Don`t Panic - Studenthjelp
Contents
1 Noen greie formler og tabeller
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Integrasjon og Derivasjon . . . . . .
Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell
Identiteter . . . . . . . . . . . . . . .
Viktige Potens-serier . . . . . . . . .
Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . .
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . .
Komplekse Tall . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Lineær Algebra
2.1 Lineære Ligninger og Ligningssystem . . . . . . . . . .
2.1.1 Aritmetikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Multiplikasjon med matriser . . . . . . . . . . .
2.1.3 Metode for å løse matriser . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Ligningssystemer . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Den inverse til en matrise . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Determinant ved kofaktorekspansjon . . . . . . . . . .
2.4 Cramer`s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Høyere ordens dif.ligninger med konstante koesienter
2.6 Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Lineær DL
3.1
3.2
3.3
3.4
Generell Fremgangsmetode
Separabel DL . . . . . . . .
Bernoulli . . . . . . . . . .
Eksakt DL . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
9
10
10
11
11
12
12
13
13
13
4 Lineær transformasjon
14
5 Integralregning
17
4.1 Surjektiv og injektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Egenverdier, egenvektorer og diagnoalisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Multiple Integraler . . . .
5.1.1 Doble Integraler .
5.1.2 Trippel Integraler .
5.2 Kurveintegraler . . . . . .
5.3 Linjeintegraler . . . . . .
5.4 Vektor-linjeintegraler . . .
5.5 Overaten til en graf . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
16
17
17
18
18
18
18
18
6 Parametrisering av kurver
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
Posisjon, fart og akselerasjon
Kryssprodukt . . . . . . . . .
Buelengde . . . . . . . . . . .
Tangentialvektor . . . . . . .
Binormalvektor . . . . . . . .
Normalvektor . . . . . . . . .
Kurvatur . . . . . . . . . . .
Svingradius . . . . . . . . . .
Torsjon . . . . . . . . . . . .
Akselerasjonskomponenter . .
7 Vektorfelt
7.1
7.2
7.3
7.4
Denisjon . . . . . . .
Vektorfelt . . . . . . .
Maks retningsderivert
Konservative felt . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
19
19
20
20
20
20
20
20
20
21
21
21
21
22
8 Parametrisering av en rett linje
24
9 Partiell derivasjon
24
9.1
9.2
9.3
9.4
Andregrad partiell derivert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1-variabel kjerneregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2-variabel kjerneregel(m/1 undervariabel) . . . . . . . . . . . . . .
2-variabel kjerneregel(m/2 undervariabler) . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Matriseversjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Full matriseversjon med xn variabler og tm undervariabler .
9.5 Normalvektor til en ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Tangentplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
24
24
25
25
25
25
10 Logikk Sannhetstabeller
25
11 Røtter
28
12 Binær
28
13 Linjer og Plan
29
10.1 Bevis og Induksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Relasjoner på samme mengde og digrafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Surjektiv,Injektiv,Bijektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Info-Boks, helt generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1
13.2
13.3
13.4
Likning . . . . . .
Avstander . . . . .
Snitt . . . . . . . .
Koordinatsystemer
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
26
27
28
29
29
30
30
13.4.1 Omregninger 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.2 Omregninger 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
31
14 Bjelker og fagverk
32
15 Fourier
34
14.1 Fagverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Fagmatrise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
Enkel gangetabell . . . . . . . . . . . . . . .
Varmeligningen . . . . . . . . . . . . . . . .
Nyttige integraler (Fourier-rekker) . . . . .
Trigonometriske verdier . . . . . . . . . . .
Løsningene til varmeligningen er på formen
16 Transformasjon
16.1 Generel regel . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Konvolusjon . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Fourier-transformasjon Tabeller . . . . . . .
16.3.1 Fourier-tranformasjon Opperasjoner
16.4 Parallellforskyvning . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
34
34
34
35
35
35
36
36
36
36
37
37
17 Laplace-transformasjon Tabeller
38
18 Lineær Regresjon
39
19 Kjeglesnitt
40
19.1
19.2
19.3
19.4
Parabel . . . . . .
Ellipse . . . . . . .
Hyperbell . . . . .
Kvadratiske Flater
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
42
42
1
Noen greie formler og tabeller
1.1 Integrasjon og Derivasjon
1. y = u · v ⇒ y 0 = u0 · v + u · v 0
2. y =
u
v
⇒ y0 =
u0 ·v−u·v 0
v2
3. (xr )0 = r · xr−1
4.
´
xr dx =
1
r+1
r+1 x
5. a konstant :
6.
7.
´
´
8. k
9. k
10. k
11.
´
´
+ Cif r 6= −1... x−1 dx = ln |x| + C
1
x2 +1 dx
= tan−1 (x)
´
u0 · vdt = u · v − u · v 0 dt
´
u0 · eu dt = eu du = eu + C og (eu ) = eu · u0
0
´
konstant: ekt = kekt , og ekt dt = k1 ekt + C
´
konstant: cos(kt)0 = −k sin(kt), og cos(kt) = k1 sin(kt) + C
´
konstant: sin(kt)0 = k cos(kt), og sin(kt) = − k1 cos(kt) + C
´∞
N(µ,σ) (x)dx = 1
f0 (x)
x < a0
f (x)
a0 < x < a1
1
.
12. Hvis f (x) = ..
fn−1 (x)
an−1 < x < an
fn (x)
x > an
´∞
´ a0
´a
´ an
´∞
så er −∞
f (x)dx = −∞
f0 (x)dx + a01 f1 (x)dx + · · · + an−1
fn−1 (x)dx + an fn (x)dx
−∞
1.2 Enkel Integrasjon/Derivasjon Tabell
Derivert
Funksjon
Integrert
0
k
kx + C
1
x
nxn−1
xn
1 2
2x + C
1
n+1
n+1 x
− x12
x
ln x + C
e
1
x
x
e
ex + C
nenx
enx
1 nx
ne
+C
+C
cos x
sinx
− cos x + C
− sin x
cos x
sin x + C
n cos nx
sin nx
− n1 cos nx + C
−n sin nx
cos nx
1
n
sin nx + C
4
1.3 Identiteter
1. cos(−θ) = cos(θ)
2. sin(−θ) = − sin(θ)
3. cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1
4. Euler (standard): ejθ = cos(θ) + j sin(θ)
5. Euler (derivert):
(a) e−jθ = cos(θ) − j sin(θ)
(b) cos(θ) =
ejθ +e−jθ
2
(c) sin(θ) =
ejθ −e−jθ
2
6. ln (eα ) = α = eln(α)
7. ab·c = ab
c
8. ab+c = ab · ac
9. ab−c =
ab
ac
10. a0 = 1
1.4 Viktige Potens-serier
∞
P
1.
1
1−x
=
xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · · for |x| < 1
2.
1
1+x
= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n · xn + · · · for |x| < 1
n=0
3. ex = 1 + x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + · · · + n!1 xn + · · ·
n
n
4. e−x = 1 − x + 2!1 x2 − 3!1 x3 + · · · + (−1)
n! x + · · ·
ejx
5.
= 1 + jx − 21 x2 − 6j x3 + · · · + jn
n! xn
+ · · · (−1)k
1
=
1 − 2 x2 + · · · + (2k)! x2k + · · · + j · x − 16 x3 + · · · +
=
cos(x) + j sin(x)
k
2k
6. cos(x) = 1 − 21 x2 + · · · + (−1)
+ ···
(2k)! x
k
(−1)
7. sin(x) = x − 16 x3 + · · · + (2k+1)!
x2k+1 + · · ·
17x
2
2
8. tan (x) = x + x3 + 2x
15 + 315 + · · · x > π /4
3
5
5
(−1)k
(2k+1)! x2k
+ 1 + ···
1.5 Vektorer
~v = (x2 − x1 )~i + (y2 − y1 ) ~j + (z2 − z1 ) ~k = [x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ] = [v1 , v2 , v3 ]
Lengden av en vektor:
Enhetsvektor:
Addisjon:
Skalarmultiplikasjon:
Areal:
|~v | =
~n =
p
v12 + v22 + v32 =
q
2
2
2
(x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) + (z2 − z1 )
~
v
|~
v|
~u + ~v = [u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ]
k~u = [ku1 , ku2 , ku3 ]
A = |~u × ~v |
u1
v = |(~u × ~v ) w|
~ = v1
w1
Volum:
u2
v2
u3 v3 w3 w
2
~i
~j
~u × ~v = |~u| |~v | sin θ~n = u1 u2
v1 v 2
Vektorprodukt:
Vinkel mellom to vektorer:
Vinkelrette vektorer
cos ∠ (~u, ~v ) =
~k u3 = [u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ]
v3 ~
u~
v
|~
u||~
v|
~u⊥~v ⇔ ~u~v = 0
1.6 Skalarprodukt
~u • ~u = |~u|
Omskrivningsloven:
Fordelingsloven:
For reelle t:
Skalar projeksjon:
Vektor projeksjon:
TEOREM: Hvis θ
2
~u • ~v = ~v • ~u
~u • (~v + w)
~ = ~u • ~v + ~u • w
~
(t~u) • ~v = ~u • (t~v ) = t (~u • ~v )
~
u•~
v
|~
v|
= |~u| cos θ
proj~v ~u =
~
u•~
v
~v
|~
v |2
er vinklen mellom ~u og ~v (0 ≤ θ ≤ π) da er ~u • ~v = |~u| |~v | cos θ = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
1.7 Komplekse Tall
i=
√
−1
z = a + ib = reiθ
Re (z) = a
Im (z) = b
Komplekskonjugerte til z :
z¯ = a + ib = a − jb
z + z¯ = 2Re (z)
z − z¯ = 2Im (z)
2
Absoluttverdien til z :
z · z¯ = (Re (z)) · (Im (z))
√
|z| = r = a2 + b2
6
2
2
Lineær Algebra
2.1 Lineære Ligninger og Ligningssystem
Matrise:
1.2
2
3↑
A er en 3 h· 5 (dimensjonal) matrise.
i
Rad 2 er 2 3.1 −8 2 2 (en vektor)
5 −→
−3 8 7
3.1
7
7
Den andre radvektoren til A
5
−8 2 2 = A
0 0 7
7
Kolonne 4 er
2 - den 4 kolonnevektoren til A
0
2.1.1 Aritmetikk
Krever matchende
"
# dimensjoner.
"
#
Ex: A =
1
2
3
4
,B =
−1
3
7
18
"
, A+B =
0
5
10
22
#
Regel: To matriser kan kun legges sammen dersom de har samme dimensjoner!
2.1.2 Multiplikasjon med matriser
Matrise gange vektor:
A · ~v =
"
1
4
~v
A
A · ~v
# −1
2 3
· 7 =
"
5 6
3
1
4
−1
7
3
"
=
2
#
3
"
1 · (−1)
+2 · 7
#
+3 · 3
5
6
4 · (−1)
+5 · 7
+6 · 3
#
22
49
Matrise gange matrise:
Utregning:
Regel:
Krav: l = m
k
l
z
}|
{
Ak · l − matrise
m
kolonne s
n
z
}|
{
Bm · n − matrise
↓
h
rad r →
ar1
C
ar2
···
i
arl
b2s
.
..
bms
→
b1s
↓
Crs
Crs = ar1 · b1s + ar2 · b2s + · · · + arl · bms←m=l
7
2.1.3 Metode for å løse matriser
1. Identiser første kolonne som ikke bare er 0-er
2. Bytt rader om nødvendig, så det ikke er 0 øverst i den kolonnen
3. Øverste element i den kolonnen er nå pivot. Sørg for å få bare 0-er under den (radopperasjoner)
4. Når pivoten er alene i sin kolonne, marker ut dens rad og kolonne, og jobb videre med resten, som i trinn 1
5. Når trinn 4 er utslitt, er matrisa på trappeform. Nå skal vi eliminere over pivotene, og begynner lengst til
høyre, nederst.
6. Få delt radene på verdiene i pivotene.
7. Matrisa er nå på redusert trappeform. Les av.
2.1.4 Ligningssystemer
Anne og Berit er 18 år til sammen
Anne er dobbelt så gammel som Berit
(1)
(2)
Hvor gamle er de?
1: x+y
= 18
2:
= 2y
x
Skriver om
x+y
= 18
x − 2y
=0
Skal løse formelt. Viser først tillate operasjoner.
Bytte
Ligninger#
Matriseversjon
"
"
#
x+y
= 18
1
1
18
x + 2y
=0
1
−2
0
↓
"bytter
x + 2y
x+y
#
=0
= 18
"
Gange en ligning
"med et tall #
x+y
= 18
x + 2y
=0
"
·3
↓
" ganger
3x + 3y
#
= 54
x + 2y
=0
"
Legge til et multippel
"av en ligning til
# en annen
x+y
= 18
→↓
x + 2y
=0
←↓
"
+3
#
0
18
−2
1
1
∼
1
#
18 ·3
1
1
1
−2
0
3
3
#
54
1
−2
0
1
1
1
−2
#
18 →↓
0
←↓
+3
Legger til 3·ligning 1
til ligning 2
#1 : x + y = 18
h
1
3 · #1 : 3x + 3y = 54
#2 + 3 · #1 :
(x − 2y) + (3x + 3y) = 0 + 54
"
4x +#y = 54
x+y
= 18
4x + y
= 54
−2
i
0
h
i
+3 · 1 1 18
h
i
= 4 1 54
"
1
1
18
4
1
54
#
8
Løser Eksempelet som Matrise:
"
1
1
1
−2
"
∼
1
0
"
∼
h
1
i
−2 0
h
i
−1
+(−1)
1
1
18
h
i
←↓
= 0 −3 −18
#
18 →↓
0
1
#
18
−3
−18
"
·
− 13
∼
1
1
18
0
1
6
#
←↑
→↑
1 + (−1) ·0
1 + (−1) · 1
#
18 + (−1) · 6
0
1
6
−1
"
=
1
0
#
12
0
1
6
Leser av ved å legge til x`er, y`er, +/- og =
1x + 0y = 12
x = 12
0x + 1y = 6
y=6
2.2 Den inverse til en matrise
A~x = ~b har løsning ~x = A−1~b
TEOREM: A har en invers A−1 hviss A er enh n · n matrise
og har pivot i alle rader og i alle kolonner. Da nner
i
.
−1
vi A ved å sette opp augmentert matrise A .. I og da nner vi A−1 når den er på redusert trappeform
h
i
.
∼ I .. A
Ex: "
#
" #
A=
1
2
3
4
og ~b =
5
6
~
Finn A , ogbruk A−1 til å løse
A~x = b
.
..
h
i
.
1 2 . 1 0 →↓
1 2 . 1 0 ←↑
.
−3 ∼
+1
A .. I =
↓
↑
..
..
←
→
3 4 . 0 1
0 −2 . −3 1
#
"
..
..
1
0
.
−2
1
−2
1
1
0
.
−2
1
−1
, A =
∼
∼
3
.
.
− 12
2
0 1 .. 32 − 12
0 −2 .. −3 1 ·(− 1 )
−1
"2 #
5
~x = A
6
−1~
b= "
−2
1
3
2
− 12
#
"
−4
# =
" #
−4
9
2
9
2
9
2.3 Determinant ved kofaktorekspansjon
1
Kofaktorekspansjon av 2
4
1
2
4
−11
2 9
2
(−1)1+3 · (−11) · 4
0, 5
2
8
−11
2 langs 3. kolonne:
9 1
2
4
0, 5
2
8
2
8
= 1(−11) · 8 = −88
1
2
4
−11
2 9
1 0, 5
2+3
(−1)
·2·
4
8 0, 5 −11
2
2 8 9 1 0, 5
(−1)3+3 · 9 · 2
2 = (−1) · 2 · 6 = −12
=1·9·1=9
0, 5
2
8
(−88) + (−12) + 9 = −91
(−1)1+3⇒rad1+kolonne3
2.4 Cramer`s rule
M · ~x = ~b har, hvis M 6= 0, løsningen:
Da får vi:
−3
A= 0
0
−3
A = 0
0
xk =
A k
(~b)
A
0
6
−2 2 ~b = −9
0
2
0
−2
1
0 −3
2 0
1 0
6
0
−
= (−3) · (−2) · 1 + 0 · 2 · 0 + 0 · 0 · 2 − 0 · (−2) · 0 − 2 · 2 · (−3) − 1 · 0 · 0 = 18
2
2 +
0 0 6 0
6
→
−
→
− (bytter kolonne 1 med b ) = 6 · (−2)·1 + 0 · 2 · 6 + 0·(−9) · 2 − 6 · (−2)·0 − 2 ·
A1 ( b ) = −9 −2 2 −9
6
2 1 6 2
2 · 6 − 1 · (−9) · 0 = −36
−3 6 0 −3 6
→
− ~ = 27 + 0 + 0−0 + 36 − 0 = 63(ferdig summert)
(bytter kolonne 2 med b)
A2 ( b ) = 0 −9 2 0
0
6 1 0 6
−3 0
6 −3 0
→
− (bytter kolonne 3 med ~b) = 36 + 0 + 0−0 − 54 − 0 = −18
A3 ( b ) = 0 −2 −9 0
0
2
6 0 2
→
−
A
1 ( b )
x1 =
= −36
18 = −2
A
→
− −2
A
2 ( b )
1
63
1
x2 =
= 18 = 3 2 =⇒ ~x = 3 2
A
−1
→
−
A
3 ( b )
x3 =
= −18
18 = −1
A
10
2.5 Høyere ordens dif.ligninger med konstante koesienter
Partikulær løsning
Metode:
1. Skriv opp Dif. ligningen Ly = f (t)
2. Finn løsningen av Ly = f (t) [tilhørende homogene]
y1 , y2 , · · ·
yc = c1 · y1 + c2 · y2 + · · ·
3. Finn yp
y
···
yn 1
.. a) Finn W = ...
. (n−1)
(n−1) y1
· · · yn
0 y ~b y 1
n
. . .
.
.
som i
b) Finn Wk (~b) = .. .. .. ,~b = . 0 Cramer‘s rule
.
..
. ⇑ .. f (t)
kolonne k
c) yp = y1 ·
´ W1 (~b)
W dt + y2 ·
´ W2 (~b)
W dt + · · · + yn ·
4. y = yp + yc
Snarvei for yP hvis di.ligningen er av 2. orden:
yP = y1 ·
´
−y 2 ·f(t)
dt
W + y2 ·
´
y1 ·f (t)
dt
W y y 1
2
W = 0
y1 y20 W er Wronski determinanten.
2.6 Gram-Schmidt
Gram-Schmidt er en prossess for å omvandle en
vilkårlig basis B = {x~1 , · · · , x~n } til en
ortogonal basis B 0 = {v~1 , · · · , v~n } også til slutt en
ortonormal basis B 00 = {u~1 , · · · , u~n }
11
´ Wn (~b)
W dt
TEOREM: Anta at {x~1 , · · · , x~n } er en basis for et underrom W av Rn .Sett Wk = Span {x~1 , · · · , x~k } for 1 ≤ k ≤ n
Def:
~v1
= ~x2
~v2
= ~x2 − P rojW1 (~x2 ) = ~x2 −
~v3
..
.
~vn
~x2 · ~v1
~v1
~v1 · ~v1
= ~x3 − P rojW2 (~x3 ) − P rojW1 (~x3 )
~x3 · ~v1
~x3 · ~v2
= ~x3 −
~v1 −
~v2
~v1 · ~v1
~v2 · ~v2
= ~xn − P rojWn−1 (~xn ) − · · · − P rojW1 (~xn )
~xn · ~vn−1
~xn · ~v1
~v1 − · · · −
~vn−1
= ~xn −
~v1 · ~v1
~vn−1 · ~vn−1
Da er {v~1 , · · · , v~k } en ortogonal basis for Wk for alle 1 ≤ k ≤ n.
For å nne B 00 (ortonormal) bruker du
~u1
=
~u2
=
..
.
~un
3
=
1
~v 1
k~v1 k
1
~v 2
k~v2 k
1
~vn
k~vn k
Lineær DL
y 0 + p(t)y = q(t) ; y(a) = b
b(t)
c(t)
HVIS du har a(t)y 0 + b(t)y = c(t) , del da på a(t) først: y 0 + a(t)
= p(t); y + a(t)
= q(t)
SÅ ikke bruk b(t) som p(t) i formel
3.1 Generell Fremgangsmetode
0.a(t)y 0 + b(t)y = c(t)
deler på a(t) ⇓
1.y 0 + p(t)y = q(t)
´
2.Mellomregning: Finner integrerende faktor:ˆ µ(t) = e p(t)dt
´
e| p(t)dt
{z }
·
p(t)dt
| {z }
µ(t)
·
p(t)
3.Ganger uttrykket i (1) med µ(t): µ(t) · y 0 + µ(t) · p(t)y = q(t) · µ(t)
Det ne med µ(t) er at µ0 (t) =
4.Gjenkjenner at µ(t) · p(t) = µ0 (t)
µ(t) · y 0 (t) + µ0 (t) · y(t) = q(t) · µ(t)
|
{z
}
5.Gjenkjenner produktregel (uv)0 = u · v 0 + u0 · v ⇒ (µ(t) · y(t))0 = q(t) · µ(t)
12
6.Integrerer
´
µ(t) · y(t) = q(t) · µ(t)dt + C
h ´
i ´
1
´
µ(t) · q(t)dt + C · µ(t)
y(t) =
= e p(t)dt · q(t)dt + C · e p(t)dt
µ(t) = e
´
2
t dt
= e2 ln t = eln t·2 = (eln t )2 = t2
Trikset er å få e og ln rett på hverandre, så de kansellerer etter regelen eln x = x
FEIL: e2 ln t = 2t
3.2 Separabel DL
Def: En separabel DL er en ligning som kan skrives på formen N (y) · y 0 = M (t)
Løsning:
N (y) ·
dy
dt
= M (t)
N (y)dy = M (t)dt
´
´
N (y)dy = M (t)dt
løs for y
3.3 Bernoulli
Def: Er på formen, eller kan skrives om til y 0 + p(t)y = q(t)y n n er et heltall.
Løsning:
0. Skriv opp ligningen på formen
y 0 + p(t)y = q(t)y n
1.
2.
3.
4.
Variabelskifte v = y 1−n gir ny ligning v 0 + (1 − n) p (t) · v = (1 − n) q (t) som er lineær.
Løs den nye DL: nn v (t)
1
y = v 1−n
(Evt) Sett inn for startverdi betingelse y (0) = a
3.4 Eksakt DL
En eksakt DL er en ligning som kommer fra en funksjon H (t, y) slik:
∂H (t, y (t)) ∂H (t, y (t)) dy (t)
d
H (t, y (t)) =
+
·
dt
∂t
∂y
dt
Når vi ser en kandidat, så vet vi ikke med en gang om den er eksakt. Det må vi teste for. Kandidatene ser slik
ut: M (t, y) + N (t, y) · y 0 = 0
∂H
∂H
Da er de eksakte hvis det nå ns en H slik at
= M og
=N
∂t
∂y
Det vi da må gjøre, er
fordi
∂M
∂N
1. Sjekk om den er eksakt, ved å se om
=
∂y
∂t
2. Hvis eksakt: LØSE ved antiderivasjon.
13
∂M
∂y
∂N
∂t
∂
=
∂
=
∂H
∂t
∂y
∂H
∂y
∂t
=
=
∂2H
∂y∂t
k
∂2H
∂t∂y
4
Lineær transformasjon
En matrisetransformasjon T av en vektor ~v er hva vi får når vi ganger med en matrise A:
T : ~v −→ A · ~v eventuel skrivemåte: T (~v ) = A · ~v
En lineær transformasjon T er en vektor-transformasjon som er lineær, Altså:
• T (k ·~v) = k · T (~v )
• T (~u + ~v ) = T (~u) + T (~v )
Vi sier at T : Rn → Rm har
• domene Rn
• kodomene Rm
Ofte illustrerer vi T slik:
14
TEOREM: Enhver lineærtransformasjon T er også en matrisetransformasjon for en matrise A; matrisa A kalles
standardmatrisa
til T , og vi har ati
h
.
.
.
A = T (~e1 ).. T (~e2 ).. · · · .. T (~en )
1
0
1
0
1
0
..
..
..
~e1 = . , ~e2 = . , ~en =
.
.
.
.
..
..
..
1
0
0
e står for enhetsvektor
h
.
A = T (~e1 )..
"
i
0
T (~e2 ) =
1
#
1
h
.
A = T (~e1 )..
"
i
0
T (~e2 ) =
1
−1
0
byggfagstudenter
#
0
" #
2
Hvis vi nå vil nne rotasjonen av
90◦ mot klokka, så ganger vi med A: T
3
4.1 Surjektiv og injektiv
Surjektiv: T (domenet) dekker hele kodomenet
Surjektiv når:
Projeksjon: R2 → R3
Rotasjon: R2 → R2
Injektiv: Hvis ~x 6= ~y, så er T (~x) 6= T (~y)
Injektiv når: R3 → R2
Embedding: R2 → R2
15
" #!
2
3
=
"
0
1
# " # " #
−1
2
−3
·
=
0
3
2
4.2 Egenverdier, egenvektorer og diagnoalisering
For alle matriser A nnes det spesielle vektorer ~v slik at A · ~v = λ · ~v
for en konstant λ. A forandrer bare lengden på ~v , ikke retningen.
Def:
λ er en egenverdi tilhørende A
~v er en egenvektor tilhørende λ (og A)
For disse spesielle vektorene er da (f.x.)
A100 · ~v = A99 · (A · ~v ) = A99 · (λ · ~v ) = · · · = λ100 · ~v
HOW-TO?
i)
ii)
iii)
Hvis vi har ~v :
Hvis vi har λ:
Hvis vi har A:
Finne λ
Finne alle ~v tillhørende λ
Finne (alle) λ, og deres ~v
i) Finner
λ gjennom et eksempel.
−1
6
6, ~v = 0
−2
2 −1 8
Her er A · ~v = λ · ~v : Finn λ!
4
A = 2
6
1
SVAR:
A · ~v =
4
2
−1
1
6
6
0
12
6
−2
= 0 = ? · 0
12
−4
−2
0
−4
6
2 −1 8
? · 6 = 12
Alle gir ? = 2
?·0 =
0
så λ = 2
? · (−2) = −4
ii) Gitt λ, nne ~v
METODE:
1. Skriv opp matrisen A og egenverdien λ
2. Finn A − λI
Dette gjør du ved å subtrahere fra diagonalen på A
3. Løs (A − λI) · ~x = ~0
Skriv løsningen ~x = s1 · ~vk1 + · · · + sm · ~vkm
4. Egenvektorene er da alle disse vektorene ~x som kan skrives som over, span {~vk1 · · · ~vkm } Det vi skriver ned
er Egenvektorene til λ (utspennes av) ~vk1 · · · ~vkm
16
iii) Gitt A: Finn λ og deres ~v -er
METODE:
1. Finn A sine λ
2. Steg ii over: Finn ~v tillhørende λ
~
Hvilke λ har slike ~v −er? Jo, det er de som har ere enn 1 løsning,
altså frie variable, til ligningen (A − λI) · ~x = 0
Vi husker at en kvadratisk matrise B har frie variable hvis B = 0. Så metoden går ut på å nne λ slik at
A − λI = 0
Def
• p (λ) = A − λI kalles det karakteristiske polynomet til A
• Løsningen til p (λ) = 0 er egenverdien til A
Diagonaliseringen av en matrise A er dekomposisjonen
A = P · D · P −1
der
h
P = ~v1,1
λ1
0
..
.
D=0
0
.
..
0
5
~v1,2
···
~v2,1
···
~v2,2
0
···
0
0
···
λ1
···
0
0
···
..
.
0
0
..
.
0
···
···
..
.
..
.
λ2
0
0
λ2
0
0
..
.
···
~vm,k
0
i
0
..
.
f (A) = P · f (D) · P −1
0 Det greie med den er at
An = P · Dn · P −1
0
..
.
λm
Integralregning
5.1 Multiple Integraler
Generelt: Ved multiple integraler er alle andre variable en den som integreres der å da å regne som
konstante.
5.1.1 Doble Integraler
´´
´´
f (x, y)dA skriver vi om til
f (x, y)dydx
´´
Kan også skrives om til f (x, y)dxdy der dette gir ett nere uttrykk. Svaret blir det samme.
´
dx: Vi behandler y som en konstant.
´´
´´
Substitusjon:
f (x, y) dxdy =
f (x (u, v) , y (u, v)) J (u, v) dudv
x
u
u xv −1
x uy J (u, v) = , J (x, y) = , J (u, v) J −1 (x, y) = 1
yu yv vx v y 17
5.1.2 Trippel Integraler
´´´
´´´
f (x, y, z)dV skriver vi om til
f (x, y, z)dzdydx
´´´
´´´
Substitusjon:
f (x, y, z)dxdydz =
f (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) J (u, v, w) dudvdw
xu xv xw ux uy uz J (u, v, w) = yu yv yw , J −1 (x, y, z) = vx vy vz , J (u, v, w) J −1 (x, y, z) = 1
wx wy wz zu zv zw 5.2 Kurveintegraler
´b
´
0
Def: W = F (r (t)) dr(t)
dt dt, parameteruavhengig notasjon: r dt = dr ⇒ W = F dr
a
´
´
C
C
C
´
´
C
C
Komponentene F = F1 i + F2 j og dr = dxi + dyj ⇒ W = F dr = (F1 dx + F2 dy) = F1 dx + F2 dy
5.3 Linjeintegraler
Vanlig integral er linjeintegral
langs linjesegmenter på x-aksen.
´
C
´a
f (~r(t))ds = f (~r(t)) · ~r0 (t) dt
b
5.4 Vektor-linjeintegraler
Arbeid utført i et vektorfelt
´
´
´
F~ • d~r = F~ • T~ ds = F~ •
C
C
C
d~
r
dt dt
Hvis C er en lukket kurve, altså at start- og stopp-punkt er identiske, skriver vi integralet slik:
¸
F~ • d~r ⇒ Dette kalles sirkulasjonen av F~ rundt C
C
TEOREM: HvisF~ er
et konservativt vektorfelt i et sammenhengende område D, og
" #
φx
φx
~
F = ∇φ, ∇φ = φy (3D) eller
(2D)
φy
φz
Så er
¸
1. F~ • d~r = 0 for alle lukkede kurver C
´C
2. F~ • d~r = φ(P1 ) − φ(P0 ) hvis C starter i P0 og slutter i (P1 )
C
5.5 Overaten til en graf
• I 1 dimensjon / R1
L-lengden fra a til b på en graf er gitt ved:
´b p
1 + (f 0 (x))2 dx
a
18
• I 2 dimensjoner / R2
Arealet til grafen over området R er
˜p
6
1 + (fx )2 + (fy )2 dA
Parametrisering av kurver
6.1 Posisjon, fart og akselerasjon
• Generelt:
~x = hx
, · · · , xn i
1 , x2√
x = ~x = x1 + x2 + · · · + xn
r1 (t)
• Posisjon: ~r(t) = hr1 (t), r2 (t), r3 (t)i = r2 (t)
r3 (t)
r10 (t)
• Fart: ~v (t) = ~r0 (t) = hr10 (t), r20 (t), r30 (t)i = r20 (t)
r30 (t)
r100 (t)
• Akselerasjon: ~a(t) = ~v 0 (t) = ~r00 (t) = hr100 (t), r200 (t), r300 (t)i = r200 (t)
r300 (t)
r1000 (t)
• Jerk: ~j(t) = ~a0 (t) = ~v 00 (t) = ~r000 (t) = hr1000 (t), r2000 (t), r3000 (t)i = r2000 (t)
r3000 (t)
6.2 Kryssprodukt
~a × ~b
×−
+
6.3 Buelengde
Buelengde for t er fra t = a til t = b:
´b
´b
´b p 0
S = v(t)dt = | ~v (t) | dt =
(r1 (t))2 + ... + (rn0 (t))2 dt
a
a
a
19
6.4 Tangentialvektor
Enhets tangentialvektor er gitt ved: T~ =
~
v
|~
v|
6.5 Binormalvektor
~ =
Enhets binormalvektor er gitt ved: B
~
v ×~
a
|~
v ×~
a|
~
= T~ × N
6.6 Normalvektor
~ =B
~ × T~
Enhets normalvektor er gitt ved: N
6.7 Kurvatur
Enhets kurvatur er gitt ved κ =
~
v
× ~a
v3
6.8 Svingradius
Enhets svingradius er gitt ved ρ =
1
κ
6.9 Torsjon
~
∂B
Enhets torsjon er gitt ved τ = − N ·v∂t =
(~
v ×~
a)·j
|~
v ×~
a|2
6.10 Akselerasjonskomponenter
0
2
~ , ⇒ aT = ~v , aN = κ ~v Akselerasjonskomponent er gitt ved ~a = aT T~ + an N
20
7
∂f
∂x
∂
∂x
Vektorfelt
= Dx f = fx
betyr at alle andre variable er å se på som konstanter.
7.1 Denisjon
f~u = D~u f = ~u · ∇f der ∇f =< fx , fy >kalles gradienten til f .
7.2 Vektorfelt
~x =< x1 , x2 , · · · , xn >
∂f
, ∂f , · · · , ∂f
Gradient: ∇f =< fx1 , fx2 , · h· · , fxn >=<
∂x n >
i ∂x 1 ∂x 2
∂F1
∂F3
∂
∂
∂
2
~
Divergens: div F = ∇ · F = ∂x , ∂y , ∂z · [F1 , F2 , F3 ] = ∂x + ∂F
∂y + ∂z
~i
h
i
∂
∂
∂
∂
~
Curl: curlF = ∇ × F = ∂x , ∂y , ∂z × [M, N, P ] = ∂x
F
1
D~u f = ~u · ∇f
7.3 Maks retningsderivert
D~u f = ~u · ∇f = ~u · ∇f · cosθ,
der θ er vinkelen mellom ~u og ∇f
Maks retningsderivert: cos θ = 1, dvs θ = 0,
altså når ~uk∇f , altså ~u = ∇f ∇f Null retningsderivert: cosθ = 0, θ = ±90◦
21
~j
∂
∂y
F2
~k ∂ h ∂F3
= ∂y −
∂z F3 ∂F2 ∂F1
∂z , ∂z
−
∂F3 ∂F2
∂x , ∂x
+
∂F1
∂y
i
7.4 Konservative felt
Et konservativt vektorfelt kan tenkes på som et felt der vektorene er krefter, og arbeid er kun avhengig av endring
av posisjon.
Vektorfelt:
"
#
F1 (x, y)
R2 → R2 : F~ (x, y) = F1 (x, y)i + F2 (x, y)j =
F2 (x, y)
F1 (x, y, z)
R3 → R3 : F~ (x, y, z) = F2 (x, y, z)
F3 (x, y, z)
F~ er konservativ hvis
∂F2
1
R2 → R2 : ∂F
∂y = ∂x
∂F3
∂F2
∂F3
1
og ∂F
∂z = ∂x og ∂z = ∂y
Eksakt krav for at F~ er konservativ
er at det nnes en skalarfunksjon φRn → R, ∇φ = F~
" #
R3 → R3 :
∂F1
∂y
∂F2
∂x
=
Kravet for R2 → R2 : F~ =
∂F1
∂y
=
∂F2
∂x
betyr
∂φx
∂y
Φ=
´
=
∂φy
∂x
φx
φy
, φxy = φyx
F1 dx + C (y, z, . . .)Φ =
C (y, z, . . .) =
´
´
udy + C (z, . . .)
(F2 − Φy ) dy + C (z, . . .)
22
Metode
Eksempel
0. Skriv ned F~
F1
ey =
− z F2
x · cos z
F3
− sin z
xy
0. F~ =
21 x2
ey
z
1. Undersøk om F~ er konservativ
1.
∂F1
∂y
∂F2
∂x
∂F3
∂x
∂F1
∂z
∂F2
∂z
∂F3
∂y
=x
=x
= − cos z
V er konservativ
= − cos z
ey
z2
ey
z2
=
=
1b. Hvis IKKE konservativ:
Φx
F1
~
Da vet vi at ∇Φ = Φy = F2 = F
Φz
F3
STOPP!
Da må vi nne Φ
Φx
Φx
2.
Φ
= F1
´
= Φx dx + C (x, y)
¯ + C (x, y)
=Φ
Φ
2.
= F1 = xy − sin z
´
(xy − sin z) dx
1 2
= x y − x sin z +C (x, y)
|2
{z
}
=
¯
Φ
∂
∂y Φ = Φy
∂
¯
∂y Φ + C
= F2 , så
(x, y) = F2
⇓
∂ ¯
(x, y) = F2 − ∂y
Φ
´
∂ ¯
3. C (x, y) = F2 ∂y
Φdy + C (z)
∂
∂y C
så
så
C (z) =
5.
´
F3 −
∂ ¯
∂z Φz dz
4.
ey
z
−
∂
∂y
y
´
−
∂
∂z
− −x cos z +
0dz + C = C
+C
+C
− x sin z
= − ez
ey
z 2 − x cos z ey
x cos z
z2 −
∂
∂z C (z) =
y
= ez2 − x cos z
C (z) =
∂ ¯
∂z Φz dz
1 2
2x y
ey
1 2
x y − x sin z −
+C (z)
z}
|2
{z
¯
Φ
så
Da er
¯ +´ F −
Φ=Φ
3
1 2
2x
1 2
2x
´
Φz = F3 =
∂ ¯
∂z Φ
(z) = F3 −
−
Φ=
F3
⇓
∂
∂z C
∂
∂y C (x, y) =
y
= 21 x2 − ez −
⇓
så
4.
ey
z
3. C (x, y) = − ezy dy + C (z) = − ezy + C (z)
så
¯ + C (x, y)
Φ=Φ
´
¯ + F2 ∂ Φdy
¯ + C (z)
Φ=Φ
∂y
¯ + C (z)
Φ=Φ
∂
∂z Φ
= Φz = F3 ,
∂
¯
∂z Φ + C (z) =
Φy = F2 = 12 x2 −
5.
Da er
Φ=
1 2
2x y
23
− x sin z −
ey
z
+C
1 2
2 x y −
ey
z2 = 0
x sin z −
ey
z
8
Parametrisering av en rett linje
Enkleste parametrisering starter på t = 0 og slutter på t = 1
~r(t)
Altså:
Start: x1 = 0, y2 = 0
Slutt: x2 = 0, y1 = 1
= ~r1 + t · (~r2 − ~r1 )
" #
"
# "
#
x1
x2 − x1
x1 + t(x2 − x1 )
=
+t
=
y1
y2 − y1
y1 + t(y2 − y1 )
" #
0
0
" #
0
1
" #
0
~r(t) =
=
0 + t(1 − 0)
t
"
#
0 + t(0 − 0)
9
Partiell derivasjon
Førstegrad partiell derivert
∂f ∂f
Vi har følgde: ∂f
∂x , ∂y , ∂z
Skrivemåter:
∂f
∂x
∂
∂x
= Dx f = fx
betyr at alle andre variable er å se på som konstanter.
9.1 Andregrad partiell derivert
Vi har følgende:
∂2f
∂x2 ,
∂2f
∂y 2 ,
∂2f
∂z 2 ,
∂2f
∂xy
=
∂2f
∂yx
9.2 1-variabel kjerneregel
d
dx f (g(x))
= f 0 (g(x))g 0 (x)
9.3 2-variabel kjerneregel(m/1 undervariabel)
og
z = z(x, y)
dz
dt
=
∂z dx
∂x dt
+
x = x(t), y = y(t)
∂z dy
∂y dt
9.4 2-variabel kjerneregel(m/2 undervariabler)
og
z = z(x, y)
∂z
∂t
=
∂z ∂x
∂x ∂t
+
∂z ∂y
∂y ∂t
x = x(s, t), y = y(s, t)
∂z
∂s
=
∂z ∂x
∂x ∂s
+
∂z ∂y
∂y ∂s
24
9.4.1 Matriseversjonen
∂z
∂s
∂z
∂t
=
∂z
∂x
∂z
∂y
∂x
∂s
∂y
∂s
9.4.2 Full matriseversjon med
z = z(x1 , x2 , ....., xn )
og
∂x
∂t
∂y
∂t
xn
variabler og
∂z
∂t1 ....
.... ∂t∂zm
=
undervariabler
x1 = x1 (t1 , ......., tm ), .....xn = xn (t1 , ...., tm )
tm
∂z
∂x1 ....
∂z
.... ∂x
n
∂x1
∂t1
∂x1
. . . ∂t
m
...
.. . .
. .
∂xn
∂t1
∂xn
. . . ∂t
m
...
9.5 Normalvektor til en ate
Normalvektor ~n til en ate denert av f(x,y) er gitt av:
~n =
∂f
∂x (x0 , y0 )
∂f
(x
,
y
)
0
0
∂y
−1
9.6 Tangentplan
Ligningen for tangentplanet til funksjonen
z = f (x0 , y0 ) +
10
∂f
∂x (x0 , y0 )(x
− x0 ) +
∂f
∂y (x0 , y0 )(y
f
i
(x0 , y0 )
− y0 )
Logikk Sannhetstabeller
Lag liste over de grunnleggende sanhetstabellene, f.x.
p
q
p∨q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
osv. ∨, ∧, →, ↔, ¬
25
er gitt av:
Ex: Lager sannhetstabell for ((p ↔ q) ∨ (q → r)) → r
p
T
T
T
T
F
F
F
F
Ex:
q
p↔q
r
q→r
T T
T
T F
T
F T
F
F F
F
T T
F
T F
F
F T
T
F F
T
↑Har sannhetstabell
p
q
p↑q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
(p ↔ q) ∨ (q → r)
r
T
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
hele
T
F
T
F
T
T
T
F
10.1 Bevis og Induksjon
p1
p2
Bevisstruktur
..
.
pn
Premisser
∴q
-Konklusjon
er et bevis dersom (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) → q er en tautologi. En tautologi er en påstand som altid er sann, uansett
sannhetsverdien til de atomære utsagnene.
10.2 Relasjoner på samme mengde og digrafer
R er en relasjon mellom A og A
R ⊂ A × A = {(x, y) | x, y ∈ A}
Ex:
A =
{1, 2, 3, 4}
R
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 1)}
=
Tegn digrafen til R
1:.Tegn opp hvert element med en sirkel
Svar/metode:
x til y
2.Hvis (x, y) ∈ R, så tegn en pil → fra 26
Vi kan også gå motsatt vei. Fra digraf til relasjon (liste).
En relasjon R på en mengde A (egentlig A × A) er:
• reeksiv hvis (a, a) ∈ R for alle a ∈ A
• symmetrisk hvis (x, y) ∈ R betyr (y, x) ∈ R
• asymmetrisk hvis (x, y) ∈ R betyr (y, x) ∈
/R
• antisymmetrisk hvis (x, y) ∈ R og (y, x) ∈ R betyr x = y
• transitiv hvis (x, y) ∈ R og (y, z) ∈ R betyr (x, z) ∈ R
• sammenhengende hvis den er symmetrisk, og det ns en sti mellom hvert par av elementer a, b ∈ A
Ekvivalensrelasjon: R er en ekvivalensrelasjon hvis den er symmetrisk, (reeksiv) og transitiv
Reeksiv er i parantes siden den følger fra symmetrisk + transitiv
Symmetrisk:(x, y) ∈ R⇒(y, x) ∈ R
Transitiv:(x, y) ∈ R og (y, z) ∈ R⇒(x, z) ∈ R
Reeksiv:(x, yx) ∈ R
Illustrasjon av en ekvivalensrelasjon:
Ekvivalensrelasjoner skaper partisjoner av A, altså deler inn A i grupper, såkalte ekvivalentklasser [x]R = {y ∈ A | xRy}
10.3 Surjektiv,Injektiv,Bijektiv
f :A→B
f er surjektiv hvis f (A) = B
sin(x) er ikke surjektiv for f : R →R
x3 er surjektiv for f : R →R
Er Surjektiv
Er ikke Surjektiv
27
11
Røtter
Generelt for n-røtter:
z = p ·
eiθ
1
pn
p n1
√
n
z=
1
p n
p n1
1.rot
θ
· ei n
θ
2
i( n
+n
π)
·e
θ
i( n
+
·e
2(k−1)
π)
n
2.rot
k.rot
·e
(n-1).rot
Full gang på en n-rots oppgave:
2(n−1)
θ
i( n
+ n π
1. z = a + ib
2. z = p · eiθ (Kartesisk→Polar,)
3.
√
n
4.
√
n
12
z = (f ormel)
z = → konverter til c + id form
c = r · cos(θ), d = r · sin(θ)
Binær
12.1 Info-Boks, helt generelt
Disse av/på boksene, som går på ved t = a, og av ved t = b har formel
u(t − a) ·
| {z }
Slår på
ved t = a
(1 − u(t − b))
|
{z
}
Slår av
ved t = b
= u(t − a) − u(t − a) · u(t − b)
= u(t − a) − u(t − b)
Binær Gangetabell: 0
1
0
0
0
1
0
1
TEOREM: Hvis vi har en funksjon g(t) som er O utenfor intervallet [O, p], og lager en periodisk utvidelse med
periode p f (t) = g(t) + g(t − p) + g(t − 2p) + . . .
så er L {f (t)} = 1−e1−ps · L {g(t)}
Notat: Denne formelen gjelder også for vilkårlige g(t) om f (t) = g(t) + g(t − p) + . . ., men f er da ikke periodisk
28
13
Linjer og Plan
13.1 Likning
For en linje:
En rett linje i rommet er gitt ved ~r(t) = p0 + t · ~v , hvor V er en retning (vektor) for et plan:
Normalvektor ~n = [A, B, C] kommer fra kryssproduktet til to uavhengige vektorer u og v som ligger i planet
⇒ ~n = [~u × ~v ]
Finne u og v fra tre punkter i planet
h
i
P0 , P1 , P2 ⇒ ~u = [P1 − P0 ], ~v = [P2 − P0 ]
Punkt i planet (x0 , y0 , z0 )
→ A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0
= Ax + By + Cz = D
13.2 Avstander
Fra punkt til plan
Plan : Ax + By + Cz = D (med ~n-vektor [A, B, C] )
Punkt P: (x, y, z)
Avstand = d =
Ax
+ By + Cz − D
√ 2 2 2
(A +B +C )
29
Fra punkt til linje
Punkt P : (x, y, z)
Linje l : p0 + t · ~v
Avstand = d =
(p
−~ p0 ) × ~v ~
v 13.3 Snitt
P1 har normalvektor = n1 = hA~1 , B1 , C1 i
P2 har normalvektor = n2 = hA~2 , B2 , C2 i
Snittet,
l : p0 + t · ~v
~v = n~1 × n~2
P0 er en løsning av ligning systemet
A1 + B1 + C1 = D1(P 1)
A2 + B2 + C2 = D2(P 2)
Mellom to linjer
l1 : p1 + t · v~1
l2 : p2 + t · v~2
Avstand = d =
(p
−~ p0 ) · (~v1 × v~2 )
v~
1
× v~2 13.4 Koordinatsystemer
Kartesisk: dV = dxdydz
Sylindrisk: dV = drdθdz
Sfærisk: dV = ρ2 sin φdρdφdθ
13.4.1 Omregninger 2D
Kartesiske koordinater [x, y)
x = r cos θ
y = r sin θ
x2 + y 2 = r 2
Polar
(r, θ)
30
Kartesisk → Polar [x,y] → (r,θ)
r = x2 + y 2
tan−1 ( xy )
p
θ=
tan−1 ( y ) + π
x
π
2
3π
2
x>0
x<0
x = 0, y > 0
x = 0, y < 0
13.4.2 Omregninger 3D
Kartesiske koordinater
Sylinderiske koordinater
Sfæriske koordinater
[x, y, z)
(r, θ, z)
(ρ, φ, θ)
x = r cos θ
Kartesisk ←→ sylindrisk
y = r sin θ
z=z
(ρ, φ, θ) → [x, y, z]
Sfærisk → Kartesisk
x = ρ · sin(φ) · cos(θ)
y = ρ · sin(φ) · sin(θ)
z = ρ · cos(φ)
Sfærisk → Sylindrisk
r = ρ sin φ
θ=θ
z = ρ cos φ
(r, θ) → [x, y]
Polar → Kartesisk
x = r · cos(θ)
y = r · sin(θ)
31
[x, y, z] → (ρ, φ, θ)
p
(x2 + y 2 + z 2 )
ρ=
φ=
π
2
z=0
tan−1
!
p
x2 + y 2
z
!
p
2
x + y2
+π
z
−1
tan
−1 y
tan ( x )
tan−1 ( y ) + π
x
θ=
π
2
3π
Kartesisk → Sfærisk
2
14
z>0
z<0
x>0
x<0
x = 0, y > 0
x = 0, y < 0
Bjelker og fagverk
~ = ~rBA × P~
Moment: M
cos θ1
cos θ2
~ = rBA
M
sin θ1 × P sin θ2
0
0
cos θ1
cos θ2
~ = (rBA · P )
M
sin θ1 × sin θ2 = (rBA · P )
0
0
~ = (rBA · P )
M
0
0
(sin θ2 · cos θ1 ) − (sin θ1 · cos θ2 )
0
0
sin(θ2 − θ1 )
~ = ~0
ΣM
0
cos θ2
cos θ2
cos θ1
cos θ1
rBA sin θ1 × P1 sin θ2 + rCA sin θ1 × P2 sin θ2 = 0
0
0
0
0
0
"
A
cos θ1
#
"
cos θ2
#
"
cos θ3
+B
+P
sin θ2
sin θ
" # " # "
# " 3#
Ax
Bx
0
Px
A
+
+
=
Ay
By
0
Py
sin θ1
ΣF~ = ~0
32
#
=
" #
0
0
14.1 Fagverk
~ = ~0ΣF~ = ~0
Ytre krefter: ΣM
Knutepunkt A
"
Ax
#
"
cos θ1
#
"
cos θ2
#
" #
0
+ S1
+ S2
=
Ay
0
sin θ1
sin θ2
"
# "
#
S1 · cos θ1 + S2 · cos θ2
−Ax
=
−Ay
S1 · sin θ1 + S2 · sin θ2
(Til Fagverkmatrise)
ΣF~ = ~0
Knutepunkt B
"
0
#
By
"
"
+ S1
cos θ1
sin θ1
#
"
+ S3
cos θ2
sin θ2
#
"
+ S4
S1 · cos θ1 + S3 · cos θ2 + S4 · cos θ3
cos θ3
sin θ
# 3"
=
S1 · sin θ1 + S3 · sin θ2 + S4 · sin θ3
(Til Fagverkmatrise)
ΣF~ = ~0
Knutepunkt C
"
cos θ1
#
"
cos θ2
#
"
cos θ3
#
" #
0
S2
+ S3
+ S5
=
0
sin θ1
sin θ2
sin θ3
"
# " #
S2 · cos θ1 + S3 · cos θ2 + S5 · cos θ3
0
=
0
S2 · sin θ1 + S3 · sin θ2 + S5 · sin θ3
(Til Fagverkmatrise)
ΣF~ = ~0
Knutepunkt D
"
P
cos θ1
sin θ1
#
"
+ S5
cos θ2
#
"
cos θ3
#
" #
0
+ S4
=
0
sin θ3
"
# "
#
S5 · cos θ2 + S4 · cos θ3
P · cos θ1
=
P · sin θ1
S5 · sin θ2 + S4 · sin θ3
sin θ2
(Til Fagverkmatrise)
ΣF~ = ~0
33
#
0
" #
0
=
0
#
−By
14.2 Fagmatrise
15
Fourier
h
i
Fourier-rekken til f (x) i intervallet −L , L er:
a0
2
+
∞
P
an cos nπ
L x+
n=1
´L
an = L1 f (x)
−L
´L
1
bn = L f (x)
−L
∞
P
bn sin nπ
L x
n=1
cos( nπ
L x)dx;
n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .
sin( nπ
L x)dx;
1, 2, 3, 4, . . .
Ved symmetriske funksjoner f (−x) = f (x) er
´L
´L
f (x)dx = 2 f (x)dx
−L
0
da er F ourier-rekka i (−L, L) lik cos-rekke i (0, L) an =
Ved anti-symmetriske funksjoner f (−x) = −f (x) er
´L
2
L
´L
0
f (x) · cos( nπ
L x)dx, bn = 0
f (x)dx = 0
−L
da er F ourier-rekka i (−L, L) lik sin-rekke i (0, L) an = 0, bn =
2
L
´L
0
f (x) · sin( nπ
L x)dx
15.1 Enkel gangetabell
Symetrisk
A − Symetrisk
Symetrisk
Symetrisk
A − Symetrisk
A − Symetrisk
A − Symetrisk
Symetrisk
15.2 Varmeligningen
ut = k · uxx
TEOREM: Situasjon → Vi har en uniform stav av lengde L med opprinelig varmefordelingsprol f (x). Vi kobler
slik at endepunktene alltid treer 0 grader. Stavens varmeledning er k .
1. Varmeligningen ut = k · uxx gjelder
2. u(0, x) = f (x) [startbetingelse]
3. u(t, 0) = u(t, L) = 0 [endepunktbetingelse]
DA er løsningen u(t, x) =
sin
( nπ
L x)dx
∞
P
bn e−k(
n=1
nπ 2
L ) t
sin( nπ
L x) der bn er sinus-koesientene til f (x) i [0, L]. bn =
34
2
L
´L
0
f (x) ·
TEOREM: Situasjon → Vi har en uniform stav av lengde L med opprinelig varmefordelingsprol f (x) . Vi kobler
slik at endepunktene alltid er isolert, og verken tar eller gir fra seg varme. Stavens varmeledning er k .
1. Varmeligningen ut = k · uxx gjelder
2. u(0,x)=f(x) [startbetingelse]
3. ux (t, 0) = ux (t, L) = 0 [endepunktbetingelse]
DA er løsningenu(t, x) =
a0
2
cos( nπ
L x)dx
+
∞
P
nπ 2
an e−k( L ) t cos( nπ
L x)deran er cos-koesientene til f (x) i [0, L]. an =
n=1
2
L
´L
f (x) ·
0
15.3 Nyttige integraler (Fourier-rekker)
´
1. tsin(at)dt = sin(at)
− tcos(at)
+C
a2
a
´
tsin(at)
cos(at)
2. tcos(at)dt = a2 + a ´ + C
n
´
tn−1 cos(at)dt
3. tn sin(at)dt = − t cos(at)+n
a
´
n
n−1
´
4. tn cos(at)dt = t sin(at)−n at sin(at)dt
´
+C
5. sin2 (at)dt = 2t − sin(2at)
4a
´
6. cos2 (at)dt = 2t + sin(2at)
+
C
4a
´
cos2 (at)
7. sin(at)cos(at)dt = − 2a + C
´
at
8. eat sin(bt)dt = e (asin(bt)−bcos(bt))
+C
a2 +b2
´ at
eat (acos(bt)+bsin(bt))
9. e cos(bt)dt =
+C
a2 +b2
´
sin((a−b)t)
sin((a+b)t)
10. sin(at)sin(bt)dt = 2(a−b) − 2(a+b) + C =⇒ der a2 6= b2
´
+ sin((a+b)t)
+ C =⇒ der a2 6= b2
11. cos(at)cos(bt)dt = sin((a−b)t)
2(a−b)
2(a+b)
´
cos((a−b)t)
cos((a+b)t)
12. sin(at)cos(bt)dt = − 2(a−b) − 2(a+b) + C =⇒ der a2 6= b2
15.4 Trigonometriske verdier
cos(nπ) = (−1)n
sin(nπ) = 0
cos((n + 21 )π) = 0
sin((n + 21 )π) = (−1)n
for n ∈ {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
15.5 Løsningene til varmeligningen er på formen
e−kλ t sin(λx)
2
e−kλ t cos(λx)
2
Den tidsderiverte av varmefunksjonen u(t, x) er lik en konstant gange dobbelt tidsderiverte av varmefunksjonen.
Hvis vi har at: ut = 3uxx
2
Skal vi se at e−3·5 t · sin(5x) er en løsning.
u(t, x) =
e−75t · sin(5x)
ut
=
−75e−75t · sin(5x)
ux
=
e−75t · 5 · cos(5x)
ut = 3uxx
uxx
= e−75t · 5 · 5 · (-sin(5x))
=
−25e−75t · sin(5x)
3uxx =
−75e−75t · sin(5x)
35
16
Transformasjon
16.1 Generel regel
Får du nevner på formen As2 + Bs + Csetter du dette = 0
Hvis As2 + Bs + C = 0 har røtter s =
r
1
r
så er:
as+b
As2 +Bs+C
=
as+b
A(s−r1 )(s−r2 )
(delbrøksoppspalting)
2
r = α + iβ
1
Hvis røttene er komplekse s =
må vi skive om polynomet As2 + Bs + C = A((s − α)2 + β 2 )
r = α − iβ
2
16.2 Konvolusjon
Egenskap: L{f ? g} = L{f } · L{g}
Def. konvolusjon: (f ? g)(t) =
∞
´
f (τ ) · g(t − τ )dτ =
−∞
∞
´
f (t − τ ) · g(τ )dτ
−∞
−1
En alternativ (enkel) metode
er å bruke F ourier transformasjon: f ?g = F {F {f } · F {g}} =
for å løse konvolusjon
−1
(F ? )
{F ? {f }} · F ? {g} F ? {g} = F {g −1 }
16.3 Fourier-transformasjon Tabeller
f (t)
F (ω)
∞
´
F (ω) =
f (t) e−jωt dt
f (t)
−∞
´
1 ∞
f (t) =
F (ω) ejωt dω
2π −∞
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f (t)
e u (t)
e−at u (−t)
−at
e
−at
13
u (t) sin ω0 t
14 u (t) e−at cos ω0 t
15
F (ω)
−at
te u (t)
tn e−at u (t)
δ (t)
1
jω0 t
e
cos ω0 t
sin ω0 t
u (t)
u (t) cos ω0 t
−at
u (t) e
F (ω)
1
a+jω
1
a−jω
a>0
a>0
2a
a2 +ω 2
1
(a+jω)2
n!
(a+jω)n+1
a>0
a>0
a>0
1
2πδ (ω)
2πδ (ω − ω0 )
π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )]
jπ [δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )]
1
πδ (ω) + jω
π
[δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] + ω2jω
2
−ω 2
π
2j
0
2
[δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )] ω2ω−ω2
a+jω
(a+jω)2 +ω02
ω0
(a+jω)2 +ω02
sin ω0 t
36
0
a>0
a>0
16.3.1 Fourier-tranformasjon Opperasjoner
Opperasjon
f (t)
Addisjon
f1 (t) + f2 (t)
Skalar Multiplisering
kf (t)
Symmetri
F (t)
Skalering
f (at)
Tidsskifte
Frekvensskifte
Tidskonvolusjon
Frekvenskonvolusjon
Tidsdierensiering
Tidsintegrasjon
f (t − t0 )
f (t) ejω0 t
f1 (t) ? f2 (t)
f1 (t) f2 (t)
dn f
dtn
∞
´
f (x) dx
−∞
F (ω)
F1 (ω) + F2 (ω)
kF (ω)
2πf (−ω)
1F ω
a
a
F (ω) e−jωt0
F (ω − ω0 )
F1 (ω) F2 (ω)
F1 (ω) ? F2 (ω)
(jω)n F (ω)
F (ω)
jω
+ πF (0) δ (ω)
16.4 Parallellforskyvning
37
17
f (t) = L
−1
Laplace-transformasjon Tabeller
f (t)
F (s)
f (t)
F (s) = L{f (t)} =
{F (s)} =
1
2πi
c+i∞
´
F (s)
e F (s)ds
c−i∞
aF (s) + bG(s)
0
sF (s) − f (0)
00
s F (s) − sf (0) − f 0 (0)
f
2
fn
´t
sn F (s) − s(n−1) f (0) − · · · − f n−1 (0)
f (τ )dτ
1
s F (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
t − verden −→
1
at
e
p
2 t/π
tn
tn eat
sinωt
cosωt
at
e sin ωt
eat cos ωt
tr
tr eat
t cos ωt
t sin ωt
tn sin kt
t cos kt
sinh t
cosh t
u (t − a)
δ (t − a)
n
s − verden
1
s
1
s−a
1
s3/2
n!
sn+1
n!
(s−a)n+1
ω
s2 +ω 2
s
s2 +ω 2
ω
(s−a)2 +ω 2
s−a
(s−a)2 +ω 2
Γ(r+1)
sr+1
Γ(r+1)
(s−a)r+t
s2 −ω 2
(s2 +ω 2 )2
2ωs
(s2 +ω 2 )2
Im(n!(s−ik)n+1
)
(s2 +k2 )n+1
Re(n!(s+ik)n+1 )
(s2 +k2 )n+1
1
s2 −1
s
s2 −1
1 −as
e
s
−as
e
e−st f (t)dt
0
st
af (t) + bg(t)
f
∞
´
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
s − verden −→
1
s
1
s−a
1
s3/2
1
sn
1
(s−a)n
1
(s−a)(s−b)
s
(s−a)(s−b)
1
s2 +ω 2
s
s2 +ω 2
1
(s−a)2 +ω 2
s−a
(s−a)2 +ω 2
1
s2 (s2 +ω 2 )
1
s(s2 +ω 2 )
1
(s2 +ω 2 )2
s
(s2 +ω 2 )2
s2
(s2 +ω 2 )2
s
(s2 +a2 )(s2 +b2 )
1 −as
e
s
−as
e
1
s4 +k4
s
s4 −k4
1
s4 +4k4
38
t − verden
1
at
e
p
2 t/π
1
tn−1
(n−1)!
1
(tn−1 eat )
(n−1)!
1
(eat − ebt )
a−b
1
(aeat − bebt )
a−b
1
sin ωt
ω
cosωt
1 at
e sin ωt
ω
eat cos ωt
1
(ωt − sin ωt)
ω3
1
(1 − cos ωt)
ω2
sin ωt − ωt cos ωt)
t
sin ωt
2ω
1
(sin ωt + ωt cos ωt)
2ω
1
(cos at-cos bt)
b2 −a2
1
(
2ω 3
u (t − a)
δ (t − a)
1
(sinh kt -sin kt)
2k3
1
(cosh kt cos kt)
2k2
1
(
sin
kt
cosh
kt − cos kt sinh kt)
4k3
18
Lineær Regresjon
To punkter i et koordinatsystem gir oss en rett linje. Har vi ere datapunkt og ønsker å nne den lineære funksjonen
(tilpasningen) som passer best for den innsamlede data bruker vi lineær regresjon. Eksempelvis har du Målt høyde x og
vekt y på n antall personer. Får du da en ny måling på vekt kan du bruke regresjonen til å nne sansynlig høyde.
ˆ . For å nne α
Formelen for den rette linja er y = αˆ + βx
ˆ og βˆ må du gjennom mange enkle mellomregninger. Her følger
en step by step for hva du må nne og rekkefølgen du gjør det i.
Symbol
Hva du nner
Formel
Forklaring
x
¯
Gjennomsnittet av x-verdiene
1
n
Målingene lagt sammen og delt på antall målinger
Kvadratisk snitt av x-verdiene
1
n
Gjennomsnittet av y -verdiene
1
n
Kvadratisk snitt av y -verdiene
1
n
Gjennomsnittet av x · y verdiene
1
n
x¯2
y¯
y¯2
xy
¯
x
¯2
y¯2
σx2
s2x
σy2
s2y
σx
sx
σy
sy
Gjennomsnittet av x-verdiene kvadrert
Gjennomsnittet av y -verdiene kvadrert
Populasjonsvarians av x-verdiene
Utvalgsvarians av x-verdiene
Populasjonsvarians av y -verdiene
Utvalgsvarians av y -verdiene
Populasjonsstandardavvik til x
Utvalgsstandardavvik til x
Populasjonsstandardavvik til y
Utvalgsstandardavvik til y
x
¯·¯
y
ρxy
rxy
Utvalgskorrelasjon
sxy
xi
i=1
n
P
x2i
i=1
n
P
yi
i=1
n
P
yi2
i=1
n
P
xi yi
i=1
x2 − x
¯2
n
σ2
n−1 x
2
2
y − y¯
n
σ2
n−1 y
√
√
σx2
s2x
p
σy2
p
s2y
x
¯ · y¯
Populasjonskovarians
Utvalgskovarians
Populasjonskorrelasjon
σxy
n
P
xy − x
¯ · y¯
n
σ
n−1 xy
σxy
σx σy
sxy
sx sy
Målingene kvadrert lagt sammen og delt på antall målinger
Målingene lagt sammen og delt på antall målinger
Målingene kvadrert lagt sammen og delt på antall målinger
x1 · y1 + x2 · y2 + . . . + xn · yn delt på antall målinger
Ta å kvadrer gjennomsnittet x¯ som du fant over
Ta å kvadrer gjennomsnittet y¯ som du fant over
Svaret fra x2 minus svaret fra x¯2
Antall målinger
2
antall målinger minus 1 gange populasjonsvarians til x σx
Svaret fra y 2 minus svaret fra y¯2
Antall målinger
2
antall målinger minus 1 gange populasjonsvarians til y σy
Tar kvadratroten av σx2
Tar kvadratroten av s2x
Tar kvadratroten av σy2
Tar kvadratroten av s2y
Snittet av x-verdiene gange snittet av y -verdiene
Svaret fra xy minus svaret fra x¯·¯
y
Antall målinger
antall målinger minus 1 gange populasjonskovarians (σxy )
Populasjonskovarians
Populasjonsstandardavvik til x gange Populasjonsstandardavvik til y
Utvalgskovarians
Utvalgsstandardavvik til x gange Utvalgsstandardavvik til y
ρxy og rxy skal være like.
Du kan nå nne αˆ og βˆ : βˆ =
Cov(x,y)
var(x,y)
s
σ
= rxy sxy = ρxy σxy , α
ˆ = y¯ − βˆx
¯
ˆ
Du har da det du trenger for å bruke formelen y = αˆ + βx
39
19
Kjeglesnitt
Def: Det er tre hovedtyper kjeglesnitt. Ellipse, parabel og hyperbel. Sirkel kan sees på som et fjerde type eller
et spesialtilfelle av ellipsen. Kjeglesnitt representeres av en 2.ordens ligning. Alle kjeglesnitt representeres ved de
kartesiske koordinatene i x og y i snittplanet ved Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , hvor A, B, . . . , F er
konstante.
Kjeglesnitt beskrives av formelen:
Parabel kjennes på ligningen:
Ellipse kjennes på ligningen:
Sirkel kjennes på ligningen:
Hyperbell kjennes på ligningen:
B 2 − 4AC
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
B 2 − 4AC = 0
y0 + k (x − x0 ) = y
2
x−xo 2
0
=1
+ y−y
a
b
B 2 − 4AC < 0
A = C og B = 0
B 2 − 4AC > 0
40
2
2
2
(x − x0 ) + (y − y0 ) = R2
2
x−xo 2
0
=1
− y−y
a
b
19.1 Parabel
Fokus (F )
Retning (Directrix)
Ligning
(P, 0)
x = −P
y 2 = 4ax
(−P, 0)
x=P
y 2 = −4ax
(0, P )
y = −P
x2 = 4ay
(0, −P )
y=P
x2 = −4ay
Eksentrisitet:
y=
1
4P
ε=
PF
PQ
=1
x2
19.2 Ellipse
s1 + s2 = 2a
Eksentrisitet:
c=
x2
a2
+
y2
b2
=1
41
√
a2
−
b2
ε=
PF
PQ
=
c
a
<1
19.3 Hyperbell
P F1 − P F2 = ±2a
Eksentrisitet:
c=
x2
a2
−
y2
b2
=1
19.4 Kvadratiske Flater
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0
y2
x2
z2
Ellipsoide:
a2 + b2 + c2 = 1
Elliptisk kjegle:
Elliptisk sylinder om y-aksen:
Elliptisk paraboloide:
Kule:
Hyperboloide med en ate:
Hyperboloide med to ater:
Hyperboloidisk paraboloide:
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
x2
a2
+
+
+
+
+
+
−
y2
b2
z2
b2
y2
b2
y2
a2
y2
b2
y2
b2
y2
b2
=
z2
c2
=1
=z
+
−
−
z2
a2
z2
c2
z2
c2
=1
=1
= −1
=z
42
√
a2 + b2
ε=
PF
PQ
=
c
a
>1
© Copyright 2024