1. No category

1
Lineær beamoptik 1
Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3)
•Koordinatsystem
•Indledning / overblik
•Rækkeudvikling af feltet
•Bevægelsesligningen
•Løsning af bevægelsesligningen
•Transfermatricer og partikelbaner
•Dispersion
•Momentum Compaction factor
2
Koordinatsystem
Vi vil benytte et koordinatsystem der
følger en ideel partikel, altså en
partikel der bevæger sig på
idealbanen.
Vi antager, at partiklen
hovedsagelig bevæger sig i
s-retningen, så dens
hastighed kan skrives
v=(0,0,vs), og at B-feltet kun
har komponenter vinkelret
på s, dvs B=(Bx,Bz,0).
1
3
Indledning/overblik
Ved design af en accelerator planlægger man hvordan den ideelle bane af
partiklerne skal være.
Denne bane kaldes idealbanen (the orbit i bogen).
Idealbanen er sammensat af både lige og krumme strækninger. Partiklerne
bliver holdt fast på idealbanen af dipolmagneter hvor banen ikke er en ret linie.
Denne bane vil kun følges af en ideel (teoretisk) partikel, i.e. en partikel med
nominel impuls (∆p=0) og ideelle startbetingelser (x,x’,z,z’)=(0,0,0,0).
I virkeligheden har partikler små afvigelser i position, vinkel og impuls. Desuden
er de magnetiske elementer ikke perfekte.
Derfor må man have fokuserende elementer der styrer partiklerne ind mod
idealbanen, og dermed bevirker at de oscillerer om denne.
Lineær beamoptik handler om at beskrive partiklernes bane i en sådan maskine
4
Bevægelse af en ladet partikel i et B-felt
Bevægelse i et B-felt: BR=p/e. (Magnetisk stivhed (Rigidity))
Denne ligning fandt vi sidste gang ved at sætte
Lorentzkraften evB lig centrifugalkraften pv/R
I horisontalt plan:
Rækkeudvikling af Bz i omegnen af Bz0 giver
1
Med dette udtryk for Bz(x) kan vi nu finde
R ( x, z , s )
partikel med en afvigelse i x-retningen.
for en
2
5
Feltet som sum af multipoler
Da
har vi altså
Bevægelsen kan altså opdeles i en sum af bidrag fra
multipoler, der hver især har en effekt på beamet.
Betragter vi kun de to første led taler vi om lineær beamoptik.
Multipoler
6
Enheder: 1/R: m-1, k: m-2, m: m-3, o: m-4 .....
‘Rigtige’ felter, gradienter etc. fås ved at gange med stivheden, BR
3
7
Fokusering i feltet fra en kvadrupol
Denne kvadrupol er fokuserende i det horisontale, og
defokuserende i det vertikale plan.
Feltet øges lineært med afstanden fra centrum.
8
Fokusering med kvadrupoler
Horisontalt
Vertikalt
Man benytter ofte flere q-poler
efter hinanden. Herved fås
fokusering i begge planer, da den fokuserende q-pol
gennemløbes i størst afstand fra den optiske akse.
4
9
Sekstupol
Sekstupoler benyttes til
korrektion af fokuseringsfejl
i kvadrupoler på grund af
impulsafvigelser, den
såkaldte kromaticitet.
Den vender vi tilbage til
senere.
10
Bevægelsesligningen (1)
Vi beskriver bevægelsen af en partikel i et koordinatsystem der følger idealbanen.
Vort mål er at finde en differentialligning hvis
løsning giver x(s) og z(s) når vi kender Bx(s),
Bz(s) samt x,x’,z og z’ i ét punkt, altså for én
værdi af s.
Det kræver dog en lille omvej. Vi starter:
I områder med B-felt må koordinatsystemet
roteres.
Rotation med en vinkel ϕ fører vektorene x0A
og s0A over i vektorene x0 og s0.
Transformationen kan skrives:
Vi differentierer mht ϕ, og ser let at:
og
5
11
Bevægelsesligningen (2)
Nu kommer tiden ind i billedet. Vi kender de vinkelafledede af s og x, så den
tidafledede af disse vektorer kan findes hvis vi kender vinkelens tidsafledede.
Denne findes dog let, idet:
og dermed
Vi har altså nu (i xs planet):
Dette var et vigtigt skridt, idet partiklens positionsvektor jo kan skrives:
Vi kan nu finde første og anden tidsafledede af r (3.12). Disse indgår også i
udtrykket for Lorentzkraften (via F og p), så nu får vi B-feltet med i ligningerne.
12
Bevægelsesligningen (3)
Vi kan nu altså finde udtryk for og . (ligning 3.12)
Men samtidig har vi jo Lorentzkraften som, hvis vi udnytter at
, samt at Bs er 0, giver os flg udtryk
og
Vi kan nu sætte de to udtryk for lig hinanden, og
forenkle det ved kun at betragte x og z
koordinaterne, idet feltets virkning på s-hastigheden
kan negligeres. Endelig bruger vi, at p=mv.
Ved hjælp af tegningen til højre ses, at
6
13
Bevægelsesligningen (4)
Efter lidt regnerier med ovenstående tilnærmelser finder man
Så skal vi se på impulsen: Vi antager, at partiklens impuls kun afviger lidt fra den
ideelle partikels impuls, dvs p = p0 + ∆p.
Vi har da, at
1
1
1
1
=
=
⋅
p p0 + ∆p p0 1 + ∆p
≈
p0
Fra rækkeudviklingen af feltet har vi at
1
p0
 ∆p 

⋅ 1 −
p0 

og
Da både x, z, og ∆p/p er små, ser vi bort fra alle produkter af dem.
Så ender vi med:
Endelig har vi den søgte
bevægelsesligning.
Den kaldes også Hill’s ligning,
og er den centrale ligning i
lineær beamoptik
14
Løsninger til Hill’s ligning: Forudsætninger
Vi betragter kun horisontal bevægelse, da horisontal og vertikal bevægelse er
uafhængige af hinanden (i lineær beamoptik).
Vi benytter den tilnærmelse, at felter (udtrykt ved 1/R og k) er konstante
gennem et magnetisk element, og falder brat til nul ved enderne (hard-edge
model).
Vi antager foreløbig, at der ikke er nogen impulsspredning (∆p = 0).
Vi vil kun betragte separate multipoler (ingen combined function magneter).
Vi vælger den konvention for kvadrupoler, at k<0 i en horisontalt fokuserende
kvadrupol, og k>0 i en defokuserende.
Vi vil starte med at finde udtryk for bevægelsen i ét element af gangen.
7
15
Løsninger til Hill’s ligning: Kvadrupoler 1
Da der ikke er noget dipolfelt er R uendelig, og altså 1/R=0, Hill’s ligning er så:
x’’(s) – kx(s) = 0
Vi starter med en horisontalt defokuserende kvadrupol, og har altså k>0.
Ligningen kan løses analytisk. Den generelle løsning er:
Konstanterne A og B er bestemt af startbetingelserne, dvs af x0 og x’0 , altså hhv.
position og vinkel med s ved indgangen til magneten.
Da sinh(0)=0 og cosh(0)=1 fås ved at sætte s=0 at A = x0 og B =
x0 ´
k
Vi har altså følgende ligning for banens forløb i en defokuserende kvadrupol:
16
Hyperbolske funktioner
8
17
Løsninger til Hill’s ligning: Kvadrupoler 2
Det er praktisk at skrive løsningen i matrixnotation:
hvor
Som det ses af forløbet af
sinh og cosh funktionenerne
stemmer løsningen meget
godt overens med vore
forventninger til banen i et
defokuserende element.
En partikelbane vil altid blive
bøjet væk fra aksen.
18
Løsninger til Hill’s ligning: Kvadrupoler 3
Ganske tilsvarende finder vi for en fokuserende kvadrupol (k<0):
med
Her er bevægelsen
oscillerende om den
ideelle bane, svarende til
bevægelsen af en kugle
der triller i en tagrende:
9
19
Kvadrupoler: Fokallængde (ikke nævnt i lærebogen)
Sammenlign med en samlelinse: Hvis lys rammer linsen i afstanden x fra den
optiske akse, er vinkelændringen θ = x/f , hvor f er linsens fokallængde.
For en fokuserende kvadrupol med længde s får vi, med x0 =1, x0’=0 at

 x(s)   cos( k s)

 = 
 x′(s)  
 − k sin( k s)

sin( k s)   1   cos( k s) 

k
   = 
  0  − k sin( k s) 
cos( k s) 
1
Dvs, at vinkelændringens størrelse er −
k sin( k s )
Da sin(x)~x for små værdier af x, bliver vinkelændringen -|k|s for lille værdi af s,
dvs en ‘tynd’ kvadrupol.
Sammenlign nu med ligningen for fokallængde i en optisk linse med x=1 :
Vi har da: 1/f = -ks, og altså at fokallængden er f=-1/ks.
Produktet ks kaldes også den integrerede gradient.
Vi så før, at to kvadrupolmagneter med modsat fortegn af k vil fokusere i begge
planer. Det gælder dog kun, hvis deres indbyrdes afstand er mindre end f.
20
Løsninger til Hill’s ligning: Dipol
Hill’s ligning:
Løsningen ligner den for k<0, altså
En dipol fokuserer altså i det horisontale plan.
Det er dog en svag fokusering. I en
typisk kvadrupol er k~5 m-2, mens
R i en dipol sjældent er under et
par meter, svarende til k<0.25m-2.
De første synkrotroner der blev
bygget havde kun svag fokusering,
og dermed et meget stort beam.
10
21
Løsninger til Hill’s ligning: Driftstrækning
For en strækning uden B-felter bliver matricen
Bemærk, at for alle de løsninger vi har fundet gælder, at det(M)=1.
Når en afbildning har en determinant på 1, betyder det at skalaforholdet er 1,
dvs at arealer er bevaret. Det kommer vi til at høre mere om.
22
Dipol: kantfokusering
I en sektormagnet er polenderne vinkelret på
orbit.
I en rektangulær magnet er polenderne parallelle,
dvs der er en vinkel Ψ mellem orbit og polkanten.
Dette giver en horisontal defokusering af beamet.
Afbøjningen i vinkel som funktion af x0 bliver
∆α = x0
tan(Ψ )
R
Vertikalt:
Af figuren til venstre ses, at der sker en vertikal
fokusering i randfeltet på en rektangulær dipol.
Man kan vise, at afbøjningen i vinkel som
funktion af z0 bliver
tan(Ψ )
∆α = − z0
R
Kantfokusering fungerer altså præcis som en defokuserende kvadrupol.
Mere om det senere i denne forelæsning
11
23
Matrixformulering: 4-vektor format
Vi kan behandle ´både x,x’,z og z’ på een gang ved at introducere
Herunder er et par eksempler på 4x4 transfermatricer:
(Bemærk: ingen xz kobling: masser af nuller!)
24
Én transfermatrix for hele acceleratoren.
Nu da vi kan beskrive beamet ved ind- og udgang af et element kan vi finde én
matrix der beskriver hele systemet ved at gange matricerne for de enkelte
elementer sammen. Et eksempel:
12
25
Eksempel: Rektangulær magnet:
Hvis magnetens længde er l og radius af orbit i magneten er R, bliver de to
kantvinkler
Antag at l<<R. Da har vi
Med
får vi nu
Med l2/2R2 ~ 0 får vi
Sammenlign nu dette med udtrykket for
en sektormagnet (midterste matrix i
udtrykket ovenfor).
Bemærk: Den horisontale fokusering er
blevet vertikal.
26
Impulsafvigelse: Dispersion (1)
Jvf. Hill’s ligning har
impulsafvigelse (∆p<>0) kun
betydning hvis 1/R<>0, dvs at
partiklen bevæger sig i et
dipolfelt.
I et dipolfelt får vi så den inhomogene differentialligning
Vi ønsker nu at finde partikelbanen, x(s), der hører til en givet impulsafvigelse.
Det er praktisk at finde denne bane for en bestemt afvigelse, ∆p/p=1.
Denne bane vil vi kalde D(s). Den er altså løsning til
Kender vi nemlig D(s), kan vi let finde baneafvigelsen for en vilkårlig
impulsafvigelse ved at gange med impulsafvigelsen, altså xD(s)=D(s)*∆p/p
13
27
Impulsafvigelse: Dispersion (2)
Vi gentager ligningen for D:
Dette er en inhomogen differentialligning.
Standardmetode til løsning: Find løsning til den homogene ligning (højreside
0), find én løsning til den inhomogene ligning og addér de to.
Vi fandt tidligere den generelle løsning til den homogene ligning da vi så på
løsning af Hill’s ligning for en dipol.
Da nu konstanten Dp=R er løsning til den inhomogene ligning har vi altså den
generelle løsning:
28
Impulsafvigelse: Dispersion (3)
Konstanterne A og B bestemmes af startbetingelserne D(0)=D0 og D’(0)=D’0.
og
De bliver
Så har vi udtrykket for dispersionsfunktionen:
Eller på matrixform i H-planen (3x3 matrix p.g. af konstantleddet) :
En partikel med impulsafvigelse har altså positionen
Hvor x(s) er banen uden impulsafvigelse
14
29
Flere matricer (1)
Da partikler med afvigende impuls altså følger en dispersiv bane må vi udvide
vores tidligere 2x2 matrice i det horisontale plan.
Fokusering afhænger også af partiklens impulsafvigelse (kromaticitet), men det
vil vi foreløbig se bort fra. Vi vender senere tilbage til det.
I det horisontale plan kan vi altså finde partikelbanen ved hjælp af:
For kvadrupoler, driftstrækninger og kantfokusering bliver M
Her er de 4 elementer øverst til venstre de 2x2 matrixelementer vi allerede
har fundet. Nullerne angiver, at impulsafvigelse ikke ændrer noget. I dipoler
ser det dog anderledes ud som vi så på forrige slide.
30
Flere matricer (2)
For en dipol fandt vi 3x3 matricen i horisontalt plan:
Vi kan nu udvide matrixformalismen til begge planer.
Transformationen bliver da:
15
31
Flere matricer (3)
Igen har vi, at for alle elementer undtagen dipoler har vi 5x5 matricer der er
sammensat af de velkendte 2x2 matrixelementer:
For en dipol finder vi derimod (jvf. 3.103)
De to led i kolonne 5 øverst viser effekten af dispersionen på den horisontale
bevægelse. I vertikalt plan er dipolen en driftstrækning.
Nu har vi altså værktøjet til at finde partikelbaner i en vilkårlig struktur inklusiv
indflydelse af impulsafvigelse.
32
Momentum Compaction Factor (1)
Vi har set, hvordan en partikel med impulsafvigelse følger en dispersiv bane
der afviger fra den bane partikler uden impulsafvigelse følger.
I en cirkulær maskine fører det til, at banelængden L og dermed omløbstiden
bliver en smule anderledes.
Omløbstiden er vigtig for fasefokusering (kommer senere), og vi er derfor
interesserede i at kende denne forøgelse af banelængde.
Vi definerer derfor en momentum compaction factor, α:
Det at en bane er dispersiv gør kun en
forskel i dipoler.
Her vil banelængde afvige med
∆p>0
16
33
Momentum Compaction Factor (2)
Vi kan finde banelængden ved at integrere
hele ringen rundt:
Da det første integral jo er den ikke-dispersive banelængde, har vi altså at
forøgelsen på grund af dispersion bliver:
Da momentum compaction factor er defineret som
har vi:
17