1. No category

Forkurs i matematikk
Kompendium
Notater, eksempler og oppgaver
med fasit/løsningsforslag 1
Matematisk Institutt, UiB
Høsten 2012
1
Sist oppdatert 30. mai 2012
i
Innhold
Forord ...................................................................................................................... 1
Kapittel 0 Test deg selv ........................................................................................ 1
Oppgaver – Selvtest ............................................................................................... 1
Fasit – Selvtest ................................................................................................................... 3
Kapittel 1 Grunnleggende emner....................................................................... 4
1.1
Tallinjen og reelle tall ........................................................................................... 4
1.2 Mengder og tallmengder .............................................................................................. 4
1.3 Intervaller ..................................................................................................................... 5
1.4 Regnerekkefølge........................................................................................................... 5
1.5 Bokstavregning og brøkregning ................................................................................... 6
1.6 Parentesregler ............................................................................................................... 7
1.7 Brøkregning og brudden brøk ...................................................................................... 7
1.8 Faktorisering................................................................................................................. 7
1.9 Fellesnevner ................................................................................................................. 7
1.10 Absoluttverdi .............................................................................................................. 8
1.11 Potenser med heltallige eksponenter .......................................................................... 9
1.12 Kvadratsetningene ...................................................................................................... 9
1.13 Geometrisk rekke ....................................................................................................... 9
1.13.1 Summetegnet ......................................................................................................... 10
1.14 Aritmetisk rekke ....................................................................................................... 11
Oppgaver – Kapittel 1 ......................................................................................... 12
Fasit – Kapittel 1 .............................................................................................................. 14
Kapittel 2 Funksjoner, ligninger og ulikheter .............................................. 15
2.1 Hva er en funksjon?.................................................................................................... 15
2.2 Grafen til en funksjon ................................................................................................. 15
2.3 Noen viktige begrep ................................................................................................... 16
2.4 Noen funksjoner ......................................................................................................... 17
2.5 Førstegradsfunksjoner f ( x)  ax  b ...................................................................... 17
2.6 Ligninger .................................................................................................................... 17
2.7 Førstegradsligninger ................................................................................................... 18
2.8 Andregradsligninger ax2  bx  c  0 .................................................................... 18
2.9 Andregradsfunksjoner f ( x)  ax2  bx  c ........................................................... 20
2.10 Inverse funksjoner .................................................................................................... 21
2.11 Rasjonale ligninger ................................................................................................... 22
2.12 Irrasjonale ligninger ................................................................................................. 22
2.13 Ulikheter ................................................................................................................... 23
2.13.1 Enkle ulikheter ...................................................................................................... 24
2.13.2 Doble ulikheter ...................................................................................................... 25
2.14 Grafisk løsning ......................................................................................................... 26
2.15 Rasjonale ulikheter ................................................................................................... 26
Oppgaver – Kapittel 2 ......................................................................................... 27
Fasit – Kapittel 2 .............................................................................................................. 29
Kapittel 3 Eksponentielle funksjoner og logaritmer ................................... 32
3.1 Eksponentiell vekst .................................................................................................... 32
3.2 Logaritmer f  x   log x og f  x   ln x ................................................................... 33
3.3 Regneregler for logaritmer ......................................................................................... 33
3.4 Den naturlige logaritmefunksjonen ............................................................................ 34
3.5 y  e x og y  ln x er inversfunksjoner .................................................................... 34
3.6 Eksponentiale og logaritmiske ligninger ................................................................... 34
3.6.1 Ligningen a x  b .................................................................................................... 34
3.6.2 Noen eksponentialligninger..................................................................................... 35
3.6.3 Noen logaritmiske ligninger .................................................................................... 35
Oppgaver – Kapittel 3 ......................................................................................... 36
Fasit – Kapittel 3 .............................................................................................................. 37
Kapittel 4 Trigonometri i grader og radianer ............................................... 38
4.1 Vinkelmål: grader og radianer.................................................................................... 38
4.2 Rettvinklet trekant ...................................................................................................... 38
4.3 Trekantberegninger .................................................................................................... 39
4.4 Trigonometri i radianer .............................................................................................. 39
4.5 Noen kjente vinkler .................................................................................................... 40
4.6 Grafene til sinus, cosinus og tangens ........................................................................ 40
4.7 Trekantberegninger (trigonometri i grader) ............................................................... 41
4.8 Trigonometriske formler ............................................................................................ 41
4.9 Beskrivelse av et periodisk fenomen ved hjelp av en cosinus- /sinuskurve............... 42
4.10 Den periodiske funksjonen: f (t )  a cos t  b sin t ............................................. 43
4.11 Ligninger på formen: a sin( x)  b der 0  x  2 .................................................. 44
4.12 Ligninger på formen: a cos( x)  c der 0  x  2 . ................................................ 45
Oppgaver – Kapittel 4 ......................................................................................... 47
Fasit – Kapittel 4 .............................................................................................................. 51
Kapittel 5 Grenseverdi og kontinuitet ............................................................ 57
5.1 Grenseverdi ................................................................................................................ 57
f ( x) 0
5.2 Grenseverdi lim
 ......................................................................................... 57
x a g ( x)
0
5.3 Ensidig grense lim og lim ................................................................................... 58
x a
x a
5.4 Kontinuitetsbegrepet .................................................................................................. 58
f ( x) 
5.5 Noen ord om grenseverdi når lim
 ............................................................ 59
x g ( x)

5.6 Asymptoter ................................................................................................................. 59
5.7 Tallet e ........................................................................................................................ 60
Oppgaver – Kapittel 5 ......................................................................................... 61
Fasit – Kapittel 5 .............................................................................................................. 63
Kapittel 6 Derivasjon ......................................................................................... 64
6.1 Vekstrate..................................................................................................................... 64
6.2 Definisjon, vekstrate................................................................................................... 64
6.3 Tolkninger .................................................................................................................. 64
6.4 Derivasjonsformler og derivasjonsregler ................................................................... 65
6.5 Viktige derivasjonsregler ........................................................................................... 65
6.6 Den deriverte til a x og x r ....................................................................................... 66
d
6.7 Den deriverte med hensyn til x :
........................................................................ 67
dx
6.8 Oversikt over derivasjonsformler og -regler .............................................................. 69
6.9 Derivert, annenderivert og funksjonsdrøfting ............................................................ 69
6.10 Maksimum og minimum .......................................................................................... 70
iii
6.11 Ligningen til tangenten og linearisering................................................................... 71
Oppgaver – Kapittel 6 ......................................................................................... 73
Fasit – Kapittel 6 .............................................................................................................. 76
Kapittel 7 Integrasjon ......................................................................................... 79
7.1 Det bestemte integralet som areal .............................................................................. 79
7.2 Det bestemte integralet ............................................................................................... 80
7.3 Det ubestemte integralet ............................................................................................. 80
7.4 Integrasjonsformler .................................................................................................... 80
7.5 Regneregler for bestemt og ubestemt integral ............................................................ 80
7.6 Integrasjon ved substitusjon ....................................................................................... 81
7.7 Delvis integrasjon ....................................................................................................... 82
7.8 Noen anvendelser av det bestemte integralet ............................................................. 83
Oppgaver – Kapittel 7 ......................................................................................... 84
Fasit – Kapittel 7 .............................................................................................................. 85
Kapittel 8 Test deg selv ...................................................................................... 86
Fasit – Kapittel 8 .............................................................................................................. 87
Ikonbeskrivelser:
Innhold
Definisjon
Eksempel
Løsning
Kommentar, hint, bemerk, husk
Vanskelig oppgave
Eventuelle kommentarer eller meldinger om feil i notatene tas imot med takk:
[email protected]. Følgende link blir oppdatert ved eventuelle
kommentarer eller feil:
http://home.hib.no/ansatte/ahas/forkurs/errata.doc
Forord
Å lære matematikk er som å lære et annet språk; ved
første øyekast virker det uforståelig og vanskelig, men
etter hvert vil du oppleve at det blir gradvis lettere.
Mange begreper i matematikken er forbundet og bygger
på hverandre. Å forstå innholdet i et bestemt begrep, vil
dermed hjelpe deg til å forstå mange andre.
Å være usikker og frustrert i arbeidet med stoffet er en
naturlig del av læringsprosessen. Husk at læring ikke
bare skjer ved god innsats, men også ved intens konsentrasjon.
Dette heftet er et oppsummeringsnotat fra noen utvalgte grunnleggende emner i matematikk.
Enkelte eksempler er ment som utfyllende forklaring til lærestoffet og viser hvordan
lærestoffet blir benyttet til å løse konkrete oppgaver.
For hvert kapittel finner du en oppgavedel etterfulgt av fasit/løsningsforslag.
Når du skal lære et nytt emne er det ikke nok å få tak i hvordan ting skal gjøres. Det er like
viktig å spørre seg hvorfor og prøve å forstå hvordan ting henger sammen. Da blir det lettere å
lære. Jo bedre du forstår matematikken, desto lettere er det å bruke den til å løse aktuelle
problemer i andre fagfelt.
Det er svært viktig at du leser nøye gjennom oppgavene før du prøver å løse dem. Hvis du står
fast i en oppgave, les heller gjennom lærestoffet enn å se på fasit/løsningsforslag.
I kapittel 0 kan du teste og se om du innehar tilstrekkelig med basisferdigheter i matematikk.
Heftet er organisert på følgende måte:
Kapittel 0: Test deg selv (elementære regneferdigheter)
Del 1: Algebra
Kapittel 1: Grunnleggende emner
Del 2: Funksjonslære
Kapittel 2: Funksjoner, inversfunksjoner, ligninger og ulikheter
Kapittel 3: Eksponentielle funksjoner og logaritmer
Kapittel 5: Grenseverdi og kontinuitet
Kapittel 6: Derivasjon, funksjonsdrøfting og en del anvendelser
Del 3:
Kapittel 4: Trigonometri
Kapittel 7: Integrasjon og en del anvendelser
Kapittel 8: Vektoralgebra
Amir Massoud Hashemi
Matematisk institutt, UiB
Mai 2012
Copyright © 2012 Forfatter
1
Kapittel 0: Test deg selv
Kapittel 0 Test deg selv
Før du begynner å lese notatene og ta forkurset, kan du teste deg selv i grunnleggende emner.
Oppgaver – Selvtest
Oppgavene skal løses uten bruk av kalkulator.
Oppgave 0.1
Regn ut.
a) 4  3  24  2  42  3
b) 32  4  2   4  4  22 
c)  2    52  42  32   13   1
5
13
Oppgave 0.2
Regn ut.
a)
25 32

16 50
b)
3 28

7 15
1
c) 3
5
6
d)
4
:6
7
Oppgave 0.3
Regn ut.
5 7
a) 1  
12 18
1 2

b)  2   
2 5

 1 2  22
c)    :
3 5 5
1
2
b)
1
2
3
1 5

c) 3 6
2 5

3 12
x
b) 3
5
9
a 1

c) 2 2
a 3

6 4
Oppgave 0.4
Regn ut.
56
a) 15
64
21
1
Oppgave 0.5
Regn ut.
x
a) 2
2x
5
Oppgave 0.6
Multipliser og trekk sammen.
a) ab 1  2b   2a  b2  b 
c)  a  3b    a  3b  (a  3b)
2
3 3

d) x 2
3
3
2x
b)  2 x  1 2 x  1   2 x  1 2 x  1
2
1 2
1
 1
 1
d)  a  b  a  b   (2b  a)2  3b(b  a 
a )
3
12b
2
 2
 2
1
Forkurs i matematikk - UiB ([email protected])
Oppgave 0.7
Skriv så enkelt som mulig.
a)
3a 2  6ab  3b 2
6(a  b)
b)
a 2  6ab  9b 2
a 2  9b 2
Oppgave 0.8
Bruk kvadratsetningene og regn ut.
2
2
2
a)  x  5   x  5 x  5
b)  x  3   x  3
c)  3a  2  2  3a 
d)

5 2

 
5 2 

5 1
2
Oppgave 0.9
Faktoriser uttrykkene.
a) 4 x 2  2 x
b) x 2  81
c) 2t 2  8
d) x2  2 x  1
Oppgave 0.10
Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene.
a) x2  4 x  3
b) x2  x  2
c) a2  2a  15
d) y 2  11y  28
Oppgave 0.11
Forkort brøkene.
x2 1
a)
2x  2
2
b)
3x 2  12
6 x  12
c)
x3  x 2
x2 1
d)
2 x 2 y  4 xy 2
x3  4 xy 2
Kapittel 0: Test deg selv
Fasit – Selvtest
0.1
a) 78
b) 22
c) -13
0.2
4
5
c)
2
5
37
36
b) 1
c)
1
6
49
40
b)
9
10
c) 
5
4
b)
3x
5
c)
a) 1
b)
2
21
d)
0.3
a)
0.4
a)
0.5
a)
0.6
a) 3ab
b) 4 x  2
6
13
6  a  1
2a  9
c) 6b(3b  a)
d)
2 x
2x 1
d) 0
0.7
a)
3a 2  6ab  3b 2 3(a 2  2ab  b 2 ) (a  b) (a  b) a  b



6(a  b)
2  3(a  b)
2
2 (a  b)
b)
a 2  6ab  9b2
(a  3b) 2
a  3b


2
2
a  9b
(a  3b) (a  3b) a  3b
0.8
a) 10( x  5)
b) 12x
c) 9a 2  12a  4
d) 2 5  3
b)  x  9  x  9 
c) 2  t  2  t  2 
d)  x  1
b)  x  1 x  2 
c)  a  3 a  5
d)  y  4  y  7 
0.9
a) 2 x  2 x  1
2
0.10
a)  x  1 x  3
0.11
x 1
a)
2
b)
x2
2
c)
x2
x 1
d)
2y
x  2y
3
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Kapittel 1 Grunnleggende emner
Dette kapittelet er en repetisjon av grunnleggende konsepter og
prinsipper. Vi oppsummerer emner som:
- Tallmengder, intervall
- Bokstavregning og brøkregning
- Regler for potensregning
- Absoluttverdi
- Geometriske og aritmetiske rekker
1.1 Tallinjen og reelle tall
Reelle tall er mengden av de tall som tilsvarer
alle punkter på en uendelig lang tallinje og
betegnes eller R .
1.2 Mengder og tallmengder
En mengde inneholder visse objekter, kalt elementer. Elementene kan i prinsippet være hva
som helst, for eksempel tall, personer, biler eller andre mengder.
x  M: x er et element i mengden M
x  M : et element x er ikke i mengden M
En mengde kan være tom. Den tomme mengden blir betegnet med Ø.
Kjente tallmengder:



Mengden av alle naturlige tall: N  {1, 2,3, }
Mengden av alle hele tall:
Z  { , 3, 2, 1,0,1, 2,3, }
p
Mengden av alle rasjonale tall: Q  { | p og q er hele tall , q  0}
q
Mengden av alle reelle tall:
R inneholder alle tall på reelle tallinjen

Et reelt tall som ikke er rasjonalt kalles irrasjonalt, for eksempel:

Eksempel 1.1
Noen rasjonale tall:
Noen irrasjonale tall:
4
0,18 ,
2
3
,  , 5
3
7
2 ,
2
Kapittel 1
1.3 Intervaller
Intervaller er deler av tallinjen. Et intervall kan være lukket eller åpent:

Intervallet 0  x  3 er lukket og kan skrives som:  0 , 3
 Intervallet 0  x  3 er åpent og kan skrives som:  0 , 3 
 Intervallet x  3 er halvt lukket/halvåpent og kan skrives som: [3, ,  eller [3 ,  

Intervall notasjon
Grafisk framstilling
Åpent intervall

a
,


xa
(
a
a xb
a,b
(
a
xa
 , a 
xR
(x tilhører reelle tall)
Halvt åpent intervall
xa
 ,  
Intervall notasjon
[a,  
a xb
[a, b 
xa
 , a]
Lukket intervall
a xb
Intervall notasjon
[a, b]
)
b
)
a
Grafisk framstilling
[
a
[
a
)
b
]
a
Grafisk framstilling
[
a
]
b
1.4 Regnerekkefølge
Kunnskaper om sammenheng mellom regneoperasjonene er svært viktig i algebra.
I sammensatte uttrykk kan man regne ut uttrykket i følgende rekkefølge:
1.
2.
3.
4.
Regn ut alle parenteser
Regn ut potenser
Multipliser eller divider
Legg sammen eller trekk fra
5
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Eksempel 1.2
Regn ut uten kalkulator:
12  5  3  22  7(5  3)3  2(3)2  (2)3
Parenteser og potenser: 12  5  3  4  7  8  2  9  8
Multipliser: 60  12  56  18  8
Legg sammen: 60  12  56  18  8  2
1.5 Bokstavregning og brøkregning
Algebra er for mange det samme som bokstavregning. I matte brukes bokstaver spesielt i
formler, ligninger og ulikheter, identiteter og funksjonsuttrykk.
a  a 2  a3
a  2a  3a
 Et ledd
2x3 er et ledd, der 2 er koeffisient, x er variabel og 3 er eksponent.
To ledd atskilles fra hverandre med + eller – : 2 x3  3x
 En faktor
x( x  2) består av 2 faktorer.
To faktorer atskilles fra hverandre med gangetegn: x y .
Regneregler
Addisjon
Multiplikasjon
Kommutativ lov
a bb a
Assosiativ lov
Distributiv lov
Motsatte og
inverse tall
ab ba
a  (b  c)  (a  b)  c
a  (b  c)  (a  b)  c
a  (b  c)  ab  ac
a  (a)  a  a  0
1 1
a   a
a a
der a  0
Tallet 0 og 1:
a00aa
6
a 1  1 a  a
Kapittel 1
1.6 Parentesregler
a  b  c   ab  ac
 a  b  (c  d )  ac  ad  bc  bd
1.7 Brøkregning og brudden brøk2

bc b c
 
a
a a
Husk:
a
a a
 
bc b c

a c ac
 
b d bd
Husk:
a

a:
c
d ad
 a 
d
c
c
Husk:

a c a d ad
:   
b d b c bc
Husk:
b a b

c
c
a
c
d ad
 a:  a 
c
d
c
c
d
a
b  a : c  a  d  ad
c b d b c bc
d
1.8 Faktorisering
Faktorisering er en prosess der man deler opp et matematisk uttrykk som for eksempel en
ligning eller et tall i mindre enheter (faktorer) som kan ganges sammen for å få det
opprinnelige uttrykket.
Eksempel 1:
x  3x2  5x  x2  2 x2  6 x  2 x( x  3)
Eksempel 2:
4a 2 b  12ab2  8b3  4b  a 2  3ab  2b2 
1.9 Fellesnevner

Fellesnevner
Fellesnevner er det minste tallet som er delelig med alle
nevnerne3.
Eksempel 1:
1
2
1 3
22 3 4 7





2a 3a 2a  3 3a  2
6a
6a
x  1 2  x  1 x 2  x  1 x 2  x  2 x  2 x 2  x  2
Eksempel 2:
 



x  1 x  x  1 x x( x  1)
x  x  1
x  x  1
2
3
En brudden brøk består av en brøk i telleren, en brøk i nevneren og en hovedbrøkstrek mellom dem.
For mer info kan du lese her: http://math.uib.no/forkurs/Primtall.pdf
7
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
1.10 Absoluttverdi
Absoluttverdien eller tallverdien til et reelt tall er den numeriske verdien til tallet uten hensyn
til fortegnet. Den geometriske tolkningen av absoluttverdi kan være avstand på tallinjen.
x x0
| x | 
 x x  0
Husk:
x 2 | x |
Grafen til y | x | :
Absoluttverdien av x kan tolkes som avstanden fra 0 til x på tallinjen.
Tilsvarende vil x  y bli avstanden mellom x og y på tallinjen. Dermed har vi at de x som
tilfredsstiller ligningen x  1  2 er alle tall x slik 1  x  3 .
Noen regneregler som gjelder:
 | ab || a || b |

| a | | a |
 | b |  | b | (b  0)

| x | a  x   a
| x | 0  x  0
| x |  a  a  x  a
| x |  a  x  a
xa
Det kan vises:
| ab| | a| |b|
a  b  ab
Eksempel 1.3
a) Beregn: | 3 | 7 ||
b) Løs ligningen | x  2 | 3
c) Tegn grafen til y  | x  2 |
a) | 3 | 7 ||| 3  7 | 4
b) | x  2 | 3
x2
x  2
c) y | x  2 | 
. Grafen er vist her:
 ( x  2) x  2
Eksempel 1.4
Løs ligningene og ulikheten: a) | x  5 |  3
b)
| x  5 | 3
a) x  5  3  x  2  x  8
b) | x  5 | 3  3  x  5  3  2  x  8
x  0  x  x  x R
c) 
 x  0 eller x   x x  R, x  0
x  0  x  x  x  0
8
c) | x | x
Kapittel 1
1.11 Potenser med heltallige eksponenter
a n kalles potens (potensledd) og er definert som: a n  a  a  a 
a
n ganger
der a er grunntall og n er et naturlig tall og kalles eksponent.
1
Hvis a  0 , kan vi skrive a 0  1 og a  n  n
a
Regneregler
a m  a n  a mn
 a  b n  a n  b n
am
 a mn
n
a
an
 a
   n
 b
b
a 
n m
a
nm
n
 a

m n
a a
q
p
p
q
Husk:
a n 
a0  1
Kvadratrot skrives slik:
og
1
1
an
an  n a
1
2
a  a . n’te rot skrives
1
n
og kan noteres:
n
a  an
Eksempel 1.5
Skriv så enkelt som mulig:
 x 
a) 

 x
2
2
 x 
x2
a) 

x

x
 x
b)
b)
x3
x
x3
x
x
1
(3  )
2
5
 x2  x
4 1
2
1
 x2 x 2  x2 x
1.12 Kvadratsetningene
 a  b 2  a 2  2ab  b 2 (1. og 2. kvadratsetning)
a 2  b2   a  b  a  b 
(3. kvadratsetning)
1.13 Geometrisk rekke
Kjennetegnet til en geometrisk rekke er at forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant.
a
a2 a3

  n  k (kvotient)
a1 a2
an 1
Summen av de n første leddene i rekken er: S = a1 + a1k + a1k 2 +
og kan utledes som S  a1
 a1k n1
1 k n
, husk at n er antall ledd i rekken.
1 k
9
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Geometrisk rekke, ledd n
an  a1k n1
k er rekkens kvotient
Summen av de n første leddene i en
geometrisk rekke
1 k n
S  a1
1 k
a
s 1
1 k
Gjelder for k 1.
Hvis k =1 er, S  na1
Gjelder for 1  k  1
S = 0 når a1  0
Verdien Kn om n år av et beløp
K0 i dag
Summen av en uendelig
geometrisk rekke (konvergent)
Rentesrenteformelen
K n  K 0 (1 
p n
)
100
Eksempel 1.6
Ved den første injeksjonen gir dosen 5 enheter.
Pasienten skal få 20 injeksjoner med en ukes mellomrom.
a) Hvor mye skal injeksjonen økes slik at den siste dosen er 100 000 enheter?
b) Hvor mange enheter mottar pasienten i løpet av de 20 injeksjonene?
p n1
a) K n  K0 (1 
)
100
p 19
p
100, 000  5(1 
)  1
 (20, 000)1/19  1, 684  p  0, 684 eller 68, 4 % .
100
100
b) Vi ønsker å bestemme summen til 30 ledd i en geometrisk rekke:
1  (1, 41)20
19
2
S = 5 + 5 (1,41) +  5(1, 41) +  5(1, 41)  5 
 1,175 104 enheter
1  1, 41
1.13.1 Summetegnet

Summetegnet kan hjelpe oss til å omskrive en sum som følger en bestemt regel:
n
a
i 1
i
 a1  a2  a3 
 an
Eksempel 1.7
Skriv summen 3(2)4  3(2)5 
3(2)4  3(2)5 
 3(2)10 ved hjelp av summetegnet. Regn ut summen.
10
 3(2)10   3(2)i eller 3(2)4  3(2)5 
i 4
Summen er da lik: 3(2)4  3(2)5 
 3(2)10  3(2) 4
n
Bemerk: a1 + a1k + a1k 2 +
10
 a1k n1   ai (k )i 1 
i 1
7
 3(2)10  3 (2)i 3
1 2
 6096
1 2
7
a1 (1  k n )
1 k
i 1
Kapittel 1
Eksempel 1.8
Bestem summen til den geometriske rekken:
5  10  20 
 640
For å bestemme n (antall ledd i rekken) kan vi benytte:
an
 k n 1
a1
640
 128  2n1  2n1  27  n  8
5
Summen er da lik: 5  10  20 
Bemerk: a1 + a1k + a1k 2 +
1  28
 1275
1 2
n
a (1  k n )
  ai (k )i 1  1
1 k
i 1
 620  5
 a1k n1
1.14 Aritmetisk rekke
Kjennetegnet til en aritmetisk rekke er at differansen mellom alle to påfølgende ledd er
konstant. a2  a1  a3  a2   an  an1  d
Summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved:
n
n
n
ai  a1  (a1  d )  (a1  2d )   (a1  (n  1)d )  (a1  an )  (2a1  (n  1)d )

2
2
i 1
Eksempel 1.9
Bestem summen til den aritmetiske rekken:
5  9  13 
 49
Differansen d kan bestemmes: d  9  5  13  9  4
For å bestemme n (antall ledd i rekken) kan vi benytte: an  a1  (n  1)d
4(n  1)  49  5  n  1  11  n  12
Summen er da lik: 5  9  13 
n
Bemerk:
a
i 1
i
 49 
12
(5  49)  324
2
 a1  (a1  d )  (a1  2d ) 
 (a1  (n  1)d ) 
n
(a1  an )
2
11
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Oppgaver – Kapittel 1
Oppgavene skal løses uten bruk av kalkulator.
Oppgave 1.1
Regn ut.
a) 3  24  3  42  4 
c)  3   52  42  32   12   1
b) 32  4  2   4  22  2 
5
19
Oppgave 1.2
Regn ut.
a)
36 32

8 144
b)
2
c) 5
7
15
3 35

7 30
d)
2
:6
3
Oppgave 1.3
Regn ut.
2 1
4
a) 

x 2 x 3x
b)
1
1
3

 2
x 1 x 1 x 1
b
2
b)
b
2b 
3
a a

c) 2 5
a a

5 2
 1 1 1
c) 
 :
 x x x
Oppgave 1.4
Regn ut.
a
a) 15
a
3
b
Oppgave 1.5
Regn ut.
a)
x 1
a
a

c) 2 x  1 2 x  1
1
2
4x  1
x 2
2
b)
1 x
x 2
Oppgave 1.6
Multipliser og trekk sammen.
a) a 1  b2   2a  b2  b   ab(2  b)
b)  3x  2  3x  2    3x  2 3x  2 
c)  a  2b    a  2b  (a  2b)
d) 2  x 2  x  2  x
2
12


 

2
4 x
Kapittel 1
Oppgave 1.7
Skriv så enkelt som mulig:
a)
4a 2  4ab  b 2
(2a  b)
b)
a 2  4ab  4b 2
a 2  4b2
Oppgave 1.8
Bruk kvadratsetningene og regn ut.
2
a)  x  3   x  3 x  3
b)  x  a    x  a 
c)  3a  2  2  3a   (3a  2)2
d)
2

3 2

2
 
3 2 

2 1
2
Oppgave 1.9
Faktoriser uttrykkene.
a) 9 x 2  3x
b) 4 x 2  49
c) 4t 2  9
d) x2  6ax  9a 2
Oppgave 1.10
Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene.
a) x2  5x  4
b) x2  2 x  3
c) a 2  a  12
d) b2  b  6
Oppgave 1.11
Forkort brøkene.
x2  9
a)
2x  6
x 2  36
b)
4 x  24
c)
xx x
1 x
3x 2 y  9 xy 2
d) 3
x  9 xy 2
Oppgave 1.12
Skriv så enkelt som mulig ( a  0 ) :
a)
a3  a 4
( a 2 )3
b)
Oppgave 1.13
Bestem summene:
2 4 8
a) 1   

3 9 27
1 1
1
b) 1   2  3 
x x
x
a3
3
a2 a
c)
a a  3 a 
3
a4
3
d)
a2  a  6 a  4 a
a
3 4
a3  a 4
der x  1
Oppgave 1.14
a) Løs ligningen: ( x  1)2  2 .
b) Tegn grafen til y | x  1| .
c) Bestem største verdien til f ( x)  5 | x  1| .
13
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Fasit – Kapittel 1
a) 12 b) 30 c) 12
1
5
a) 1 b)
c)
2
7
1.1
1.2
1.3
a)
6  2 3 1
24
1



6  x 3  2 x 2  3x 6 x
1
5
1.4
a)
1.5
1.6
a) (1  x )
a) a
1.7
a) 2a  b
1.8
d)
1
9
1
c) x  1
x 1
b
3b
b
3
2  2  9
b)
c)
b 5b 10
7
2b 
3
3
b) x  2
c) 2a
b)
2
b) 4  3x  2 
c) 4b(a  2b)
d) 2x
a) 6  x  3
a  2b
a  2b
b) 4ax
c) 6a(3a  2)
d) 2(1  2)
1.9
1.10
a) 3x(3x  1)
a) ( x  1)( x  4)
b) (2 x  7)(2 x  7)
b) ( x  3)( x  1)
c) (2t  3)(2t  3)
c) (a  4)(a  3)
d) ( x  3a)2
d) (b  2)(b  3)
1.11
a)
b)
x3
2
x6
4
b)
c) x
d)
3x 2 y  9 xy 2
3xy( x  3 y )
3y


3
2
x( x  3 y )( x  3 y ) x  3 y
x  9 xy
1.12
7
5

a3  a 4 a 2
1
1
2


a
 5  2
2 3
6
(a )
a
a a
a2
a)
c)
a a  3 a 
3
a
4
a) S  1 
1.13
b) 1 
1 1 4
1  
2 3 3
a
 a
b)
3
d)
2 4 8
 

3 9 27
1 1
1
 2 3
x x
x
der x  1
3 4
a) x  1  2  x  1  2  x  3  x  1
c) Største verdien er 5 for x  1 .
14
 a2
a2 a
a
2 1
(  )
3 2
a
2 1 1 1
7
(    )  (1 )
3 2 6 4
12
9  4 3
6
2
 a6  3 a
 a0  1
a3  a 4
2
1  ( )n
1 k
3 3
S  a1
 lim1
2
1  k n
1
3
1
1  ( )n
1 k n
1 x 1
x  x
der lim( ) n  0
S  a1
 lim1
n  x
1  k n 1  1
x 1
x
1.14
x 1 x  1
b) y | x  1| 
1  x x  1
3
a2  a  6 a  4 a
a
3
a3
n
Kapittel 2
Kapittel 2 Funksjoner, ligninger og ulikheter
Her skal vi ta for oss sentrale begreper knyttet til funksjoner og deretter studere ligninger
og ulikheter.
2.1 Hva er en funksjon?
En funksjon f er en regel som tilordner ethvert element, x, fra en mengde kalt
definisjonsmengde, til et entydig bestemt element, y, i en mengde kalt verdimengde:
y  f ( x) der x  D f
og y V f
x og y kalles henholdsvis uavhengig variabel og avhengig variabel.
Kravet for at en relasjon y  f (x) er en funksjon er:
For enhver x i definisjonsmengden finnes én og bare én y i
verdimengden:
x1  x2  y1  y2
Vertikallinjetesten: En linje parallell med y-aksen skjærer funksjonskurven høyst i ett
punkt.
Eksempel 2.1
y  x 2 er en funksjon, mens y 2  x ikke tilfredsstiller
definisjonen til en funksjon (grafen til y  x 2 som er vist litt
tykkere har bare ett skjæringspunkt med en vertikal linje, mens
y 2  x har to).
2.2 Grafen til en funksjon
La f være en funksjon. Mengden av alle tallpar ( x , f ( x)) som vi får ved å la x
gjennomløpe definisjonsmengden til f , kalles grafen til funksjonen y  f ( x) .
Eksempel 2.2
Grafen til y  f ( x)  x2  1 er vist her:
Som vi ser, er denne relasjonen en funksjon.
15
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
2.3 Noen viktige begrep

Monotoni
(i) En funksjon f er voksende dersom:
x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )
(ii) En funksjon f er strengt voksende dersom:
x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )
(iii) En funksjon f er avtagende dersom:
x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )
(iv) En funksjon f er strengt avtagende dersom:
x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )

Kontinuitet
En funksjon y  f ( x) er kontinuerlig dersom grafen er sammenhengende.
I kapittel 5 skal vi studere kontinuitetsbegrepet nærmere.

En entydig funksjon
For enhver y i verdimengden finnes én og bare én x i definisjonsmengden. Vi kan bruke den
såkalte horisontallinjetesten til å studere entydighet.

Horisontallinjetesten
En linje parallell med x-aksen skjærer funksjonskurven høyst i ett punkt.

Sammensatte funksjoner
For eksempel: y  x 2  1 kan anses som y  g ( x) der g ( x)  x 2  1.

Oppdelte funksjoner
En funksjon som er uttrykt ved hjelp av flere funksjonsuttrykk i forskjellige intervaller.
 x2 x  0
For eksempel: f ( x)  
2 x x  0

16
Odde og jamne funksjoner, og symmetriegenskaper (er foreløpig ikke pensum)
Kapittel 2
2.4 Noen funksjoner
Polynomfunksjoner: f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2   an x n (polynom av n’te grad)
(for eksempel førstegrads- og andregradsfunksjoner)
f ( x)
Rasjonale funksjoner: y 
( g ( x)  0 ), der f og g er polynomfunksjoner
g ( x)
Eksponentialfunksjoner: y  a x , a  0
Logaritmefunksjoner: y  log a x , der x  0 , a  0 .
(for eksempel briggske logaritmer, y  log x og naturlige logaritmer, y  ln x )
Trigonometriske funksjoner: y  sin x , y  cos x , y  tan x , y  c  a sin( x   ) , …
2.5 Førstegradsfunksjoner f ( x)  ax  b
En førstegradsfunksjon er en funksjon der funksjonsuttrykket er av første grad og kan skrives
på formen: y ax b , der a kalles stigningstall og b er konstantleddet.
 Ettpunktsformelen: y  y0  a( x  x0 )
(en rett linje med stigningstall a som går gjennom punktet ( x0 , y0 ) )
y  y0 y1  y0
 Topunktsformelen:

x  x0
x1  x0
(en rett linje gjennom punktene ( x0 , y0 ) og ( x1 , y1 ) der stigningstallet da blir a 
y1  y0
)
x1  x0
Grafen til y  ax  b , der a kalles stigningstall og b konstant ledd, er en rett linje.
a  0  funksjonen er strengt voksende.
a  0  funksjonen er strengt avtagende.
a  0  funksjonen er konstant: y  b .
2.6 Ligninger
En ligning består av to matematiske uttrykk som er satt lik hverandre, der uttrykkene
inneholder minst én ukjent. Den ukjente betegnes ofte x .
Når ett ledd (i en ligning) flyttes fra en side av likhetstegnet til den andre, må vi skifte fortegn
( , ) på leddet.
En ligning som alltid er oppfylt, uansett valg av den ukjente, kalles en identitet. For eksempel
( x 1) ( x 1) x 2 1 .
17
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
2.7 Førstegradsligninger
Når vi skal løse førstegradsligninger må vi prøve å samle x-ene på en side og tallene på den
andre siden. Men for å få til det må vi legge til eller trekke fra det samme tallet på begge
sider, eller multiplisere eller dividere alle ledd på begge sider med det samme tallet.
Eksempel 2.3
Løs ligningene:
a) 8x
7
88
x
a)
8x
7
88
x
8x
x
88
7
9x
81
81
9
x
9
b)
x
2
x
3
11
x
c) 1
1
(3
2
x)
2x
5
4
b)
c)
x x
6
11 x
2 3
3x 2 x 66 6x
11x 66
x 6
1
2x
(3 x)
4
2
5
10 5(3 x) 2(2 x) 40
10 15 5x 4 x 40
9 x 45 x 5
10 1
2.8 Andregradsligninger ax2  bx  c  0
Vi har å gjøre med en andregradsligning når en ligning har en ukjent som er opphøyd i 2. Den
skrives ofte på denne formen: ax2 bx c 0 , der a , b og c er reelle tall og a 0 .
 Løsningene til andregradsligningen: ax2  bx  c  0 kan skrives som:
x1,2 
b  b  4ac
2a
2
b 2  4ac  0 2 foskjellige reelle løsninger
 2
 b  4ac  0 dobbel løsning
b 2  4ac  0 ingen reell løsninger

c
a

Hvis b  0 , kan ligningen ax2  c  0 ha løsningene x1,2   

Hvis c  0 , kan ligningen ax2  bx  0 ha løsningene x1  0 , x2  

En andregradsfunksjon f ( x)  ax 2  bx  c som har nullpunkt, kan faktoriseres med dens
nullpunkt(er):
ax2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) ,
der x1 og x2 kan bestemmes ved:
18
x1,2 
b  b2  4ac
2a
b
a
Kapittel 2
Det er hovedsakelig tre tilfeller av ligningene:
Eksempel
Ingen konstantledd
c 0
ax 2
bx
x (ax
x
x
Ingen førstegradsledd
b 0
ax 2
ax
x
2x2  4x  0
0
b)
x  (2 x  4)  0
0
0 eller ax
b
0 eller x
b
a
c
2
x  0 eller 2 x  4  0
0
x  0 eller x  2
0
4x2
c
4x
c
a
2
9
4
9
4
x
3
2
x
Generell
ax 2
x
bx
b
0
9
x2
c
a
x
9
2
c
b2
2a
x2
0
x
1 5
2
2 eller
x
b2
4ac
0 : 2 reelle løsninger
b2
4ac
0 : en dobbel løsning
0
( 1) 2 4 1 ( 6)
2 1
1
x
4ac
6
x
x2
x
x
x
4x
x
4
3
0
42 4 1 4
2 1
4
4 0
2
2
Eksempel 2.4
Løs følgende andregradsligning 4 x2
10 x
24
0
SVAR: Bruker abc-formelen. Her er a = 4, b = 10 og c =
x1,2
10
Dette gir de to løsningene x1
102 4 4 ( 24)
2 4
3
4 og x2
2
24 .
10
484
8
10 22
8
19
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Eksempel 2.5
Løs ligningene:
a) x2
3x
b) x 2
4
5x
a)
x2
x
x
x
3x
4
3
3 5
2
1 x
0
32 4( 4)
2
c) x2
5
0
b)
x2 5x
x( x 5) 0
x 0 x 5
c)
x2
x2
x
5 0
5
5
4
2.9 Andregradsfunksjoner f ( x)  ax2  bx  c

Dersom a  0 , smiler grafen, mens grafen er sur når a  0 .

Skjæringspunkt med y-aksen er ( x = 0 , y = c ).

Nullpunktene til grafen (skjæringspunkt med x-aksen) er ( x 


b  b2  4ac
, y  0) .
2a
Husk at andregradsfunksjonen kan faktoriseres hvis den har løsning(er):
ax2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 )
b
Grafen er symmetrisk om linjen: x 
.
2a
For å tegne grafen til en andregradsfunksjon kan vi tenke slik:
1) Er grafen sur eller smiler den?
b
b
b
b
og f ( ) . Faktisk er punktet: ( x 
,y f( ))
2a
2a
2a
2a
koordinatene til maksimumspunktet ( a  0 ) eller minimumspunktet ( a  0 ).
2) Bestem symmetrilinjen: x 
3) Bestem eventuelle nullpunkt.
4) Bestem skjæringspunktet med y-aksen (0 , c) .
20
Kapittel 2
Eksempel 2.6
Tegn grafen til y  x 2  4 x  3
1) Nullpunktene :
x2  4 x  3  0 og dermed er x  1  x  3
b
4
2) Symmetrilinjen: x  

 2.
2a
2
3) a  1  0 grafen smiler og dermed er
(2 , f (2))  (2 , 22  4(2)  3  1) lokalt
minimum.
2.10 Inverse funksjoner
En invers funksjon til en funksjon y  f ( x) der x  D f og y V f
er en relasjon som tilordner y-verdien tilbake til x-verdien.
Dermed er: y  f 1 ( x) der D
f 1
 V f og V
f 1
 Df
Kravet for at en funksjon har en invers funksjon er at
funksjonen er entydig (monoton).
Husk: f 1 ( f ( x))  x og f ( f 1 ( x))  x

Hvordan kan vi bestemme den inverse funksjonen
til y  f ( x) ?
1) Bestem x med hensyn til y.
2) Bytt om x og y.
Eksempel 2.7
Bestem den inverse funksjonen til y  f ( x)  x2  1 gitt x  0
1) Finner x uttrykt ved y:
x 2  y  1 og siden x  0 , får vi: x  y  1
2) Bytter om x og y:
y  x  1 dermed er: y  f 1 ( x)  x  1
Bemerk: D
f 1
 V f  [1,   og V
f 1
 D f  [0,   .
21
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
2.11 Rasjonale ligninger
En brøk er ikke definert når nevneren er null. I rasjonale uttrykk må vi derfor passe på at
nevneren ikke blir null. I uttrykket
x 1
x( x 1)
er nevneren null når x 0 og når x
1 . Det er ikke mulig å sette inn x 0 eller x
1
i uttrykket. Derfor må vi forutsette x 0 og når x
1 når vi regner med dette uttrykket.
Slike forutsetninger er svært viktige når vi løser ligninger der den ukjente er med i nevneren.
(”” betyr ”ikke lik” , i motsetning til ”=”, som betyr ”lik”)
Eksempel 2.8
Løs ligningene:
a)
x 3
x( x 1)
1
x
b)
2
1
2x 1
2
a)
x 3
x( x 1)
2 x( x 1)
x( x 1)
0
2 x2 x 3
x( x 1)
2 x2
0
x
3
0
x
b) 2 flyttes til venstre side og fellesnevneren er x(2 x 1)
2x 1
x
2 x(2 x 1)
0
x(2 x 1) x(2 x 1)
x(2 x 1)
4 x2 5x 1
x(2 x 1)
Bemerk:
A
B
4 x2
0
0
A
5x
0 (B
1
0
x
1 x
1
4
0)
2.12 Irrasjonale ligninger
Vi skal studere noen enkle irrasjonale ligninger på formen:
Eksempel 2.9
Løs ligningene: a)
a)
2x  3  x
2x  3  x
2 x  3  x2
Begge sider kvadreres:
Man får da andregradsligningen: x2  2 x  3  0
2  22  4(3) 
1
x

2
 3

22
b) 5  x  3  x
2  (1)  3  1 1
2  3  3  3 OK !
ax  b  cx  d
1, x
3
2
Kapittel 2
b) Leddet med kvadratroten ønsker vi å ha alene på én side av ligningen.
x 3  x 5
Ligningen må først skrives på formen:
x  3   x  5
Begge sider kvadreres:
2
Høyre side utvides ved hjelp av 2. kvadratsetning:
x  3  x2  10 x  25
Man kan da sette opp andregradsligningen:
x2  11x  28  0
Ligningen har 2 reelle løsninger som må settes på prøve:

4
( x  4)( x  7)  0  

7
43  45
1 1 Umulig
73  75
2  2 OK !
2.13 Ulikheter
Ulikheter er et matematisk oppsett med opplysninger om hva som er større, mindre, større og
lik, eller mindre og lik noe annet. Minst ett av leddene består av en eller flere ukjente.
Hva er de viktigste reglene ved løsing av en ulikhet?
Reglene når du regner med ulikheter er nesten de samme som når du regner med ligninger.
Det kan adderes og subtraheres med samme tall på begge sider. Det kan også multipliseres og
divideres med et positivt tall på begge sider. Men hvis det skal multipliseres eller divideres
med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus for at ulikheten skal stemme.
Å løse en ulikhet er å finne de verdier av x som gjør ulikheten sann.
Hva må man passe på når man løser ulikheter?
Når man løser ulikheter må man passe på å snu ulikhetstegnet når man multipliserer eller
dividerer med negative tall.
Regel 1: Legge til / trekke fra det samme tallet på begge sider.
Eksempel: ulikhet x  2  6 har samme løsninger som ulikheten x  8 (Den andre ulikheten
ble hentet fra den første ved å legge 2 på begge sider.)
Regel 2: Hvis vi bytter sidene i ulikhetene, endrer vi retningen på ulikhetstegnet.
Eksempel: ulikhet 3  x  1 har samme løsninger som ulikheten 1  3  x . (Vi har byttet
side og vendte ``  '' til en ``  '').
Sist, men ikke minst, den operasjonen som er kilden til alle problemer med ulikheter:
Regel 3a: Multiplisere / dividere med samme positive tall på begge sider.
Regel 3b: Multiplisere / dividere med samme negative tall på begge sider og endre retningen
på ulikhetstegnet.
Betrakt ulikhetene med a, b, og c der c  0 (c er negativ):
a  b  ac  bc
a  b  ac  bc
23
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Her skal vi se på noen eksempler med
Enkle ulikheter:
p( x)
,
Doble ulikheter
m( x)
p ( x)
Rasjonale ulikheter
p( x )
 ,  ,  ,  0
q( x)
,
,
0
n( x)
2.13.1 Enkle ulikheter
Ulikheter der deler av x (i første) inngår, løses som en ligning. Ulikheten settes på
standardform slik at du har 0 på den ene siden. Det vil si at alle ledd med x samles på venstre
side og trekkes sammen, og at alle tall samles på høyre side og trekkes sammen.
Eksempel 2.10
b) 
a) 2 x  6
Løs ulikhetene:
x
1
2
x
1
2
x  2
b) 
a) 2 x  6
x  3
Eksempel 2.11
Løs ulikheten:
4  2 x  10
4  2 x  10 .
Det trekkes 4 fra begge sider
 2x  6
Løsningsmengden til ulikheten er da:
{x | x  3}
eller
-3
24
[3, ) .
Begge sider deles med -2
x  3
Kapittel 2
Eksempel 2.12
Løs ulikheten: x2
x
6
0
Andregradsligningen kan faktoriseres: ( x
x
x3
x2
( x 3)( x

   
   
++++
Løsning
2)
3)( x
3
0 ++++
0    
0    
2)
0 . Fortegnsskjema:
2
0 ++++
0 ++++
0 ++++
Løsning

Løsningsmengden til ulikheten er da: {x | x  3  x  2} eller  , 3   2,  
2.13.2 Doble ulikheter
En dobbel ulikhet på formen:
A
ax
b
B
kan løses ved å gjøre alle prosesser i alle tre deler av ulikheten. Prosessene kan vanligvis
gjøres i følgende rekkefølge: subtraksjon/addisjon, multiplikasjon/divisjon.
Eksempel 2.13 – Flersidige ulikheter
Løs ulikheten: 2  3x  1  8
Metode 1: Det adderes 1 på begge sider
3  3x  9
1 x  3
Metode 2: Deler i 2 ulikheter
2  3x  1
3x  1  8
og
3  3x
3x  9
1 x
x3
Snittet mellom disse er : {x | 1  x  3} eller  1 , 3  .
1
3
25
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
2.14 Grafisk løsning
Ulikheten f ( x)  g ( x) kan omskrives som f ( x)  g ( x)  0 . Løsningen er alle x-verdier der
y  f ( x)  g ( x)  0 , det vil si der grafen til y  f ( x)  g ( x) er ovenfor y-aksen.
Eksempel 2.14 - Grafisk løsning
Løs 4 x  5  x2 grafisk.
10
8
Ulikheten skal først omskrives som
6
x  4x  5  0
4
2
Tegn grafen til y   x  4 x  5 og bestem
mengden av x-verdier der y  0 :
2
2
-2
0
-1 -2 0
1
2
3
4
Løsning: {x | 1  x  5} eller  1, 5 
2.15 Rasjonale ulikheter
Her skal vi se på noen eksempler der ulikheten har én eller flere rasjonale uttrykk.
En rasjonal ulikhet kan skrives på formen:
P( x)
Q( x)
0,
P( x)
Q( x)
0,
P( x)
Q( x)
0 eller
P( x)
Q( x)
0
der nevneren Q( x) er forskjellig fra null ( Q( x)
0 ) og har en variabel.
Eksempel 2.15
x 3
0.
x 1
Fortegnsskiftepunkt:
Nullpunkt fåes der telleren er lik null:
Løs ulikheten:
Bruddpunkt fåes der nevneren = 0, dvs. x
x
2
1
0
0
x
x
2.
1.
x

1
3
x  3
0
++++
    0 ++++
x 1
++++
    0     0
x 3
++++
0     4 ++++
Løsning
x 1
Løsning: {x | x  3  x  1} eller  , 3   1,   .

4
 betegner bruddpunkt.
26

5
6
Kapittel 2
Oppgaver – Kapittel 2
Oppgave 2.1
Hvilken av følgende uttrykk for y  f ( x) beskriver en funksjon?
a) y  x 4
b) y 2  x  1
c) y  x  1
Oppgave 2.2
a) Gitt f ( x)  x 2  1 .
Bestem f (0) , f (1) , f ( 3) og f ( a  1)
b) Gitt f ( x)  x 2  1 og g ( x)  x  1 der x  1 .
Bestem f ( g ( x)) og g ( f ( x)) 5. Hva kan vi si om f og g ? 6
Oppgave 2.3
Gitt f ( x)  x  2 .
Bestem definisjonsmengden og verdimengden til til f . Bestem f 1 ( x) .
Sett opp funksjonen g ( x)  f 2 ( x)  2 .
Oppgave 2.4
x2  x
Gitt f ( x) 
. Hva er definisjonsmengden til f? Tegn grafen til f ( x) .
x
Oppgave 2.5
Grafen til en funksjon er vist her:
a) Bestem f (3) og f (2) .
b) Er funksjonen kontinuerlig7 i punktene
x  3 og x  2?
Oppgave 2.6
Tegn grafen til f ( x) 
x
x
der x  0 .
Oppgave 2.7
Løs ligningene:
a) 2  x  4   3x  5  3  x  3
b)
1
1 1
1
x  x 
2
3 4
12
c)
3
2
5
 b  1  1  b   b
2
3
2
Oppgave 2.8
Løs ligningene:
a) 2 x 2  50
5
6
7
b) 3x2  12 x  0
c)
2 2 10
x  0
5
9
f ( g ( x)) og g ( f ( x)) kalles sammensatt funksjon. Disse kan også skrives som f o g og g o f .
Se kapittel 2.10 Inverse funksjoner.
Se kapittel 5.4 Kontinuitet.
27
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Oppgave 2.9
Løs ligningene:
x 1
a)

5 2
b)
1 x
3
2
c)
6
 0,5
1  4x
Oppgave 2.10
Løs ligningene:
a)
 x  5 x  1  0
b) x( x  2)  8
c) y 2  7 y  12  0
b) 2  x  1  6  x
c) x  x  2  2
Oppgave 2.11
Løs ligningene:
a)
x 1  1
Oppgave 2.12
Løs ligningene
a)
x  9  x  2 1
b)
2x 1  x 1  1
Oppgave 2.13
Løs ulikhetene:
a) 5x  4  2 x  2
b) 3  2  x   3  x
c) x  3  2  3  2 x   5  2  x 
d) 2  x  1  3 1  x   x  3
e) 3  2 x  1   5  x   1   x  3
f)
x  4 2x 1

1
3
3
g)
7x  4
x  3 3x
 2

4
2
8
h)
x  4 7 5  2x
 
3
6
2
Oppgave 2.14
Løs ulikhetene:
a)
c)
e)
28
x 2  4  3x
2
2
1
x 1
x
x2
2
1 x
x 3  4x  x 2  4
4x  2
d)
1
x2  1
x2
f) x 
x
b)
|
Kapittel 2
Fasit – Kapittel 2
Oppgaver
c) Ja ( x  1 )
b) Nei . fordi y   x  1
2.1 a) Ja
f (0)  1 , f (1)  2 , f ( 3)  2 og f ( a  1)  a
2.2
f ( g ( x))  f ( x  1)  x og g ( f ( x))  g ( x 2  1)  x tilsier at f og g er inverse funksjoner.
2.3
D f  {x  R | x  2} (alle reelle tall x slik at x er minst 2)
V f  { y  R | y  0} (alle reelle tall y slik at x er mer eller lik 0)
g ( x)  x der x  2 . f 1 ( x)  x 2 2 .
2.4 D f  {x  R | x  0} alle reelle tall unntatt 0.
f ( x)  x  1 (tegn grafen til linjen y  x  1 der punktet (0 , 1) ikke ligger på grafen.
f (3)  1 og f (2)  1 . Funksjonen er kontinuerlig i x  2 men ikke i x  3 .
2.5
f ( x) 
2.6
1 x0

x 1 x  0
x
2.7 a) x  3
b)
2.8 a) x  5
b) x  0  x  4
2.9 a) x  2,5
b) x  5
2.10 a) x  5  x  1
2.11 a) x  0
c) b  
x  1
13
2
5
3
c) x  2,75
c) x  
b) x  4  x  2
b) x  2
c) y  3  y  4
c) x  3  x  2
2.12
a)
x  9  x  2  1  x  9  x  2  1  x  9  x  2  1  2 x  2  6  2 x  2 
3  x  2  9  x  2  x  7
Innsetting viser at løsningen x  7 passer.
b)
2x  1  x  1  1  2x  1  x  1  1  2 x  1  x  1  2 x  1 
x 2  2 x  1  4 x  4  x 2  2 x  5   x  1  4  0
2
Det siste er åpenbart umulig, siden  x  1  4  4  0 . Ligningen har ingen løsning.
2
2.13
a) 5x  4  2 x  2  3x  6  x  2
29
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
b) 3  2  x   3  x  6  3x  3  x  2 x  3  x 
3
2
c) x  3  2  3  2 x   5  2  x   x  3  6  4 x  10  5 x  2 x  13  x  132
d) 2  x  1  3 1  x   x  3  2 x  2  3  3x  x  3  4 x  8  x  2
e) 3  2 x  1   5  x   1   x  3  6 x  3  5  x  1  x  3  8x  0  x  0
x  4 2x  1

 1  x  4  2x  1  3   x  0  x  0
3
3
f)
g)
7x  4
x  3 3x
 2

 2  7 x  4   16  4  x  3  3x 
4
2
8
20
14 x  8  16  4 x  12  3x  15 x  20  x  15
 x  34
h)
i)
j)
x  4 7 5  2x
 
 2  x  4  7  3 5  2 x  
3
6
2
2 x  8  7  15  6 x  8 x  16  x  2
3  5x 1  x

 2  3  3  5 x   5 1  x   30  9  15 x  5  5 x  30 
5
3
17
34  20 x  x  34
20  x  10
2  x  1  3
5  4x
 3   2  x  1  3  4  5  4 x   6 x  15  20  16 x 
4
3
35
10 x  35  x   10
 x   72

2.14
x 2  4  3x
a) x 2  3x  4  0
 x  1 x  4  0
b)
c)
x
x 1
x4
 x  1 x  4  0

   
   
++++
Løsning
1
0 ++++
0    
0    
Løsning:
{x | x  1  x  4} eller  , 1    4,  
 2  x  1 eller x  2
2
2
1
x 1
x
2  x  1  x  x  1  2   x  1
 x  1 x
-
0
2x  x 2  x  2x  2
0
 x  1 x
  x  2  x  1
 x  2  x  1
 x2  x  2
 0  eller
0
0
 x  1 x
 x  1 x
 x  1 x
30
4
0
0
0

++++
++++
++++
Løsning
Kapittel 2
Tallinjediagram:
x
0
1
2

 1
x2
   0    0    0   0 + + +
x 1
   0 +++0+++0+++0+++
x
   0  0+++0+++0+++
x 1
   0    0   0 + + + 0 + + +
( x  2)( x  1)
+ + + 0    8+ + + 0    0 + + +
x
Løsning: x  1 eller 0  x  1 eller x  2

d) Her vet vi at x 2  1 er positiv siden x 2 aldri kan bli negativ. Altså kan vi multiplisere
begge sider av ulikheten med x 2  1 :
4x  2
 1  4 x  2  x 2  1  x 2  4 x  3  0   x  3 x  1  0
x2  1
Setter opp fortegnsskjema, og får x  1 eller x  3 .
e)
x  2  2  x  1
x4
x2
x2
x  4
x4
0.
2
20
0

 0 eller
1 x
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
Vi bruker tallinjediagram:

4
     0++++++
     0     
++++++ 0    
x
x4
x 1
x4
x 1
1
0
0


+++++
+++++
+++++
x4
 0  4  x  1
x 1
x2
x2
x2  x  2
f) x 
 x
0
 0 . Her finner vi røttene i annengradspolynomet i
x
x
x
2
telleren: x  12 1  1  8  12 1  3   , slik at x2  x  2   x  2  x  1 . og
1
x 2  x  2  x  2  x  1
. Tallinjediagram:

x
x
Konklusjonen er at

x
x2
x 1
x
( x  2)( x  1)
x
Konklusjonen er at
8


   
   
   
   
0
2
1
0     0    0
0 ++++ 0 ++++ 0
0     0 ++++ 0
0 ++++
   0
Løsning

x2  x  2
 0  1  x  0 
x

++++
++++
++++
++++
Løsning
x2
 betegner bruddpunkt.
31
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Kapittel 3 Eksponentielle funksjoner og logaritmer
Her skal vi studere eksponentielle funksjoner som kan beskrive en eksponentiell vekst og
lære oss hvordan vi kan benytte logaritmer til å løse eksponentialligninger.
Vi skal også oppsummere at y  e x og y  ln x er inverse funksjoner.
3.1 Eksponentiell vekst
Når en størrelse øker/synker med en fast prosent over like store tidsrom, kalles endringen
en eksponentiell vekst/reduksjon.
f  x  c  ax
a0
c0
Eksponentiell vekst når


 Eksponentiell reduksjon når

der a er vekstfaktor og kan skrives om a  1 
a  1 For eksempel
0  a  1 For eksempel
y  5  2x
1
y  7  ( )x
2
p
og p kalles rentefot (gitt i %).
100
Eksempel:
 Vokser
For en verdi som 
med 20%
Synker
For en verdi som vokser med 200%
Vokser med 20% a  1  0, 2  1, 2

Synker med 20% a  1  0, 2  0,8
a  1 2  3
Eksempel 3.1
Ved 1. januar 1980 var jordens befolkning 4,1 milliarder. Vi regner med at folketallet
vokser med ca. 2 % pr. år. Sett opp en funksjon som beskriver folketallet t år etter året
1980.
Modellering ved hjelp av eksponentialfunksjonen: f  t   c  at .
Vi ønsker å bestemme c og a.
Vi kan betrakte året 1980 som t  0 og dermed er f  0   4,1  f (0)  c  a0  c  4,1
Vekstfaktoren er a  1  0,02  1,02 og funksjonen blir:
f  t   4,1  (1,02)t (milliarder)
som bestemmer folketallet t år etter året 1980.
I forrige eksempel, hvis vi skulle bestemme hvor lenge det tar før jordens befolkning har
blitt 4,9 milliarder. Det vil si vi skal bestemme t når:
4,1 (1,02)t  4,9
Her vi kan benytte logaritmer.
Jeg løser denne ligningen her, men du kan se på løsningen etter du har lært om logaritmer:
ln(4,9 4,1)
(1, 02)t  4,9 4,1
t ln(1, 02)  ln(4,9 4,1)
t
9
ln(1, 02)
32
Kapittel 3
3.2 Logaritmer f  x   log x og f  x   ln x
Logaritmen til et tall a med grunntall b er den eksponenten x som grunntallet må opphøyes
i for å få tallet b:
a x  b  x  log a der a  0 og b  0
b
Grunntallet b kalles også basis for logaritmen. Tallet b er antilogaritmen. Logaritmer med
grunntall lik eulertallet kalles naturlige logaritmer, mens briggske logaritmer bruker
grunntallet 10.
Dersom vi skal bestemme eksponenten i ligningen a x  b , benytter vi logaritmer.
a x  b  x  log a
b
log a ln a
Senere skal vi se at a x  b  x  log a 
(se oppgave 3.10)

b
log b ln b
Når a  0 gjelder:
y  ax
 x  log a y
Ti-logaritmer (Briggske logaritmer):
y  10x
Naturlige logaritmer
y  ex
 x  ln y
ln e  1
,
log10  1
,
log1  0
,
 x  log y
ln1  0
Bemerk at x  0 er vertikal asymptote for f  x   log x ( lim log x   ) .
x 0
Noen nyttige regler
log(10 A )  A
ln(e A )  A
10log A  A
eln A  A
3.3 Regneregler for logaritmer
log  A  B   log A  log B
der A  0 og B  0
log
A
 log A  log B
B
log An  n  log A
33
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Eksempel 3.2
Skriv så enkelt som mulig:
a) log100
b) log1000
Fasit: a) 2
c) log 0,001
d) log 10
c) 3
b) 3
d) 0,5
e) log
e) log 7  2
7
100
3.4 Den naturlige logaritmefunksjonen
Dersom grunntallet i logaritmen er ”e”, kalles logaritmen den naturlige logaritmen.
y  e x og y  ln x er inversfunksjoner.

lim e x  

for y  e )
lim ln x   og ( x  0 er vertikal asymptote for y  ln x )
x 
og
lim e x  0 ( y  0 er horisontal asymptote
x 
x
x 0
3.5 y  e x og y  ln x er inversfunksjoner
Når a  0 gjelder:
y  ax
 x  loga y
og dette kan bety at y  log a x er inversfunksjonen til y  a x
f ( x)  10x  f 1 ( x)  log x
f ( x)  e x  f 1 ( x)  ln x
3.6 Eksponentiale og logaritmiske ligninger
3.6.1 Ligningen a x  b
Generelt
ax  b
Eksempel 3.3
ln(a x )  ln(b)
ln(3x )  ln(7)
x  ln a  ln b
x  ln 3  ln 7
x
34
ln b
ln a
3x  7
x
ln 7
ln 3
Kapittel 3
3.6.2 Noen eksponentialligninger
Her skal vi se på noen eksponentialligninger som kan løses ved hjelp av forskjellige
framgangsmåter.
Eksempel 3.4
Løs ligningene:
a) 3e2 x1  5
b) e2 x  3e x  2  0
a) 3e2 x1  5
5
e2 x 1 
3
2 x  1  ln(5 / 3)
1
x  (ln(5 / 3)  1)
2
b) e2 x  3e x  2  0
Velger hjelpevariabelen: u  e x
u 2  3u  2  0 som gir: u  1  u  2
e x  1  x  ln1  0
e x  2  x  ln 2
ae2 x  be x  c  0 kan løses ved å velge u  e x : au 2  bu  c  0 (andregradsligning)
3.6.3 Noen logaritmiske ligninger
Eksempel 3.5
Løs ligningene:
b) 3ln( x)  ln( x2 )  ln(32)
a) ln( x  1)  2
a)
ln( x  1)  2
b)
c)
3
2ln( x)  ln( x )  ln(243) ln( x)  ln(2 x  1)  0
ln( x(2 x  1))  0
x  1  e2
ln( x  x )  ln(243)
2
x  e2  1
c) ln( x)  ln(2 x  1)  0
3
x5  243  x  5 243  3
x(2 x  1)  1  2 x 2  x  1  0
x
1
, x 1
2
Bemerk: x  
1
kan ikke være løsning,
2
fordi x  0.
35
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Oppgaver – Kapittel 3
Oppgave 3.1
e2 x  2e x
a)
ex
Skriv så enkelt som mulig:
b)
5e2 x   2e x 
2
 3e 
x 2
Oppgave 3.2
Eksponentialfunksjonen gitt ved: f ( x)  c  a x kan skrives som f ( x)  c  ek x .
Bestem k.
Oppgave 3.3
Folketallet i en bygd ved 1. januar 2000 var 1500.
Vi regner med at bygdens befolkning vokser med ca. 3 % pr. år.
a) Sett opp en funksjon som beskriver folketallet t år etter året 2000.
b) Hva er folketallet til bygda i slutten av 2005 etter denne modellen.
Oppgave 3.4
t år etter at en organisme døde, er andelen av radium redusert til p % av mengden i den
levende organismen. Halveringstiden er ca.1620 år.
Sett opp en eksponentialfunksjon som beskriver p(t ) målt i %.
Oppgave 3.5
Skriv så enkelt som mulig uten å bruke kalkulator:
a) ln e  2ln1
b) ln e2
d) ln  3a 2   2ln a  ln  a 4  e) ln e x
c) ln a  2ln a  ln a 2
f) ln a3  3ln 3 a  2ln a 2
Oppgave 3.6
Skriv så enkelt som mulig:
a) e3ln x
b) e2ln
x
c) e2 ln x ln 5
Oppgave 3.7
Løs ligningene:
a) e2 x  5
36
b) 5e2 x  11
c) 3e5 x  7  0
Kapittel 3
Oppgave 3.8
Løs ligningene:
b) ex  2e x  3  0
a) e2 x  3e x  2  0
Oppgave 3.9
Løs ligningene:
a) 2ln x  1  0
b) 3ln x  ln x2  9
c) 2x  6
d) 5  3x  7
Oppgave 3.10
log a ln a
Vis at a x  b  x  log a 
.

b
log b ln b
Fasit – Kapittel 3
3.1
3.2
a) e x  2
b) 1
Vi vet at : a  eln a .
3.3
a) N (t )  1500  (1,03)t
a x  (eln a ) x  eln ax dermed er k  ln a .
b) N (6)  1500  (1,03)6  1791
t
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
1
3.9
t
ln 2
1
p(t )  100  ( )1620 eller p(t )  100  e1620
2
a) 1
b) 2
c) 0
d) ln 3
e) x
f) 0
3
2
a) x
b) x
c) 5x
1
1 11
1 7
a) x  ln 5
b) x  ln
c) x  ln
2
2 5
5 3
a) x  0  x  ln 2
b) Hvis man multipliserer begge sider med e x , får man samme ligning som i del a)
x  0  x  ln 2
a) x  e 2
c) x 
ln 6
ln 2
9
b) x  e 5
7
ln 7  ln 5
d) x  5 
ln 3
ln 3
ln
3.10
ln b
a x  b  ln(a x )  ln(b)  x  ln a  ln b  x 
Def. a x  b  x  logb a
ln a
log b
a x  b  log(a x )  log(b)  x  log a  log b  x 
log a
37
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Kapittel 4 Trigonometri i grader og radianer
Trigonometri (fra gresk trigonon = tre vinkler og
metro = måling) er en gren innenfor matematikken
som studerer forholdet mellom vinkler og sider i en
rettvinklet trekant. Trigonometri anvendes i
matematikk, astronomi og landmåling, men også
innen felter som ikke er direkte forbundet med dette,
som mekanikk og frekvensanalyse (lyd, lys, optikk,
kvantemekanikk). Det er uenighet om trigonometrien
er en egen matematisk gren eller om den er underlagt
geometrien.
I naturen gjentar det seg noen fenomener over en
bestemt tidsperiode. Har man informasjon om fenomenet i denne tidsperioden, kan man bruke
trigonometriske funksjoner til å beskrive fenomenet over flere tidsperioder.
4.1 Vinkelmål: grader og radianer
Vinkelmålet radian er en SI-enhet definert som buelengde delt på radius. Det kalles også for
absolutt vinkelmål. Andre vinkelmål er grader, som kanskje er mest kjent. 360° grader
tilsvarer 2π radianer. Omregningsformelen er:

r

180

r 
d
d
180
der r er vinkelen regnet i radien og d vinkelen regnet i grader (engelsk: degrees).
Eksempel 4.1
Omgjør 30, 45, 60, 90 og 360 grader til radianer.
Vi vet at: 180o   rad , dermed er: 30o 
 rad
6
, 45o 
 rad
4
, 60o 
 rad
3
, 90o 
 rad
2
, 360o  2 rad
4.2 Rettvinklet trekant
En rettvinklet trekant er en trekant hvor én av de tre vinklene
er 90 grader, og hvor Pythagoras’ setning gjelder:
a 2  b2  c 2
Forholdet mellom katetene og hypotenusen kan defineres ved hjelp av sinus og cosinus:
sin A 
38
a
c
cos A 
b
c
tan A 
a sin A

b cos A
Kapittel 4
4.3 Trekantberegninger
Cosinussetningen:
a2  b2  c2  2bc cos( A)
sin( A) sin( B) sin(C )


a
b
c
Sinussetningen:
Se oppgave 4.11-4.14
4.4 Trigonometri i radianer
 Enhetssirkel, sinus, cosinus og tangens
(cos x, sin x)
1
sin x
x
cos x
Figuren til venstre viser de grunnleggende
definisjonene av de trigonometriske
funksjonene.
 Enhetssirkel (en sirkel med radius 1 med
sentrum i origo)
 Cosinus-aksen (horisontalaksen)
 Sinus-aksen (vertikalaksen)
 Skjæringspunktet mellom denne linjen og
enhetssirkelen har da koordinatene:
 cos x , sin x  .
sin x
.
cos x
Med utgangspunkt i denne definisjonen (og Pytagoras' setning) får vi at:
 tan x 
sin 2 x  cos2 x  1
Ved hjelp av enhetssirkelen kan vi sette opp følgende:
sin  x  sin x
sin  x   sin x
Det gjelder også at:
cos  x   cos x
cos  x   cos x
tan  x   tan x
tan  x  tan x

cos x  sin(  x)
2

sin x  cos(  x)
2
Det kan vises at grafen til en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon har

faseforskjell.
2
39
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
4.5 Noen kjente vinkler
Vinkel
0o
30o
Radianer
0

6

4

3

2
450
60o
900
sin x
0
1
2
cos x
1
tan x
0
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
3
3
1

3
180o

0
1
0
2700
3
2
2
1
0

0
1
0
3600
4.6 Grafene til sinus, cosinus og tangens
Sinusfunksjon
y  sin x 0  x  2
Cosinusfunksjon
y  cos x 0  x  2
Tangensfunksjon
y  tan x 0  x  2
Legg merke til at perioden til sin og cos er 2 , mens for tan er den  :
sin x  sin( x  2 )
,
cos x  cos( x  2 )
,
tan x  tan( x   )
Husk: Grafen til en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon har


cos x  sin(  x) eller sin x  cos(  x)
2
2
40

faseforskjell:
2
Kapittel 4
4.7 Trekantberegninger (trigonometri i grader)
a2  b2  c2  2bc cos( A)
Cosinussetningen:
sin( A) sin( B) sin(C )


a
b
c
Sinussetningen:
4.8 Trigonometriske formler
Grunnleggende formler:
sin x  cos x  1
2
tan x 
2
sin x
cos x
cot x 
1
tan x
Trigonometriske formler for ”x  y ”
 sin(x  y)  sin x cos y  cos x sin y ,
 cos(x  y)  cos x cos y sin x sin y
tan x  tan y
 tan(x  y)  1 tan x  tany
Trigonometriske formler for ”2x ”
sin2x  2sin x cos x
cos2x  cos x  sin x  2 cos x 1 1  2sin x
2
2
2
2
Andre formler:
1
cosu cosv  (cos( u  v)  cos( u  v ) )
2
1
sinusin v  (cos( u  v)  cos( u  v ) )
2
1
sinu cosv  (sin( u  v)  sin( u  v) )
2
Eksempel 4.2
Finn eksakte verdier for:
5
a) sin
6
b)
tan
5
4
c)
cos
5
3
(Hint: Bruk tabell i delkapittel 4.5)
a)
1
2
b) 1
c)
1
2
41
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
4.9 Beskrivelse av et periodisk fenomen ved hjelp av en
cosinus- /sinuskurve
der:
y  C0  C1 cos
2
2
(t  t0 ) og y  C0  C1 sin
(t  t0 )
T
T
C0 er middelverdi (likevektslinje), er C1 amplitude,
2
T er periode og sirkelfrekvens er gitt ved  
. t0 kalles akrofase
T
.
:
Noen eksempler for å studere disse parametrene y  C0  C1 sin  ( x  x0 )
C0 = 0 , C1  1 , T  2
y  sin x
Amplitude C1 er fordoblet
y  sin x og y  2sin x
Sirkelfrekvens  er fordoblet
C0 Likevektslinje C0  2
Akrofase t0  
C0 = 3 , C1  2 ,    og t0  1
y  sin x og y  2  sin x
2

y  sin x og y  sin( x  )
2
y  sin x og y  sin 2x
y  3  2sin  ( x  1)
Eksempel 4.3
Grafen til en periodisk funksjon er tegnet her. Funksjonen kan uttrykkes
ved: y  C0  C1 sin  ( x  x0 )
2
Bestem de ukjente parametrene C0 , C1 , T og sirkelfrekvens ved  
T
2 2 
C0 = 3 , C1 = 2 ,  
og x0  0 .


T
4
2
cos( x   / 2)  sin( x) eller sin( / 2  x)  cos( x)
42
Kapittel 4
4.10 Den periodiske funksjonen: f (t )  a cos t  b sin t
Omforming til funksjonen som en cosinusfunksjon:
a cos  t  b sin  t  C cos (t  t0 )
b
der C  a 2  b2 og tan( t0 ) 
a
Husk at ( C , t0 ) er polarkoordinatene til punktet (a , b), og dermed
hører t0 til samme kvadrant som punktet (a , b).
Eksempel 4.4
Gitt funksjonene:
a) f (t )  3 cos 2t  sin 2t
b) f (t )  cos  t  3 sin  t
Skriv dem på formen C cos  (t  t0 ) og tegn grafen.
a)
C  a 2  b2  3  1  2 og
tan(2 t0 ) 
b
1



 2 t0   t0 
a
6
12
3
f (t )  2cos 2(t 

12
) og grafen blir da:
b)
C  a 2  b2  1  3  2 og
tan( t0 ) 
b

1
 3   t0   t0 
a
3
3
1
f (t )  2cos  (t  ) og grafen blir da:
3
43
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
4.11 Ligninger på formen: a sin( x)  b der 0  x  2 .
b
b
og dermed x  sin 1 ( )
a
a
b
b
(Her kan du bare taste ”SHIFT SINUS( ) eller INV SINUS( ) ” på kalkulatoren. Du må først
a
a
sjekke at kalkulatoren et innstilt på ”Radian”.)
Vi skal løse ligningen: a sin( x)  b eller sin( x) 
Vi må huske at 1  sin( x)  1 alltid sin( x) 
omløp ( 0  x  2 ), eller:
b
gir to vinkler x1 og x2    x1 i første
a
b
b
x1  sin 1 ( ) og x2    sin 1 ( )
a
a
De generelle løsningene med uendelig mange vinkler er da:
b
b
x1  2n  sin 1 ( ) og x2  2n    sin 1 ( ) der n  0,1, 2,
a
a
Ligningen sin( x)  a der 0  x  3600 løses på tilsvarende måte. Her er enhetssirkelen tegnet
som forklaring.
Eksempel 4.5
Løs ligningene når
a) 6sin x  3
44
b) 7sin x  2
c) 7sin x  2
Kapittel 4
a) 6sin x  3 ’
3 1
sin x  
6 2
1

x1  sin 1 ( ) 
2
6
x2   

6

1
( sin 1 ( ) er en kjent vinkel. Se tabell i 4.5)
2
5
6
Hvis det ikke var angitt 0  x  2 , ville løsningene være:

5
x1   2n og x2 
 2n
6
6
b) 7sin x  2
2
sin x 
7
2
x1  sin 1 ( )  0, 2879  0, 29
7
x2    0, 29  2,85
Hvis det ikke var angitt 0  x  2 , ville løsningene være:
x1  0, 29  2n og x2  2,85  2n der n  0,1, 2,
c) 7sin x  2
2
x1  sin 1 ( )  0, 2879  2  (0, 2879)  5,99  6
7
x2    (0, 2879)  3, 43
Hvis det ikke var angitt 0  x  2 , ville løsningene være:
x1  6  2n og x1  3, 43  2n der n  0,1, 2,
4.12 Ligninger på formen: a cos( x)  c der 0  x  2 .
Vi skal løse ligningen: a cos( x)  c eller cos( x) 
c
a
c
c
c
x  cos 1 ( ) Her kan du bare taste ”SHIFT COSINUS( ) eller INV COSINUS( ) ” på
a
a
a
kalkulatoren. Du må først sjekke at kalkulatoren er innstilt på ”Radian”.
c
Vi må huske at når 1  cos( x)  1 alltid cos( x)  gir to vinkler i første omløp ( 0  x  2 )
a
c
c
x1  cos 1 ( ) og x2  2  cos 1 ( )
a
a
De generelle løsningene med uendelig mange vinkler er da:
c
c
x1  2n  cos 1 ( ) og x2  2n  cos 1 ( ) der n  0,1, 2,
a
a
c
eller x1,2  2n  cos 1 ( ) .
a
45
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Eksempel 4.6
Løs ligningene når 0  x  2
a) 6cos x  3
b) 7cos x  3
c) 7cos x  3
a) 6cos x  3 ’
cos x 
3 1

6 2
1

x1  cos 1 ( ) 
2
3
x2  2 

3

1
( cos 1 ( ) er en kjent vinkel. Se tabell i 4.5)
2
5
3
Hvis det ikke var angitt 0  x  2 , ville løsningene være:

5
x1   2n og x2 
 2n
3
3
b) 7cos x  3
cos x 
3
7
3
x1  cos1 ( )  1, 279  1, 28
7
x2  2  1, 28  5,15
Hvis det ikke var angitt 0  x  2 , ville løsningene være:
x1  1, 28  2n
og x2  5,15  2n der n  0,1, 2,
c) 7cos x  3
3
x1  cos 1 ( )  2, 014  2, 0
7
x2  2  2,01  4, 27  4,3
Hvis det ikke var angitt 0  x  2 , ville løsningene være:
x1  2  2n
46
og x1  4,3  2n der n  0,1, 2,
Kapittel 4
Oppgaver – Kapittel 4
Oppgave 4.1
La x være en vinkel i 1. kvadrant. Finn (uten å bruke kalkulator) sin x og cos x når:
5
a) tan x  3
b) tan x  1
c) tan x 
12
Oppgave 4.2
Løs ligningene:
a)
5 cos x – 2 = 0, x  [0, 2 
b)
2 sin x +
c)
4 tan x + 11 = 2, x  [0, 2 
3 = 0, x  [0, 2 
Oppgave 4.3
7
og v  [270, 360] . Bestem sin v og tan v .
25
2

b) Vis at 2 cos ( x 
)  4 sin ( x  )  cos x  3 3 sin x
3
6
8

c) Gitt cos v   og v  [ ,  ] . Bestem sin v og sin 2v , cos 2v og tan 2v .
17
2
a) Gitt cos v 
Oppgave 4.4
I trekant ABC er vinkel B = 82.5° , a = 74.0 og b = 92.5
a) Finn de øvrige sidene og vinklene i trekanten.
b) Finn lengden av vinkelhalveringslinjen fra vinkel C .
Oppgave 4.5
I en trekant ABC er følgende oppgitt. Du skal regne ut alle de tre sidene og de tre vinklene.
a) a = 4,7 cm, c=6,9 cm og C  56 .
b) c = 7,2 cm, A  51 og C  72
c) B  48, a=8,0 cm og c= 6,3 cm
Oppgave 4.6
I trekant ABC er |AB| = 11.9 , |BC| = 26.4 , vinkel C = 23.5° , og vinkel A er
stump. Bestem vinkelen A .
47
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Oppgave 4.7
Figuren viser trekant ABC, hvor vinkel C er
stump. Målene fremgår av figuren.
a)
Bestem vinkel C.
b) Bestem arealet av trekanten ABC.
Oppgave 4.8
Figuren viser en trekant ABC, hvor vinkel
A = 53.8° og |AB| = 5.5. Arealet av trekanten
er 24.4.
Bestem |AC| og |BC|.
Oppgave 4.9
En byggegrunn har form som en firkant ABCD , hvor vinkel A = 80°, vinkel B = 60° ,
vinkel C = 105° , |AD| = 21 m og |AB| = 50 m .
a)
Tegn en modell av byggegrunnen, og bestem lengden af diagonalen BD .
b) Bestem arealet av byggegrunnen.
Oppgave 4.10
En trekant ABC er bestemt ved at a = 9 , b = 12 og c = 10.
a)
Bestem størrelsen av vinkel A .
b) Bestem arealet av trekant ABC .
Oppgave 4.11
I trekant ABC er vinkel A = 26.1° ,
|AC| = 5.0 og |BC| = 3.0. Vinkel C er stump.
a)
Bestem vinklene B og C.
b) Bestem |AB|.
c)
Bestem lengden av medianen mc.
Oppgave 4.12
En byggegrunn har form som en firkant
ABCD. Tre av sidene har følgende lengder:
|AB| = 25.7 m , |BC| = 25.1 m og |CD| =
23.8 m. Lengden av diagonalen AC er målt til
38.2 m. Endelig er vinkel D målt til 94°.
a)
Bestem vinkel B.
b)
Bestem byggegrunnens areal.
48
Kapittel 4
Oppgave 4.13
På figuren ses en trekant ABC, hvor M er
midtpunktet av siden AC.
De kjente målene fremgår av figuren.
Videre opplyses det at vinkel ABM er stump.
a)
b)
c)
Beregn vinkel ABM og |AC|.
Beregn |BC| og vinkel B i trekanten ABC.
Beregn arealet av trekant ABC.
Oppgave 4.14
Figuren viser en skisse av en gavlkonstruksjon i et
sommerhus.
De kjente målene fremgår av figuren.
a)
b)
Bestem lengden av bjelkene AB og BD.
Bestem lengden av bjelken BC samt
vinkel BCD.
Oppgave 4.15
Figuren viser en firkant ABCD hvor
diagonalen BD er inntegnet.
De kjente firkantens mål fremgår av figuren.
a)
Beregn |BD|
b) Beregn vinkel D i trekant BDC.
c)
Beregn |CD|.
d) Beregn |AC|.
Oppgave 4.16
Gitt trekanten på figuren til høyre.
a. Vis at a  b  cos C  c  cos B
b. Bruk så sinusproporsjonen til å vise at
sin A  sin B  cos C  sin C  cos B
Oppgave 4.17
I trekanten ABC er AB=7 cm, BC=4 cm og AC= 6 cm.
Halveringslinjen for vinkel C deler AB i stykkene x og y. Beregn disse stykkene.
Gjenta utregningen når AB=c, BC=a og AC=b.
49
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Oppgave 4.18
I trekanten ABC er C  90 , A  30 og AB=s. Halveringslinjen for C deler AB i to
stykker. Beregn disse stykkene uten å bruke tilnærmingsverdier.
Oppgave 4.19
Gitt en trekant ∆ ABC med sidelengder 4, 5.5, og 8 enheter .
Finn vinkelene til trekanten.
Oppgave 4.20
a) Bruk grafene til sin x, cos x og tan x til å vise at:
sin  x  sin x
cos  x   cos x
sin  x   sin x
cos  x   cos x
b) Vis de samme sammenhengene ved hjelp av enhetssirkelen og definisjonene av sin x og
cos x.
Oppgave 4.21
a) Benytt 45o + 30o = 75o til å finne eksakte verdier for sin 75o og cos 75o.
b) Benytt 45o  30o =15o til å finne eksakte verdier for sin 15o og cos 15o.
Oppgave 4.22

a) Tegn grafen til funksjonen: f  x   24  22cos( x) , x [0, 24]
12
Funksjonen forteller hvor høyt sola står på himmelen et sommerdøgn et sted nord for
polarsirkelen. Vi kaller denne høyden over horisonten for solhøyden og måler den i grader.
b) Finn solhøyden kl. 04.00 og kl. 16.00.
c) Når var solhøyden 2o?
d) Når stod sola på det høyeste? Hvor høyt stod sola da?
Oppgave 4.23
Skriv funksjonene nedenfor på formen f  x   C cos  x  v  :
a)
f  x  3 sin x  4 cos x
b)
f  x  cos x  3 sin x
Oppgave 4.24
Grafen til en funksjon på formen y  c  a sin(( x  x0 )) er gitt:
(a)
(b)
Bestem c, a,  og x0 .
50
Kapittel 4
Fasit – Kapittel 4
4.1
a) Du kan tenke deg en rettvinklet trekant der lengden til kateten motstående for
vinkelen x er 3 og hosliggende er 1, det vil si tan x  3 . Lengden til hypotenusen er da
1  ( 3)2  2 .
Vi få da sin x 
1
3
og cos x  . Vi kan bruke samme metode for del b) og c)
2
2
2
2
og cos x 
.
2
2
5
12
c) sin x 
og cos x  .
13
13
b) sin x 
4.2
a)
5 cos x – 2 = 0
5 cos x  2
2
5
Vi bruker kalkulatoren og får fram den ene løsningen.
cos x 
x  1,16
Den andre løsningen finner vi ved å tegne enhetssirkelen.
x = 2 – 1,16 = 5,12
De to løsningene på ligningen er
x = 1,16 og x = 5,12
51
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
b)
2 sin x +
3 = 0, x  [0, 2 
2sin x   3
3
2
Vi tegner enhetssirkelen og finner to løsninger.
sin x  
.


og BOP1 = .
3
3
 5
 4
Av symmetrigrunner får vi da løsningene: x  2  
og x    
.
3
3
3
3
De to løsningene på ligningen er
Vi får to 30-60-90-trekanter der AOP2 =
x
c)
4
5
eller x 
3
3
4 tan x + 11 = 2, x  [0, 2 
4 tan x  2  11
9
tan x  
4
Kalkulatoren gir løsningen
x   1,15
Den generelle løsningen er da
x   1,15  n  
Ettersom løsningen skal være i første omløp, må x  [0, 2  .
n = 1  x = –1,15 + 1  3,14 = 1,99
n = 2  x = –1,15 + 2  3,14 = 5,13
Løsningene er da : x = 1,99 og x = 5,13
52
Kapittel 4
4.3
a)
7
og v  [270, 360]
25
Enhetsformelen gir
cos2 v  sin 2 v  1 eller
cos v 
sin 2 v  1  cos2 v
2
49
576
 7 
sin v  1     1 

625 625
 25 
2
sin v  
Ettersom v  [270, 360] , er sin v negativ. Det gir
24
25
sin v  
24
25
Definisjonen av tan v gir
24
24

 25
24
sin v
25
25
=
tan v 


7
7
7
cos v
 25
25
25
2

2 cos ( x 
)  4 sin ( x  )
3
6
2
2


 2(cos x  cos
 sin x  sin )  4(sin x  cos  cos x  sin )
3
3
6
6
1
1
1
1
 2(cos x  ( )  sin x 
3)  4(sin x 
3  cos x  )
2
2
2
2
  cos x  3 sin x  2 3 sin x  2cos x

b)
 cos x  3 3 sin x
c)
cos v  
8

og v  [ ,  ]
17
2
cos2 v  sin 2 v  1
eller sin 2 v  1  cos2 v
2
64
225
 8
sin v  1      1 

289 289
 17 
15

Ettersom v  [ ,  ] , er sin v positiv. Det gir
sin v  
17
2
15
sin v 
17
15
8
240
sin 2v  2sin v  cos v  2
 ( )  
17
17
289
2
2  225
161
 15 
cos 2v  1  2sin v  1  2    1 

289
289
 17 
240

sin 2v
240
tan 2v 
 289 
161 161
cos 2v

289
2
2
53
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
4-4 a) A = 52.5° , C = 45.1° , c = 66.0
b)
vc = 76.0
4.5
a)
c
a
a  sin C 4.7

 sin A 

 sin 56  0.5647 , A  34.4
sin C sin A
c
6.9
B  180  56  34.4  89.6
b
c
c
6.9cm

b
 sin B 
 sin 89.6  8.3cm
sin B sin C
sin C
sin 56
b)
7, 2cm
a
c
c

a
 sin A 
 sin 51  5.88cm
sin A sin C
sin C
sin 72
B  180  51  72  57
b
c  sin B 7.2cm  sin 57

 6.3cm
sin C
sin 72
c)
b  a 2  c 2  2ac cos B  82  6.32  2  8  6.3  cos 48  6.0 cm
a
b
a  sin B 8.0  sin 48

 sin A 

 0.99,
sin A sin B
b
6.0
C  180  48  82  50
A  82
4.6
a
b
c
a  sin B
a  sin C
gir b 
. Dermed blir


, c
sin A sin B sin C
sin A
sin A
a  sin B
a  sin C
a  c  cos B  b  cos C 
 cos C 
 cos B . Vi dividerer denne likheten med a
sin A
sin A
og multipliserer sin A: sin A  sin B  cos C  sin C  cos B . Siden
sin( B  C)  sin(180  B  C )  sin A , følger at sin( B  C)  sin B cos C  sin C cos B
Sinussetningen
4.6
4.7
4.8
54
a)
a)
b)
a)
A = 117.8°
C = 123°
areal 8674
|AC| = 11.0 , |BC| = 8.9
Kapittel 4
4.9
a)
b)
|BD| = 50.8 m
1010 m2
4.10 a)
A = 47.2°
b)
areal 44.0
4.11 a)
B = 47.2° , C = 106.7°
b)
|AB| = 6.5
4.12 a)
B = 97.5°
b)
718.3
c)
mc = 2.5
4.13 a)
vinkel AMB = 126.5° , |AC| = 2.9
b) |BC| = 5.1 , B = 33.4°
c)
4.66
4.14 a)
|AB| = 2.4 m , |BD| = 3.4 m
b) |BC| = 5.5 m , vinkel BCD = 33.62°
4.15 a)
|BD| = 7.3
b)
vinkel BDC = 38.4°
c)
|CD| = 3.9
d)
|AC| = 8.2
4.16
a) Det er lett å vise ved hjelp av figuren a  b  cos C  c  cos B
a
c
b) Det fremgår ved å dele begge sider b:  cos C   cos B
b
b
sin A sin B sin C 
a
sin A 
c
sin C 
Vi vet at
og dermed er:  
og  
.


a
b
c
b
sin B
b
sin B
sin A 
sin C
 cos C 
 cos B . Man ganger begge sider med sin B og får svaret:
sin B
sin B
sin A  sin B  cos C  sin C  cos B
4.17 Se figuren til høyre.
Ifølge setningen om delingsforhold og
x 6
halveringslinje er  , vi får dermed
y 4
3
x  y . Vi har også x  y  7 .. Da må
2
3
5
14
x  23  145 
2 y  y  2 y  7 , og vi får y  5 ,
Når AB=c, BC=a og AC=b, må x  y  c og
og y 
c
1
b
a

ac
bc
, x
.
ab
ab
21
5
.
b
x AC b

 og x  y . Da må
a
y BC a
 b
1   y  c
 a
55
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
4.18 I denne trekanten er AB=s, BC  12 s , AC  12 s 3 . Setningen om
vinkelhalveringslinjenes deling av den motstående siden i en trekant gir da
3/2
AC AD
AD
og herav AD  3   s  AD  , AD  1  3  3  s
 3


1/ 2
BC BD s  AD

AD 
3



3 1  s

3 1

3 1




1
3 3 s
2
BD  AB  AD  s  1  12  3 
3
2

 
s
2

3 1
4.19
Vi setter a= 5.5 , b= 8, og c= 4 , Vi finner
vha cosinussetningen:
Her lønner det seg å omforme
alene på den ene
a2  b2  c2  2bc cos  slik at vi får
2
2
2
2
2
2
b c a
8  4  5,5
49, 75
siden: cos  


2bc
28 4
64
1

  cos (0,78)  38,74
Vi bruker sinusproporsjonen for å finne
sin  sin 
c  sin  4sin(38, 74)

 sin  

 0, 46
a
c
a
5,5
sin   0, 46
  sin 1 0, 46  27, 4o og dermed:
  180  (38,74o  27, 40o )  113,86o
4.20 a) Det fremgår ved å tegne grafene og se at disse er like.
b) Det fremgår ved å tegne enhetssirkelen og tegne inn vinklene og se at deres sin og cos er
like.
6 2
4
4.21
a) sin 75o 
4.22
a) 13o og 35o
kl. 18.00.
4.23
a) C  5 , v  tan 1
4.24
a) y  5  3sin 2 x
cos 75o 
6 2
6 2
b) sin15o 
4
4
6 2
4
b) Kl. 00.00 (kl. 24.00) c) Ved midnatt (00.00), kl. 06.00 og
d) Høyeste: kl.12.00.
3
 3
 5
   0, 6435  2, 49 b) C  2 , v  tan 1
 2  
1
3
3
4
b) y  5  3sin 2 ( x  0,5) eller y  5  3sin 2 x
56
cos15o 
Kapittel 5
Kapittel 5 Grenseverdi og kontinuitet
5.1 Grenseverdi
La y  f ( x) være en funksjon som er definert om et punkt, men ikke nødvendigvis i selve
x  a . Når variabelen x går mot punktet a, dersom funksjonen nærmer seg en verdi A,
skriver man: lim f ( x)  A
x a
Noen regneregler for grenser
Anta at lim f ( x)  A , lim g ( x)  B . Da gjelder følgende:
x a
x a

lim  f ( x)  g ( x)  A  B

lim  f ( x)  g ( x)  A B

lim
x a
x a
x a
f ( x) A
(B  0)

g ( x) B
5.2 Grenseverdi lim
x a
f ( x) 0

g ( x) 0
I dette avsnittet skal vi se nærmere på tilfellet når lim
x a
f ( x) 0
 og i delkapittel 4.5 når
g ( x) 0
f ( x) 
 . Dersom det er mulig, kan vi faktorisere telleren og nevneren med ( x  a) .
g ( x) 
Ellers kan L'Hôpitals regel benyttes.9 Nedenfor følger noen eksempler.
lim
x 
Eksempel 5.1
Bestem grenseverdiene:
x2  4
a) lim
x 2 x  2
sin 5 x
d) lim
x 0
x
Fasit: a) 4
lim
x 0
b) 2
sin x
1
x
x2  2 x  3
x 1
x2  1
x 9
e) lim
x 9
x 3
sin 5 x
sin 5 x
d) lim
 lim5 
5
x 0
x

0
x
5x
b) lim
c) 2
lim
x 0
sin ax a

bx
b
lim
x 0
tan x
1
x
x 1
c) lim
x 1
x 1
x 1
f) lim
x 1
x x
e) 6
f) 2
lim
x 0
tan ax a

bx
b
sin ax
a sin ax a
 lim 

x 0
x 0 b
bx
ax
b
lim
9
http://www.hib.no/ansatte/ahas/forkurs/LHopitalsregel.pdf
57
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
5.3 Ensidig grense lim og lim
x a
x a
For å undersøke kontinuitet til noen funksjoner som f ( x) 
x2
x2
 x2 x  2

eller f ( x)   2

 x 4 x  2
er det nødvendig å studere grenseverdiene på høyre og venstre side.
Eksempel 5.2
Bestem grenseverdiene:
a) lim
x 3
| x 3|
x 3
| x2|
x 2 x  2
c) lim( x 2 
b) lim
x 0
x
)
| x|
Fasit:
a) 1
b) Eksisterer ikke( 1 )
c) Eksisterer ikke( 1 )
5.4 Kontinuitetsbegrepet
En funksjon y  f ( x) er kontinuerlig i punktet x  a dersom grenseverdien eksisterer om
dette punktet og er lik funksjonsverdien:
lim f ( x)  f (a)
x a
Eksempel 5.3
Undersøk om følgende funksjoner er kontinuerlige i det angitte punktet:
| x  5 |

x5
 x2 x  2

a) f ( x)   2
i x2
b) g ( x)   x  5
i x5
x

4
x

2



x5
1
Fasit:
a) Ja
b) Nei (grenseverdi eksisterer ikke)
58
Kapittel 6
5.5 Noen ord om grenseverdi når lim
x
n 1
an x  an 1 x 
m 1
x  b x m  b

m
m 1 x
n
lim
f ( x) 

g ( x) 
an 1

 a0

x
  lim
 b0  x x m (b  bm 1 
m
x
x n (an 
a0
)
xn
b
 m0 )
x

0 nm

an n  m  an
 lim
x

nm
x  b
m
 bm

 n  m
når grenseverdien går mot  , sier man at grenseverdien ikke eksisterer.
Eksempel 5.4
Bestem grenseverdiene:
x 2  3x  1
x3  7 x 2  5
a) lim
b) lim
x 
x 
x4  2
x2  2
x5  x  1
c) lim 4
x  x  8 x
d) lim
Fasit: a) 1
c) 
d) 3
b) 0
x 
9x  1
x 1
5.6 Asymptoter
Asymptoter til grafen for y  f ( x) er rette linjer, som ikke kan skjelnes fra grafen i det
fjerne. Vi skal se nærmere på tre typer asymptoter:
x2
x 2  3x  2
2
y
y
 x 3
x2
x
x
Vertikal asymptote: x  2  y  
Horisontal asymptote: x    y  1
Vertikal asymptote: x  0  y  
Skrå asymptote: y  x  3
59
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Eksempel 5.5
Bestem eventuelle asymptoter til:
x2  5x  1
x 1
a) y 
b) y 
2
x 1
| x | 3
Fasit: a) x  1 , y  1
b) y  1
x
c) y  2
x 4
c) x  2 , y  0
x 2  | x | 1
d) y 
x
d) x  0 , y  x  1
Eksempel 5.6
Bestem grenseverdiene:
2x  3
2
3
a) lim( ) x  ( ) x
b) lim x
x 3
x 3  5
2
Fasit: a)  (Eksisterer ikke) b) 0
3  2x  9
x 2 x  3
c) 3
c) lim
1
1
d) lim( )n  ( )2 n  7 n
n  2
3
d) 0
5.7 Tallet e
Tallet e kalles Eulers konstant (Eulertallet) etter den sveitsiske matematikeren Leonhard
Euler og Napiers konstant etter den skotske matematikeren John Napier. Konstanten e ble
først omtalt i 1618 i en tabell i tilleggsnotatet til et verk om logaritmer av John Napier.
Selve konstanten var ikke inkludert, men en rekke naturlige logaritmer ble beregnet. Den
første kjente anvendelsen av konstanten, da representert med en b, var i en brevveksling
mellom Gottfried Leibniz og Christiaan Huygens i 1690 og 1691.
Noen mener at e står for "eksponentiell", siden tallet e er det naturlige valget til grunntall i
en eksponentialfunksjon. Leonhard Euler startet å bruke bokstaven e om konstanten i 1727,
og den ble først brukt som e i Eulers Mechanica som ble publisert i 1736 som er tilnærmet
lik:
e  2,718281
Oppdagelsen av konstanten i seg selv krediteres Jakob Bernoulli, som forsøkte å finne
verdien til det følgende uttrykket, som kan brukes som en definisjon av e:
n
 1
lim 1    e  2, 718281
n 
 n
Euler-tallet kan også uttrykkes ved: e  1 
60
1 1
 
2! 3!
Kapittel 6
Oppgaver – Kapittel 5
Oppgave 5.1
x2  1
cos x
b) lim
x 0 x  1
x 1
x
II) For funksjonene f og g vet vi at lim f ( x)  3 og lim g ( x)  5 . Bestem grenseverdiene:
I) Bestem grenseverdiene:
a) lim f ( x) 
x1
a) lim  f ( x)  g ( x)
x 1
x1
b) lim  f ( x)  g ( x) c) lim  f ( x)
2
x 1
x 1
Oppgave 5.2
Bestem grenseverdiene:
a) lim
x2  9
x3
d) lim
x x
x  3x  2
x 3
2
x 1
2
b) lim
x 3
x2  2 x  1
e) lim
x 1
x2  1
x 3
x  2x  1
f) lim
x 
x2  1
2
i) lim
tan 3x
x 0 sin 2 x
l) lim
sin 3 x
x 0
x
k) lim
x9
x 9
7x  1
x  x 2  1
h) lim
j) lim
c) lim
x 3
x 2  3x  1
x 
x2  1
g) lim
x2  3
x3  5 x  1
x 
x2  1
x 1
x x
x 1
Oppgave 5.3
Funksjonene f , g og h er gitt ved:
f ( x)  5 x  7
g ( x)  2 x 3  x
h( x ) 
2x
x2
a) Vis at funksjonene f , g og h er kontinuerlige for x  3 .
b) Vis at funksjonene f og g er kontinuerlige for alle punkter x  a .
c) Hvilke krav må vi stille for at h skal være kontinuerlig i x  a ?
Oppgave 5.4
En funksjon er definert ved:
 sin 2 x
når x  0

f  x   x

når x  0
2
Beregn lim f x  . Er f kontinuerlig for x  0 ?
x 0
Oppgave 5.5
Finn eventuelle vertikale asymptoter til funksjonen.
x 1
2x  3
a) f ( x)  2
b) f ( x)  2
x  25
x  5x  4
61
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Oppgave 5.6
Finn eventuelle horisontale asymptoter til f når:
3x  10
2t  9
a) f ( x) 
b) f (t )  2
x
t 7
Oppgave 5.7
For hver av funksjonene skal du bestemme:
1) Nullpunktene
2) De vertikale asymptotene
3) De horisontale asymptotene
a) f ( x) 
3x  5
5x  4
b) f ( x) 
x2  7 x  6
2( x 2  5 x  6)
Oppgave 5.8
Finn den skrå asymptoten til funksjonene:
a) y  2 x  1 
3
x 8
b) y  3x  2 
7
8x  3
Oppgave 5.9
Bestem det minste leddet i uttrykket når: n   : f (n)  3n  (0,99)n  (1,05) n
Oppgave 5.10
Bestem grenseverdiene:
3
4
a) lim( ) x  ( ) x
x 4
3
x
x
5 3
d) lim x
x 7  2 x
3x  5
x 4 x  7
2  5 x  3x
e) lim x
x 7  2 x
b) lim
8  3x  9
x 5  3x  7
1
2
f) lim( )n  ( )2 n  5 n
n  2
3
c) lim
Oppgave 5.11
En funksjon er definert ved:
 x2  9
når x  3

f  x   x  3
a
når x  3

Beregn lim f  x  . Bestem a slik at f kontinuerlig i x  3
x 3
Oppgave 5.12
 x2  3
når x  3

 x 3
En funksjon er definert ved: f  x   

når x  3

2 3
Beregn lim f  x  . Er f kontinuerlig i x  3 ?
x 3
62
Kapittel 6
Fasit – Kapittel 5
5.1
I) a) 2
b) 1
II) a) 8
5.2
a) 6
d) 1
g) 1
b) 2 3
e) 0
h) 0
c) 6
f) 1
i) Eksisterer ikke
j) 3
k) 3/2
l) 1
5.3
c) a  2
5.4
Ja, 2.
5.5
a) x  5, x  5
b) x  1, x  4
5.6
a) y  3
5.7
a) 1. x 
b) y  0
4
2. x 
5
5
3
b) 15
3
5
1
3. y 
2
3. y 
b) 1. x  1, x  6
2. x  2, x  3
5.8
a) y  2 x  1
b) y  3x  2
5.9
(1, 05) n er det minste leddet. Grenseverdi eksisterer ikke.
5.10
a) Eksisterer ikke
b) 0
d) 0
e) 0
8
5
f) 0
c)
5.11
6 , a6
5.12
Grenseverdi eksisterer ikke ( 2 3 ):
lim
x 3
lim
x 3
c) 9
x2  3
0
( x  3)( x  3)
= = lim
 lim ( x  3)  2 3
x 3
( x  3) 0 x 3
( x  3)
x2  3
0
( x  3)( x  3)
= = lim
 lim  ( x  3)  2 3
x 3
( x  3) 0 x 3
( x  3)
I anvendelsen av matematikk ønsker vi ofte å finne ut hvor raskt en størrelse er i ferd med
å endre seg. Derivasjon handler om endring av en variabel i forhold til en annen variabel. I
denne sammenhengen benyttes ofte begrepene momentan hastighet og vekstrate. Ved å
finne den deriverte til en funksjon i et punkt på en kurve, finner du stigningstallet akkurat
der, og denne kan kalles vekstraten for dette punktet (momentan hastighet).
63
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Kapittel 6 Derivasjon
6.1 Vekstrate
Den gjennomsnittlige vekstraten er definert ved forholdet mellom endringen til den
y
avhengige variabelen og den uavhengige variabelen:
x
6.2 Definisjon, vekstrate
y   f ( x) 
dy
y
f ( x  x)  f ( x)
 lim
 lim
dx x0 x x0
x
Eksempel 6.1
Bestem den deriverte til y  x 2 ved hjelp av definisjonen til derivasjon.
y   lim
x0
x (2 x  x)
( x  x)2  x 2
x 2  2 xx  (x)2  x 2
 lim
 lim
 lim 2 x  x  2 x

x

0

x

0
x0
x
x
x
6.3 Tolkninger

Gjennomsnittsfart:
y f ( x0  h)  f ( x0 )

x
h
Dette kan tolkes som stigningstallet til sekanten10
gjennom to punkter (P og Q) på grafen til f .
På grafen er det vist noen sekanter.

Momentan fart:
f ( x0  h)  f ( x0 )
dy
y
y   f ( x) 
 lim
 lim
dx x0 x h0
h
Dette kan tolkes som stigningstallet til tangenten 11i et punkt (P) på grafen til f og
kan beskrive hvor rask funksjonen endrer seg i dette punktet. Tangenten er vist på
grafen (linjen L).
10
11
Sekanten til en kurve er en rett linje som går gjennom to punkter som ligger på kurven.
Tangenten til en kurve er en rett linje som berører kurven bare i ett punkt.
64
Kapittel 6
6.4 Derivasjonsformler og derivasjonsregler
y  f ( x)
k
xr
Konstantledd
Potensfunksjon y  x r
y   f ( x)
0
rx r 1
1
1
r  1  ( )   
2
x
x
r
1
2
Eksponentialfunksjon med
grunntallet e
Eksponentialfunksjon
med grunntallet a y  a x
Logaritmefunksjoner
e
x
e
ax
(e )  ke
x
kx
1
 ( x ) 
2 x
kx
a x ln a
ln x
1
1
 log x  
x
x  ln10
Den deriverte til absoluttverdifunksjonen:
| x|
f ( x)  | x |  f ( x) 
for x  0
x
6.5 Viktige derivasjonsregler
Enkle regler:
(ay )  ay
(u  v)  u  v
(au  bv)  au  bv
Viktige kjente regler:
1. Produktregelen
[u  v]  u   v  u  v
u
u   v  u  v
[ ] 
v
v2
dy dy du
y  y(u ( x)) 


dx du dx
2. Kvotientregelen
3. Kjerneregelen
 u  v   u   v  u  v
1. Produktregelen:
Eksempel 6.2
y  x3 cos x
y   3x 2 cos x  x3 ( sin x)  x 2 (3cos x  x sin x)
 u  u   v  u  v 
 v  
v2
2. Kvotientregelen:
Eksempel 6.3
y
cos x

x
y 
( sin x) x  1(cos x)
x
2

x sin x  cos x
x2
65
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
3. Kjerneregelen:
y  y(u ( x)) 
dy dy du


dx du dx
Eksempel 6.4
u cos x
y 
y  ln(cos x)  y  ln(u ) 
1
1
 u 
( sin x)   tan x
u
cos x
Eksempel 6.5
d
d
(sin 2 x) og
(k cos t )
dx
dt
d
d
(sin 2 x)  2cos 2 x
(k cos t )  k sin t
dx
dt
Bestem
6.6 Den deriverte til a x og x r
Formel
Generell
Eksempel
(kjerneregelen)
(e x )   e x
(eu )  eu  u
(e3 x )  3e3 x
( xr )  r  x r 1
(u r )  r  u r 1  u 
( x2  1)3    3  ( x2  1)2  2 x  6 x( x 2  1)2


Den deriverte til
ax :
(a x )  ln a  a x
Vi kan først omskrive uttrykket: a x  eln ax
Husk at: (a x )  (eln ax )  ln a  eln ax  ln a  a x
Eksempel 6.6
Deriver:
a) y  (cos x)7
b) y  (2  x5 )9
Fasit a) y   7 cos6 x sin x
d) y    x ln 
66
c) y  3e7 x
b) y   45x4 (2  x5 )8
e) y   k  5x ln 5
d) y   x
e) y  k  5x
c) y   21e7 x
Kapittel 6
6.7 Den deriverte med hensyn til x :
d
dx
df
kan oppfattes som den deriverte til f med hensyn til x :
dx
df
f
y   f ( x) 
 lim
dx x0 x
Uttrykket f ( x) 
Kjerneregelen kan formuleres slik:
y  y(u ( x)) 
dy dy du


dx du dx
(Leibniz-notasjon)
Eksempel 6.7
Bestem
d 4 3
( r )
dr 3
Løsning:
d 4 3
(  r )  4 r 2
dr 3
Eksempel 6.8
Bestem
d 4 3
(  r ) når radien forandrer seg med tiden.
dt 3
d 4 3
dr
(kjerneregelen)
(  r )  4 r 2
dt 3
dt
Eksempel 6.8 kan også formuleres:
4
Bestem endringshastigheten til volumet til en kule gitt ved V   r 3 der radien r
3
forandrer seg med tiden.
dV dV dr 4
dr
dr
Løsning: V  V (r (t )) kjerneregelen:
.

  (3r 2 )  4 r 2
dt
dr dt 3
dt
dt
Det vil si at volumendringen pr. tid avhenger av kulens overflateareal S  4 r 2
Eksempel 6.9
Gitt funksjonen: f ( x)  x3  3x .
a) Bestem f ( x) og avgjør hvor funksjonen avtar og hvor den vokser.
b) Bestem f ( x) og avgjør hvor funksjonen krummer oppover og hvor den krummer
nedover.
c) Tegn grafen til denne funksjonen.
67
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
f ( x)  3x2  3  0  x  1
1

1
+++++++0      0
+++++
Øker
Synker
Øker
Maks. pkt.
Min. pkt.
x

f ( x)
f ( x)
x  1 er maksimumspunkt og 2 er maksimumsverdi ( f (1)  2 ).
x  1 er minimumspunkt og 2 er minimumsverdi ( f (1)  2 ).
b)
f ( x)  6 x
f ( x)  6 x  0  x  0
Vendepunkt: (0 , 0)
x
f ( x)
f ( x)
0

      0
Krummer nedover

Nullpunktene:
x3  3 x  0
x( x2  3)  0  x  0  x   3
68
Krummer oppover

Maks. pkt.
c) Grafen til f ( x)  x3  3x
c) Grafen:
+++++
Min. pkt.
Kapittel 6
6.8 Oversikt over derivasjonsformler og -regler
y  f ( x)
y  f ( x) 
k
xn
0
nx n1
|x|
ex
|x|
x
ex
ax
a x ln a
ln x
dy
dx
Kjerneregelen
Eksempel
u   n  u
sin x    5  sin x   cos x
n
n 1
 u
5
4
x0
 e   e  u
 a   a  ln a  u
 e   ke
 ln u  
 ln(ax  b)  
sin x
1
x
cos x
 sin u   cos u  u
 sin(ax  b)   a cos(ax  b)
cos x
 sin x
 cos u    sin u  u
 cos(ax  b)   a sin(ax  b)
tan x
1
 1  tan 2 x
2
cos x
 tan u  
u
u
u
u
kx
1
 u
u


1
 u  1  tan 2 u  u
2
cos u
kx
a
ax  b
 tan(ax  b)  
a
cos (ax  b)
2
6.9 Derivert, annenderivert og funksjonsdrøfting
Monotoniegenskapene
La y 




f ( x) være en funksjon definert i intervallet I.
f ( x)  0 i intervallet I  f ( x) er voksende i intervallet I
f ( x)  0 i intervallet I  f ( x) er strengt voksende i intervallet I
f ( x)  0 i intervallet I  f ( x) er avtagende i intervallet I
f ( x)  0 i intervallet I  f ( x) er strengt avtagende i intervallet I
For å finne de enkelte intervallene der funksjonen er voksende eller avtagende, kan det
være nyttig å gjøre bruk av et fortegnsskjema:
X
f ( x)
f ( x)

x1
x2
     0 +++++++ 0
    
Synker
Øker
Synker
Min. pkt.
Maks. pkt.
Av fortegnet til f ( x) kan vi bestemme de lokale ekstremalpunktene. Dersom funksjonen
er definert i et lukket intervall, bør eksistensen av eventuelle absolutte og lokale
ekstremalpunkter undersøkes.
69
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
6.10 Maksimum og minimum
Ekstrempunkt:
La x  c være et ekstrempunkt for f . Hvis c ligger i definisjonsmengden til f og
f (c) eksisterer, er f (c)  0 .
Bemerk at x  c kan være et ekstrempunkt uten at f (c)  0 .
(globalt maksimum/minimum)
 Eksistens av maksimums- og minimumspunkt
La f være definert og kontinuerlig i et lukket intervall [a , b] .
Da finnes det både et maksimumspunkt og et minimumspunkt i dette intervallet.
 Karakterisering av ekstrempunkt
La y  f ( x) være definert og kontinuerlig i et begrenset lukket intervall [ x1 , x2 ] .
1. Finn de punktene der f ( x)  0 og bestem funksjonsverdien der f ( x)  0
2. Angi de endepunktene der f er definert. Bestem funksjonsverdien i endepunktene.
3. Finn de punktene i intervallet der den deriverte ikke eksisterer.
x
(For eksempel: den deriverte til f ( x) | x | er f ( x) 
. f ( x) eksisterer ikke i x = 0)
| x|
Sammenlign disse verdiene for å bestemme eventuelle LOKALE /GLOBALE
maksimums- og minimumspunkter.
A er globalt maksimumspunkt,
B er globalt minimumspunkt,
C og E er lokale maksimumspunkter,
D er lokalt minimumspunkt.
Eksempel 6.10
Betrakt funksjonen f ( x)  x3  3x , 2,5  x  3
Bestem eventuelle ekstremalpunkt(er).
I eksempel 6.9 fant vi at:
x  1 er maksimumspunkt og 2 er
maksimumsverdi( f (1)  2 ).
x  1 er minimumspunkt og 2 er minimumsverdi
( f (1)  2 ).
f (2,5)  8,125
70
f (3)  18
Kapittel 6
x  2,5 globalt minimumspunkt (global minimumsverdi er f (2,5)  8,125 )
x  1 lokalt minimumspunkt (lokal maksimumsverdi er f (1)  2 )
x  1 lokalt minimumspunkt (lokal minimumsverdi er f (1)  2 )
x  3 globalt minimumspunkt (global maksimumsverdi er f (3)  18 )
Metode for funksjonsdrøftning
1) Bestem eventuelle nullpunkter og skjæringspunkter med aksene.
2) Bestem eventuelle asymptoter.
3) Finn f ( x) . Finn eventuelle nullpunkter til f ( x) (ekstrempunkter)
og sett opp fortegnsskjema.
4) Finn f ( x) . Finn eventuelle nullpunkter til f ( x) (vendepunkter).
Den andrederiverte (krumning og vendepunkt)
d2 f
d df
 ( ) (Leibniz-notasjon)
2
dx dx
dx
La f være en dobbel deriverbar funksjon i x  a . Dersom x  a er et vendepunkt, er
f ( x)  0 .
f ( x) kalles den andrederiverte til f :
X
f ( x)
f ( x)
f ( x) 
x1
x2
     0 ++++++++ 0      
Krumning
Krumning
Krumning
nedover 
oppover 
nedover 
Vendepkt.
Vendepkt.
Eksempel 6.11
Vis at f ( x)  x3 har ett vendepunkt.
Grafen er vist her.
f ( x)  3x2  0 (krummer oppover)
f ( x)  6 x  0  x  0 (0, 0) er vendepunktet.
6.11 Ligningen til tangenten og linearisering
Ligningen til tangenten for en funksjon y  f ( x) i et punkt x  a som ligger på grafen er:
y  f (a)  f (a)( x  a)
Det å linearisere en deriverbar funksjon i et punkt x = a er å bruke tangentlinjen til
funksjonen i dette punktet:
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)
71
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Eksempel 6.12
Bestem ligningen til tangentlinjen i det gitte punktet og lineariser
funksjonene.
a) f ( x)  sin x i x  0
b) f ( x)  e x i x  0
Grafen til funksjonen og tangenten for del b) er tegnet her:
b) y  x  1
Fasit a) y  x
 Tilvekstformelen
Vi tar utgangspunkt i lineariseringne av y  f ( x) :
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a) .
Eller f ( x  x)  f ( x)  f ( x)( x  x  x)
Dette kan omskrives som
f ( x  x)  f ( x)  f ( x)  x
Eksempel 6.13
Bestem hvor mye volumet til en kule vokser hvis radien øker fra 10 til 10,1 cm og fra 10 til
4
10,01 cm. Volumet til en kule med radien r er gitt ved: V   r 3 .
3
Ved å anvende tilvekstformelen for å bestemme en tilnærmet verdi for volumendringen:
V 
dV
 r og derivere formelen for volumet av en kule med hensyn på r får vi:
dr
dV 4
  (3r 2 )  4 r 2
dr 3
V  4 r 2  r  4 (10)2  0,1  125, 7 cm3 V  4 r 2  r  4 (10)2  0, 01  12,57 cm3
Vi kunne eventuelt regne ut den eksakte endringen ved:
4 3
(r2  r13 ) 
3
4 3
V  V2 .  V1 
(r2  r13 ) 
3
V  V2 .  V1 
4
(10,13  103 )  126,9 cm3
3
4
(10,013  103 )  12,58 cm3
3
Dette eksempelet bekrefter at jo mindre r blir , jo mer nøyaktig blir svaret fra tilvekstformelen.
72
Kapittel 6
Oppgaver – Kapittel 6
Oppgave 6.1
Deriver funksjonene.
a) f ( x)  x 2  2 x  5
b) g ( x)  3x 2  5x  2
Oppgave 6.2
Deriver funksjonene.
a) f ( x)  x1,2
b) f ( x)  2 x  3x 2,5
Oppgave 6.3
Deriver uttrykkene med hensyn til x.
a) x 
1
x
b) x 2 
1
x2
c) x  x
Oppgave 6.4
Deriver funksjonene.
a) f ( x)  (2 x  3)3
b) f ( x)  ( x2  1)2
c) f ( x)  ( x3  5x)2
Oppgave 6.5
Deriver funksjonene ved hjelp av produktregelen.
a) f ( x)  x 2 ( x 4  x)
b) f ( x)  ( x2  1) cos x
Oppgave 6.6
Bestem y ' 
dy
når
dx
a) y  x5  2 x  7
b) y  5x  2cos x  1
d) y  ( x3  1)sin x
e) y 
g) y  x 
1 1

x x
3
cos x
x3
1
h) y  2
x 1
sin x
x
x 1
f) y 
3x  1
c) y 
i) y  (2 x  5)100
j) y  x  2 x
x2  3
k) y  2
x 1
1
l) y  ( x  5 x) 4
m) y  4 x3  5x
n) y  x 2 ln x
o) y 
3
3
cos 2x
x
Oppgave 6.7
Bestem y ' 
dy
når
dx
a) y 
sin x
x
b) y  x cos x
73
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Oppgave 6.8
Deriver funksjonene.
b) f ( x)  x 
a) f ( x)  3x5  4 x  5
1 1

x
x
c) y  ( x3  x  1)15
Oppgave 6.9
a) Bestem vekstfarten for funksjonen: f ( x)  x5  4 x 2  3 i et punkt med x  1 .
b) Bestem tangentlinjen til funksjonen: g ( x)  x3  2 x  3 i et punkt med x  1
som ligger på kurven til funksjonen.
Oppgave 6.10
a) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter til funksjonen: y  x3  12 x  12
Bestem vendepunktet.
b) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter til funksjonen: y  x3  6 x 2  4
Bestem vendepunktet.
Oppgave 6.11
Finn y  når:
x 2  3x  2
3
x
1
1

 x3
c) y  3 x3  5 x  3
5
3
x
x
f  x  x   f  x 
1
d) Bruk formelen lim
til å bestemme den deriverte av f  x  
x 0
x
x2
a) y 
b) y 
Oppgave 6.12
Bestem eventuelle grenseverdier:
x3  64
a) lim
x 4 x  4
b)
x3  2 x 2  3x
lim
x 3
x3
c) lim
x 9
x 3
x9
Oppgave 6.13
a) Gitt funksjonen f ( x)  2 xe
b) Vis at f ( x)  2 1  x 2  e
x2

2

x2
2
. Bestem lim f ( x) og lim f ( x)
x 
og f ( x)  2 x  x 2  3 e
x 
x2

2
c) Bestem eventuelle nullpunkter, ekstremalpunkter og vendepunkter.
74
d) lim
x 9
x3
x3
Kapittel 6
Oppgave 6.14
Et kurvestykke f x   3 x
0  x  4 er gitt. Punktet P1 a , f a  ligger på kurven.
1) Finn ligningen for tangenten ved dette punktet P1 .
2) Denne tangenten skjærer x-aksen ved punktet P2 . Finn koordinatene til P2 .
Oppgave 6.15
x2  x  1
, x  0,10 er gitt.
x
a) Bestem eventuelle ekstremalpunkter på kurven.
En funksjon y 
b) Bestem det punktet på kurven hvor avstanden mellom kurven og punktet (0 ,  1)
er minst mulig.
Oppgave 6.16
mm 3
En kuleformet snøball smelter med en konstant fart på 3
og kuleformen beholdes
min
hele tiden. Hvor fort avtar radien av snøballen i det øyeblikket radien er lik 6 mm?
Hvor fort avtar overflaten av snøballen i det samme tidspunktet?
Oppgave 6.17
Ligningen til en funksjon er gitt:
f ( x)  x 4  4 x 3  10 ; x   5 , 5
Bestem:
a) Området hvor funksjonen avtar og øker
b) Ekstremalverdier
c) Eventuelle vendepunkter og konkaviteten
d) Skisser kurven.
Oppgave 6.18
Ligningen til en funksjon er gitt: f ( x) 
x2 1
x2  4
Bestem:
a) Ekstremalverdier
b) Området hvor funksjonen vokser og avtar
c) Eventuelle vendepunkter og konkaviteten
d) Skisser grafen.
75
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Fasit – Kapittel 6
6.1
a) 2 x  2
b) 6 x  5
6.2
a) 1, 2x0,2
b) 2  7,5x1,5
6.3
a) 1 
6.4
a) 6(2 x  3)2
b) 4 x( x 2  1)
6.5
a) 6 x5  3x2
b) f ( x)  2 x cos x  ( x2  1)sin x
6.6
a) 5x 4  2
b) 5  2sin x
d) 3x2 sin x  ( x3  1) cos x
e) 
1
g)
j)
1
x2
2 x
b) 2x 

1
1

2
3x 3 x x
3x 2  2
2 x3  2 x
m)
3x 2  5
4 4 ( x  5 x)
3
3
cos x  x  sin x 
6.7
a) y 
b) y 
6.8
x
1
2 x
2
x3
c) 1 
1
2 x
c) 2( x3  5x)(3x 2  5)
x cos x  sin x
x2
2
f) 
(3x  1) 2
c)
x sin x  3cos x
x4
2x
h)  2
( x  1) 2
i) 200(2 x  5)99
3x 2  5
8x
k) 2
( x  1)2
l)
n) x(2ln x  1)
o) 
4 4 ( x 3  5 x )3
2 x sin 2 x  cos 2 x
x2
1
2 x  2 x cos x  sin x
2x x
cos x  x sin x 
a) f ( x)  15x 4  4
cos x  2 x sin x
2 x
b) f ( x) 
1
2 x

1
1

2
x 2x x
c) y  15( x  x  1) (3x  1)
3
6.9
76
14
2
a) f ( x)  5x 4  8x og dermed er vekstfart i x  1 : f (1)  13 .
b) Ligningen til tangenten i x  a : f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)
y  f (1)  f (1)( x  1)  y  4  x  1  y  x  5
f ( x)  3x2  2 , f (1)  1
Kapittel 6
a) Topp- og bunnpunkt: (2 , 28) (2 ,  4) og vendepunkt: (0 , 12)
b) Topp- og bunnpunkt: (0 , 4) (4 ,  28) og vendepunkt: (2 ,  12)
6.10
6.11
a) y 
1
1
1
5
2
1
2
1

x 2  3x  2
3
3
3
3
3
3

x

3
x

2
x

x

2
x

2
x
3
x
y 
b) y 
1
5 23
2 4
x  2x 3  x 3
3
3
1
1
1
1
1 6 1 4
3
3
5
3
   x 5  x 3  3x 2


x

x

x

x

y
5
5
3
x 3x
1
2
1
c) y  3 x3  5 x  3  ( x 3  5 x  3) 3  y  ( x 3  5 x  3) 3 (3x 2  5) 
3
2
3( x3  5 x  3) 3
1
1
1
f ( x  x)  f ( x) 

x  x  2
x  x  2 x  2
f ( x  x)  f ( x)
x  2  x  x  2
1
1
f '  x   lim
 lim
 lim

x 0

x

0

x

0
x
x( x  x  2)( x  2)
( x  x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)
d) f ( x) 
1
x2
(3 x 2  5)
f ( x  x) 
6.12 Bemerk at man kan også bruke L’Hopitals regel.12
 x  4   x 2  4 x  16 
x3  64 0
a) lim
  lim
 lim  x 2  4 x  16   16  16  16  48
x 4 x  4
x

4
x 4
0
x4
x  x 2  2 x  3
x  x  3 x  1
x3  2 x 2  3x 0
b) lim
  lim
 lim
 lim x  x  1  12
x 3
x 3
x 3
x3
0 x 3
x3
x3
c) lim
x 9
x 3 0
  lim
x9
0 x 9
x 3

x 3

x 3

 lim
x 9
1
x 3

1
6
x3

lim
1

x  3  x 3 ( x  3)
d ) lim

Dermed grenseverdi eksisterer ikke
x 3 x  3
x

3
 lim
 1
 x 3 ( x  3)
6.13
a) 0 ,  (ingen grenseverdi) b) Nullpunkt (0 , 0) ekstremalpunkter (1 ,
6.14
2 3
2 3
2
)
) , vendepunkter (0 , 0) ( 3 ,
) og ( 3 ,
e e
e
e e
3
1) f x   3 x
f ' x  
2 x
3
3
3
y 3 a 
x
a
 x  a  y 
2
2 a
2 a
2
) og
e
(1 , 
2) y  0 
12
3
2 a
x
3
a 0
2

x  a
, (a , 0)
http://home.hib.no/ansatte/ahas/forkurs/LHopitalsregel.pdf
77
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
6.15
x2  x  1
1
dy
1
a) y 
; x   0,10 ; y  x  1  
 1  0  2  0; dette gir x  1
x
x
dx
x
y har absolutt minimum ved x  1. Kontroll vha fortegnskjema.
b) avstand
S  (a  0) 2  (
a2  a  1
1
1
 1) 2  (a) 2  (a  1   1) 2  ( a) 2  ( a  ) 2
a
a
a

1 
1 

1
2a  2  a  1  2  
2 2



a  a  
dS 1 2 
1

1 
1 


  a   a     2a  2  a  1  2    0  
0
1


da 2 
a  
a  a  


2 2
 2 

1
2 a   a   

a  


1
1 1 1
1
1
1 1
 1 4
a  a    3  0  2a  3  0  2a 4  1  0  a 4   a     4  4 8
a a a
a
2
2 2
2
1
Avstanden er minst ved a  4 8
2
6.16
O t   4  r 2
 dO 
 dt 
r 6 mm
dO
dr
 8  r 
dt
dt
1 3 mm
mm 2
 8  6 mm 

1
4 36 min
min
6.17
a)
f ( x)  x 4  4 x3  10 ; x   5 , 5 ,
f ( x)  4 x3  12 x 2  0  0
, 4 x 2 ( x  3)  0
x  0, x  3 vha fortegnsskjema finner vi at f vokser  3 , 5  og avtar  5 , 3 
f har rel. min ved x  3 .
f ( x)  12 x 2  24 x  0 12 x( x  2)  0  x  0 , x  2 , ved fortegnsskjema finner vi
krumning oppover  5 , 0  , krumning nedover  0 , 2  , vendepunkt : (0 , 10) (2 ,  6)
6.18
x2  1
( x 2  4)2 x  ( x 2  1)2 x
10 x

f
(
x
)

 2
 0 ,  10 x  0 , x  0
2
2
2
x 4
( x  4)
( x  4) 2
f vokser   ,  2  og  2 , 0 
avtar  0 , 2  og  2 ,   rel. maks ved x  0
f ( x) 
( x 2  4) 2 (10)  10 x(2( x 2  4)(2 x)) 10 x 2  4
 2
 0 , 10 x 2  4  0 får ingen reelle
2
4
3
( x  4)
( x  4)
verdier , dermed ingen vendepunkter. Krumning oppover   ,  2  og  2 ,  
f ( x) 
krumning nedover  2 , 2  .
78
Kapittel 7
Kapittel 7 Integrasjon

f ( x) dx 

Integrand

F ( x)
Integrasjonskonstant

C
, og det gjelder: F ( x)  f ( x)

Anti-deriverte til f ( x )
7.1 Det bestemte integralet som areal
Arealet avgrenset av grafen til en funksjon og x-aksen i et bestemt intervall [a , b] kan
b
beregnes ved hjelp av et bestemt integral:
 f ( x)dx .
a
RIEMANN-SUM
Det bestemte integralet kan skrives som grensen til en sum. Riemann-sum handler om å
summere uendelig mange uendelig små arealer. Vi skal prøve å benytte summen til
arealene til mange rektangler som en god tilnærming for arealet under grafen til en
begrenset kontinuerlig integrerbar funksjon. Integrasjonsintervallet [a, b] deles i n deler:
 x0 , x1  ,  x1, x2  ,  x2 , x3  ,
,  xn1, xn 
der a  x0  x1  x2  x3 
 xn1  xn  b
Delintervallene har ikke nødvendigvis samme lengder.
xi  xi  xi 1 , i  1, , n
Vi kan sette opp øvre og nedre Riemann-sum henholdsvis:

n

S  S 1   Sup f ( xi* ) xi

i 1

der Sup f ( xi* ) er supremum til f ( x) i delintervallet  xi 1, xi  .

n

S  S 2   Inf f ( xi* ) xi

i 1

der Inf f ( xi* ) er infimum til f ( x) i delintervallet  xi 1, xi  .
n


lim  Sup f ( xi* ) xi  lim
n
i 1
n
 Inf  f ( xi* ) xi
n
i 1
Når denne grenseverdien eksisterer, skriver vi Riemann-summen som
bestemt integral:
n
S  lim  f ( xi )x 
n
i 0
b

a
f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
79
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
7.2 Det bestemte integralet
Som vist i forrige avsnitt, kan arealet avgrenset av kurven til funksjonen y  f ( x) og xaksen i intervallet a  x  b beregnes ved hjelp av det bestemte integralet:
b
A   f ( x)dx  F ( x)
a
b
a
 F (b)  F (a)
Eksempel 7.1
Bestem arealet avgrenset av grafen til y  x 2 ,
x-aksen i intervallet [0, 2] .
2
1
 x dx  3 x |
2
3 2

0
0
1 3 1 3 8
2  0 
3
3
3
7.3 Det ubestemte integralet
Integrasjonskonstant

f ( x) dx 

Integrand


F ( x)
C
og da gjelder: F ( x)  f ( x)

Anti  deriverte til f ( x )
7.4 Integrasjonsformler
1

 x dx  n  1 x

 xdx  ln x  C
 e dx  e  C
n
n 1
C
, n  1
1

x
x
1
 a dx  ln a a

x
x
C

 cos xdx  sin x  C

 sin xdx   cos x  C

 tan xdx   ln cos x  C

 cos
1
2
x
dx  tan x  C
7.5 Regneregler for bestemt og ubestemt integral
Noen regler for bestemt integral:
b
b
 f ( x)dx  F ( x)|a  F (b)  F (a)
Noen regler for ubestemt integral:
 f ( x)dx  F ( x)  C
a
Linearitetsegenskapen:
 k f ( x)dx  k  f ( x)dx der k er konstant
a

a
b

f ( x)dx  0
[ Af ( x)  Bg ( x)]dx  A f ( x)dx  B g ( x)dx
a
f ( x)dx    f ( x)dx
a
b
b
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a
b
Uegentlig integral:
c
a
der a  b  c


a
t
f ( x)dx  lim  f ( x)dx (se oppgave 7.6b)
t 
a
Hvis grensen eksisterer, konvergerer
integralet, ellers er det divergent
80
Kapittel 7
Eksempel 7.2
1
3
1 2
1 1
2
2
2
 (1  4 x  3 x ) dx  x  4( 2 x )  3 1 1 x 2  C  x  2 x  3( 3 x 2 )  C  x  2 x  2 x x  C
2
Eksempel 7.3


1
x
1
2
dx   x dx 
1
1
 1
2
x
1
 1
2
1
2
 2x  C  2 x  C
Eksempel 7.4
1
1
 (2  x  x
2
) dx  2 x  ln | x | 
1
1
x 21  2 x  ln | x |   C
2  1
x
I de neste to avsnittene skal vi se nærmere på to viktige integrasjonsmetoder: substitusjon
og delvis integrasjon.
7.6 Integrasjon ved substitusjon
Dersom integranet er en sammensatt funksjon multiplisert med den deriverte av kjernen,
kan man forenkle integralet ved å velge en hjelpevariabel u som funksjon av x. Man
bestemmer du som funksjon av dx og bruker disse til å forenkle integrasjonen.
Eksempel 7.5
 xe
x2
u  x2
dx

1
du  2 xdx dx  du
2x
 xe
u
du 1 u
1
1 2
  e du  eu  C  e x  C
2x 2
2
2
Eksempel 7.6
 cos(3x)dx
u 3 x

1
du 3 xdx dx  du
3
 cos u
du 1
1
1
  cos u du  sin u  C  sin(3x)  C
3 3
3
3
Vi kan derfor konkludere med at for en konstant k gjelder følgende:
1
 sin(kx) dx   k cos(kx)  C
1
 cos(kx) dx  k sin(kx)  C
e
kx
dx 
1 kx
e C
k
81
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Eksempel 7.7
 t (3  5t
u  3 5 t 2

2 99
) dx
1
du 10tdt  dt 
du
10t
t u
99
1
1
1 1 100
1
du   u 99 du 
u C 
(3  5t 2 )100  C
10t
10
10 100
1000
Eksempel 7.8
u  x  cos x
1  sin x
du
dx
 x  cos x du (1sin x)dx  u  ln u  C  ln x  cos x  C
7.7 Delvis integrasjon
Dersom integranden kan skrives om u  v og det er enklere å integrere u   v , kan man
benytte delvis integrasjon:  u  vdx  uv   u  v dx
Delvis integrasjon benyttes i situasjoner som:
ax
 xe dx ,  x cos ax dx ,  x sin ax dx ,  x ln x dx ,
Eksempel 7.9
 xe dx
1
 x . e dx  x  7 e
 ln x dx , …
7x
7x

u

v


u  1 v 
7x
1
1
1
1
1
  1  ( e7 x ) dx  xe7 x   e7 x dx  xe7 x  e7 x  C
7
7
7
7
49
1 7x
e
7
Eksempel 7.10
 x cos3xdx
1
1
1
1
1
1
 x .cos 3x dx  x  ( 3 sin 3x)  1 ( 3 sin 3x) dx  3 x sin 3x  3  sin 3xdx  3 x sin 3x  9 cos 3x  C


u
v


1
u  1 v  sin 3x
3
Eksempel 7.11
 x ln xdx
1
 x . ln x dx  2 x

v'
u


v
82
2

1 2
x
2
u' 
1
x
1
1
1
1
1
1
1
1
 ln x   x 2  dx  x 2 ln x   xdu  x 2 ln x  x 2  C  x 2 (ln x  )  C
2
x
2
2
2
4
2
2
Kapittel 7
7.8 Noen anvendelser av det bestemte integralet
Det bestemte integralet har mange anvendelsesområder. Det kan blant annet benyttes til å
beregne:
 Areal (se eksempel 7.1)
 Volum
For eksempel når arealet avgrenset av kurven til funksjonen y  f ( x) og x-aksen i
intervallet a  x  b roterer om x-aksen, kan volumet til omdreiningslegemet regnes ved:
b
V     f ( x) dx
2
a

Det totale forbruket
La en funksjon y  f (t ) være forbruk pr. tidsenhet.
Det totale forbruket i tidsintervallet fra t  a til t  b kan beregnes ved:
b
F (t )   f (t )dt
a

Middelverdi (se eksempel 7.12)
La en funksjon y  f ( x) være definert i intervallet [a , b] .
Middelverdien y  f ( x) til funksjonen for x i intervallet [a , b] kan beregnes ved:
b
1
f ( x) 
f ( x)dx
b  a a
Eksempel 7.12 Middeltemperatur
Temperaturen i badevannet ved Norheimsund blir målt hver dag om sommeren.
I juni et år var denne temperaturen målt i celsiusgrader x dager inn i juni, og forventet gitt
ved funksjonen:

T ( x)  13  4sin( ( x  2)), x  [0,30]
16
Bestem middeltemperaturen i løpet av juni i dette året.
1
T ( x) 
30  0

30

0
1 


f ( x)dx 
13  4sin( ( x  2))  dx

30 0 
16

30
30 
1 
16

1 
64
 
13
t

4
cos(
(
x

2))

390  (cos(2 )  cos )   13,1o C
|



0
30 

16

8 
 30 
83
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Oppgaver – Kapittel 7
Oppgave 7.1
Løs integralene.
a)  dx
b)  ( x  2)dx

1 1
c)   x  3  dx
x x

d)  (3cos x  5e x )dx
e)  (cos 2 x  3e7 x )dx
f)  (2 x  1)99 dx
g)
x
j)
 2 x  3dx
m)
p)
 xe
i)  cos x(2  sin x)8 dx
( x 3  2) 7 dx
h)
1
k) 
1
dx
2x  3
l) 
n) 
ln x 5 dx
o)  (1  2 x)8 dx
2
5
 x ln x dx
 x sin x dx
4x
dx
x
q)  x sin 3x dx
s) Vis ved derivasjon at
r)
1
 2 x  3

2
x2
x3  1
dx
dx
3x 2
3
 x3  1dx  ln x  1  C
Oppgave 7.2
Bestem arealet avgrenset av kurven til f x   e x  e  x , x-aksen i intervallet 0 , ln 2 .
Oppgave 7.3
a) Finn de ubestemte integralene:
1)
 x  cos  x  dx
2
2)
 x  cos x dx
b) Regn ut de bestemte integralene:

2
6
1)
  cos  3x   sin  2 x  dx
0
84
2)
 2x
1
x
2
1
dx
Kapittel 7
Fasit – Kapittel 7
7.1
3
2
a) x  C
1
b) x 2  2 x  C
2
d) 3sin x  5e x
e)
1
3
sin 2 x  e7 x  C
2
7
f)
1
(2 x  1)100  C
200
1
(2  sin x)9  C
9
2
3
c) x 2  x 3  ln | x | C
3
2
g)
1 3
( x  2)8  C
24
h)
1 4x 1 4x
xe  e  C
4
16
i)
j)
1
ln 2 x  3  C
2
k)
1
ln 2 x  3  C
2
l) 
n)
1
6
 ln x   C
6
o)
1
(1  2 x)9  C
18
r)
2
3
m)
1 6
1
x ln x  x6  C
6
36
1
1
q)  x cos3x  sin 3x  C
3
9
p)  x cos x  sin x  C
3x 2
s) ln( x3  1)    3
.
x 1
ln u   
1
C
2  2 x  3
x3  1  C
u
, u  x3  1
u
7.2
ln 2
 e
x
 e x dx  [e x  e x ]
ln2
0
 eln 2  e ln 2  (e0  e0 )  2 
0
1 3

2 2
7.3
a)
 x  cos  x  dx = 2 sin( x )+C
 x  cos x dx  x sin x  cos x+C
2
1)
2)
1
2
b)
1)


1
 1
 1
1
1
1
6 1

0  cos  3x   sin  2 x    dx   3 sin 3x   2 cos  2 x  0   3 sin 2  2 cos 3   3 sin 0  2 cos 0    12
6
2
1
1
1

2)  2  dx   ln 2 x 2  1   (ln 7  ln1)  ln 7
2x 1
4
4
4
1
1
2
x
85
Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])
Kapittel 8 Test deg selv
Oppgave 1
Skriv så enkelt som mulig
b2  a
1)
a b 
a b
2)
8a 
3)
12a
 2  9a
6
4)
a a
1
:
3
a
a
e
1
ln a3  ln( 4 )  ln( 2 )  ln(ae2 )
a
e
Oppgave 2
a) Gitt f ( x)  5 | x  3| . Bestem største verdien til f.
b) Gitt g ( x)  x  x  x  1 .
Bestem definisjonsmengden til g . Hva er minste verdien g kan ha?
c) Bestem summen:
1 1 3 9
    ...
3 4 16 64
Oppgave 3
Figuren viser grafen til en funksjon f .
a) Tegn fortegnslinje for f ( x) og f ( x).
b) Er f (2,5)  1? Begrunn svaret.
c) Finn koordinatene til topp- og bunnpunktet på grafen.
Oppgave 4
Løs integralene:
a)  (3x  1)5 dx
86
b)
1
 (3x  1) dx
5
c)
1
 3x  1dx
Kapittel 8
Fasit – Kapittel 8
Oppgave 1
1)
a b
b2  a ( a  b)( a  b)  b 2  a

0
a b
a b
12a
 2  9a  2 2a  2a  23 a  2 2a  2a  3 2a  0
6
2) 8a 
1 1 1 1
2
(1 )  
a a
1
2 2 3 4
3) 3
:
a
 a 3  3 a2
a
a
e
4)
ln a3  ln( 4 )  ln(e2 )  ln(ae2 )  3ln a  ln e  4ln a  2  ln a  2ln e  1
a
Oppgave 2
a) Største verdien er 5 for x  3
b) x  1.Minste verdien er 2 for x  1
a
a
1
1 1
4
3
3
c) k  3  2 
| k |  1
s  a1


1 k 3 1 3 3
4
a2 a1 4
4
Oppgave 3
a)
c) Ja . Man kan lese av grafen koordinatene til 2 punkt: (2,5 , 2) og (2,6 , y) .
2,11  2
Grafen viser y  2,11 og dette gir stigningstall mer enn 1. For eks. f '(2,5) 
 1,1
2, 6  2,5
d) Toppunkt:  0 , 5
Bunnpunkt: (2 ,1)
Oppgave 4
u 3 x 1
a)
5
 (3x  1) dx 
b)
 (3x  1) dx
c)
1
 3x  1dx
1
dx  du
3
u 3 x 1
1
5

1
dx  du
3
u 3 x 1

1
dx  du
3
1 5
1 1
1
u du   u 6  C  (3x  1)6  C

3
3 6
18
1 5
1 1
1
u du   u 4  C 
C

3
3 4
12(3x  1)4
1 1
1
1
du   ln | u | C  ln | 3x  1| C

3 u
3
3
87