Matematik A
Højere teknisk eksamen
htx142-MAT/A-29082014
132286.indd 1
Fredag den 29. august 2014
kl. 9.00 - 14.00
03/07/14 12.53
132286.indd 2
03/07/14 12.53
Side 1 af 8 sider
Matematik A
2014
Prøvens varighed er 5 timer.
Alle hjælpemidler er tilladte.
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet. Det er tilladt at skrive med blyant.
Notatpapir (kladdepapir) sendes ikke til bedømmelse.
Alt materiale, der afleveres til bedømmelse, skal påføres navn.
I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om
der i besvarelsen af den enkelte opgave er:
-
En forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte
løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner,
præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation.
-
Dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt
med forklarende tekst.
-
Benyttet figurer og illustrationer med tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.
Billedmateriale uden kildeangivelse tilhører opgavekommissionen
132286.indd 3
03/07/14 12.53
Side 2 af 8 sider
Opgave 1
Billedet viser en tablet.
0,5
B
D
13,5
5
A
5
C
v
Figur 1
Figur 1 viser en model af tabletten. Coveret til tabletten kan foldes, så der dannes en trekant.
| BC |  3, 4 cm og øvrige mål er angivet på figuren. Modellen danner grundlag for
beregningerne i spørgsmålene nedenfor. Tabletten hænger fast i coveret 0,5 cm nede på den
ene side som vist på figuren. Tablettens glasflade er 13,5 cm fra top til bund.
a) Bestem vinklerne i trekant ABC.
b) Bestem vinklen v, som tabletten danner med vandret.
Indlæg selv et koordinatsystem, hvor xy-planen er parallel med bordpladen, som tabletten står
på.
c) Bestem en ligning for den plan, som tablettens glasflade er en del af.
132286.indd 4
03/07/14 12.53
Side 3 af 8 sider
Opgave 2
På figur 2 kan man se antal solgte iPhones i 3. kvartal i årene 2007 til 2012.
iPhone-salg i 3. kvartal (mio. enheder)
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0
Figur 2
Q3’07
Q3’08
Q3’09
Q3’10
Q3’11
Q3’12
http://iphoneguide.dk/nyheder/apple-iphone-salget-saetter-nye-rekord/
a) Aflæs antal solgte enheder og skriv data ind i en tabel.
Man ønsker at opstille en model, der kan beskrive udviklingen i salget. I 3. kvartal 2007
sættes t  0 for modellen.
b) Bestem en model af typen f (t )  b  a t .
c) Bestem en model af typen g (t )    t   .
d) Vurder de to modellers egnethed til at beskrive udviklingen i antal solgte iPhones i den
viste periode.
132286.indd 5
03/07/14 12.53
Side 4 af 8 sider
Opgave 3
Figur 3 viser en cirkel og dens diameter, der går fra punkt A til punkt B. Indlagt i et
koordinatsystem er punkternes koordinater A (2;3) og B (8;14) .
B
C
v
A
Figur 3
a) Bestem cirklens ligning.
b) Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet B.
v 20 , se figur 3.
Vinklen 
.
c) Bestem arealet af området, der afgrænses af linjestykkerne AB, AC og buestykket CB
132286.indd 6
03/07/14 12.53
Side 5 af 8 sider
Opgave 4
 1 0
1 3
2
To matricer er givet ved
A  2 1 og B  

1 2 4 

 3 2 
a) Bestem A  B og B  A .
b) Opstil afbildningsmatricen for rotationen med vinklen   80 omkring (0;0) i positiv
omløbsretning.
Trekanten QPR’s hjørner er placeret i punkterne Q (1;1), P (3; 4) og R (4 ; 2) .
Trekanten roteres 80° omkring (0;0) i positiv omløbsretning.
c) Bestem Q, P og R’s nye koordinater.
Opgave 5
Billedet viser en kultur af legionellabakterier.
Under passende forhold kan man regne med, at
væksten i antallet af bakterier til given tid t er
proportional med antallet af bakterier N(t).
http://www.botech.dk/hvad-er-legionella/
a) Opstil en differentialligning, der beskriver væksten af en bakteriekultur, som beskrevet
ovenfor.
b) Vis, at funktionen N (t ) b  ek t er en løsning til den opstillede differentialligning.
I en given bakteriekultur er konstanten k  0, 096 , når tiden angives i timer.
c) Bestem fordoblingskonstanten for N (t ) .
Side 3 af 8 sider
Opgave 2
Opgave 5
Billedet viser en kultur af legionellabakterier.
Billedet
viser et
stykke
mur
et at
Under
passende
forhold
kan
manomkring
regne med,
andet område.
væksten
i antalletIndlægges
af bakteriermurens
til givenforløb
tid t er
proportional
med antalletkan
af bakterier
i et koordinatsystem,
forløbetN(t).
ved funktionen f, som i
intervallet [0; 16] har følgende forskrift
beskrives
http://www.botech.dk/hvad-er-legionella/
a) Opstil en differentialligning, der beskriver væksten af en bakteriekultur, som beskrevet
Foto: Matthew Reames
ovenfor.
b) Vis, at funktionen N (t ) b  ek t er en løsning til den opstillede differentialligning.
6   x 2  8 x  9 x   0; 8
f ( x)  er konstanten k  0, 096 , når tiden angives i timer.
I en given bakteriekultur
2
  x  24 x  119 x  8; 16
c) Bestem fordoblingskonstanten for N (t ) .
Alle mål er i fod. Grafen for f er vist på figur 2.
5
y
dd 7
x
5
10
03/07/14 12.53
15
Figur 2
a) Vis, at funktionen f er kontinuert for x = 8.
Man planlægger at lave et blomsterbed, der er 12 fod langt, vist som det tonede areal på
figur 2.
b) Bestem arealet af det planlagte blomsterbed.
Imidlertid er der kun blomster til at anlægge et blomsterbed på 10 kvadratfod.
Blomsterbedet anlægges, så det strækker sig fra x = 0 til x = L, og arealet bliver 10
kvadratfod.
c) Bestem længden L af det anlagte blomsterbed.
Side 6 af 8 sider
Opgave 6
Billedet viser en vandskihopper.
y
x
Figur 4
Fra fysikken vides det, at vandskihopperens bevægelse kan beskrives ved følgende
vektorfunktion. Se figur 4.
v0  cos(α )  t  x0


,
r (t )   1
2

  2  g  t  v0  sin(α )  t  y 0 
hvor v0 er farten ved springets start,  er startvinklen i forhold til x-aksen, ( x0 , y0 ) er
startkoordinaterne og x-aksen repræsenterer vandoverfladen.
Vektorfunktionen beskriver en parabel. Den vil vi nu udlede en ligning for.
132286.indd 8
03/07/14 12.53
Side 7 af 8 sider
a) Gør rede for de enkelte trin i følgende udledning.
x  v0  cos( )  t  x0 t
(1)
x  x0
v0  cos( )
Koordinatfunktionen
for x opskrives.
(2)
y  12  g  t 2  v0  sin( )  t  y0 (3)
2
 x  x0 
 x  x0 
y   g  
  v0  sin( )  
  y0
 v0  cos( ) 
 v0  cos( ) 
v  sin( )
g
y

 ( x  x0 ) 2  0
 ( x  x0 )  y0 2
2
2  v0  cos ( )
v0  cos( )
1
2
y

g
 ( x  x0 ) 2  tan( )  ( x  x0 )  y0 2
2  v0  cos ( )
2
(4)
(5)
(6)
For en mandlig vandskihopper er følgende konstanter givet:
g 9,82 m/s 2 , v0 30 m/s,  20, x0 0 m og y0 1,8m.
b) Indsæt konstanterne i (6) og indtegn parablen i et koordinatsystem.
c) Bestem springets vandrette længde.
d) Bestem den største højde på springet.
e) Bestem tangentens vinkel med vandret ved landingen.
132286.indd 9
03/07/14 12.53
Side 8 af 8 sider
Opgave 7
På billedet ses bagenden af en båd.
y
f
A
B
2
1
g
-3 xA
-2
-1
1
2
x
xB
Figur 6
På figur 6 er en model af bagenden indlagt i et koordinatsystem. Bagenden er afgrænset af
graferne for funktionerne f og g givet ved
f ( x) 0,016 x 2  2,1 ,
6
x A  x  xB
4
g ( x) 0,0005 x  0,05 x , x A  x  xB
Alle mål er meter.
a) Bestem koordinaterne til A og B, og angiv bredden på bagenden.
b) Bestem arealet af bagenden, som vist på figur 6.
132286.indd 10
03/07/14 12.53
132286.indd 12
03/07/14 12.53
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001