Valon sironta - ilmio¨t ja mallinnus
Jouni M¨akitalo
Fysiikan seminaari 2014
Sis¨alt¨o
Johdanto
Sironnan s¨ahk¨omagneettinen mallinnus
Analyyttinen sirontateoria
Sironta ei-pallomaisista hiukkasista
Johdanto
Taivaan v¨arit
Pilvet
Cumulus congestus
”Every once in a blue moon”
T¨ahtien v¨alinen p¨oly
K¨a¨api¨ogalaksi NGC 1569
Plasmoniset nanohiukkaset
Lycurguksen kuppi
Lis¨a¨a plasmonisia nanohiukkasia
Notre Damen lasimaalaukset
Mitat ja mallinnusmenetelm¨at
I
I
I
I
I
Valon aallonpituus 400 nm – 700 nm
Atomi 0,1 nm
Nanohiukkaset 10–1000 nm
Vesipisara 1–20 µm
”Isot kappaleet”
¨ hko
¨ magneettinen mallinnus
Sironnan sa
Sironta ja absorptio
E0 , H0
Es , Hs
, µ
I
I
I
I
Viritta¨va¨ kentta¨ + ha¨irio¨ va¨liaineessa
→ Sironnut valo + absorptio
Ekstinktio = sironta + absorptio
Sirontakuvio F (θ, φ)
Polarisaatio
Maxwell-yht¨al¨ot
I
Yhta¨lo¨t makroskooppisille kentille
∇ × E = −∂t B
∇ × H = J + ∂t D
∇·D=ρ
∇·B=0
V¨aliainerelaatiot
I
Relaatio vuolle (pinnat) ja kent¨alle (polut)
DRE
BRH
I
Tyypillisesti
D(r, ω) = (r, ω)E(r, ω),
Z t
˜ t) =
˜ t0 )dt0
˜(r, t − t0 )E(r,
D(r,
0
Miten l¨oyt¨a¨a ?
I
I
Mittaamalla (ellipsometria)
Yksinkertaistetut mallit, kuten Drude-malli
ωp2
(ω)/0 = ∞ −
ω(ω + iγ)
I
Kvanttiteoria: /0 = 1 + N hψ|µ|ψi
Kulta ja hopea
20
=()
0
−20
- kulta
- hopea
<()
−40
2
4
6
8
Taajuus ω (PHz)
10
Ep¨alineaarisuus
I
Hooken laki: F = −kx+hx2 + . . .
paraabeli
todellinen
e
I
I
I
I
m¨
x + kx − hx2 = −eE
Polarisaatio P = −N ex
Seuraus: taajuus ei s¨aily, esim. ω → 2ω
Ilmi¨ot heikkoja, mutta herkki¨a E:n
vaihteluille
Reuna-arvoteht¨av¨at
I
I
I
Yksika¨sitteinen ratkaisu, joka toteuttaa
Maxwellin yhta¨lo¨t?
Reunaehdot → Geometria
Sirontatehta¨va¨: tunnetaan E0 , ratkaise
E = E0 + Es s.e.
∇ × ∇ × E − k2E = 0
lim ∇ × Es × r − ik|r|Es = 0
|r|→∞
Vuorovaikutusalat
S
I
I
I
I
I
I
VuorovaikutusalaR C, [C] = m2
Sironta: Cs = I10 S Es × H∗s · ndS
R
Absorptio: Ca = − I10 S E × H∗ · ndS
Ekstinktio Ce = Cs + Ca
Detektori (ala A) mittaa tehon
U
R ∞= I0 (A − Ce ) 3 3
a¨ant¨o)
0 Ce (λ)dλ ≤ 4π a (summas¨
λ
Analyyttinen sirontateoria
Pistel¨ahde
p
S¨ateilev¨a dipoli
I
I
I
I
Dipolikentta¨: E = ω 2 µG · p
∇∇ e−ikR
G= I+ 2
k
4πR
S¨ateilytehon aikakeskiarvo ∼ ω 4
Rayleigh: taivaan v¨arit
Dipolin polaroituvuus
I
I
Polaroituvuus α: p = 0 αE0
Miten lo¨yta¨a¨ α?
Esim. ”pieni” pallohiukkanen (s¨ade a):
α = 4πa3
I
− 0
+ 20
Ent¨a jos = −20 ? → Plasmoniresonanssi
Pallohiukkanen
2
1
Mie-teoria (Gustav Mie 1869–1957)
E0 , H0
2
1
E2 , H 2
Es , Hs
∇ × ∇ × Es − k12 Es = 0
∇ × ∇ × E2 − k22 E2 = 0
n × (Es + E0 ) = n × E2
n × (Hs + H0 ) = n × H2
lim ∇ × Es × r − ik1 |r|Es = 0
|r|→∞
Palloharmoniset
I
I
Skalaarifunktioita Ylm (θ, φ)
Kanta pallopinnan yli m¨a¨aritellyille
funktioille
f=
∞ X
l
X
alm Ylm
l=0 m=−l
I
Ortogonaalisuus hYl1 m1 , Yl2 m2 i = δl1 l2 δm1 m2
Vektoriharmoniset
I
I
I
Kulmaliikema¨¨ar¨aoperaattori L = −ir × ∇
Vektoriharmoniset
Nlm (r, θ, φ) = fl (r)LYlm (θ, φ)
Esitys kentille:
E=η
H=
∞ X
l
X
l=1 m=−l
∞ X
l
X
l=1 m=−l
i
alm Nlm − blm ∇ × Nlm
k
i
blm Nlm + alm ∇ × Nlm
k
Hy¨odyllist¨a matematiikkaa
Vetyatomi
Mie-teoria
I
I
ψ=
X
anlm Rnl (r)Ylm
E·n=
X
alm hl (kr)Ylm
Rnl : Laguerren liittofunktiot
hl : Pallo-Hankel-funktiot
Rnl
<(hl )
Et¨aisyys
Vesipisara
I
I
Sa¨de 2 µm
Interferenssi- ja v¨arerakenne
3
ha¨vi¨ot¨on
h¨avi¨ollinen
Qext
2
1
400
Qabs
600
800
1000
Aallonpituus (nm)
1200
Sironnan suuntariippuvuus
Irradianssi (W/m2 )
I
Vesipisara, λ = 650 nm
10−12
1
2
0,5
10−16
0,1 µm
10−20
0
30
60
90
120
Kulma θ (astetta)
150
180
Kultainen nanopallo
I
I
Sa¨de 100 nm
Plasmoniresonanssit
Qext
4
tarkka
2
0
400
dipoli b1
kvadrupoli b2
600
800
1000
Aallonpituus (nm)
1200
Taajuuden kahdennus pallopinnalla
Ps = 0 δχ(2) : EE
2
I
I
I
1
Rajapintaehdot
P →
alm , blm ∝ l1 l2 m1 m2 cl1 m1 cl2 m2 hYlm , Yl1 m1 Yl2 m2 i
Clebsch–Gordan-ongelma
Valintas¨a¨ann¨ot:
|l2 − l1 | ≤ l ≤ l1 + l2 , m = m1 + m2
Taajuuskahdennettu s¨ateily
50 nm
150 nm
100 nm
200 nm
Sironta ei-pallomaisista hiukkasista
Ekvivalentti virrantiheys
0 , J
0
I
I
I
0
Ampere-Maxwell: ∇ × H = −iωE
Ekvivalenttil¨ahde J = −iω( − 0 )E
→ ∇ × H = J − iω0 E
Helmholtz ∇ × ∇ × E − k02 E = iωµ0 J
Tilavuusintegraaliyht¨al¨ot 1/2
I
I
Helmholtz ∇ × ∇ × E − k02 E = iωµ0 J
Dipolis¨ateilij¨a: ∇ × ∇ × G − k02 G = δI
(∇ × ∇ × E − k02 E) · G − E · (∇ × ∇ × G − k02 G)
= iωµ0 J · G − δE
Integrointi koko avaruuden yli
I Green:
Z
∇ × ∇ × E · G − E · ∇ × ∇ × GdV
Z V
=
(∇ × E × G + E × ∇ × G) · ndS = 0
I
∂V
Tilavuusintegraaliyht¨al¨ot 2/2
0 , J
0
I
0
Teht¨av¨an muotoilu:
Z
E = E0 + iωµ0
GJdV 0
ZV
E = E0 + ω 2 µ0 ( − 0 )GEdV 0
v
I
Teht¨av¨an m¨a¨arittely ¨a¨arellisess¨a alueessa
v⊂V
Numeeriset menetelm¨at
I
I
Etsi E alueessa v
Likiarvoesitys E =
N
X
an f n
n=1
I
I
Variaatiomenetelm¨at → lineaarinen
yht¨al¨oryhm¨a
Greenin funktio G ∝
1
R3
kun R → 0
Yhteenveto
I
I
I
I
I
I
Valon sironta arkipa¨iva¨isten ilmio¨iden
taustalla
S¨ahk¨omagneettinen teoria hyv¨a
mallinnusl¨aht¨okohta
V¨aliaine – Reuna-arvoteht¨av¨a
Dipolis¨ateilij¨a: yksinkertainen malli ja
teoreettinen ty¨okalu
Pallohiukkanen: muuttujien separointi puree
Ei-pallomaiset hiukkaset:
integraalimenetelm¨at mielekk¨ait¨a
Kiitos.