Avlshistorie
Matematik A Højere teknisk eksamen htx142-MAT/A-29082014 132286.indd 1 Fredag den 29. august 2014 kl. 9.00 - 14.00 03/07/14 12.53 132286.indd 2 03/07/14 12.53 Side 1 af 8 sider Matematik A 2014 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet. Det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir (kladdepapir) sendes ikke til bedømmelse. Alt materiale, der afleveres til bedømmelse, skal påføres navn. I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om der i besvarelsen af den enkelte opgave er: - En forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation. - Dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt med forklarende tekst. - Benyttet figurer og illustrationer med tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. Billedmateriale uden kildeangivelse tilhører opgavekommissionen 132286.indd 3 03/07/14 12.53 Side 2 af 8 sider Opgave 1 Billedet viser en tablet. 0,5 B D 13,5 5 A 5 C v Figur 1 Figur 1 viser en model af tabletten. Coveret til tabletten kan foldes, så der dannes en trekant. | BC | 3, 4 cm og øvrige mål er angivet på figuren. Modellen danner grundlag for beregningerne i spørgsmålene nedenfor. Tabletten hænger fast i coveret 0,5 cm nede på den ene side som vist på figuren. Tablettens glasflade er 13,5 cm fra top til bund. a) Bestem vinklerne i trekant ABC. b) Bestem vinklen v, som tabletten danner med vandret. Indlæg selv et koordinatsystem, hvor xy-planen er parallel med bordpladen, som tabletten står på. c) Bestem en ligning for den plan, som tablettens glasflade er en del af. 132286.indd 4 03/07/14 12.53 Side 3 af 8 sider Opgave 2 På figur 2 kan man se antal solgte iPhones i 3. kvartal i årene 2007 til 2012. iPhone-salg i 3. kvartal (mio. enheder) 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0 Figur 2 Q3’07 Q3’08 Q3’09 Q3’10 Q3’11 Q3’12 http://iphoneguide.dk/nyheder/apple-iphone-salget-saetter-nye-rekord/ a) Aflæs antal solgte enheder og skriv data ind i en tabel. Man ønsker at opstille en model, der kan beskrive udviklingen i salget. I 3. kvartal 2007 sættes t 0 for modellen. b) Bestem en model af typen f (t ) b a t . c) Bestem en model af typen g (t ) t . d) Vurder de to modellers egnethed til at beskrive udviklingen i antal solgte iPhones i den viste periode. 132286.indd 5 03/07/14 12.53 Side 4 af 8 sider Opgave 3 Figur 3 viser en cirkel og dens diameter, der går fra punkt A til punkt B. Indlagt i et koordinatsystem er punkternes koordinater A (2;3) og B (8;14) . B C v A Figur 3 a) Bestem cirklens ligning. b) Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet B. v 20 , se figur 3. Vinklen . c) Bestem arealet af området, der afgrænses af linjestykkerne AB, AC og buestykket CB 132286.indd 6 03/07/14 12.53 Side 5 af 8 sider Opgave 4 1 0 1 3 2 To matricer er givet ved A 2 1 og B 1 2 4 3 2 a) Bestem A B og B A . b) Opstil afbildningsmatricen for rotationen med vinklen 80 omkring (0;0) i positiv omløbsretning. Trekanten QPR’s hjørner er placeret i punkterne Q (1;1), P (3; 4) og R (4 ; 2) . Trekanten roteres 80° omkring (0;0) i positiv omløbsretning. c) Bestem Q, P og R’s nye koordinater. Opgave 5 Billedet viser en kultur af legionellabakterier. Under passende forhold kan man regne med, at væksten i antallet af bakterier til given tid t er proportional med antallet af bakterier N(t). http://www.botech.dk/hvad-er-legionella/ a) Opstil en differentialligning, der beskriver væksten af en bakteriekultur, som beskrevet ovenfor. b) Vis, at funktionen N (t ) b ek t er en løsning til den opstillede differentialligning. I en given bakteriekultur er konstanten k 0, 096 , når tiden angives i timer. c) Bestem fordoblingskonstanten for N (t ) . 132286.indd 7 03/07/14 12.53 Side 6 af 8 sider Opgave 6 Billedet viser en vandskihopper. y x Figur 4 Fra fysikken vides det, at vandskihopperens bevægelse kan beskrives ved følgende vektorfunktion. Se figur 4. v0 cos(α ) t x0 , r (t ) 1 2 2 g t v0 sin(α ) t y 0 hvor v0 er farten ved springets start, er startvinklen i forhold til x-aksen, ( x0 , y0 ) er startkoordinaterne og x-aksen repræsenterer vandoverfladen. Vektorfunktionen beskriver en parabel. Den vil vi nu udlede en ligning for. 132286.indd 8 03/07/14 12.53 Side 7 af 8 sider a) Gør rede for de enkelte trin i følgende udledning. x v0 cos( ) t x0 t (1) x x0 v0 cos( ) Koordinatfunktionen for x opskrives. (2) y 12 g t 2 v0 sin( ) t y0 (3) 2 x x0 x x0 y g v0 sin( ) y0 v0 cos( ) v0 cos( ) v sin( ) g y ( x x0 ) 2 0 ( x x0 ) y0 2 2 2 v0 cos ( ) v0 cos( ) 1 2 y g ( x x0 ) 2 tan( ) ( x x0 ) y0 2 2 v0 cos ( ) 2 (4) (5) (6) For en mandlig vandskihopper er følgende konstanter givet: g 9,82 m/s 2 , v0 30 m/s, 20, x0 0 m og y0 1,8m. b) Indsæt konstanterne i (6) og indtegn parablen i et koordinatsystem. c) Bestem springets vandrette længde. d) Bestem den største højde på springet. e) Bestem tangentens vinkel med vandret ved landingen. 132286.indd 9 03/07/14 12.53 Side 8 af 8 sider Opgave 7 På billedet ses bagenden af en båd. y f A B 2 1 g -3 xA -2 -1 1 2 x xB Figur 6 På figur 6 er en model af bagenden indlagt i et koordinatsystem. Bagenden er afgrænset af graferne for funktionerne f og g givet ved f ( x) 0,016 x 2 2,1 , 6 x A x xB 4 g ( x) 0,0005 x 0,05 x , x A x xB Alle mål er meter. a) Bestem koordinaterne til A og B, og angiv bredden på bagenden. b) Bestem arealet af bagenden, som vist på figur 6. 132286.indd 10 03/07/14 12.53 132286.indd 11 03/07/14 12.53 132286.indd 12 03/07/14 12.53 Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001
© Copyright 2024