1. No category

16
14
12
10
10
8
6
x5
4
2
0
2
4
6
t
8
10
12
Matematik og databehandling 2012
Løsningsark A1 til hjemmeopgaver i matematik
(afleveringsdato 5/9)
Opgave A.2
(a) Med tre decimaler fås skemaet
Dyr
Kropsvægt, K
Skeletvægt, S
S
K
Spidsmus
0.008
0.0003
Kat
5
0.35
Menneske
60
5
Hest
600
60
Elefant
7000
900
0.038
0.070
0.083
0.100
0.129
S
Det ses, at forholdet K
vokser, når kropsvægten vokser. Jo større dyret er, jo større er dets
relative skeletvægt altså.
(b) Med tre decimaler fås skemaet
Dyr
Kropsvægt, K
Skeletvægt, S
S
K 1.09
Spidsmus
0.008
0.0003
Kat
5
0.35
Menneske
60
5
Hest
600
60
Elefant
7000
900
0.058
0.061
0.058
0.056
0.058
S
er nogenlunde konstant, hvilket betyder, at S med god tilnærmelse
Det ses, at forholdet K 1.09
er proportional med K 1.09 .
(c) Vi får
0.058 + 0.061 + 0.058 + 0.056 + 0.058
= 0.058
5
og dermed med god tilnærmelse S = 0.058 K 1.09 . For spidsmus fås derfor den forventede
skeletvægt
S = 0.058 · 0.0081.09 = 0.0003.
b=
På samme vis fås de andre forventede værdier af S (angivet i skemaet).
Dyr
Kropsvægt, K
Skeletvægt, S
Skeletvægt, S (forventet)
Spidsmus
0.008
0.0003
0.0003
Kat
5
0.35
0.34
Menneske
60
5
5
Hest
600
60
62
Elefant
7000
900
902
Det ses, at der er meget god overensstemmelse mellem de målte og forventede værdier af S.
1
Løsningsark A1
Matematik og databehandling 2012
(d) Vi har S = 0.058 K 1.09 . Hvis et dyr er dobbelt så tungt som et andet, så vil vi ifølge
Sætning A.1.9 forvente, at dets skelet er 21.09 = 2.13 gange tungere.
(e) For Baluchiterium fås en skeletvægt på
S = 0.058 · 300001.09 = 4400 kg,
dvs. 4.4 tons. Dette svarer til
4.4
30
= 0.15, dvs. 15% af dens vægt.
(f) Med S = 10 kg fås
10 = 0.058 K 1.09
K 1.09 =
⇔
10
= 172
0.058
⇔
K = 1721/1.09 = 113 kg.
Opgave A.4
(a) Ved at tage logaritmen på begge sider af ligningen fås
Ea
Ea
= ln A + ln exp −
ln k = ln A exp −
RT
RT
= ln A −
Ea
Ea 1
1
=−
· + ln A = a · + b,
RT
R T
T
med
a=−
Ea
R
og
b = ln A.
(b) Her er to forskellige metoder (I og II) til at bestemme Ea . Den første benytter svaret til (a)
og er den “smarteste” metode, mens den anden metode er mere direkte.
(I) Ifølge (a) er Ea = −Ra, så vi ønsker først at bestemme a. Dette gøres ved at indsætte
de to målepunkter i ligningen ln k = a · T1 + b. Vi finder
ln 5 · 10−6 =
a
a
+b=
+b
273 + 15
288
og
ln 6 · 10−4 =
a
a
+b=
+ b.
273 + 60
333
Trækker vi anden ligning fra første, så får vi
−6
ln 5 · 10
−4
− ln 6 · 10
=a
1
1
−
288 333
,
dvs. (ved at bruge logaritmeregnereglerne)
ln 5 · 10−6 − ln 6 · 10−4
ln 5 − ln 6 − 2 ln 10
=
= −10203.
a=
1
1
1
1
288 − 333
288 − 333
Dermed er
Ea = −Ra = 8.31 · 10203 = 84787.
2
Løsningsark A1
Matematik og databehandling 2012
(II) Ved at indsætte de to målepunkter i ligningen
Ea
k = A exp −
RT
fås
−6
5 · 10
Ea
= A exp −
R(273 + 15)
Ea
= A exp −
288 R
Ea
= A exp −
.
333 R
og
6 · 10−4 = A exp −
Ea
R(273 + 60)
Ved at dividere den anden ligning med den første, får vi
Ea
A exp − 333
6 · 10−4
R
.
=
Ea
5 · 10−6
A exp − 288
R
Da
ex
ey
= ex−y fås heraf, at
Ea
Ea
Ea
Ea
− −
−
= exp
120 = exp −
333 R
288 R
288 R
333 R
Ea
1
1
= exp
−
.
R 288
333
Ved at tage logaritmen på begge sider fås så
1
1
Ea
−
ln 120 =
R 288
333
og dermed
Ea =
Opgave A.7
ln 120 · R
ln 120 · 8.31
= 86787.
1
1
1 =
1
288 − 333
288 − 333
Se evt. Afsnit A.3 og A.4 for regneregler for differentiation og integration.
(a) Differentiation af produktet f (x) = e−x · sin x giver
f ′ (x) = −e−x · sin x + e−x · cos x.
(b) Differentiation af den sammensatte funktion f (x) = ln(x2 + 1) giver
f ′ (x) =
x2
2x
1
· 2x = 2
.
+1
x +1
e2x
x5 giver
2e2x · x5 − e2x · 5x4
e2x
(c) Differentiation af kvotienten f (x) =
f ′ (x) =
x10
=
· x4 (2x − 5)
e2x (2x − 5)
=
.
x10
x6
(d) Vi har
Z
0
(e) Vi har
Z
0
1
2
2
e−5x dx = − 51 e−5x 0 = − 15 e−5·2 − − 15 e0 =
1
5
1 − e−10 .
1
(L + 2Ix + 3F x2 + 7Ex6 ) dx = (Lx + Ix2 + F x3 + Ex7 ) 0 = L + I + F + E.
3