Avlshistorie

Matematik A
Højere teknisk eksamen
htx142-MAT/A-29082014
132286.indd 1
Fredag den 29. august 2014
kl. 9.00 - 14.00
03/07/14 12.53
132286.indd 2
03/07/14 12.53
Side 1 af 8 sider
Matematik A
2014
Prøvens varighed er 5 timer.
Alle hjælpemidler er tilladte.
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet. Det er tilladt at skrive med blyant.
Notatpapir (kladdepapir) sendes ikke til bedømmelse.
Alt materiale, der afleveres til bedømmelse, skal påføres navn.
I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på, om tankegangen klart fremgår, herunder om
der i besvarelsen af den enkelte opgave er:
-
En forbindende tekst, der giver en klar begrundelse for valget af den anvendte
løsningsmetode samt en afrunding af hvert spørgsmål med præcise konklusioner,
præsenteret i et klart sprog og med brug af korrekt matematisk notation.
-
Dokumentation af beregninger ved brug af it-værktøjer og/eller mellemregninger samt
med forklarende tekst.
-
Benyttet figurer og illustrationer med tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.
Billedmateriale uden kildeangivelse tilhører opgavekommissionen
132286.indd 3
03/07/14 12.53
Side 2 af 8 sider
Opgave 1
Billedet viser en tablet.
0,5
B
D
13,5
5
A
5
C
v
Figur 1
Figur 1 viser en model af tabletten. Coveret til tabletten kan foldes, så der dannes en trekant.
| BC |  3, 4 cm og øvrige mål er angivet på figuren. Modellen danner grundlag for
beregningerne i spørgsmålene nedenfor. Tabletten hænger fast i coveret 0,5 cm nede på den
ene side som vist på figuren. Tablettens glasflade er 13,5 cm fra top til bund.
a) Bestem vinklerne i trekant ABC.
b) Bestem vinklen v, som tabletten danner med vandret.
Indlæg selv et koordinatsystem, hvor xy-planen er parallel med bordpladen, som tabletten står
på.
c) Bestem en ligning for den plan, som tablettens glasflade er en del af.
132286.indd 4
03/07/14 12.53
Side 3 af 8 sider
Opgave 2
På figur 2 kan man se antal solgte iPhones i 3. kvartal i årene 2007 til 2012.
iPhone-salg i 3. kvartal (mio. enheder)
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0
Figur 2
Q3’07
Q3’08
Q3’09
Q3’10
Q3’11
Q3’12
http://iphoneguide.dk/nyheder/apple-iphone-salget-saetter-nye-rekord/
a) Aflæs antal solgte enheder og skriv data ind i en tabel.
Man ønsker at opstille en model, der kan beskrive udviklingen i salget. I 3. kvartal 2007
sættes t  0 for modellen.
b) Bestem en model af typen f (t )  b  a t .
c) Bestem en model af typen g (t )    t   .
d) Vurder de to modellers egnethed til at beskrive udviklingen i antal solgte iPhones i den
viste periode.
132286.indd 5
03/07/14 12.53
Side 4 af 8 sider
Opgave 3
Figur 3 viser en cirkel og dens diameter, der går fra punkt A til punkt B. Indlagt i et
koordinatsystem er punkternes koordinater A (2;3) og B (8;14) .
B
C
v
A
Figur 3
a) Bestem cirklens ligning.
b) Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet B.
v 20 , se figur 3.
Vinklen 
.
c) Bestem arealet af området, der afgrænses af linjestykkerne AB, AC og buestykket CB
132286.indd 6
03/07/14 12.53
Side 5 af 8 sider
Opgave 4
 1 0
1 3
2
To matricer er givet ved
A  2 1 og B  

1 2 4 

 3 2 
a) Bestem A  B og B  A .
b) Opstil afbildningsmatricen for rotationen med vinklen   80 omkring (0;0) i positiv
omløbsretning.
Trekanten QPR’s hjørner er placeret i punkterne Q (1;1), P (3; 4) og R (4 ; 2) .
Trekanten roteres 80° omkring (0;0) i positiv omløbsretning.
c) Bestem Q, P og R’s nye koordinater.
Opgave 5
Billedet viser en kultur af legionellabakterier.
Under passende forhold kan man regne med, at
væksten i antallet af bakterier til given tid t er
proportional med antallet af bakterier N(t).
http://www.botech.dk/hvad-er-legionella/
a) Opstil en differentialligning, der beskriver væksten af en bakteriekultur, som beskrevet
ovenfor.
b) Vis, at funktionen N (t ) b  ek t er en løsning til den opstillede differentialligning.
I en given bakteriekultur er konstanten k  0, 096 , når tiden angives i timer.
c) Bestem fordoblingskonstanten for N (t ) .
132286.indd 7
03/07/14 12.53
Side 6 af 8 sider
Opgave 6
Billedet viser en vandskihopper.
y
x
Figur 4
Fra fysikken vides det, at vandskihopperens bevægelse kan beskrives ved følgende
vektorfunktion. Se figur 4.
v0  cos(α )  t  x0


,
r (t )   1
2

  2  g  t  v0  sin(α )  t  y 0 
hvor v0 er farten ved springets start,  er startvinklen i forhold til x-aksen, ( x0 , y0 ) er
startkoordinaterne og x-aksen repræsenterer vandoverfladen.
Vektorfunktionen beskriver en parabel. Den vil vi nu udlede en ligning for.
132286.indd 8
03/07/14 12.53
Side 7 af 8 sider
a) Gør rede for de enkelte trin i følgende udledning.
x  v0  cos( )  t  x0 t
(1)
x  x0
v0  cos( )
Koordinatfunktionen
for x opskrives.
(2)
y  12  g  t 2  v0  sin( )  t  y0 (3)
2
 x  x0 
 x  x0 
y   g  
  v0  sin( )  
  y0
 v0  cos( ) 
 v0  cos( ) 
v  sin( )
g
y

 ( x  x0 ) 2  0
 ( x  x0 )  y0 2
2
2  v0  cos ( )
v0  cos( )
1
2
y

g
 ( x  x0 ) 2  tan( )  ( x  x0 )  y0 2
2  v0  cos ( )
2
(4)
(5)
(6)
For en mandlig vandskihopper er følgende konstanter givet:
g 9,82 m/s 2 , v0 30 m/s,  20, x0 0 m og y0 1,8m.
b) Indsæt konstanterne i (6) og indtegn parablen i et koordinatsystem.
c) Bestem springets vandrette længde.
d) Bestem den største højde på springet.
e) Bestem tangentens vinkel med vandret ved landingen.
132286.indd 9
03/07/14 12.53
Side 8 af 8 sider
Opgave 7
På billedet ses bagenden af en båd.
y
f
A
B
2
1
g
-3 xA
-2
-1
1
2
x
xB
Figur 6
På figur 6 er en model af bagenden indlagt i et koordinatsystem. Bagenden er afgrænset af
graferne for funktionerne f og g givet ved
f ( x) 0,016 x 2  2,1 ,
6
x A  x  xB
4
g ( x) 0,0005 x  0,05 x , x A  x  xB
Alle mål er meter.
a) Bestem koordinaterne til A og B, og angiv bredden på bagenden.
b) Bestem arealet af bagenden, som vist på figur 6.
132286.indd 10
03/07/14 12.53
132286.indd 11
03/07/14 12.53
132286.indd 12
03/07/14 12.53
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001