1. No category

MAB6.2
2014
Jussi Tyni
Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi.
Kysymyspaperin saa pitää.
A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan 1 h aikaa. Palauta A-osion
vastaukset valvojalle, jonka jälkeen voit ottaa laskimen esiin ja siirtyä tekemään B-osiota.
Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi, joihin vastaat.
A1.
𝑥 = 3𝑦 + 2
a) Ratkaise yhtälöpari {
𝑥 = 5𝑦 − 8
b) Määritä jonon yleisen jäsenen kaava 𝑎𝑛 ja laske jonon kahdeksas jäsen, kun kolme
ensimmäistä jäsentä ovat 3, 9 ja 15.
6p
A2.
Määritä vakio k siten, että jono, jolle 𝑎1 = 12 , 𝑎2 = 6 𝑗𝑎 𝑎3 =
geometrinen.
A3.
3𝑘−12
6
on
6p
Esitä piirtämällä, missä sijaitsevat ne tason pisteet, jotka toteuttavat epäyhtälöt
𝑦 ≥ 2, 𝑦 ≤ 2𝑥 + 5 𝑗𝑎 𝑦 ≤ −𝑥 + 7.
6p
B-OSIO: Saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Valitse tehtävistä B4-B8 neljä, joihin vastaat.
Bonustehtävä on vapaaehtoinen, sen saa tehdä jos huvittaa ja siitä tulevat pisteet ovat vain
plussaa.
B4.
a) Aritmeettisen jonon kaksi ensimmäistä jäsentä on 3 ja 7. Mikä on jonon tuhannes
jäsen?
b) Jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 2, 5 ja 12,5. Määritä jonon 20 ensimmäisen
jäsenen summa.
6p
B5.
Bakteeriviljelmä lisääntyy 5,5 %:lla joka minuutti. Kello 14.00 viljelmässä laskettiin
olevan 1500 bakteeria. Paljonko viljelmässä on bakteereja klo 15.15.
6p
B6.
Grillillä myydään lihapiirakoita ja hot dogeja. Yhteen lihapiirakkaan laitetaan kolme
nakkia ja kaksi lusikallista kurkkusalaattia. Hot dogin saa kahdella nakilla ja
mausteena yksi lusikallinen kurkkusalaattia. Myyjällä on käytettävissään 40
lusikallista kurkkusalaattia ja 70 nakkia. Lihapiirakka maksaa 5 € ja hot dog 3 €.
Kuinka monta lihapiirakkaa ja hot dogia olisi myytävä, jotta myyntitulo olisi suurin?
6p
B7.
Matin piti pinota 220 tiiltä kerroksittain niin, että toisesta kerroksesta ylöspäin
jokaisessa kerroksessa on yksi tiili vähemmän, kuin edellisessä, ja viimeisessä
kerroksessa on yksi tiili. Kuinka monta tiiltä Matti laittoi ensimmäiseen kerrokseen,
kun ylijäämätiiliä piti jäädä mahdollisimman vähän ? Kuinka monta tiiltä jäi yli?
6p
B8.
Kuinka monta aritmeettisen jonon 2, 8, 14, … jäsentä on laskettava yhteen, jotta
summa ylittäisi 120 000?
6p
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BONUS +2 p
a1  1
a  2
 2
Määrää rekursiivisen lukujonon 
neljäs ja viides termi.
a 3  3
a n 3  a n  2a n 1  3a n  2
RATKAISUT:
A1.
a) Ratkaise yhtälöpari {
𝑥 = 3𝑦 + 2
𝑥 = 5𝑦 − 8
𝐽𝑜𝑠 𝑥 = 3𝑦 + 2, 𝑛𝑖𝑖𝑛 𝑡ä𝑚ä𝑛 𝑣𝑜𝑖 𝑠𝑖𝑗𝑜𝑖𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑚𝑝𝑎𝑎𝑛 𝑦ℎ𝑡ä𝑙öö𝑛 𝑥: 𝑛 𝑝𝑎𝑖𝑘𝑎𝑙𝑙𝑒 =>
𝑁𝑦𝑡 3𝑦 + 2 = 5𝑦 − 8 ↔ −2𝑦 = −10 ↔ 𝑦 = 5
𝑁𝑦𝑡 𝑣𝑎𝑖𝑘𝑘𝑎 𝑦𝑙𝑒𝑚𝑚ä𝑠𝑡ä 𝑦ℎ𝑡ä𝑙ö𝑠𝑡ä 𝑥, 𝑘𝑢𝑛 𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑑𝑒𝑡ää𝑛 𝑜𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛 5. =>
𝑥 = 3 ∙ 5 + 2 = 17
b) Määritä jonon yleisen jäsenen kaava 𝑎𝑛 ja laske jonon kahdeksas jäsen, kun kolme
ensimmäistä jäsentä ovat 3, 9 ja 15.
𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1) ∙ 6
𝑎8 = 3 + (8 − 1) ∙ 6 = 3 + 7 ∙ 6 = 45
A2.
Määritä vakio k siten, että jono, jolle 𝑎1 = 12 , 𝑎2 = 6 𝑗𝑎 𝑎3 =
3𝑘−12
6
on geometrinen.
Jotta jono olisi geometrinen, seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla suhdeluvulla q.
12 ∙ 𝑞 = 6 ↔ 𝑞 = 0,5. Tällöin kolmas jäsen olisi 6 ∙ 0,5 = 3.
Nyt siis 3 =
3𝑘−12
‖∙
6
6 ↔ 18 = 3𝑘 − 12 ↔ 30 = 3𝑘 ↔ 10 = 𝑘
K:n pitää siis olla 10, jotta jono olisi geometrinen.
A3.
Esitä piirtämällä, missä sijaitsevat ne tason pisteet, jotka toteuttavat epäyhtälöt
𝑦 ≥ 2, 𝑦 ≤ 2𝑥 + 5 𝑗𝑎 𝑦 ≤ −𝑥 + 7.
Vastaus on tuo tummennettu alue. Valitaan alueelta piste A = (1,3), ja kokeillaan, että
annetut epäyhtälöt toteutuvat noilla x:n ja y:n arvoilla.
𝑦 ≥ 2 𝑜𝑛 𝑜𝑖𝑘𝑒𝑖𝑛, 𝑘𝑜𝑠𝑘𝑎 𝑦 = 3
𝑦 ≤ 2𝑥 + 5 𝑜𝑛 𝑜𝑖𝑘𝑒𝑖𝑛, 𝑘𝑜𝑠𝑘𝑎 3 ≤ 2 ∙ 1 + 5 = 7
𝑦 ≤ −𝑥 + 7 𝑜𝑛 𝑜𝑖𝑘𝑒𝑖𝑛, 𝑘𝑜𝑠𝑘𝑎 3 ≤ −1 + 7 = 6
Lisäksi pitää ottaa kokeilupisteet kaikilta muilta kuvion rajatuilta alueilta, ja kokeilla
x:n ja y:n arvoilla, että annetut epäyhtälöt eivät toteudu.
B4.
niillä
a) Aritmeettisen jonon kaksi ensimmäistä jäsentä on 3 ja 7. Mikä on jonon tuhannes jäsen?
d=4 => 𝑎1000 = 3 + (1000 − 1) ∙ 4 = 3999
b) Jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 2, 5 ja 12,5. Määritä jonon 20 ensimmäisen
jäsenen summa.
q=2,5 => 𝑆20 = 2
B5.
= 121265958,9
Bakteeriviljelmä lisääntyy 5,5 %:lla joka minuutti. Kello 14.00 viljelmässä laskettiin olevan
1500 bakteeria. Paljonko viljelmässä on bakteereja klo 15.15.
𝑆75 = 1500
B6.
(1−2,520 )
1−2,5
(1−1,05575 )
1−1,055
= 1485114,6 ≈ 1485100 𝑏𝑎𝑘𝑡𝑒𝑒𝑟𝑖𝑎
Muodostetaan nakki- ja kurkusalaattirajoituksista taulukointi:
x = lihapiirakka kpl
y = hodarit kpl
YHT
Nakit kpl
3x
2y
70 kpl
kurkkusalaatit (lusikallista)
2x
1y
40 kpl
Joten saadan rajoittavat epäyhtälöt: 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 70 𝑗𝑎 2𝑥 + 𝑦 ≤ 40.
Myyntituottofunktio, jolle pitää saada mahdollisimman arvo, syntyy tietenkin lihapiirakoiden
ja hodarien hinnoista 5€ ∙ 𝑥 + 3€ ∙ 𝑦 = 5𝑥 + 3𝑦 = 𝑀(𝑥, 𝑦)
Nyt sitten epäyhtälöistä suorien yhtälöt ja sitten koordinaatistoon:
2𝑦 ≤ 70 − 3𝑥‖: 2
𝑦 ≤ −2𝑥 + 40
3
𝑦 ≤ − 2 𝑥 + 35
Lisäksi tietenkin x > 0 ja y > 0, koska ne ovat lihapiirakoiden ja hodarien kappalemääriä.
Syntyy rajattu alue:
Myyntituotto on suurin alueen kulmapisteissä A = (10, 20) tai B = (0,35) tai C = (20,0).
Sijoitetaan siis myyntituottofunktioon 𝑀(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 3𝑦 näitä arvoja ja…
Kokeillaan:
TAPAUS A: x = 10 ja y= 20 => 𝑀 = 5 ∙ 10 + 3 ∙ 20 = 110€
TAPAUS B: x = 0 ja y = 35 => 𝑀 = 5 ∙ 0 + 3 ∙ 35 = 105€
TAPAUS C: x = 20 ja y = 0 => 𝑀 = 5 ∙ 20 + 3 ∙ 0 = 100€

Parhaan tuoton saa, kun valmistaa aineksista 10 lihapiirakkaa ja 20 hodaria.
B7.
Kun ajatellaan tiilikasaa ylhäältä alaspäin, niin muodostuva jono on: 1, 2, 3, … , x, x, missä
kahta viimeistä (alinta) jäsentä ei tiedetä. Hoksasithan tehtävänannosta, että kahteen ekaan
(alimpaan ) riviin tulee saman verran tiiliä. Summan pitäisi siis olla seuraavanlainen:
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑
𝒂𝒏 𝒂𝒏+𝟏
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑥 + 𝑥 ≤ 220
Nakataan tuo viimeinen x summan oikealle puolelle (jotta saadaan selkeä, looginen jono):
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑥 ≤ 220 − 𝑥, missä meillä on nyt vasemmalla puolella koko ajan yhdellä
pykälällä kasvava aritmeettinen jono, missä d = 1 ja siinä on x=n kpl jäseniä.
Aritmeettisen jonon summa: 𝑆𝑛 = 𝑛
1+𝑛
2
= 220 − 𝑛‖∙ 2
𝑛(1 + 𝑛) = 440 − 2𝑛
𝑛 + 𝑛2 = 440 − 2𝑛
𝑛2 + 3𝑛 − 440 = 0
Toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisut ovat: n = 19,53 tai n = -22,5. N kuvaa jonon termien
lukumäärä, ja se ei tietenkään voi olla negatiivinen, joten n = 19,53. Tiiliä pitää pinota 19
kerrosta + se yksi alin kerros , johon tulee saman verran tiiliä kuin toiseksi alimpaan = 20
kerrosta, jotta summa jää alle 220 kpl. Kokeillaan vielä laskea summa 19 kerrokselle tiiliä:
1+19
𝑆19 = 19 2 = 190. Alimpaan ja toiseksi alimpaan tulee 19 kpl, joten tähän pitää vielä
lisätä 19 tiiltä. Tiiliä on kasassa siis 209 kpl. Yli jää 11 tiiltä.
B8.
Kuinka monta aritmeettisen jonon 2, 8, 14, … jäsentä on laskettava yhteen, jotta summa
ylittäisi 120 000?
d = 6, jäsenten määrä on tuntematon, merkitään n . Viimeinen jäsen on tällöin 𝑎𝑛 .
Aritmeettisen jonon n. jäsenen kaavaa käyttäen saadaan: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑑 = 2 +
(𝑛 − 1)6 = 2 + 6𝑛 − 6 = 6𝑛 − 4. Eli jos tässä jonossa on n. kpl jäseniä, niin viimeinen jäsen
saadaan järjestysluvusta n laskien 6n-4.
Käytetään sinnikkäästi summan kaavaa, vaikka jäsenten lukumäärää ei tiedetä:
𝑆𝑛 = 𝑛
𝑛
2+6𝑛−4
summan
2
pitää olla yli 120000, joten =>
2 + 6𝑛 − 4
≥ 120000‖∙ 2
2
𝑛(2 + 6𝑛 − 4) = 240000
𝑛(6𝑛 − 2) = 240000
6𝑛2 − 2𝑛 − 240000 = 0
Toisen asteen yhtälö, josta ratkaisut:
𝑛 = 200,17 𝑡𝑎𝑖 𝑛 = −199,83
N on jonon jäsenten lukumäärä, mikä ei tietenkään voi olla negatiivinen, joten n = 200,17, eli
noin 201 jäsentä pitää laskea yhteen, jotta summaksi saadaan yli 120 000.
BONUS +2 p
a1  1
a  2
 2
Määrää rekursiivisen lukujonon 
neljäs ja viides termi.
a

3
3

a n 3  a n  2a n 1  3a n  2
𝒂𝟒 = 𝒂𝟏+𝟑 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒂𝟏+𝟏 + 𝟑𝒂𝟏+𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒂𝟐 + 𝟑𝒂𝟑 = 𝟏 + 𝟐 ∙ 𝟐 + 𝟑 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟒
𝒂𝟓 = 𝒂𝟐+𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝟐+𝟏 + 𝟑𝒂𝟐+𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟒 = 𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟑 ∙ 𝟏𝟒 = 𝟓𝟎