cos(80◦)
12 + 13,692 − 92
⇒ cos(A) =
c2 = 81 + 144 − 37,5
2 · 12 · 13,69
250,5
c2 = 187,5
⇔
cos(A)
=
p
328,6
c = 187,5
⇔ A = cos−1(0,7622)
c = 13,69
⇒ A = 40,34◦
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(C)
Dernæst bestemmes vinkel B med Til sidst udføres kontrol i det vinkelcosinusrelationerne.
summen skal være 180◦.
a2 + c2 − b2
cos(B) =
2·a·c
2
9 + 13,692 − 122
⇒ cos(B) =
2 · 9 · 13,69
124,5
⇔ cos(B) =
246,5
−1
⇔ B = cos (0,5051)
59,66◦ + 40,34◦ + 80◦ = 180◦
⇒ B = 59,66◦
31
Eksempel 3.17 SSA: Vi kender 2 sider og én ikke-mellemliggende vinkel.
Vinkel B = 30◦, b = 9 og c = 13.
C
9
a
30◦
A
B
13
Først bestemmes vinkel C med si- Dernæst bestemmes vinkel A under
den antagelse at vilkelsummen skal
nusrelationerne.
◦
være
180
.
sin(B)
sin(C) =
·c
b
A = 180◦ − 30◦ − 46,24◦ = 103,8◦
◦
sin(30 )
· 13
⇒ sin(C) =
9
eller
⇔ sin(C) = 0,7222
◦
◦
◦
◦
A
=
180
−
30
−
133,8
=
16,24
−1
⇔ C = sin (0,7222)
⇒
C = 46,24◦
eller C = 180◦ − 46,24◦ = 133,8◦
Dernæst bestemmes siden a med co- Eller
sinusrelationerne.
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(A)
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(A) ⇒ a2 = 92 + 132 − 2 · 9 · 13 · cos(16,24◦
◦
⇒ a2 = 92 + 132 − 2 · 9 · 13 · cos(103,8
⇔ )a = 5,034
⇔ a2 = 81 + 169 − (−55,82)
⇔ a2 = 305,8
p
⇔ a = 305,8
⇔ a = 17,49
32
C
46,24◦
17,49
9
C
103,8◦
5,034
9
133,8◦
16,24◦
13
A
33
30◦
B
Eksempel 3.18 SAA / ASA: Vi kender 1 side og 2 vinkler.
C
8
30
A
◦
a
70◦
c
B
Først bestemmes vinkel C med den Dernæst bestemmes siden a med siantagelse at vinkelsummen er 180◦. nusrelationerne.
b
· sin(A)
sin(B)
8
◦
⇒ a=
·
sin(70
)
sin(30◦)
⇔ a = 15,04
C = 180◦ − 70◦ − 30◦ = 80◦
a=
Dernæst bestemmes siden c med sinusrelationerne.
b
· sin(C)
sin(B)
8
⇒ c=
· sin(80◦)
◦
sin(30 )
⇔ c = 15,76
c=
34
Opgave 3.19 Beregn de ubekendte sider og vinkler samt arealet af △ABC
1. a = 4, b = 5 og c = 7
5. C = 17◦, b = 10 og A = 15◦
2. b = 11, A = 20◦ og c = 15
6. A = 50◦, c = 20 og B = 100◦
3. C = 60◦, B = 20◦ og b = 5
7. b = 12, c = 8 og B = 20◦
4. A = 10◦, a = 20 og B = 60◦
8. b = 10, c = 15 og B = 20◦
Svar på opgave 3.19. 1. A = 34◦, B = 44,4◦, C = 101,5◦, 2. a = 5,99, B =
38,9◦, C = 121,1◦, 3. A = 100◦, a = 14,4, c = 12,7, 4. C = 110◦, b = 99,7, c =
108,2, 5. a = 4,88, c = 5,5, B = 148◦, 6. C = 30◦, a = 30,6, b = 39,4, 7.
a = 19,2, c = 13,18, A = 146,8◦, 8. a = 22,7, A = 129,1◦, C = 30,9◦ eller a =
5,5, A = 10,9◦, C = 149,1◦.
Opgave 3.20 Beregn de ubekendte sider og vinkler samt arealet af △ABC
1. a = 11, b = 15 og c = 19
5. B = 80◦, c = 17 og A = 20◦
2. b = 12, C = 19◦ og a = 17
6. A = 10◦, c = 30 og B = 30◦
3. A = 40◦, B = 19◦ og a = 11
7. b = 19, c = 15 og B = 30◦
4. A = 30◦, a = 50 og C = 30◦
8. b = 11, c = 17 og B = 50◦
Svar på opgave 3.20. 1. A = 35,3◦, B = 52,1◦, C = 92,6◦, 2. c = 6,87, A =
126,4◦, B = 34,6◦, 3. C = 121◦, b = 5,57, c = 14,7, 4. B = 120◦, b =
86,6, c = 50, 5. C = 80◦, a = 5,9, b = 17, 6. C = 140◦, a = 8,1, b = 23,3, 7.
a = 30,4, A = 126,8◦, C = 23,2◦, 8. Der findes ikke en trekant med disse mål.
35
3.6
Kapiteloversigt
Den retvinklede trekant
For en retvinklet trekant hvor a og b er sider og c er hypotenuse gælder, at
a2 + b2 = c2
sin(v) · hypotenusen = modstående side
cos(v) · hypotenusen = hosliggende side
tan(v) · hosliggende side = modstående side
Den vilkårlig trekant
Sinusrelationerne
sin(A) · b = sin(B) · a
Cosinusrelationerne
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(A)
Trekantens areal
1
· b · c · sin(A)
2
Forholdet mellem ensvinklede trekanter
Forholdet mellem siderne i ensvinklede trekanter ABC og DEF er
T =
a b
c
= =
d e f
36