1. No category

ØVEHÆFTE
FOR MATEMATIK C
FORMLER OG LIGNINGER
INDHOLDSFORTEGNELSE
0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER ................................................................... 2
Tal, regneoperationer og ligninger ................................................................................................... 2
Isolere en ubekendt .......................................................................................................................... 3
Hvis x står i første brilleglas ........................................................................................................... 3
Når den ubekendte står i 2. brilleglas ............................................................................................... 4
Videregående regler om ligninger .................................................................................................... 5
Løse ligning på lommeregner Casio fx-991ES ................................................................................ 6
1
EKSEMPLER PÅ EKSAMENSOPGAVER .................................................................................... 7
2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER ............................................................................................ 8
2 a. Beregningsrækkefølge. ............................................................................................................. 8
2 b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner) ...............................................................13
2 c. Angive de variable ud fra sproglig tekst ..................................................................................14
2 d. Løse ligninger med lommeregnerens ”solve” (brugsanvisning side 5)......................................16
2 e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3) ....................................18
2 f. Indsæt variables værdi og løs ligning .......................................................................................22
3
FLERE EKSAMENSOPGAVER – (fra årene 2006 og 2007) ..........................................................24
4
"STJERNEOPGAVER" TIL LIGNINGER. .......................................................................................26
Opdeling (briller) sum af produkter uden parenteser .......................................................................29
Opdeling (briller) af udtryk med parenteser: ...................................................................................29
Ligninger med x først. ....................................................................................................................30
TEORI ....................................................................................................................................................33
Algebraisk hierarki - og briller ........................................................................................................33
Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje.........................................................................33
Brøkligninger .................................................................................................................................35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 2 af 35
0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER
Tal, regneoperationer og ligninger
Regnearternes hierarki
t  4  3  22
 4  3 4
 4  12
 16
Beregningsrækkefølge:
1.
potensopløftning
2.
gange/division
3.
plus/minus
En parentes ændrer på hierarkiet
Plus-parenteser kan hæves
Plus-parenteser kan hæves
(1) 5 + (x – 3) = 5 + x – 3 = x + 2
Minus-parenteser: fortegnsskift
(1) a + (b – c) = a + b – c
Minus-parenteser: fortegnsskift
(2)
8 – (3 + x) = 8 – 3 – x = 5 – x
(2)
a – (b + c) = a – b – c
(3) 7 – (x – 2) = 7 – x + 2 = 9 – x
Gange-parenteser kan hæves:
(3) a – (b – c) = a – b + c
Gange-parenteser kan hæves:
(4)
2(3x) = 23x = 6x
(4)
a(bc) = abc
(5)
(3x)2 = 3x2 = 32x = 6x
(5)
(ab)c = abc
Gange ind i
(parenteser med + og –)
Gange ind i
(parenteser med + og –)
(6)
(6)
2(x+4) = 2x + 24 = 2x + 8
c(a+b) = ca + cb
Samle led
Samle led
(7) 5x – x = 4x
Kvadratsætninger
(8.1) (3+x)2 = 32 + x2 + 2∙3∙x
(8.2) (x–5)2 = x2 + 52 – 2∙x∙5
(7) a + 2a = 3a
Kvadratsætninger
(8.1) (a+b)2 = a2 + b2 + 2∙a∙b
(8.2) (a–b)2 = a2 + b2 – 2∙a∙b
En ligning består af to formler med lighedstegn
imellem. Ofte er optræder en ubekendt, f. eks x.
Et tal der, indsat som x, får lighedstegnet til at
Ligninger
passe, kaldes en løsning.
I en ligning må man
1)
lægge samme tal til på begge sider
2)
trække samme tal fra på begge sider
3)
gange med samme tal på begge sider, dog
ikke med 0
4)
dividere med samme tal på begge sider, dog
ikke med 0
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 3 af 35
Isolere en ubekendt
(nedenfor betegnes den ubekendte som x, men enhver variabel kan naturligvis isoleres tilsvarende).
Der beskrives en ”sikker vej” til at kunne isolere x , når den kun optræder 1 gang i en ligning
indeholdende tal ,bogstaver, regneoperationer + - * / (og senere potensopløftning ^ ) , samt eventuelt
parenteser. Nedenstående beviser , at den slags ligninger ”altid” kan løses. (Undtagelse: hvis proceduren giver
division med 0).
Grundlaget for hvert skridt er, at den side af ligningen, der indeholder x, ”opdeles med briller” (også hvis
der kun er et enkelt tal/bogstav ved siden af x)
Fremgangsmåden afhænger nu af om x står i første eller andet brilleglas og af hvilken regneoperation, der
sammenknytter de to brilleglas. Oftest bruges den modsatte regningsart.
(
(
)
)
+
Hvis x står i
=
første
brilleglas
(til venstre, eller i en brøk: for oven)
Når der står (x)+(b) nedenfor betyder (x) et udtryk (brilleglas), der indeholder den ubekendte, x.
(a) , (b) og (c) står for andre udtryk, der ikke indeholder x.
Taleksempel
Mønster + - ∙ eller /
Kommentar
( )
( )
Når man trækker (b) fra på begge sider,
flyttes
( ) over som
…. ( )
( )
Når man lægger (b) til på begge sider,
flyttes
( ) over som
…. ( )
m’
( )
p’
d’
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
(Kan kun bruges, når (a) ikke er 0)
Når man dividerer med (a) på begge
sider, flyttes
( ) over som
( )
( )
( )
Når man ganger med (a) på begge sider,
( )
flyttes
( )
g’
( )
( ) ( )
( )
over som
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 4 af 35
Bemærk, vi siger ikke ”(b) flyttes over på den anden side af lighedstegnet og ændrer fortegn”.
I de to sidste tilfælde ovenfor, d ’ og g ’ hvor (a) flyttes over, ændres der ikke fortegn fra plus til
minus .
Man bruger derimod den modsatte regningsart, og det man flytter skal stå sidst, for at man kan sige
( )
flyttes over som ….
( )
flyttes over som
( )
(eller omvendt)
(eller omvendt)
( )
Når den ubekendte står i 2. brilleglas
(til højre eller forneden i en brøk)
Kort fortalt: Ved PLUS og GANGE kan man bare bytte om, så den ubekendte rykker frem i første
brilleglas.
Ved MINUS og DIVISION bruges den omvendte regningsart, nøjagtig som ovenfor. Den ubekendte
kommer så over på den modsatte side af lighedstegnet, hvor man er i en bedre situation til at komme videre.
For nu står der PLUS i stedet for MINUS, eller der står GANGE i stedet for DIVIDERE, og så kan man bare
bytte om. Her skrives det ud i detaljer:
Taleksempel
Mønster
+ - ∙ eller /
o’
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Der kan ombyttes ved GANGE, så den
ubekendte kommer i første brilleglas.
(idet a∙b=b∙a )
Derefter divisionen d ’ ovenfor.
o’
( )
p’
Der kan ombyttes ved PLUS, så den
ubekendte kommer i første brilleglas.
(idet a+b=b+a )
Derefter minusoperationen m ’
ovenfor, og (x) er alene
Efter plus-operationen bruges den netop
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
g’
omtalte ombytning o ’ . Når (x) er
kommet forrest på højre side, bruges
minus-operationen m ’ , og (x) er alene.
Efter gange-operationen bruges den
netop omtalte ombytning o ’ Når (x) er
kommet forrest på højre side, bruges
divisions-operationen d ’ , og (x) er
alene.
I hvert skridt af løsningen af en kompliceret ligning, ser man hvilken side af lighedstegnet, der indeholder x.
Udtrykket på den side af ligningen opdeles med briller. Er x i første brilleglas, bruges det første skema,
ellers bruges skemaet lige ovenfor, og omformnings-trinnet vælges efter om den adskillende regneoperation
er plus, minus, gange eller dividere. På den måde er der 4+4 = 8 valgsituationer. Når ligningen er
omformet, er man i en ny situation, igen med 8 mulige udgangspunkter for at vælge blandt de 5 handlinger
(m ’ , p ’ , d ’ , g ’ og o’ ). Til sidst står x alene på den ene side af lighedstegnet.
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 5 af 35
Ovenstående procedure kræver ingen omformning af regneudtryk ud over ombytningerne a+x=x+a og
a∙x=x∙a. Men formlerne ”adskilles” og delene samles på ny måde.
Ved praktisk ligningsløsning kan man ofte spare nogle skridt ved at bruge omskrivninger. Når man regner
med papir og blyant, vil man tit undlade at skrive ”ombytningen”, men blot have den i hovedet. Ellers skal
hver mellemregning skrives, for at dokumentere, at man kender de enkelte principper.
Videregående regler om ligninger
( )
f’
( )
( )
( )(
√
r’
)
( )
( )
( )
( )(
Når man ganger med (-1) på begge
sider, ændres fortegn.
( )
√( )
)
Bruges ved potensopløftning, når (x)
står i første brilleglas.
Kan bruges når (x) og (c) vides
positive, ellers ikke altid. F.eks.
har ingen løsning.
har -3 og 3 som løsning.
( )(
( )
( )
l’
)
( )
( )
( )
( )
( )
(( ))
( )
fu ’
positive.
(c) kan være positiv, 0 eller negativ.
(x) bliver et positivt tal.
( )
( )
( )
Bruges ved potensopløftning, når x
står i sidste brilleglas.
Kan kun bruges når (a) og (c) vides
(( ))
( )
(c) kan være positiv, 0 eller negativ.
(x) bliver et positivt tal.
fu ’
( )
( )
( )
(( ))
fu ’
( )
(( ))
(
)
( )
eller
(
)
eller
( )
Kan bruges når (x) vides at ligge
mellem 0 og 180°
(( ))
Ellers er der flere eller andre
løsninger.
(( ))
( )
(( ))
( )
( )
Kan bruges når (x) vides at ligge
mellem 0 og 180°
(( ))
Ellers er der flere eller andre
løsninger.
fu ’
(
)
( )
Kan kun bruges når (c) vides
positiv.
(( ))
( )
( )
fu ’
( )
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 6 af 35
Løse ligning på lommeregner Casio fx-991ES
For at løse ligningen 2 x = 8 på lommeregneren
Casio fx-991ES indtastes følgende:
2X=8, X
Man bruger disse taster:
X
=
,
Man sætter ligningsløsningen i gang ved først at
taste
og ser (MYSTISK?)
Tallet 112 er ikke løsningen, men en tilfældig
gammel x-værdi (I vil se andre tal, når I prøver).
Man skal indtaste et start-gæt.
Tast f. eks. tallet 1
… og tryk på det
lighedstegn, der er
nederst til højre på
lommeregneren
Her ses løsningen : x=4
(Det nederste L-R betyder venstre side minus højre side, som
giver 0, når løsningen x=4 er indsat i ligningen)
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
1
EKSEMPLER PÅ EKSAMENSOPGAVER
Regn ikke, men læs opgaverne, og bevar derefter spørgsmålene på næste side
Opg. 101
Opg. 102
Opg. 104
Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden 20002003, kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen
y = 6410∙1,06x
hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter 2000.
b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen?
Side 7 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 8 af 35
Opg. 104
Opg. 105 Spørgsmål til ovenstående 4 opgaver:
Hvilke af nedenstående færdigheder ser det ud til at man skal kunne beherske for at regne og besvare de fire
opgaver (sæt v ) :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.









Indsætte tal i formel
Indtaste formel (med tal, parenteser og regneoperationer) i lommeregner og udregne.
Se hvilken side, der er hypotenuse i en retvinklet trekant.
Løse ligninger med 1 ubekendt med lommeregnerens ”solve”.
Løse ligninger med 1 ubekendt med ligningsregler, papir og blyant.
Gange ind i en parentes.
Se ud fra en sproglig tekst, hvilke variable der indgår.
Bestemme rentefod ud fra startkapital, slutkapital og antal år.
Gennemskue formlernes betydning, herunder vide at ”gange” skal udføres før ”plus” ved
beregning af en formels værdi.
2 GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER
2 a. Beregningsrækkefølge.
Fra Karsten Juul ”Bogstavregning”
Op. 201 (Trinvis udregning)
Vis ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående
a) Eventuelle parenteser udregnes først
b) Gange/dividere udføres før plus/minus (omskrives tydeligst med vandret brøkstreg).
c) Flere gange/dividere-operationer udføres fra venstre mod højre
d) Flere plus/minus-operationer udføres fra venstre mod højre
(1)
(2)
2 4+3 5
= 8 + 15
=
23
2 (4 + 3) 5
(4)
4 − 1+ 3 2
(5)
4 − (1+ 3) 2
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
= 2
7
= 14
=
70
(3)
Side 9 af 35
5
5
2 (4 + 3 5)
(6)
(4 −1+ 3) 2
Op. 202 (Trinvis udregning)
(som ovenfor)
(1)
8 − (−2 + 4)
(4)
2 (6 − 4)
(7)
3 (2 5)
(2)
8 + (2 − 4)
(5)
2 6−2 4
(8)
3 2 5
(3)
8+2−4
(6)
2 6−4
(9)
(3 2) 5
Fra ”Gyldendals Gymnasiematematik, Arbejdsbog B1”
Udregn med trinvise mellemregninger (gerne i hovedet, ellers 10-kr. lommeregner)
Opg. 203
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 10 af 35
Opg. 204 Omskriv med vandret brøkstreg og udregn, med trinvise omskrivninger/mellemregninger:
a)
9+6/3
6
9 
3
=9+ 2
= 11
b)
9–8/2
c)
18 / 6 – 7
f)
20 / 4 + 7 / 1 – 3 7
b)
3 + 12 / 4 – 6
e)
55 / 11 – 28 / 7
g)
9 + 16 / 4 – 5 – 14 / 7
h)
8 7 – 27 / 3 – 8 + 6 1
Opg. 205 Udregn, med trinvise mellemregninger:
(potensopløftning udføres før gange/dividere, der som bekendt udføres før plus/minus)
2 ∙ 25
50
Opg. 206 Omskriv og udregn, med trinvise mellemregninger:
a)
16 / 23
b)
36 / 32
c)
62 / 12
d)
25 / 4
e)
53 / 5 + 4
d)
40 / 23 – 18
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
g)
14 – 18 / 32
Side 11 af 35
h)
82 / 25 + 3 6
Opg. 207 Udregn, med trinvise mellemregninger:
Opg. 208 Udregn, med trinvise mellemregninger:
i)
20 – 33 – 18
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 12 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 13 af 35
2 b. Indsætte tal i formel (og udregne med lommeregner)
Opg. 211. Indsæt x og udregn y
(Der må gerne bruges lommeregner. Men "mellemregningen" skal
anføres)
x
3
2,8
0
-3
(
= -1
= 11
-5
-0,032
)
√
Opg. 212 Indsæt b, x, y og udregn a
b
x
y
5
2
20
9
8
6
0,3
10,4
2,4
-3
6
-8
= 7,5
( )
√
(evt.)
( )
( )
Opg. 213. Indsæt x1, x2, y1, y2 og udregn a
(regnes ikke)
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
2
6
3
11
Side 14 af 35
2,3
8,4
2,9
6,8
0,8
3,4
60
24
-3
-1
4
8
= 2
(
)
√
(evt.)
(
)
(
)
2 c. Angive de variable ud fra sproglig tekst
Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven.
De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema.
Opg. 221
symbol
(bogstav)
d
h
m
k
Forklaring
(tekst)
møntens diameter (mm)
møntens …
Et tal, der afhænger af materialet
De kendte tal indsættes i formlen:
Værdi, hvis oplyst
23,35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 15 af 35
(Og ligningen løses for at beregne k, men dette venter vi med til næste afsnit… )
---
Regn ikke, men læs opgaven, og udfyld felterne under opgaven.
De indgående variable og konstanter med forklaring markeres i opgaveteksten, og skrives i skema.
Opg. 222
a)
b)
a) Spørgsmålet "Bestem lysstyrken i afstanden 2 0 cm fra lygten":
symbol
Forklaring
Værdi, hvis oplyst
(bogstav)
(tekst)
x
I
Sæt de kendte værdier ind i formlen nedenfor, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne :
b) Spørgsmålet " I hvilken afstand fra lygten er lysstyrken 9 5 μW/ m ?"
symbol
Forklaring
Værdi, hvis oplyst
(bogstav)
(tekst)
x
I
Sæt de kendte værdier ind i formlen, og beregn resultatet, hvis det er umiddelbart til at udregne :
2
Opg. 223
Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden 20002003, kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen
y = 6410∙1,06x
hvor y er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter 2000.
b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen?
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
symbol
(bogstav)
Side 16 af 35
Forklaring
(tekst)
Værdi, hvis oplyst
Beregning af resultatet:
Konklusion: Svaret på spørgsmål b formuleret som en sætning:
Opg. 224
(se hvordan nedenfor)
symbol
Forklaring
Værdi
(bogstav) (tekst)
første gang
x
x1 =
y
y 1=
Beregn a med følgende formel (vedrørende ”lineær sammenhæng”, y = ax + b
a
y2  y1

x2  x1
Værdi
anden gang
x2 =
y 2=

Beregn b med følgende formel (vedrørende ”lineær sammenhæng”, y = ax + b
b = y1 – a∙x1 = …
2 d. Løse ligninger med lommeregnerens ”solve” (brugsanvisning side 5)
Løs med lommeregnerens "solve"
(aflever som brøk eller decimaltal med 3 betydende cifre):
Opg. 231
Opg. 232:
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 17 af 35
Opg. 213
a) Løs – (i hånden eller) med "solve" :
b) Skriv en konklusion – en sætning - som svar på spørgsmål a) i opgave 221 i afsnit 2c ovenfor
c) Løs ligningen med ”solve”:
d) Skriv en konklusion – en sætning - som svar på spørgsmål b) i opgave 222 i afsnit 2c ovenfor
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 18 af 35
2 e. Ligninger (løs i hånden og med mellemregninger. Se mønstre side 3)
Opg. 241
2
Opg. 242
5
3
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 19 af 35
Bruge regneregler ( som led i at løse ligninger)
Regnereglerne – og eksempler - står på side 2. Først afprøver og anskuliggør vi nogle af reglerne.
Opg. 243
Indsæt tallene a=8, b=4, c=3, i formlerne A og B, og udregn med med trinvise mellemreninger
(som på side 7).
A
B
(1)
a + (b – c)
a+b–c
8 + (4 – 3)
8+
1
9
8+4–3
12 – 3
9
a–b–c
(2)
a – (b + c)
(3)
a – (b – c)
a–b+c
(4)-(5)
a(bc)
abc
(6)
c(a+b)
ca + cb
c(a – b)
ca – cb
(7)
a + 2a
3a
(8.1)
(a+b)2
|
a2 + b2 + 2∙a∙b
( ab) c
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
(8.2)
Side 20 af 35
a2 + b2 – 2∙a∙b
(a – b)2
Opg. 244
Nedenstående figurer illustrerer nogle af regnereglerne. Hvilke? Hvordan? Skriv hver regel under figuren
a
c
c
c∙(a+b)
a
(a+b)
b
a
a2
a∙b
b
a∙b
b2
2
b
a
a
-b
c∙b
c∙a
a
b
a
b
a
b
-b
(a-b)2
a
a
-b
2
a
-a∙b
-b
-a∙b
b2
Opg. 245* Brug de omtalte regneregler undervejs når nedenstående ligninger løses
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 21 af 35
–
–
Opg. 246*
10 – (x +3) = 2
,
2∙(x∙3) =12
,
(x+3) 2 – x2 = 21
,
20 + (4 – t) =18
3 ∙ (4∙ t) =36
(5+x) 2 – x2 = 75
,
30 + 3g – (6 – g) = 12
(5∙ g)∙2 = 100
,
,
(x– 2) 2 – x2 = 14
,
,
7v – 5 (v + 2 ) = v
2 ∙ (v ∙ 2 ) ∙ (2 ∙ 2) = 64
,
(4–x) 2 – x2 = 16
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 22 af 35
2 f. Indsæt variables værdi og løs ligning
Opg. 250
1. Indsæt A = 14, h = 4 og
bestem g af ligningen:
… (”solve” eller løses i hånden)
2. Indsæt A = 22, h = 5 og
bestem g af ligningen
3. Indsæt A = 24, g = 5 og
bestem h af ligningen
4. Indsæt A = 10, g = 4 og
bestem h af ligningen
5. Indsæt A = 28, l = 8 og
bestem b af ligningen
6. Indsæt A = 6, b = 8 og
bestem l af ligningen
7. Indsæt O = 20, b = 3 og
bestem l af ligningen
(
)
8. Indsæt O = 6, l = 1,2 og
bestem b af ligningen
(
)
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 23 af 35
9. Indsæt A = 38, a = 8, b = 2
og bestem h af ligningen
(
10. Indsæt A = 42, a = 5, h =
3 og bestem b af ligningen
(
)
11. Indsæt A = 32, h = 4, a=3
og bestem b af ligningen
(
)
)
12. Indsæt A = 32, h = 4,
a = 2∙b og bestem b af
ligningen
(
)
13. Indsæt A = 20, π = 3,1416
og bestem r af ligningen
14. Indsæt A = 80, π = 3,1416
og bestem r af ligningen
15. Indsæt O = 80 og bestem r
af ligningen
16. Indsæt O = 80 og bestem d
af ligningen
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 24 af 35
17. Indsæt V = 32, h = 4, l = 5
og bestem b af ligningen
18. Indsæt O = 140, h = 4, l =
5 og bestem b af ligningen
(
)
19. Indsæt O = 150, b = 3, l =
5 og bestem h af ligningen
(
)
20. Indsæt O = 200, b = 4, h =
3 og bestem l af ligningen
(
)
21. Indsæt V = 50, π = 3,1416
r = 3 og bestem h af
ligningen
22. Indsæt V = 70, h = 3 og
bestem r af ligningen
3
23. Indsæt O = 140, r = 3 og
bestem h af ligningen
24. Indsæt O = 170, h = 10
og bestem r af ligningen
FLERE EKSAMENSOPGAVER – (fra årene 2006 og 2007)
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Opg. 301
Opg. 302
Opg. 303
Side 25 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Opg. 304
Opg. 305
4
"STJERNEOPGAVER" TIL LIGNINGER.
Opg. 401* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger. Se mønstre side 3.
Side 26 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Opg. 402* Løs ligningerne i hånden, anfør mellemregninger
Side 27 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 28 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 29 af 35
Opdeling (briller) sum af produkter uden parenteser
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Opdeling (briller) af udtryk med parenteser:
9.
(
)
10. (
)
(
11.
(
12. (
)
(
15.
)
(
(
(
16.
17.
))
(
13.
14.
)
(
))
)
)
Svar nr. 1-17: opdeles efter b, b, b, c, b, c, f, b, a, c,
b, c, a, d, b ,
a, a
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Ligninger med x først.
Opdel venstresiden (”briller”) og foretag første skridt i at isolere x.
(
)
Side 30 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. (Husk ”briller”). Se side XXX
1.
2.
3.
4.
5.
(
6.
)
7.
8.
(
9.
(
)
)
10.
11.
12.
(
)
(
)
13.
14.
15.
16.
(
)
17.
(
18.
19.
20.
21.
22.
(
)
)
Side 31 af 35
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 32 af 35
Svar Ligninger med x først (side 10) spm 4-15:
;
(
) (
; (
) ;
)
(
(
) (
;
)
)
(
)
Svar Ligninger. Omformning når x ikke altid er først. (side ) spm 4-22:
;
;
;
(
)
;
(
;
)
;
(
;
;
;(
)
;
);
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 33 af 35
TEORI
Algebraisk hierarki - og briller
15 - 10 + 3
Når værdien af et regnestykke med en masse tal skal udregnes, skal opgaven deles op i en række delopgaver
hvor tal to og to lægges sammen, trækkes fra hinanden, ganges, divideres eller opløftes i potens.
Eksemplet 15 - 10 + 3.
Udregnes ved 15-10 = 5 efterfulgt af 5+3 = 8.
Efter hvilket princip valgte vi at starte med 15-10 ?
De 5 regningsarter er
+ - ∙ / og ^
Beregningsrækkefølge:
Når flere regneoperationer er "på samme niveau" siger man at
1. potensopløftninger udføres først (hænger tættest sammen)
2. gangning og division udføres derefter i den rækkefølge de står
3. plus og minus udføres derefter i den rækkefølge de står (adskiller stærkest)
Parenteser får regneoperationerne indenfor parentesen til at optræde i et andet niveau,
end dem uden for. En parentes’ værdi udregnes først og indgår i regnestykket udenfor parentesen
Når man skriver et regnestykke op med vandrette brøkstreger, virker disse på samme måde som parenteser.
Tilsvarende skal den lille løftede eksponent i en potensopløftning behandles, som hvis den stod i en parentes.
Man skal i princippet både kunne indtaste et regnestykke, kunne udregne det ”i hånden”, og kunne
overskue den overordnede opbygning af det. Det sidste er vigtigt i regneudtryk med bogstaver, der måske
indgår i en model af en konkret problemstilling, og det vigtigt, når man skal løse en ligning.
Lad os starte med indtastning. I nogle IT-redskaber kan formler indtastes direkte som de står på papiret, og
så kan man blot at lære at bruge knapperne.
Indtastning i kommandolinje eller indtastningslinje.
I andre IT-værktøjer indtastes formler i én lang linje. Det gør det nødvendigt at indtaste flere
parenteser: Indtastning af en brøk kan kræve op til tre sæt parenteser: om tæller, om nævner og om
hele brøken. (den om hele brøken kan dog undværes hvis man kun er interesseret i tal-resultatet).
Er der et regnestykke i eksponenten ved potensopløftning, skal det indtastes i parentes.
indtastes
((
)/(
))
indtastes
2^(3+4)
Overskue og udregne i hånden - et eksempel.
Et stort og kompliceret regneudtryk opdeles først overordnet i to dele (”briller”). Hver af de dele analyseres
og opdeles måske yderligere.
Vi belyser reglerne for udregnings-sammenhæng (og rækkefølge) med følgende eksempel, hvor man f. eks.
kan tænke sig a=1, b=2, c=3 o.s.v.:
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 34 af 35
1. Vandrette brøkstreger opdeler på samme måde som parenteser
Her: brøkstregen opdeler hele udtrykket i to deludtryk (der er intet ved siden af brøken).
divideres
med
2. Plus og minus adskiller kraftigere end gange (og potensopløftning).
Er der flere plus og minustegn, adskiller det sidste (længst til højre) kraftigst.
+
3. Som netop nævnt: Minus adskiller kraftigere end gange:
4. Gange adskiller kraftigere end potensopløftning.
Højre del af (1.) . (Selv om + skiller mere end ∙ på samme niveau, fungerer den løftede eksponent,
, på samme måde som
hvis den var i parentes)
∙
Denne opdeling er nok ikke hvad man ville have gættet uden at kende reglerne. (Det ”ser ud” som om e og
f hænger sammen da de begge er store bogstaver, men det gør de altså ikke).
Endnu mere lumsk, når gangetegnet er underforstået: Sæt b=3 og udregn
Hvad bliver det, og
hvorfor?
5. Den løftede eksponent fungerer som hvis den var i parentes:
Bemærk, at hvis et ”brilleglas” indeholder 1 eller 2 tal/bogstaver, så er der ingen tvivl om
udregningsrækkefølgen, eller hvad der hænger sammen med hvad.
Indeholder brilleglasset 3 eller flere tal/bogstaver, så må indholdet opdeles med nye briller.
Øvelse: indtegn de sidste manglende ”briller” i det nederste store billeglas .
Øvehæfte matematik C. Formler og ligninger.
Side 35 af 35
Brøkligninger
Isoler x i følgende fire ligninger:
1)
3)
2)
4)
Omskriv alle løsningerne ovenfor til en brøk, lige som i følgende omskrivning:
=
Nedenfor ses ligning 1 ”løst” ved at stikke en strikkepind gennem den ubekendte, og lade tyngdekraften
trække den fjerne ende af ligningen nedad. Lav tilsvarende illustrationer for ligning 2, 3 og 4.
1)