GnPz
7/o-che kkskt
'B^bV
lon (.i-n€-.
T
I
I
I
O
I'aDvronrerne
_
J
Kirsti Andersen
Materialer:
Planchetekster
)
\"
.1
"J
L"
frA
Nb n'hbi'lonisk matematik
Babylonierne havde et elegant talsystem, i hvilket de ret enkelt kunne udfare
sterrd beregninger med mange cifre. Ud over almindelig dagligdags regning
beskeftigede de sig ogs6 med rent matematiske problemer som at lose andengradsligninger'
stalssystem et
/'l:\Tre
-
Fra omkring 2000 f.Kr. brugte babylonierne kun to kiletegn tii skrivning af tal,
for 10. Tegnene for tallene fra 2 t1I59 dannede de ved at
for 1 og
nemlig
gentage kilerne for 1 og 10.
r
fr
og andre
Babylonierne benyttede ogsA 6n-kilen som tegn for tallet 60,
potenser af 60 og opbyggede sAledeset trestalssystem, hvor en gruppe tegns verdi
er afhengig af den plads, hvorpA den stAr.
' t o
lr I)
Tabeller
Tabeller gjorde det let for babylonierne at gange. Pi denne planche er vist en 9tabel.
Babylonierne havde ogsA mere avancerede tabeller; en af dem findes pA
lertavlen Piimpton 322, som i kopi er udstillet i montren med lertavler. Denne
tabel viser, at babylonierne fandt losninger til den pvthagoreiske ligning, dvs.
bestemte talset x, y og z, s& x2 + y2 - 72.
7-
Tilnaermet verdi til \fPA den viste lertavle er der en tegning af et kvadrat med siden 30 (skrevet med
kiler langs den sverste venstre side af kvadratet). Under den ene diagonal stAr, at
dens lengde er
, og pi diagonalen st6:r det tal, som 30 er blevet
ganget med for at fA lengden. Dette tal,
[;j
er en meget najag-
tig tilnermelse fiI T . Nfir tallet oversettes tii titalssystemet, bliver de fsrste fem
decimaler korrekte.
Lertavle med kvadratrod 2, Claytablet utith the square root of 2, YaIe Babylonian
Collection (7289).
J
U
Fra groftegravningsopgaver til andengradsligninger
En hel del af de babyloniske regneopgaver handler om gravning af kanaler.
Eksempler pA sAdanne opgaver findes pA lertavlen YBC 4663 (kopi i montre med
lertavler).
I den forste opgave er en kanals lengde, bredde og dybde angivet.
Desuden oplyses det, hvor meget 6n arbejder kan grave pi 6n dag og hvor meget,
han skal have i lsn. Der sporges om, hvor stort kanalens rumfang bliver, og
hvad det vil koste at grave den.
I de folgende opgaver byttes der om pi kendte og ubekendtestsrrelser.
I et eksempel er summen af lengden og bredden opgivet sammen med andre
storrelser, og der sporges om lengden og bredden. Svaret kraver losning af et
ligningssystem svarende til en andengradsiigning'
til lasnlng af andengradsligninger havde babylonierne opskrifter, der svarer til
den lssningsformel, vi stadig bruger.
Nedenfor er gengivet nogle af de babyloniske taltegn (jvf. planchen om babylonisk matematik).
,)
5y;t""
)
t;
t
selv at skrive nogle tal, for eksempel22,71",150'200.
'filflIorden*er flad
Senbabylonisk tavle, der viser et kort over den kendte verden.
ogsA
Verdenskort, som det tog sig ud for landet meliem floderne: Mesopotamien,
'bitre
flod". PA
kaldet Babylonien. Kortet er cirkulert og omgivet af den s&kaldte
hjemsted
for bl.a.
var
som
trekantomrider,
ses
floden
den anden side af
udodelige helte.
Babyloniske tavler kan f orudsig" f ormsrkels er
endnu i dag
I de sidste 500 ir f.Kr. udviklede babylonierne pr€cise regneskemaer til
forudberegning af udvalgte posifroner pf, himlen for minen og planeterne.
I dag har vi et i.,dgeende kendskab til disse skemaer (efemerider) fra ca. 500
tekst-erskrevet med kile p& lertavier. De bedste efemerider kan fstes frem tii vore
dage og forudsiger precist forekomsten af f.eks en mAneformsrkelse.
'dagbager"
kender vi
Ftu andle ia. 1200 tekster med astronomiske
med
det blotte
af
himlen
grundlaget for babyloniernes viden, som var iagttagelser
6io. O"-noterede stillingen af mAnen og planeterne set i forhold til udvalgte
fiksstjerner, og de angav det dyrekredstegn, en planet stod i.
De babyloniske astronomer havde ikke gradinddelte sigteinstrumenter til
deres rAdighed, og deres observationer var ret grove. Alligevel kunne
observationerne danne basis for p&lidelige forudsigelser, fordi de blev foretaget
systematisk over fiere hundrede Ar.
Observationsdagbog
A . i
F
!
J
T
Dagbogen omhandler perioden fra marts til september 325 f .Kr., som var det 12.
ar af a.fuxander III's regeringstid. Her ses et foto af lertavlen samt en transkription
og oversettelse af udvalgte linier.
Udover astronomiske iagttagelser omfatter dagbogen ogsA oplysninger om vejret,
markeds-priser, historiske begivenheder og vandstanden i floden.
De fleste iagttagelser angir minen. Omkring fuldmAne og nymine
angives tidsrummet mellem solens og mAnens op- og nedgangstider. Det noteres,
'normalstjerner". Formsrkelser beskrives
hvornir mAnen passerer de sAkaldte
mere eller mindre detaljeret, og det bemerkes, hvis en forventet formsrkelse
ikke er iagttaget.
For planeterne noteres saerligesituationer, f.eks. tidspunktet for forste og sidste
syniighed, deres stationare position osv. Man registrerer ogsA i hvilke
dyrekredstegn, planeterne befinder sig ved slutningen af en mAned.
Regneskema fra 1-60f.Kr.
og fortaller om babylonisk astronomi.
fi{
'' '/ Lertavlen er skrevet med kileskrift
't 't i\
Foto grafiet viser en del af tavlens forside, men der er ogsi tekst pi tavlens kanter
og bagside.
billedet ses en transkription af de tegn, som kan leses pi forsiden og
d"a"i
.
kanterne af tavlen. Pi illustrationen til hojre ses en oversatteise af dele af
taviens forside med et af de lesbare omrider fremhevet (gult felt). Man kan se
en rakke ens tal, 18,8, og finde de tilsvarende kiletegn'
mellem
Det er muligt at gengive hele tavlens indhold, fordi sammenligninger
mange tavler afslarer, at der ligger simple matematiske principper bag
talkolonnerne.
Tavlen her handler om nyminer og fortaeller specielt om chancen for en
solformorkelse. oplysningerne pi tavlen kan fsres frem til i dag og kan stadig
forudsige solformsrkelser.
Oversattelse af linie 2 (meerketmed rodt)'
Lr 2 x 60 + 26 (= 146)efter kong Seleukos ved forste mymAne stod m&nen og
solen i 25_LB_45_of Tyren (mril) med en afstand i bredde mellem sol og m&ne pA
2__45_54_.
Den lille breddeverdi fortreller, at der er mulighed for en solformsrkelse. Vi
ved, at der pA den tid forekom en ringformet solformorkelse over den sydlige del
af den arabiske halva, og at denne solformsrkelsevar delvis synlig i Babylon.
Planeter og stjernebilleder
Lertavlen viser planeter blandt navngivne stjernebilleder.
Overst: Plejaderne, mAnen og TYren
Midterst: Jupiter, Lsven og HYdra'
Nederst: Merkur, Ravnen og jomfruen med sit aks (Spica).
l
L
\ /t
Horoskop
f)e babyloniske astronomer var ansataf kongen som rAdgivere.De skulle ud fta
iagttagelseraf fenomener pi himlen afgive varsler af betydning for landets
skonomi og styring.
Der findes enkelte-simple personlige horoskoper som f.eks. dette fra 235 f.Kr. I
horoskopet tages der hensyn til planeternes positioner _i dyrekredseii.
'huse" er endnu ikke udviklet.
Inddelingen af himlet't i astrologiske
$
#