1. No category

university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
Logistisk regression mm.
Faculty of Health Sciences
I
Basal Statistik
Modeller for binært outcome
I
I
Logistisk regression mm.
I
I
I
27. oktober 2015
1 / 88
I
Ordinal regression
I
(Poisson regression)
2 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Typer af outcome
Kvantitative data
Den generelle lineære model
I
Binære data 0/1-data
Logistisk regression
I
Tælletal
Poisson regression
I
Ordinale data Proportional odds regression, Ordinal regression
I
Censurerede data (overlevelsesdata)
Cox regression
3 / 88
Repetition vedrørende tabeller
Logistisk regression
Modelkontrol
Overspredning
Alternative links
og hvis vi når det...:
Lene Theil Skovgaard
I
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Eksempel fra tidligere: Farveblindhed og køn
Piger
Drenge
Total
Farveblindhed?
nej
ja
119
1
144
6
263
7
Total
120
150
270
Outcome Y: Farveblindhed
dikotom, 0/1, nej/ja
Kovariat: Køn:
dikotom, 0/1, pige/dreng
Er farveblindhed lige hyppigt blandt drenge og piger?, dvs.
Er farveblindhed uafhængig af køn?
pd Sandsynlighed for farveblindhed blandt drenge
pp Sandsynlighed for farveblindhed blandt piger
Hypotese: pd = pp
4 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Mål for kønseffekt på farveblindhed
Hypotese: pd = pp (RR=OR=1)
testes med
Differens: pd − pp
Risk Ratio: RR =
Odds Ratio: OR =
pd
pp
pd /(1 − pd )
pp /(1 − pp )
5 / 88
I
Chi-i-anden test (χ2 -test),
med mindre tabellerne er ret tynde, dvs.
hvis der er forventede værdier under 5...
Så bruges i stedet
I
Fishers eksakte test
(kan altid anvendes)
som altså er test for uafhængighed,
mellem kovariat (køn) og outcome (farveblindhed)
6 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Test af hypotesen om uafhængighed
proc freq data=farveblind;
tables gender*farveblind /
chisq nopercent nocol expected riskdiff relrisk;
weight antal;
run;
farveblind
Frequency|
Expected |
Row Pct |ja
|nej
|
---------+--------+--------+
dreng
|
6 |
144 |
| 3.8889 | 146.11 |
|
4.00 | 96.00 |
---------+--------+--------+
pige
|
1 |
119 |
| 3.1111 | 116.89 |
|
0.83 | 99.17 |
---------+--------+--------+
Total
7
263
7 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Test for uafhængighed
f.eks. drenge vs. piger:
gender
university of copenhagen
Total
150
120
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output, fortsat
Statistics for Table of gender by farveblind
Statistic
DF
Value
Prob
-----------------------------------------------------Chi-Square
1
2.6472
0.1037
Likelihood Ratio Chi-Square
1
3.0022
0.0832
Continuity Adj. Chi-Square
1
1.5418
0.2144
WARNING: 50% of the cells have expected counts less
than 5. Chi-Square may not be a valid test.
Fisher’s Exact Test
---------------------------------Two-sided Pr <= P
0.1364
270
8 / 88
/______________
/
\_______________
\
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output, fortsat
Output, fortsat
Differens mellem sandsynlighederne (option riskdiff):
p̂d − p̂p = 0.0317, CI = (−0.0037, 0.0670):
Odds ratio (OR=4.96) og risk ratio (RR=4.80),
Col1 er farveblind=”ja”:
Estimates of the Relative Risk (Row1/Row2)
Statistics for Table of gender by farveblind
Column 1 Risk Estimates
(Asymptotic) 95%
(Exact) 95%
Risk
ASE
Confidence Limits
Confidence Limits
------------------------------------------------------------------------Row 1
0.0400
0.0160
0.0086
0.0714
0.0148
0.0850
Row 2
0.0083
0.0083
0.0000
0.0246
0.0002
0.0456
Total
0.0259
0.0097
0.0070
0.0449
0.0105
0.0527
Difference
0.0317
0.0180
-0.0037
0.0670
Difference is (Row 1 - Row 2)
Der er altså ca. 3% flere drenge end piger, der er farveblinde.
9 / 88
Type of Study
Value
95% Confidence Limits
----------------------------------------------------------------Case-Control (Odds Ratio)
4.9583
0.5887
41.7605
Cohort (Col1 Risk)
4.8000
0.5858
39.3291
Cohort (Col2 Risk)
0.9681
0.9333
1.0041
Der er altså ca. 5 gange så mange drenge som piger, der er
farveblinde.
Bemærk, at OR≈RR, da farveblindhed er sjældent forekommende
10 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Nyt eksempel: Postoperative sårinfektioner
Problemstilling
194 patienter opereret på Frederiksberg Hospital.
Hvordan afhænger sandsynligheden for at få postoperativ
sårinfektion af alder og operationstid?
For hver patient i registreres:
I
I
I
xi1 =optid, operationens varighed i minutter
Outcome: Sårinfektion ja/nej,
et binært/dikotomt outcome (0-1 variabel)
y(i =infektion=
1 : postoperativ sårinfektion (n=23)
0 : ingen postoperativ sårinfektion (n=171)
Kovariater vælges her som:
xi2 =alder, i år
Variable
N
Mean
Std Dev
Minimum
Maximum
----------------------------------------------------------------------infektion
194
0.1185567
0.3241026
0
1.0000000
optid
194
93.9432990
63.7111510
5.0000000
390.0000000
alder
194
55.9690722
25.0143808
7.0000000
90.0000000
-----------------------------------------------------------------------
11 / 88
I
Patientens alder
(evt. som alder i 10-år, dvs. alder10=alder/10)
I
Indikator for operationsvarighed
over 2 timer:
(
1 : hvis optid>120
over2timer=
0 : ellers
Model for pi ’erne?
12 / 88
Først plejer vi at tegne...
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Figurer
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Model for pi ’erne
Plot af infektion vs. alder, med loess-smoother:
Adskillige ting dur ikke i denne situation med binært outcome og
kvantitativ kovariat (her alder):
proc sgplot data=infektion;
loess Y=infektion X=alder /
group=over2timer smooth=0.8;
run;
I
Figurer er ikke særlig kønne, fordi outcome er binært
I
Tabeller dur ikke, fordi alder har for mange værdier
– her 68 forskellige aldre
I
Den sædvanlige linearitetsantagelse (for effekten af kovariaten
alder) er ikke god for sandsynligheder,
fordi en linie ikke er begrænset, hverken nedadtil eller opadtil,
så vi kommer let udenfor området mellem 0 og 1
– og det er mildest talt ikke så rart,
når man har med sandsynligheder at gøre
Figurerne er rigtigt grimme,
når outcome kun antager 2 forskellige værdier
13 / 88
14 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Model for pi ’erne, fortsat
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Logit funktionen
Vi har brug for at transformere pi ’erne, før vi kan antage linearitet
I
Derfor bruger man en funktion g(pi ), kaldet link-funktionen,
og antager linearitet på denne skala.
ηi = g(pi ) = β0 + β1 alderi + β2 over2timeri
Den hyppigst anvendte funktion er logit-funktionen,
og analysen kaldes derfor logistisk regression:
pi
ηi = g(pi ) = logit(pi ) = log
1 − pi
15 / 88
Sandsynligheder tæt på 0 giver store negative logit-værdier,
Sandsynligheder tæt på 1 giver store positive logit-værdier
16 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Logistiske kurver – for en enkelt kovariat
p(x) = g −1 (η) =
exp(βo + β1 x)
1 + exp(βo + β1 x)
Parameterværdier:
I
I
β0 : -5, 0
β1 : 1, 2
17 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Begreber i logistisk regression
I
Binært outcome:
I
Sandsynlighed for 1-tal:
I
Odds:
I
Log-odds (logit):
I
Lineær prediktor:
I
Logistisk kurve:
Y ∈ {0, 1}
p = p{Y = 1} ∈ [0, 1]
p
∈ [0, +∞]
1−p
p
logit(p) = log
1−p
η = logit(p) = βo + β1 x1 + β2 x2
p=
exp(η)
1 + exp(η)
18 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Fortolkning af parametre - for en enkelt kovariat
Fortolkning af parametre, fortsat
Model: Yi ∼ Binomial(1, pi ), (også kaldet Bernoulli-fordelingen),
Tilbagetransformation:
hvor
pi =
exp(βo + β1 xi )
1 + exp(βo + β1 xi )
Sammenlign to personer, A og B, med alder x = a hhv. x = a + 10, altså
med en aldersforskel på 10 år:
Person B: logit(pB ) = βo + β1 × (a + 10)
Person A: logit(pA ) = βo + β1 × a
Forskel: logit(pB ) − logit(pA ) = β1 × 10
19 / 88
pB
pA
logit(pB ) − logit(pA ) = log
− log
1 − pB
1 − pA
pB /(1 − pB )
= log(OR)
= log
pA /(1 − pA )
og derfor er Odds Ratio for infektion for person B vs. person A
netop
OR=exp(β1 × 10), fordi der var 10 års forskel på de to personer.
20 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Fortolkning af parametre - for to kovariater
Nu er
pi =
exp(βo + β1 x1i + β2 x2i )
1 + exp(βo + β1 x1i + β2 x2i )
Sammenlign to personer, A og B, med alder x1 = a hhv.
x1 = a + 10, altså med en aldersforskel på 10 år,
men samme operationsvarighed(sgruppe) b:
Person B: logit(pB ) = βo + β1 × (a + 10) + β2 × b
Person A: logit(pA ) = βo + β1 × a
Forskel: logit(pB ) − logit(pA ) = β1 × 10
+ β2 × b
altså samme svar som ved en enkelt kovariat,
ganske som i almindelig regression
21 / 88
university of copenhagen
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Fortolkning af parametre, fortsat
Fortolkning af interceptet, β0
I
har (som altid) noget at gøre med en person, hvor alle
kovariater er 0
I
dvs. her en nyfødt (alder=0), der har en operationstid på
under 2 timer (over2timer=0)
Dette er irrelevant!
For at få et fortolkeligt intercept, kan vi i stedet centrere alderen
ved f.eks. 50 år, altså benytte kovariaten
alder_minus50=alder-50
eller benytte estimate-sætninger
22 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
PROC GENMOD i SAS
PROC GENMOD i SAS
Den skrabede kode til den beskrevne logistiske regression:
Udbygget kode med estimate-sætninger og konstruktion af
output-datasæt:
proc genmod descending data=infektion;
class over2timer;
model infektion = over2timer alder
/ dist = binomial link = logit ;
run ;
I
descending-option sikrer, at man modellerer sandsynligheden
for et 1-tal (ikke et 0)
I
class fungerer som i GLM
23 / 88
proc genmod descending data=infektion;
class over2timer;
model infektion = over2timer alder
/ dist = binomial link = logit ;
estimate "10 years" alder 10 / exp;
estimate "more than two hours" over2timer -1 1 / exp;
estimate "10 years and more than two hours"
over2timer -1 1 alder 10 / exp;
output out=pred lower=lower pred=phat upper=upper
reschi=reschi stdreschi=stdreschi
cooksd=cooksd dfbeta=_all_;
run ;
24 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Kommentarer til GENMOD-koden
I
I
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Noter til GENMOD-koden
I
Model-options
I
university of copenhagen
dist angiver fordelingen, her en Binomialfordeling
(med antalsparameter 1, dvs. en Bernoulli fordeling)
Denne er vigtig at have med, ellers benyttes en
Normalfordelingsantagelse.
link angiver link-funktionen g
(logit er default, så det behøver man faktisk ikke at skrive)
estimate-sætninger, med exp-option
fordi vi så, at exponentialfunktionen til parametrene fortolkes
som odds ratio’er
25 / 88
Outcome infektion er en 0/1-variabel, altså en
Binomialfordelt størrelse med n = 1.
Dette kan skrives eksplicit ved at definere en variabel
"antal=1;" og så benytte konstruktionen
model infektion/antal = over2timer alder
/ dist = binomial link = logit ;
I
Hvis der er tale om grupperede data, vil variablen antal
angive, hvor mange personer, der har et bestemt mønster af
kovariater, medens infektion så angiver, hvor mange af
disse, der fik infektion
Nu er option dist=binomial strengt taget ikke nødvendig mere...
26 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Dele af output fra logistisk regression
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output, fortsat: Estimate-sætninger
med irrelevante kolonner fjernet
nemlig de, der refererer til “Mean Estimate”
The GENMOD Procedure
Model Information
Number of Events
Number of Trials
23
194
...som er noget temmeligt ubrugeligt noget....
Class Level Information
Class
Levels
Values
over2timer
2
0 1
Contrast Estimate Results
(PROC GENMOD is modeling the probability that infektion=’1’.)
Parameter
Intercept
over2timer
over2timer
alder
Scale
DF Estimate
1 -3.4074
0 1 -1.3292
1 0
0.0000
1
0.0355
0
1.0000
Standard
Wald 95%
Wald
Error Confidence Limits Chi-Square Pr>ChiSq
1.1212 -5.6050 -1.2098
9.24 0.0024
0.4730 -2.2562 -0.4022
7.90 0.0049
0.0000
0.0000
0.0000
.
.
0.0149
0.0063
0.0647
5.66 0.0173
0.0000
1.0000
1.0000
_
_
NOTE: The scale parameter was held fixed.
Her er kun P-værdierne direkte forståelige...
27 / 88
Label
10 years
Exp(10 years)
more than two hours
Exp(more than two hours)
10 years and more than two hours
Exp(10 years and more than two hours)
28 / 88
LBeta
Estimate
LBeta
LowerCL
LBeta
UpperCL
0.3548
1.4259
1.3292
3.7781
1.6840
5.3873
0.0625
1.0645
0.4022
1.4952
0.7333
2.0820
0.6471
1.9100
2.2562
9.5466
2.6348
13.9399
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Fortolkning af output
Predikterede sandsynligheder for postoperativ sårinfektion
Fokus er på L’Beta Estimate i linien Exp(...), idet denne
angiver Odds-ratio (dvs. forholdet mellem odds) for sygdom
mellem to niveauer af en kovariat,
for fastholdt værdi af de øvrige kovariater
dvs. variablen phat fra datasættet pred (dannet s. 24), plottet
mod alder, for hver varigheds-gruppe
På sandsynligheds-skala
På logit-skala
I
For en patientpopulation, der har alderen X+10 år, vil odds
(forholdet mellem patienter der får hhv. ikke får sårinfektion)
være en faktor 1.426 større end hos en patientpopulation, der
har alderen X år (forudsat at de to populationer har lige lang
operationstid). Det svarer til, at odds er øget med 42.6%
(CI: 6.5%-91%)
I
Personer med en operationsvarighed over 2 timer har en odds
for sårinfektion, der er 3.78 gange højere end dem med en
operationsvarighed under 2 timer på samme alder
(CI: 1.50, 9.55).
29 / 88
university of copenhagen
Kurverne er (parallelle) rette linier på logit-skala
30 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Hvilket spørgsmål stiller vi?
Hvor meget øges risikoen for infektion,
når man bliver 10 ældre?
I
Det kan vi ikke svare på,
fordi vi kun har en måling for hver person.
I
Jamen vi har jo fundet en OR på 1.426,
så odds øges vel med 42.6% pr. tiår?
I
Nej, den øges nok med mere
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Et simpelt eksempel
med bare to individer, hvor vi forestiller os nedenstående
sandsynligheder (f.eks. for infektion) ved alder 30 og 40 år:
Individ
1
2
Gennemsnit
Population
30 år
0.2
0.6
0.4
0.4
40 år
0.4
0.8
0.6
0.6
Differens
0.2
0.2
0.2
0.2
log(OR)
0.981
0.981
0.981
0.811
OR
2.67
2.67
2.67
2.25
Det, vi svarer på, er nemlig en sammenligning af 2 personer (eller
rettere 2 personpopulationer), med forskellig alder
– og det er ikke det samme her...
Begge individer har OR=2.67 som effekt af 10 år, men på
“populationsniveau” (meget lille population på kun 2 individer),
har vi OR=2.25
31 / 88
32 / 88
Gennemsnittet af de individuelle OR’er (som her for nemheds skyld
er ens) er altid større end OR udregnet for populationen.
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Hvilket spørgsmål stiller vi, fortsat
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Hypotetiske forløb for individer
For For ikke-lineære modeller svarer et (fælles) individ-OR
(kaldet subject-specific) altså ikke til populationens OR
(kaldet population averaged), idet der gælder
Vi har parallelle linier på logit-skala (til venstre), men når man ser
på frekvenser af sygdom/infektion i en population, tager man
gennemsnit på 0/1-skalaen (sandsynlighedsskalaen til højre)
Populations OR < Individ-specifikt OR
eller
PA < SS
Forskellen er størst, hvis populationen er meget inhomogen, altså
hvis der er mange vigtige risikofaktorer, der ikke er medtaget i
modellen.
33 / 88
university of copenhagen
Når dette gennemsnit transformeres til logit-skalaen, vil kurven
blive fladere end linierne, altså en mindre effekt.
34 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Inklusion af ekstra kovariater
Hvis z betegner en kovariat med betydning, har vi samme problem:
I
Model med z svarer til alle de sorte linier/kurver på s. 34, og
der er en høj OR for alder.
I
Model uden z svarer til den røde linie/kurve på s. 34, og der
er en lav OR for alder.
Så hvis z er uafhængig af de øvrige kovariater (ingen confounding),
har vi situationen:
I
Jo mere betydningsfuld, z er, des større vil forskellen være.
I
Jo mere (uerkendt) inhomogen, vores population er, des lavere
vil OR være
university of copenhagen
Hvilket spørgsmål stiller vi?
Hvad så, hvis vi sammenligner to populationer med 10 års forskel
uden at kræve, at de har samme operationstid?
Så får vi formentlig noget
I
større, fordi der er confounding mellem alder og operationstid,
idet de ældre generelt har længere operationstid
I
mindre, fordi vi tager gennemsnit over nogle mere inhomogene
populationer
Man kan derfor (som sædvanlig) ikke sammenligne estimater, der
stammer fra modeller med forskellige kovariater
– eller er baseret på helt forskellige populationer, og:
(men usikkerheden på den vil også være lavere....)
35 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
36 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Pas på
university of copenhagen
OR estimater for infektion i forskellige modeller
Outcome:
infektion
Kovariater
i model
Selv i randomiserede undersøgelser,
hvor der ikke er nogen confounding,
vil størrelsen af Odds Ratio altså stadig afhænge af
populationssammensætningen!
I
Hvis der er restriktive inklusionskriterier,
bliver OR formentlig stort
I
Hvis der “blot” er samplet revl og krat,
bliver OR formentlig mindre
kun alder
37 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Var den fornuftig ud fra et anvendelses-synspunkt?
1. Fik vi stillet et relevant spørgsmål?
– det stod forhåbentlig i protokollen
2. Fik vi opstillet en model,
der tillod at besvare dette spørgsmål?
– var det f.eks. en interaktion, der var i fokus?
3. Har vi leveret et fyldestgørende svar?
– har vi modelleret det så tilpas godt, så vi tror på svaret,
og har vi husket at kvantificere, med konfidensinterval?
39 / 88
1.48 (1.13, 1.93)
P=0.0043
–
–
5.13 (2.07, 12.71)
P=0.0004
1.43 (1.06, 1.91)
P=0.017
3.78 (1.50, 9.55)
P=0.0049
38 / 88
Tilbage til modellen
Og så er der jo lige det med modelkontrol.....
alder og
over2timer
Effekt
af
operationstid > 2 timer
β̂2 (CI)
10 år ældre
β̂1 (CI)
kun over2timer
Det er altså helt og holdent spørgsmålets præcisering,
der afgør svaret....
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Interaktion
Hvis spørgsmålet var:
I
I
Har operationsvarigheden en større betydning for ældre
mennesker end for yngre?
Er odds ratio for infektion for de lange operationstider
den samme uanset alder?
Inkluder interaktionen mellem operationsvarighed og alder,
i form af effekten over2timer*alder:
Analysis Of Maximum Likelihood Parameter Estimates
Parameter
Intercept
over2timer
over2timer
alder
alder*over2timer
alder*over2timer
Scale
0
1
0
1
DF
Estimate
Standard
Error
1
1
0
1
1
0
0
-2.7487
-2.1998
0.0000
0.0262
0.0123
0.0000
1.0000
2.1179
2.4780
0.0000
0.0295
0.0344
0.0000
0.0000
Wald 95%
Conf Limits
-6.8998
-7.0566
0.0000
-0.0316
-0.0552
0.0000
1.0000
NOTE: The scale parameter was held fixed.
40 / 88
Wald
Chi-Square Pr>ChiSq
1.4023
2.6570
0.0000
0.0840
0.0798
0.0000
1.0000
1.68
0.79
.
0.79
0.13
.
0.1943
0.3747
.
0.3739
0.7210
.
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Interaktion mellem alder og operationsvarighed
Modelkontrol
På sandsynligheds-skala
Vi havde oprindeligt antaget additivitet mellem alder og
oprationsvarighed, samt linearitet for alderseffekten (på
logit-skala).
På logit-skala
Numerisk modelkontrol:
Der ses ikke nogen tegn på interaktion (P=0.72)
41 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Linearitetsantagelsen for alder
på logit-skala, checkes numerisk ved at se på
mere generelle modeller såsom:
Alderseffekt modelleret som parabel:
Definer kvadreret_alder=(alder-50)**2
og brug modellen
model infektion/antal = over2timer alder_minus50
kvadreret_alder / dist = binomial link = logit;
I
Alderseffekt modelleret som lineær spline:
Definer alder_over75=(alder>75)*(alder-75)
og brug modellen
model infektion/antal = over2timer alder
alder_over75 / dist = binomial link = logit;
43 / 88
Linearitet:
Kvadratled i kovariater, Lineære splines (“velkendt”)
I
Additivitet:
Check for interaktion (har vi lige gjort, “velkendt”)
I
Overall goodness of fit
Grafisk modelkontrol:
I
Residualplots
I
....diagnostic plots
42 / 88
university of copenhagen
I
I
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Alderseffekt modelleret som parabel
model infektion/antal = over2timer alder_minus50
kvadreret_alder / dist = binomial link = logit;
Output:
Analysis Of Maximum Likelihood Parameter Estimates
Parameter
Intercept
over2timer
0
over2timer
1
alder_minus50
kvadreret_alder
Scale
DF
1
1
0
1
1
0
Standard
Estimate
Error
-1.5965
-1.3099
0.0000
0.0371
-0.0001
1.0000
0.5187
0.4845
0.0000
0.0182
0.0007
0.0000
Wald 95%
Wald
Confidence Limits Chi-Square Pr>Chisq
-2.6131
-2.2595
0.0000
0.0014
-0.0015
1.0000
-0.5799
-0.3602
0.0000
0.0728
0.0013
1.0000
9.47
7.31
.
4.15
0.03
0.0021
0.0069
.
0.0415
0.8632
NOTE: The scale parameter was held fixed.
Meget ringe indikation af afvigelse fra linearitet (P = 0.86)
44 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Effekten af alder som parabel
På sandsynligheds-skala
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Effekten af alder som lineær spline
På logit-skala
model infektion/antal = over2timer alder
alder_over75 / dist = binomial link = logit;
Output:
Analysis Of Maximum Likelihood Parameter Estimates
Parameter
Intercept
over2timer
over2timer
alder
alder_over75
Scale
DF
0
1
1
1
0
1
1
0
Standard
Estimate
Error
-4.4570
-1.2345
0.0000
0.0541
-0.1246
1.0000
Wald 95%
Confidence Limits
1.5091
0.4754
0.0000
0.0220
0.0872
0.0000
-7.4149
-2.1662
0.0000
0.0111
-0.2956
1.0000
Wald
Chi-Square Pr>ChiSq
-1.4991
-0.3028
0.0000
0.0972
0.0464
1.0000
8.72
6.74
.
6.07
2.04
0.0031
0.0094
.
0.0138
0.1533
NOTE: The scale parameter was held fixed.
En vis indikation for afvigelse fra linearitet (P = 0.15), men...
45 / 88
46 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Effekten af alder som lineær spline
På sandsynligheds-skala
På logit-skala
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Overall Goodness-of-fit
I
Observationerne inddeles i 10 ca. lige store grupper,
baseret på stigende predikteret sandsynlighed for infektion
I
I hver gruppe sammenlignes observerede og forventede antal
af infektioner, og
I
sammenlægges til en
Størrelserne
FORV
2
χ -teststørrelse med 8 (antal grupper minus 2) frihedsgrader
(OBS-FORV)
2
Kan ikke udføres i GENMOD, men med option lackfit i
proceduren LOGISTIC (mere om denne senere)
Intet signifikant knæk, men dog en tendens.....
Tror vi på den?
Her finder vi χ2 = 6.67 ∼ χ2 (8) ⇒ P = 0.57 og dermed intet tegn
på problemer med modellen.
47 / 88
48 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output fra Lackfit i LOGISTIC
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Modelkontrol
Den sædvanlige konstruktion af residualer:
ri = yi − p̂i
Partition for the Hosmer and Lemeshow Test
Group
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
19
19
19
19
20
18
21
19
21
19
infektion = 1
Observed
Expected
1
0.26
0
0.36
0
0.45
0
0.99
2
1.73
3
1.96
3
2.61
2
2.79
7
5.07
5
6.79
infektion = 0
Observed
Expected
18
18.74
19
18.64
19
18.55
19
18.01
18
18.27
15
16.04
18
18.39
17
16.21
14
15.93
14
12.21
giver nogle forfærdeligt grimme figurer, f.eks.
Hosmer and Lemeshow Goodness-of-Fit Test
Chi-Square
DF
Pr > ChiSq
6.6674
8
0.5729
Med en P-værdi på 0.57 ses ingen generel afvigelse fra modellen
49 / 88
university of copenhagen
og her er endda standardiseret til
50 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Modelkontrol,fortsat
Der kan være en fordel i at se på kumulerede residualer,
kumuleret fra lave til høje aldre:
university of copenhagen
ri
ei = p
p̂i (1 − p̂i )
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Modelkontrol,fortsat
Figuren på forrige side kan vurderes visuelt, men man kan også
lave et numerisk check på den maksimale afvigelse fra 0, her
baseret på 1000 simulationer.
Vi finder P=0.37 og dermed ingen evidens for en gal modellering
af alderseffekten.
Figuren fås ved at benytte sætningen
(med fast seed, tilfældigt valgt)
assess var=(alder) / resample npaths=40 seed=106165;
Her er indlagt 40 forløb, simuleret under forudsætning af en
korrekt model. Falder det aktuelle forløb udenfor?
i PROC GENMOD konstruktionen
51 / 88
52 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Diagnostics – Cooks afstand
Nærmere afklaring af diagnostics
Cooks afstand
(mål for den enkelte observations indflydelse på estimaterne),
her plottet op mod observationsnummeret
(default, når man skriver "plots=CooksD")
Modellen er den på s. 24, hvor vi har output-sætningen:
output out=pred lower=lower pred=phat upper=upper
reschi=reschi stdreschi=stdreschi cooksd=cooksd dfbeta=_all_;
Ud fra datasættet pred kan man nu selv styre plottene, f.eks.
proc sgplot
scatter
run;
proc sgplot
scatter
run;
data=pred;
Y=cooksd X=alder / group=over2timer;
data=pred;
Y=DFBeta4 X=alder / group=infektion;
Bemærk den enkelte observation med stor Cook
Bemærk: Variablen DFBeta4 betegner det 4. parameterestimat i
rækken, dvs. koefficienten til alder (først er der intercept,
samt 2 parametre svarende til grupperingen over2timer).
53 / 88
54 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Diagnostic plots
Cooks afstand vs. alder
blå: lang operationstid
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Den suspekte person
Effekt på alders-estimat
vs. alder
blå: infektion
Person nr. 93:
Obs
93
id
93
infektion
1
Obs
93
cookd
0.27423
optid
55
DFBeta1
0.27218
alder
12
phat
0.013245
DFBeta2
0.071224
DFBeta3
.
reschi
8.63127
stdreschi
8.67829
DFBeta4
-0.012666
Det drejer sig altså om en 12-årig pige, der til trods for kort
operationstid, alligevel får en infektion.
Her kan vi se, at observationen med stor indflydelse er ung, med en
kort operationstid, men med infektion
55 / 88
56 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Men men men
I
Hvad nu, hvis spredningen i virkeligheden er større
(overspredning)?
Så får vi overvurderet betydningen af kovariaterne (for små
P-værdier)
I
Hvordan opdager vi det?
Det kræver en fornuftig gruppering af personerne, f.eks.
baseret på
I
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Overspredning i SAS
Der er ingen “fri spredning” (σ),
da spredningen her er lig pi (1 − pi ), altså helt specificeret ud fra
middelværdien.
I
university of copenhagen
predikterede sandsynligheder (Hosmer Lemeshow testet)
kovariater i modellen...
57 / 88
Vi benytter option scale=p i den logistiske regression:
proc genmod descending data=infektion;
class over2timer;
model infektion = over2timer alder
/ dist = binomial link = logit
aggregate scale=p;
run;
men det er lidt ustabilt, fordi vi ikke har nogen god gruppering af
vores patienter (hele 91 forskellige kombinationer af
kovariatværdier, dvs. meget små grupper...)
58 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output, med overspredning
Output, med overspredning, fortsat
og får herved estimeret en ekstra skalaparameter, (her
ˆ = 1.2322):
phi
Estimerede effekter, med tilbagetransformation
(fra Estimate-sætninger),
dvs. en revideret version af s. 28:
The GENMOD Procedure
Parameter
Intercept
over2timer
over2timer
alder
Scale
DF Estimate
0
1
1
1
0
1
0
-3.4074
-1.3292
0.0000
0.0355
1.2322
Standard
Wald 95%
Error
Confidence Limits
1.3816
0.5828
0.0000
0.0184
0.0000
-6.1152
-2.4714
0.0000
-0.0005
1.2322
-0.6995
-0.1870
0.0000
0.0715
1.2322
Wald
Pr>ChiSq
Chi-Square
6.08
5.20
.
3.73
0.0137
0.0226
.
0.0535
OTE: The scale parameter was estimated by the square root of Pearson’s
Chi-Square/DOF.
Label
10 years
Exp(10 years)
more than two hours
Exp(more than two hours)
10 years and more than two hours
Exp(10 years and more than two hours)
Nu er der sådan set ikke mere en signifikant effekt af alder....
59 / 88
60 / 88
LBeta
Estimate
LBeta
LowerCL
LBeta
UpperCL
0.3548
1.4259
1.3292
3.7781
1.6840
5.3873
-0.0053
0.9947
0.1870
1.2057
0.5126
1.6696
0.7150
2.0441
2.4714
11.8391
2.8555
17.3831
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Konsekvens af overspredning
Konklusion
Overspredningsfaktoren (her 1.2322) ganges på alle standard
errors, hvorved
baseret på resultater efter korrektion for overspredning:
I
signifikanser nedtones, og P-værdierne bliver højere
I
konfidensgrænser bliver bredere
I
vi konkluderer ikke “over hals og hovede”
Der findes flere alternative metoder til estimation af φ...
og de giver ikke altid det samme....
61 / 88
I
Sample size er for lille til, at man kan udtale sig meget sikkert
omkring alderseffekten, men risikoen ser ud til at stige med
alderen.
I
Det er bedst at have en lav operationsvarighed (surprise :-))
62 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Alternativ procedure: LOGISTIC
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Alternativ procedure: LOGISTIC
Fordele:
I
giver automatisk odds ratioer (uden estimate-sætninger)
I
har flere automatiske plots (ikke en ubetinget fordel),
men har dog plottet s. 30 som default
Ulemper:
I
pas på med selve parameterestimaterne (brug PARAM=GLM)
I
har en ekstra modelkontrol,
Hosmer-Lemeshow testet (option lackfit, se s. 49 og 68)
I
kan ikke håndtere så mange forskellige outcome typer som
GENMOD
I
har lettere variabelnavne for DFBETA, nemlig
I
har kun få mulige link-funktioner
(Vi har her brugt den traditionelle logit, men benytter log lidt
senere)
I
mangler ASSESS-sætningen til modelkontrol (s. 52)
DFBETA_Intercept DFBETA_over2timer0
DFBETA_over2timer1 DFBETA_alder
I
har et test for antagelsen ved modellering af ordinale data
(som vi nok ikke når)
63 / 88
64 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Kode i Logistic
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output fra Logistic
Deviance and Pearson Goodness-of-Fit Statistics
proc logistic plots=ALL data=infektion;
class over2timer / param=GLM;
model infektion(event="1") = over2timer alder
/ lackfit aggregate scale=p link=logit ;
estimate "10 years" alder 10 / exp;
estimate "more than two hours" over2timer -1 1 / exp;
estimate "10 years and more than two hours"
over2timer -1 1 alder 10 / exp;
output out=pred lower=lower pred=phat upper=upper reschi=reschi;
run ;
Criterion
Pearson
Value
133.5869
DF
88
Value/DF
1.5180
Pr > ChiSq
0.0012
Number of unique profiles: 91
NOTE: The covariance matrix has been multiplied by the heterogeneity
factor (Pearson Chi-Square / DF) 1.51803.
Analysis of Maximum Likelihood Estimates
Parameter
Intercept
over2timer 0
over2timer 1
alder
DF
1
1
0
1
Estimate
-3.4071
-1.3292
0
0.0355
Standard
Error
1.3814
0.5827
.
0.0184
Wald
Chi-Square
6.0833
5.2032
.
3.7292
Pr > ChiSq
0.0136
0.0225
.
0.0535
Værdien Value/DF=1.5180 er kvadratet på den tidligere omtalte
overspredningsfaktor φ̂, idet 1.23222 = 1.518
65 / 88
66 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output fra Logistic, fortsat
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output fra Lackfit i LOGISTIC
..tidligere beskrevet side 47
Odds Ratio Estimates
Point
Estimate
Effect
over2timer
alder
0 vs 1
0.265
1.036
Partition for the Hosmer and Lemeshow Test
95% Wald
Confidence Limits
0.084
0.999
0.829
1.074
Estimate
Label
10 years
Estimate
0.3548
Label
more than two hours
Standard
Error
0.1837
Estimate
1.3292
z Value
1.93
Standard
Error
0.5827
Pr > |z|
0.0535
z Value
2.28
Pr > |z|
0.0225
Exponentiated
1.4259
Exponentiated
3.7780
Standard
Label
Estimate
Error z Value Pr> |z|
10 years and more than two hours
1.6840
0.5976
2.82 0.0048
Exponentiated
5.3869
Group
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
19
19
19
19
20
18
21
19
21
19
infektion = 1
Observed
Expected
1
0.26
0
0.36
0
0.45
0
0.99
2
1.73
3
1.96
3
2.61
2
2.79
7
5.07
5
6.79
infektion = 0
Observed
Expected
18
18.74
19
18.64
19
18.55
19
18.01
18
18.27
15
16.04
18
18.39
17
16.21
14
15.93
14
12.21
Hosmer and Lemeshow Goodness-of-Fit Test
Chi-Square
DF
Pr > ChiSq
6.6674
8
0.5729
Med en P-værdi på 0.57 ses ingen generel afvigelse fra modellen
67 / 88
68 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Odds ratio, Risk ratio og Risk differenser
Den link-funktion, der anvendes, afgør hvilket mål, der kommer ud
af det
I
logit-link er default, giver Odds Ratio
det brugte vi for at modellere infektioner
Dette link skal altid benyttes ved case-control studier.
I
log-link giver Risk Ratio
det kunne vi f.eks. bruge på data vedr. farveblindhed
I
identity-link giver Risk difference
det kan vi bruge til at lave trend test for
kejsersnit vs. skostørrelse
logit er default, fordi det sikrer, at vi ikke kommer udenfor
intervallet (0,1) med sandsynlighederne
69 / 88
university of copenhagen
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Farveblindhed - igen
Risk Ratio (relativ risiko) estimeres i GENMOD med log-link.
Bemærk brugen af weight option:
Data:
proc genmod data = farveblind;
class gender;
weight antal;
model farveblind = gender /
dist=binomial link=log;
estimate "boys vs girls"
gender 1 -1 / exp;
run;
gender farveblind antal
pige nej 119
pige ja 1
dreng nej 144
dreng ja 6
Bemærk den manglende descending-option, fordi
farveblind=’’ja’’ er først i alfabetet
70 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Alternativ datastruktur
Output, relativ risiko, log-link
gender total farveblinde
pige 120 1
dreng 150 6
The GENMOD Procedure
Så bruges i stedet programbidden
Model Information
Data Set
Distribution
Link Function
Dependent Variable
Scale Weight Variable
WORK.FARVEBLIND
Binomial
Log
farveblind
total
Class Level Information
proc genmod data = farveblind;
class gender;
model farveblinde/total = gender /
dist=binomial link=log;
estimate "boys vs girls" gender 1 -1 / exp;
run;
Class
gender
71 / 88
72 / 88
Levels
2
Values
dreng pige
Response Profile
Ordered
Value
1
2
farveblind
ja
nej
Total
Frequency
2
2
Total
Weight
7
263
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output, fortsat
university of copenhagen
Eksempel om kejsersnit vs. skostørrelse
PROC GENMOD is modeling the probability that farveblind=’ja’. One way to
change this to model the probability that farveblind=’nej’ is to specify
the DESCENDING option in the PROC statement.
Kejsersnit
Algorithm converged.
Analysis Of Maximum Likelihood Parameter Estimates
Parameter
Intercept
gender
gender
Scale
dreng
pige
DF
1
1
0
0
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Standard
Estimate
Error
-4.7875 0.9958
1.5686 1.0732
0.0000 0.0000
1.0000 0.0000
4
Ja
Nej
5
17
7
28
6
36
I alt
22
35
22.7
20.0
% kejsersnit
Wald 95%
Wald
Confidence Limits Chi-Square Pr > ChiSq
-6.7393 -2.8357
23.11 <.0001
-0.5347
3.6720
2.14 0.1438
0.0000
0.0000
.
.
1.0000
1.0000
Skonummer
4.5
5
<4
5.5
≥6
Total
7
41
8
46
10
140
43
308
42
48
54
150
351
14.3
14.6
14.8
6.7
12.3
NOTE: The scale parameter was held fixed.
Contrast Estimate Results
Label
boys vs girls
Exp(boys vs girls)
L’Beta
Estimate
1.5686
4.8000
L’Beta
Confidence Limits
-0.5347
3.6720
0.5858
39.3291
73 / 88
university of copenhagen
74 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Test for trend
Modellen antager linearitet i skostørrelse: pi = α − β × skoi
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Test for trend, fortsat
kan udføres som en regression i Binomial-fordelingen,
med identity-link:
Program i Genmod, med mulig overspredning
Data:
proc genmod data = sko;
weight antal;
model kejsersnit/total = skonummer /
dist=binomial link=identity aggregate pscale;
run;
skonummer total kejsersnit
3.5 22 5
4.0 35 7
4.5 42 6
5.0 48 7
5.5 54 8
6.0 150 10
75 / 88
Bemærk skrivemåden i Model-sætningen: kejsersnit/total
76 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output vedr. kejsersnit
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output vedr. kejsersnit, fortsat
The GENMOD Procedure
Model Information
Data Set
Distribution
Link Function
Response Variable (Events)
Response Variable (Trials)
Analysis Of Maximum Likelihood Parameter Estimates
WORK.SKO
Binomial
Identity
kejsersnit
total
Number of Events
Number of Trials
Parameter
Intercept
skonummer
Scale
DF
4
Estimate
0.4561
-0.0636
0.5861
Standard
Error
0.0759
0.0137
0.0000
Wald 95% Confidence
Wald
Limits
Chi-Square Pr>ChiSq
0.3072
0.6049
36.07 <.0001
-0.0905 -0.0366
21.42 <.0001
0.5861
0.5861
NOTE: The scale parameter was estimated by the square root of Pearson’s
Chi-Square/DOF.
43
351
Criteria For Assessing Goodness Of Fit
Criterion
Pearson Chi-Square
DF
1
1
0
Value
1.3741
Value/DF
0.3435
Ekstra risiko for kejsersnit, når skoene er et nummer mindre:
0.0636, CI=(0.0366, 0.0905), altså mellem 3.7% og 9.1%
Algorithm converged.
77 / 88
78 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Underspredning.....??
Her estimerer vi overspredningsfaktoren til
√
0.3436 = 0.5861 < 1
I
signifikanser forstærkes – P-værdierne bliver lavere
I
konfidensgrænser bliver smallere
I
vi risikerer at få falske signifikanser
I
ved en tilfældighed
I
fordi det er konstruerede tal??
I
...??
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Modelkontrol af lineariteten
Hvis vi korrigerer for dette, fås konsekvenserne
Men hvorfor er der underspredning?
university of copenhagen
Lineariteten i skonummer var jo en antagelse. Den kan checkes ved
at sætte en kopi (skostr=skonummer) ind som class oveni:
proc genmod descending data = sko;
class skostr;
model kejsersnit/total = skonummer skostr /
dist=binomial link=identity type3;
run;
LR Statistics For Type 3 Analysis
Source
skonummer
skostr
DF
0
4
ChiSquare
0.00
1.29
Pr > ChiSq
.
0.8624
Lineariteten i skonummer ser rimelig ud
79 / 88
80 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Typer af outcome
Eksempel om leverfibrose
Hidtil
Ordinalt outcome: Leverfibrose, grad 0,1,2 eller 3
I
Kvantitative, Den generelle lineære model
I
Dikotom (0/1), Logistisk regression
Kovariater:
3 blodmarkører relateret til fibrose: HA, YKL40, PIIINP
Nu følger en lille smule om:
I
Problemstilling:
Hvad kan vi sige om fibrosegrad ud fra måling af disse 3
blodmarkører?
Ordinale outcomes
f.eks. fysisk formåen på en skala 1-2-3-4
men dette er ikke medtaget:
I
The MEANS Procedure
Tælletal (uden øvre grænse), f.eks. antal metastaser
Egentlig kaldes dette Poisson regression eller log-lineære
modeller, men det kan ofte være en fordel blot at benytte
sædvanlige regressionsmodeller (måske efter
logaritmetransformation).
81 / 88
university of copenhagen
Variable
N
Mean
Std Dev
Minimum
Maximum
-------------------------------------------------------------------------fibrosegrad
129
1.4263566
0.9903850
0
3.0000000
ykl40
129
533.5116279
602.2934049
50.0000000
4850.00
piiinp
127
13.4149606
12.4887192
1.7000000
70.0000000
ha
128
318.4531250
658.9499624
21.0000000
4730.00
--------------------------------------------------------------------------
(Julia Johansen, KKHH)
82 / 88
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Ordinale data
I
data på en rangskala
I
afstand mellem responskategorier kendes ikke, eller er
udefineret
I
evt. en underliggende kvantitativ skala
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Kumulerede sandsynligheder
Sandsynlighed for dette eller værre
Vi sidder mellem to stole:
I
I
Vi kan reducere til et binært respons og lave logistisk
regression
– men vi kan opdele flere steder
Tilbageregning til sandsynligheder for de enkelte fibrosegrader:
p0 = 1 − q 1 ,
Vi kan ’lade som om’ det er normalfordelt
– virker naturligvis bedst hvis der er mange responskategorier
83 / 88
p1 = q1 − q2
ps = qs − q3 ,
84 / 88
p3 = q 3
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Proportional odds model
Illustration af predikterede sandsynligheder
Logistisk regression for hver tærskel,
med samme afhængighed af kovariaterne (link=cumlogit),
som her alle er log2 -transformerede:
i tilfælde af en enkelt kovariat
proc logistic data=fibrosis descending;
model degree_fibr=lha lpiiinp lykl40;
run;
Odds ratio vil ikke afhænge af cutpoint,
og denne hypotese testes automatisk
(proportional odds assumption)
85 / 88
86 / 88
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Model med alle tre kovariater
university of copenhagen
d e pa rt m e n t o f b i o s tat i s t i c s
Output, fortsat
alle logaritmetransformeret (log2)
Score Test for the Proportional Odds Assumption
Chi-Square
9.6967
DF
6
Model Fit Statistics
Criterion
AIC
-2 Log L
Odds Ratio Estimates
Pr > ChiSq
0.1380
Intercept
Only
345.072
339.072
Effect
Intercept
and
Covariates
258.466
246.466
lha
lpiiinp
lykl40
Point
Estimate
1.475
2.276
1.721
95% Wald
Confidence Limits
1.078
1.388
1.233
2.019
3.733
2.402
Analysis of Maximum Likelihood Estimates
Parameter
Intercept 3
Intercept 2
Intercept 1
lha
lpiiinp
lykl40
87 / 88
DF
1
1
1
1
1
1
Estimate
-12.7767
-10.0117
-7.5922
0.3889
0.8225
0.5430
Standard
Error
1.6959
1.5171
1.3748
0.1600
0.2524
0.1700
Wald
Chi-Square
56.7592
43.5506
30.4975
5.9055
10.6158
10.2031
Pr > ChiSq
<.0001
<.0001
<.0001
0.0151
0.0011
0.0014
Standardized
Estimate
0.4174
0.5231
0.3750
Eksempel på fortolkning:
En fordobling af markøren ykl40 giver 72.1% større odds for at
være i en høj kategori
88 / 88