1. No category

Moderne acceleratorers fysik og anvendelse
Forelæsning 6
Longitudinal Dynamik & RF kaviteter
Longitudinal dynamik (synkrotroner)
Energitilvækst
Bundter og ’Buckets’
Dispersion
Transitionsenergien
Synkrotron bevægelse
RF kaviteter
Genopfriskning (hurtig intro)
Elektromagnetiske bølger
Skindybde
Bølgeledere
Gruppe og fase hastighed
Den cylindriske kavitet (Pill-box)
Q-faktor
Shunt-impedance
Transittid
Indkobling
LCR ækvivalent kredsløb
RF power generering
Longitudinal dynamik: Indledning
• Vi betragter her synkrotroner
• En synkrotron vil have en (el. flere) RF-kaviteter
til acceleration
• RF: RadioFrekvens (3 Hz – 300 GHz)
• Spændingen i en RF-kavitet vil oftest svinge
sinusformet
– VRF=V0,RF·sin(ωRFt), hvor ωRF= 2πfRF
Hvorfor vekselfelter?
• Maxwell:
• Dvs. med statiske (eller langsomt
varierende) felter er integralet nul rundt
langs en ring.
• Vekselfelt: Feltet kan ”vende forkert”,
mens partiklerne er andetsteds.
Longitudinal dynamik: Nogle definitioner
• Omløbsfrekvens: f=βc/2πR=βc/C
• RF frekvensen skal være et helt multiplum af
omløbsfrekvensen: fRF=h·f
• h er den harmoniske
• Spænding per omgang: V
– V er den samlede spænding en partikel ser
• Kunne godt hidrøre fra flere kaviteter
– V=V0·sin(φ)
• hvor φ er fasen af partiklen i forhold til RF’en
• (under forudsætning af at RF’en svinger sinusformet)
• Synkron partikel: Modtager lige præcis den rigtige
energitilvækst hver omgang
– Vs=V0·sin(φs)
Bundter og ‘Buckets’ 1
• Den synkrone partikel ser altid
den rigtige (passende)
spænding
• Andre partikler vil ikke altid se
den passende spænding, men
vil i faserummet (φ, ΔE)
oscillere i energi og tid (fase),
omkring den synkrone partikel
Bundter og ‘Buckets’ 2
• Partiklerne vil samle sig i
bundter (’bunches’) omkring
den synkrone partikel
• I et lineært område omkring
den synkrone partikel, vil
bevægelsen være som en
harmonisk oscillator
• Længere væk vil
bevægelsen blive ulineær
• Det stabile område omkring
et givet synkront punkt
hedder på engelsk en RF’bucket’ (en RF-’spand’)
• Hvis φ>π-φs, så er partiklen
ikke låst til en given ‘bucket’
Bundter og ‘Buckets’ 3
• Hvis φ>π-φs, så er partiklen ikke låst til en given ‘bucket’
Stationære buckets / addiabatisk indfangning
• Hvis partiklerne ikke skal accelereres eller ikke taber
energi er φs =0 (Vs=0)
• RF-’spanden’ vil da fylde hele faserummet
• Under f.eks. injektion kan
man langsomt skrue op for
spændingen
• Herved kan man opnå en
bedre indfangning af f.eks.
en kontinuert stråle
Dispersion: Gravitationel analogi
• Hvorfor falder partiklerne ikke nedenud af maskinen pga.
tyngdekraften?
– Beamet kommer til at ligge lidt under aksen, og får en større
afbøjning opad i F-qpolerne
– Afbøjning: Δz ′ = Δ(lBq ) = klz , hvor Bρρ er stivheden
Bρ ρ
Dispersion
•
•
En partikel med lav impuls afbøjes mere i
en magnet
Der vil blive dannet en ny lukket bane, som
er forskudt. Forskydningen er givet ud fra
dispersionsfunktionen D(s) (enhed meter)
Δx = D( s ) ⋅
Δp
p
D~1-10 m, Δp/p~10-4-10-3
Δx~1 mm
Beam størrelser
• Beamets størrelse vil vertikalt være givet udelukkende
ved emitansen. Horisontalt vil der derimod også være et
bidrag fra impulsspredningen
Udregning af Dispersionen 1
• Man kan vise at
Qβ ( s )½ ϕ ( s ) + 2π
f ( χ ) cos(Q(π + ϕ ( s ) − χ )) dχ
D( s) =
∫
ϕ
(
s
)
2 sin(πQ)
hvor
Q 2 β (ϕ ) 2
,
f (ϕ ) =
ρ (ϕ )
3
og
ϕ (s) = ∫
s
0
ds
Qβ ( s )
Udregning af Dispersionen 2
• Alternativt kan man indføre Δp/p som 3. element i matrix
beskrivelsen
• Dispersionsfunktionen er da givet ved
• De nye matrix elementer kan udregnes som tidligere og
findes i alle latticeprogrammer
Dispersionen for ‘jeres’ test ring
Dispersionen for ASTRID
Fasestabilitet, igen
• En mere energirig partikel vil bevæge sig på en større
bane
• For hastigheder nær lysets vil farten ikke øges, men
banelængden vil være større. En mere energirig partikel
vil derfor have en større omløbstid. Hældningen omkring
det synkrone punkt må derfor være modsat.
Transitionsenergien
• Slip-faktoren η angiver forholdet mellem relativ
omløbsfrekvens og relativ impuls ændring
η=
Δf
f
Δp
p
1
1
1
p df dβ df dR
p dβ p dR 1 D
(
)
=
+
=
−
= 2−
= 2 − 2 = 2 −α
f dβ dp dR dp
R0 γ
β dp R dp γ
γt γ
• γt kaldes transitionsenergien og er den energi hvor
omløbsfrekvensen ikke ændrer sig med energi
(eller impuls)
• α kaldes ’momentum compaction’ og er en lattice
parameter. Kan også skrives som
ΔC
α=
C
Δp
p
, hvor C=2πR er maskinens
omkreds
α udregnes af latticeprogrammerne
Synkrotron bevægelse
• Vi så tidligere at en partikel for små
udsving omkring φs (lineær genskabende kraft) udfører en
ellipsebevægelse i faserummet
• Vi har altså en harmonisk oscillator
• Denne vil have en frekvens fs, kaldet
synkrotron frekvensen
• Bevægelsen vil være beskrevet ved
^
ΔE = ΔE sin( 2πf s t )
φ = φˆ cos(2πf t )
s
Synkrotron bevægelse 2
• Ændringen af fasen er givet ud fra afvigelsen af
omløbsfrekvensen
φ& = −2πh[ f (ΔE ) − f (0)] = −2πhΔf
og
Δf = η f
ηf
Δp
=
ΔE ,
2
p E0 β γ
• Differentieres mht. til tiden fås nu
Δp
ΔE
=
idet
p
2
E0 β γ
( opg. EW 5.4 )
Synkrotron bevægelse 3
• Energitilvæksten ΔE& er givet ved
• Vi kan nu samle
som er den fundamentale longitudinale bevægelsesligning
• Sættes φs=0 fås for små φ
Synkrotron bevægelse 4
•
• er bevægelsesligningen for en harmonisk oscillator, hvis
frekvens (synkrotron frekvensen) er
•
Man kan også udtrykke det ved RF frekvensen fRF=hf
•
Ovenstående er under antagelse af at alle parametre (V0, β, γ, η, f)
ændre sig langsomt i forhold til fs. I praksis er det ikke et problem.
Synkrotron tune
• På samme måde som vi definerede betatron tune (Qværdien) har vi også synkrotron tune’n
• Typisk temmelig lille (op til 1-10%)
• Astrid Elektroner: Qs=0.3%
Synkrotron bevægelse 5
• En mere udførlig regning med φs<>0 giver at
η heV0 cos(φs )
fs =
f
2
2πE0 β γ
• Ligeledes kan man vise at den maksimale
energiafvigelse (Bucket-højden) er givet ved
ΔEmax
2 β 2 eV0 E0γ
[cos φs + (φs − π2 ) sin φs ]
=
πh η
Opsummering
• Fasestabilitet
• Dispersion: Δx = D( s) ⋅ Δp
p
• Transitionsenergi: η =
Δf
f
Δp
=
p
1
γ
2
−
1
γ
2
t
=
1
γ
2
−α
η heV0 cos(φs )
f
• Synkrotron frekvens: f s =
2
2πE0 β γ
• Synkrone fase:
sin(φs ) =
Vs
V0
Vs: spændingen den synkrone partikel skal have (middelspændingen for beamet)
Kaviteter
• Genopfriskning (hurtig gennemgang)
–
–
–
–
•
•
•
•
•
•
•
Elektromagnetiske bølger
Skindybde
Bølgeledere
Gruppe og fase hastighed
Den cylindriske kavitet (Pill-box)
Q-faktor
Shunt-impedance
Transittid
Indkobling
LCR ækvivalent kredsløb
RF power generering
Elektromagnetiske bølger
•
• I vakuum:
• I et medie:
• Poyting vector (local power flux):
Elektriske og magnetisk felter ved en overflade
• To regler skal være opfyldt langs overfladen af en
(perfekt) leder:
– E║=0
• Dvs E skal være vinkelret på overfladen
– H┴=0
• Dvs H skal være parallel med overfladen
Skindybde
• Skindybden er den afstand (1/e) som et
elektromagnetisk felt kan trænge ind i en leder
• Overflade modstand
Bemærk fejl i bogen: Midt på side 140 skal det være konduktiviteten σ og ikke ρ.
Bølgeleder 1
• To EM bølger
Nederste er en refleksion af
den øverste
• Summen af de to EM
bølger
• Fase hastigheden:
vp=v/sin(θ)
Bølgeledere 2
• Man kan vise at bølgelængden inde i bølgelederen λg er
givet ved
• hvor λc er den kritiske bølgelængde for bølgelederen.
λc er givet ud fra dimensionerne af bølgelederen
• Betingelse: λ<λc (eller f>fc)
Gruppehastighed / dispersion
• bølgetallet: k=2π/λ
• Gruppehastigheden: vg=dω/dk
– Er den største hastighed hvormed man kan overføre information
– Altid mindre end c (lysets hastighed)
• Fasehastigheden: vph=ω/k=f⋅λ
• Man kan vise at vg⋅vph=c2
Generel kavitet
• Maxwells ligninger:
• Løsningen kan opdeles i rumlig og tidslig:
• Rumlig del giver et antal modes:
• Tidslig ligning:
• Løsning:
• Resonans frekvenser:
• Henfaldstid (fyldningstiden):
Cylindrisk kavitet (Pill-box)
• For en cylindrisk kavitet har
vi
• Hvilket for l=1 og m=0 giver
X8 Hzm
Er=0,
J0(P0l) =0 (P01=2.405)
Q-faktoren for en kavitet
• Kvalitetsfaktoren Q for en kavitet er defineret som
• hvor
– Ws: Energien lagret i det elektromagnetisk felt
– Wd: Energien afsat per periode delt med 2π
– Pd: Afsat effekt
• Man kan vise (opg. EW 10.5) at
2
V
V
Q = K = 2K
δ S
Vs
– V: Kavitetens volumen
– S: Overflade arealet
– δ: Skindybden,
Vs=Sδ: Skin volumen
Shunt modstanden
• V er den spændingsforskel partiklen ser
• Man kan nu definere shunt modstanden som
– hvor Pd er den afsatte (middel) effekt, som må være lig den
effekt vi skal tilføre kaviteten for at opretholde et konstant felt
– V er den maximale spænding, hvilket giver faktoren 2
– Rs ~ 1-10 MΩ
Transit-tids faktoren
• En partikel vil tage tid om at passere kavitetens gab
– Der vil derfor være en reduktion i den maximale spænding
• Med
• fås transit-tids faktoren
• som angiver reduktionen i spænding
– En stor G eller en lille β giver en lille Γ
• For at holde Γ stor laver man ofte
’nose-cones’
Kobling
• Feltet kan kobles ind i kaviteten via en antenne hvis
magnetfelt vekselvirker (eksitere) det magnetiske felt i
kaviteten
• Bemærk ”næserne”
Astrid kaviteten
Multicelle kaviteter
• For at opnå flere (længere) RF kaviteter, bygger man
ofte flere sammen. Dette kan gøres på mange måder.
– Eksempel:
– Iris-loaded struktur: Blænderne
sikre at fasehastigheden holdes
under c (i.e. lig partiklernes)
– Kan også opfattes som et antal
Pill-box’e der kobler svagt med
hinanden
Forskellige modes
Kaviteter til ioner (ferrit fyldte kaviteter)
• Ioner er ofte langsomme. Når de accelereres ændres
frekvensen derfor meget (faktorer, måske endda x10)
• Man fylder derfor kaviteten med ferrit
– Høj permeabilitet
– Kan ændre permeabiliteten med et statisk B-felt (op til en faktor
100)
– ferritten øger dog tabet og sænker dermed Q’et
LCR ækvivalent kredsløb
• Ig: RF generatoren
• Ib: Beam induceret
– Ser vi bort fra her
LCR ækvivalent kredsløb 2
• University Physics:
– Indføres nu ω0 = 1
– får vi
Z (ω ) =
– Med
Q=
– fås
Z (ω ) =
LC
R
og Z 0 =
1
L
= ω0 L =
C
ω0C
R 2 (ω 2 − ω02 ) 2
1+ 2
ω04
Z0
R
og Δω = ω − ω0 samt Δω << ω0
Z0
R
1+ Q
2
4(Δω ) 2
ω02
LCR ækvivalent kredsløb 3
• Energien lagret i en kondensator:
1
q 2 (VC ) 2
V2
=
=
, idet C =
Ws =
Z 0ω0
2C
2C
2 Z 0ω0
• Q var i en kavitet forholdet mellem lagret og afsat energi
V2
W
2Z ω
R
Q = ω s = ω 02 0 =
V
Pd
Z0
2R
stemmer
• Ved hvilken frekvens er energien halveret?
( Z ((Δω ) 3dB )) 2 =
⇓
Q=
1 2
R
2
ω0
2(Δω ) 3dB
Svingningstiden (dæmpningstiden/fyldningstiden)
•
•
•
•
Slukker vi generatoren svinger kredsen jo stadig
Pga. modstanden vil svingningen langsomt dø ud
En ren RC kreds vil aflades med τ=RC
Pga. svingningerne (ml. L og C) fås dog
τ = 2RC = 2QZ0C = 2Q
L
2Q Q
C = 2Q LC =
=
ω0 πf 0
C
X
RF power generering
•
Transistor baseret (solid state)
–
–
–
–
•
Dækker stort set alle frekvenser (DC- 3 GHz)
Ofte bredbåndet
Fra få Watt til 20-50 kW (DC)
DC eller pulseret
Rør baseret (tetrode el. triode)
– Op til nogle få 100 MHz (typisk f.eks. til FM udsendelse (radio))
– Smal- eller bredbåndet
– Up til i hvert fald 100 kW DC
•
Klystron
– ~300 MHz til ~10GHz
– Meget smalbåndet
– Meget power (op til 1 MW DC, og 50 MW pulseret)
•
IOT
–
–
–
–
300-500 MHz (UHF (TV) udsendelse)
Meget smalbåndet
Hel del power (50 kW DC)
”Moderne” Klystron i den lavere ende af klystronens frekvensområde
Klystron
Styring / kontrol
• Man er selvfølgelig nødt til at
have elektronik der sikre
– konstant amplitude
– konstant på resonans
• Low-Level RF