1. No category

københavns universitet
københavns universitet
1
Eksempler på anvendelser
Afstemning af kemiske reaktionsligninger
2
Lineære ligningssystemer
Elementære rækkeoperationer
Echelonform og Gauss-elimination
Institut for Grundvidenskab og Miljø
Institut for Matematiske Fag
www.matdat.life.ku.dk/mat-model/
3
Lineær uafhængighed
Linearkombination
Lineær uafhængighed
Basis
Mere om determinanter
25.4.2012
Dias 1/29
25.4.2012
Dias 2/29
Lineære ligningssystemer
Matematik og modeller 2012
Henrik L. Pedersen
københavns universitet
københavns universitet
Repetition
Eksempel: Afstemning af kemiske
reaktionsligninger
+ x2 OH− + x3 NH3 → x4 Hg2 NI + x5 I− + x6 H2 O
x1 HgI−−
4
Determinant
Forklar udregningen


1 0 1
A = 2 1 2
3 3 1
1
det A = (−1)2+2 det
3
25.4.2012
Dias 3/29
Bestem tallene x1 , . . . , x6 så vidt det er muligt. . .
Idé: tæl grundstoffer og ladninger
x1
4x1
x2
1
1 1
+ (−1)3+2 3 det
= −2
1
2 2
x2 + 3x3
25.4.2012
Dias 5/29
= 2x4
= x4 + x5
= x6
= 2x6
x3
= x4
2x1 + x2
= x5
københavns universitet
københavns universitet
Løsning af lineære ligningssystemer
Sætning: Løsning af n ligninger med n ubekendte
Lineært ligningssystem: m ligninger med n
ubekendte
Antag at A har en invers matrix (det A 6= 0). Da har ligningen Ax = b
netop én løsning x = A−1 b.
• Hvad nu hvis det A = 0?
a11 x1 + · · · + a1n xn
= b1
a21 x1 + · · · + a2n xn
= b2
..
.
• Hvad nu hvis antal ligninger ikke er det samme som antal variable?
am1 x1 + · · · + amn xn
Så er matricen ikke kvadratisk og kan ikke have en invers
Eksempler
(A)
2x1 + 3x2 = 7
5x1 + 2x2 = 1
(C)
(B)
2x1 − x2 = 0
−x1 + 0.5 x2 = 0
2x1 + 3x2 + 5x3 = 7
x1 + x2 + 2x3 = 3
25.4.2012
Dias 7/29
københavns universitet
Elementære rækkeoperationer
=
bm
Koefficientmatrix og totalmatrix



a11 a12 · · · a1n
a11
 a21 a22 · · · a2n 
 a21



A= .
[A|b] =  .
..
.. 
..
 ..

 ..
.
.
.
am1
am1 am2 · · · amn
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.

b1
b2 

.. 
. 
am2
···
amn
bm
25.4.2012
Dias 8/29
københavns universitet
Rækkeombytning
• En rækkeombytning består i at ombytte to rækker i en matrix
Disse betår af tre typer af operationer, der udføres på matricer:
• lægge et multiplum af en række til en anden række (rækkeoperation)
• bytte om på to af rækkerne (rækkeombytning)
• gange en række igennem med et tal (tal gange række)
Rækkeoperation
• En rækkeoperation på en matrix består i at gange alle tallene i den
i’te række med samme tal t og derefter lægge den til den j’te række
• At udføre en rækkeoperation på totalmatricen for et ligningssystem
svarer til at gange den i’te række i ligningssystemet igennem med et
tal t og så lægge den til den j’te række i ligningssystemet
• En rækkeoperation ændrer derfor ikke løsningsmængden til
ligningssystemet
25.4.2012
Dias 9/29
• At udføre en rækkeombytning i totalmatricen for et ligningssystem
svarer til bytte om på to af ligningerne i ligningssystemet, og altså
blot at skrive ligningerne i systemet i en anden rækkefølge
• En rækkeombytning ændrer derfor ikke løsningsmængden til
ligningssystemet
Multiplikation af en række med et tal 6= 0
• At multiplicere en række i totalmatricen svarer til at gange en af
ligningerne i systemet igennem med et tal 6= 0
• Multiplikation af en række med et tal 6= 0 ændrer derfor ikke
løsningsmængden til ligningssystemet
Hvorfor så gøre det?
Fordi det, hvis det gøres med snilde, bliver meget nemmere at løse et
forelagt lineært ligningssystem
25.4.2012
Dias 10/29
københavns universitet
Søjleoperationer, -ombytninger og
multiplikation med tal
københavns universitet
Regneeksempel
1
Ligninger
x1 + x2 + 2x4 + x5
Ombytning af to søjler i koefficientmatricen svarer til at ombytte to af
variablenes navne. . . så det kan man gøre med varsomhed
Søjleoperationer og multiplikation af en søjle med et tal ændrer løsningen
til ligningssystemet. . . så det skal man generelt holde sig fra i forbindelse
med ligningsløsning
københavns universitet
Resumé af proceduren
Løsning af et ligningssystem på formen Ax = b
• opskriv totalmatricen [A|b]
• udfør rækkeoperationer, tal gange række og rækkeombytninger, så
den bliver af formen [A0 |b0 ], med mange nuller under diagonalen
• er alle nulrækker i A0 også nulrækker i [A0 |b0 ]? hvis ikke, da er der
ingen løsninger
• slet eventuelle nulrækker i totalmatricen, og skaf mange nuller over
diagonalen
• de søjler i koefficientmatricen, der ikke har et trappetrin bruges som
de frie variable t, s osv
= 7
−x1 + x3 + x4 − 2x5
= 2
Totalmatrix

1
2

−1
3
3
25.4.2012
Dias 11/29
2x1 + 3x2 + x3 + 5x4 + 2x5
3x1 + 6x2 + 3x3 + 13x4 + x5
2
= 2
1 0
3 1
0 1
6 3
2
1
5
2
1 −2
13 1
= 17

2
7

2
17
Løsning ved elementære rækkeoperationer
25.4.2012
Dias 12/29
københavns universitet
Række Echelonform
Ledende 1-tal
En ledende indgang i en matrix er det første element i en række, som
ikke er lig med nul (når man ser fra venstre mod højre). Et ledende 1-tal
er en ledende indgang som er lig med 1.
Række Echelonform
En matrix er på række echelonform hvis der gælder følgende:
• Enhver række, som ikke er nulrækken, har et ledende 1-tal
• De ledende 1-taller står længere og længere mod højre, som man
bevæger sig ned gennem matricens rækker
• Alle nulrækker findes i bunden af matricen
Reduceret række Echelonform
En matrix er på reduceret række echelonform hvis den er på række
echelonform og der desuden gælder
• Alle elementer i søjlerne over de ledende 1-taller er nul
25.4.2012
Dias 13/29
25.4.2012
Dias 14/29
københavns universitet
københavns universitet
Gauss-elimination
Linearkombination
• Enhver matrix kan bringes på reduceret række echelonform vha
elementære rækkeoperationer.
• Processen kaldes for Gauss-elimination.
Linearkombination
Lad (a1 , a2 , . . . , am ) være et sæt af m vektorer i Rn .
En linearkombination af disse vektorer er en vektor x på formen
x = t1 a1 + . . . + tm am
• Gauss-elimination kan foretages på mange forskellige måder, fx ved
at anvende de elementære rækkeoperationer i forskellig rækkefølge.
Der gælder imidlertid følgende resultat:
hvor t1 , . . . , tm er reelle tal
Eksempel
Sætning
Antag, at matricen A ved elementære rækkeoperationer ændres til en
matrix A0 som er på reduceret række echelonform.
Antag videre, at A ved andre elementære rækkeoperationer ændres til
A00 , hvor også A00 er på reduceret række echelonform. Da gælder
Lad
b1 =
Så er
A0 = A00
1
,
2
b2 =
1
−1
3
x = b1 + 2b2 =
0
en linearkombination af b1 og b2 .
25.4.2012
Dias 15/29
københavns universitet
25.4.2012
Dias 17/29
københavns universitet
Lineær uafhængighed
Lineær uafhængighed
Et sæt af m vektorer (a1 , a2 , . . . , am ) i Rn er lineært uafhængigt hvis der
af ligningen
0 = t1 a1 + . . . + tm am
kan sluttes at t1 = t2 = . . . = tm = 0
[Der er kun én måde 0 kan være en linearkombination af vektorerne på,
nemlig hvis alle de indgående tal t1 , . . . , tm er lig med nul]
Opgave
1
2
0
Er
en linearkombination af b1 og b2 ?
3
2
Er
en linearkombination af b1 og b2 ?
4
25.4.2012
Dias 18/29
Lineær uafhængighed i planen og rummet
1
To vektorer i planen er lineært afhængige hvis de (afsat fra (0, 0))
ligger på samme linje.
2
Tre vektorer i rummet er lineært afhængige hvis de (afsat fra
(0, 0, 0)) ligger i samme plan.
25.4.2012
Dias 19/29
københavns universitet
københavns universitet
Proportionale vektorer
Lineær uafhængighed
Eksempel
Definition
Lad
To vektorer v1 og v2 er proportionale hvis sættet (v1 , v2 ) er lineært
afhængigt.
Det er det samme som at der findes t ∈ R sådan at v2 = tv1 eller
v1 = tv2 .


2
1

a1 = 
 1 ,
−3
 
−1
1

a2 = 
−2 ,
0


1
1

a3 = 
 0 ,
−2
 
1
1

a4 = 
0
0
Eksempel
1
2
1
1
og
proportionale?
2
−1
1
2
Er
og
proportionale?
2
4
Er
1
Er a3 en linearkombination af (a1 , a2 )?
2
Er a4 en linearkombination af (a1 , a2 )?
3
Er (a1 , a2 ) et lineært uafhængigt sæt?
4
Er (a1 , a2 , a3 ) et lineært uafhængigt sæt?
5
Er (a1 , a2 , a4 ) et lineært uafhængigt sæt?
25.4.2012
Dias 21/29
25.4.2012
Dias 20/29
københavns universitet
københavns universitet
Lineær uafhængighed
Lineær uafhængighed
Lineær uafhængighed og entydig linearkombination
Opgave: True or false
Hvis sættet af vektorer (a1 , a2 , . . . , am ) i Rn er lineært uafhængigt og
Hvilke af følgende påstande er sande?
1
er en linearkombination, så er tallene t1 , . . . , tm entydigt bestemt: x kan
ikke skrives som en anden kombination af disse vektorer.
Hvis sættet (a1 , a2 , . . . , am ) er lineært uafhængigt da er det
stadigvæk lineært uafhængigt hvis vi skriver vektorerne i en anden
rækkefølge
2
Hvis sættet (a1 , a2 , . . . , am ) er lineært uafhængigt da er et vilkårligt
delsæt også lineært uafhængigt
Sætning
3
Et sæt af vektorer i Rn er lineært afhængigt hvis og kun hvis en af
vektorerne er en linearkombination af de øvrige
Hvis sættet (a1 , a2 , . . . , am ) er lineært afhængigt da er et vilkårligt
delsæt også lineært afhængigt
4
Hvis der i sættet (a1 , a2 , . . . , am ) findes to vektorer der er
proportionale da er sættet lineært afhængigt
Bemærkning
5
Hvis (a1 , a2 ) er lineært uafhængigt, hvis (a2 , a3 ) er lineært
uafhængigt og hvis (a1 , a3 ) er lineært uafhængigt da er (a1 , a2 , a3 )
lineært uafhængigt
x = t1 a1 + . . . + tm am
n
Et sæt bestående af flere end n vektorer i R kan ikke være lineært
uafhængigt
25.4.2012
Dias 22/29
25.4.2012
Dias 23/29
københavns universitet
københavns universitet
Eksempel: ligningssystem og lineær afhængighed
Basis
Det lineære ligningssystem
2x1 + 3x2 + 5x3
= 0
Definition
x1 + x2 + 2x3
= 0
En basis for Rn er et sæt af n lineært uafhængige vektorer i Rn
kan skrives på formen
2
3
5
0
x1
+ x2
+ x3
=
.
1
1
2
0
Egenskab for basis
At sættet (a1 , a2 , . . . , an ) er en basis for Rn betyder:
For hver vektor x i Rn findes netop et sæt af tal (t1 , t2 , . . . , tn ) sådan at
Ligningssystemet har løsningerne x1 = −t, x2 = −t og x3 = t hvor t er
vilkårlig (intet trappetrin i 3. søjle). Fx (x1 , x2 , x3 ) = (−1, −1, 1)
Vektorerne
2
3
5
,
,
1
1
2
x = t1 a1 + . . . + tn an
Med andre ord: enhver vektor kan skrives på en og kun en måde som en
linearkombination af vektorerne (a1 , a2 , . . . , an ).
er altså lineært afhængige
25.4.2012
Dias 24/29
25.4.2012
Dias 25/29
københavns universitet
københavns universitet
Determinant og basis
Determinant og rækkeoperationer
Sætning: determinant og rækkeoperationer
Sætning: determinant og basis
Søjlerne i en kvadratisk matrix A udgør en basis netop hvis det A 6= 0.
• Determinanten skifter fortegn ved en række (eller søjle) ombytning
• Ganges en række (eller en søjle) med et tal t da bliver
Eksempel (og repetition)

0 1
1 2
3 1
1
det A = (−1)2+2 det
3
• Determinanten ændres ikke ved række (eller søjle) operationer
determinanten også ganget med t
• Determinanten af en øvre eller nedre trekantsmatrix er lig med

1
A = 2
3
produktet af diagonalelementerne (fra sidste gang)
1
1
+ (−1)3+2 3 det
1
2
1
= −2
2
det A 6= 0
Idé til udregning af determinant: lav elementære række- eller
søjleoperationer, så matricen bliver en øvre trekantsmatrix!
Eksempel

1
2
3
Derfor: Søjlerne udgør en basis! Udgør rækkerne også en basis?
25.4.2012
Dias 26/29
25.4.2012
Dias 27/29

0 1
1 2
3 1


1 0 1
0 1 0 
0 3 −2

1
0
0
0
1
0

1
0
−2
københavns universitet
københavns universitet
Opgaver
Invers matrix og rækkeoperationer
Dominometoden. . .
• Opskriv matricen [A|E].
1
2
Efter tre gange at have ombyttet to rækker, multiplikation af en af
rækkerne med 2, samt fire rækkeoperationer på 7 × 7 matricen A er
Åge kommet frem til en øvre trekantsmatrix med diagonalelementer:
1, 3, −1, −2, 4, 2, 0.5. Hvad er determinanten af A?
Bestem determinanten af matricen

2 0
1 1

0 0
3 0
0
2
1
4

0
0

0
7
• Lav elementære rækkeoperationer på matricen [A|E] og bring den
på reduceret række-echelonform.
• Hvis den er på formen [E|X] da er A−1 = X, hvis ikke da har A
ingen invers matrix.
Eksempel

1
2
3

1
0
0
25.4.2012
Dias 28/29
0 0
1 0
0 −2
25.4.2012
Dias 29/29
0 1
1 2
3 1
5/2
−2
3
1 0
0 1
0 0
−3/2
1
−3

0
0
1

1 0
0 1
0 0


1/2
1
0
0 
1
0
1
0
−2
0 0
1 0
0 1
1
−2
3

0 0
1 0
−3 1

5/2 −3/2 1/2
−2
1
0 
−3/2 3/2 −1/2