1. No category

Yo-tehtäviä Mb06 –kurssista
Sarja 1
k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden
x ≥ 0, y ≥ 0, 2 x + 3 y ≤ 24, 5 x + 3 y ≤ 30
määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
s07/10. Ratkaise graafisesti epäyhtälöryhmä
y ≥ x − 2

7 x + 2 y ≥ 14
5 x + 4 y ≤ 28

Anna vastauksena kuvio, johon on merkitty ratkaisujoukko.
s07/8. Keltaista ja sinistä väripigmenttiä käytettiin kahden erisävyisen vihreän maalin sekoittamiseen. Maaliin A tarvittiin litraa kohden 80 g keltaista pigmenttiä ja 110 g
sinistä pigmenttiä, maaliin B vastaavasti 120 g keltaista ja 90 g sinistä pigmenttiä. Kuinka monta
litraa kumpaakin maalia valmistettiin, kun keltaista pigmenttiä
käytettiin 3,2 kg ja sinistä 3,5 kg?
s10/13. Millä vakion a arvolla yhtälöparilla
2 x + (a + 1) y = 5

3 x + (a − 2) y = a
ei ole ratkaisua?
s96/2a. Tasoaluetta rajoittavat suorat x =2, y = x ja y + 3 = 0. Piirrä alue ja kirjoita epäyhtälöt, jotka
määräävät kyseisen alueen (ilman reunoja).
k98/9. Tietokoneella, johon voidaan kytkeä joko kirjoitin A tai kirjoitin B, valmistetaan 1200
kappaleen erä mainoslehtisiä. Käyttämällä ensin kirjoitinta A 1 h 55 min ja sitten kirjoitinta B 1 h
30 min tulee työ tehtyä. Sama työ saatiin tehdyksi käyttämällä ensin kirjoitinta B 1h 20 min ja sitten
kirjoitinta A 2 h 10 min. Kuinka monta mainoslehteä kirjoittimet A ja B tulostavat minuutissa?
Kuinka kauan työ kestää, jos käytetään vain nopeampaa kirjoitinta?
k00/14. Henkilö suunnittelee kalastusaltaan perustamista liikeyrityksenä. Altaaseen istutettaisiin
toukokuun alussa 5 000 kirjolohta. Joka viikko altaan kirjolohista pyydettäisiin noin 20 %, ja
seuraavan viikon alussa altaaseen siirrettäisiin aina 100 uutta kirjolohta. Kirjolohia voi suurissa
erissä ostaa kalankasvattajalta 10 markan kappalehintaan. Kuinka monta kalaa altaassa olisi 20
viikon kuluttua kalastussesongin päättyessä? Mikä pitäisi asettaa altaasta pyydettävän kirjolohen
hinnaksi, jotta liikeyritykselle jäisi kalojenhankintakustannusten jälkeen katteeksi 20 viikon ajalta
50 000 mk, kun mahdolliset pyytämättä jääneet kirjolohet myytäisiin kalasavustamoon 13 markan
kappalehintaan?
Sarja 2
k09/13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 1, viimeinen termi on 61, ja jonon termien
summa on 961. Mikä on jonon toinen termi?
k09/14. Talletustilin vuosikorko on 1,50 prosenttia, ja korkotuotosta peritään vuosittain 29
prosentin lähdevero. Tiliä avattaessa talletetaan 1 000 e, eikä muita talletuksia tehdä.
a) Kuinka paljon tilillä on rahaa kymmenen vuoden kuluttua, kun korko liitetään
pääomaan vuoden välein?
b) Monenko vuoden kuluttua talletus on kaksinkertaistunut?
s08/10. Lukujonon ensimmäinen termi on 2, ja jonon kukin seuraava termi on aina 5 %
suurempi kuin edellinen termi. Muodosta jonon n:nnen termin lauseke. Tutki tämän
avulla, kuinka moni jonon termi on pienempi kuin 1000 miljoonaa. Laske näiden
termien summa kolmen numeron tarkkuudella.
k08/11. Isoisä avasi vuoden 2006 alussa lapsenlastaan varten tilin, jonka vuotuinen korkoprosentti
lähdeveron vähentämisen jälkeen on 1,750, ja talletti tilille 700 euroa. Isoisä
jatkaa seuraavina vuosina tallettamalla saman summan. Korko lisätään vuosittain
tilin saldoon vuoden viimeisenä päivänä. Kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden 2010
lopussa koron lisäyksen jälkeen? Muodosta ja sievennä lauseke, joka antaa tilin saldon
vuoden lopussa, kun talletus on tehty n kertaa. Minkä vuoden lopussa rahaa
on vähintään 12 000 euroa?
s07/9. Vanhassa tarinassa šakkilaudan 64 ruudulle sijoitetaan vehnänjyviä: ensimmäiselle
ruudulle yksi, toiselle kaksi, kolmannelle neljä jne. Seuraavalla ruudulla on aina
edellisen ruudun määrä kaksinkertaisena. Kuinka monta ruutua voidaan täyttää
Suomen vuotuisella 700 miljoonan kilogramman vehnäsadolla, jos oletetaan, että
yksi vehnänjyvä painaa 25 mg?
s06/14. Henkilö osallistuu jatkuvasti lottoarvontaan täyttämällä Internetissä yhden lottorivin
kymmeneksi viikoksi joka toisen kuukauden alussa. Laske, kuinka paljon henkilölle kertyisi rahaa
pankkitilille, jos hän loton sijasta 40 vuoden ajan, alkaen tammikuun 1. päivästä, tallettaisi joka
toisen kuukauden alussa 7 euroa tilille, joka kasvaa korkoa 1,5 % vuodessa. Lähdeveroa ei oteta
huomioon.
3
k06/11. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on , toinen on 7 ja viimeinen 117. Laske
2
jonon summa.
k11/13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 10 ja toinen termi 12. Geometrisen jonon
ensimmäinen termi on 2 ja suhdeluku q = 21/20. Monennestako termistä lähtien geometrisen
jonon termi on suurempi kuin vastaava aritmeettisen jonon termi? Muodosta tarvittava
epäyhtälö ja etsi sille ratkaisu kokeilemalla.
Sarja 1 Ratkaisut
k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden
x ≥ 0, y ≥ 0, 2 x + 3 y ≤ 24, 5 x + 3 y ≤ 30
määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
s07/10. Ratkaise graafisesti epäyhtälöryhmä
y ≥ x − 2

7 x + 2 y ≥ 14
5 x + 4 y ≤ 28

Anna vastauksena kuvio, johon on merkitty ratkaisujoukko.
s07/8. Keltaista ja sinistä väripigmenttiä käytettiin kahden erisävyisen vihreän maalin sekoittamiseen. Maaliin A tarvittiin litraa kohden 80 g keltaista pigmenttiä ja 110 g
sinistä pigmenttiä, maaliin B vastaavasti 120 g keltaista ja 90 g sinistä pigmenttiä. Kuinka monta
litraa kumpaakin maalia valmistettiin, kun keltaista pigmenttiä
käytettiin 3,2 kg ja sinistä 3,5 kg?
s10/13. Millä vakion a arvolla yhtälöparilla
2 x + (a + 1) y = 5

3 x + (a − 2) y = a
ei ole ratkaisua?
s96/2a. Tasoaluetta rajoittavat suorat x =2, y = x ja y + 3 = 0. Piirrä alue ja kirjoita epäyhtälöt,
jotka määräävät kyseisen alueen (ilman reunoja).
Piirretään rajoittavat suorat x = 2, y = x ja y = -3.
Koska alue on suorien rajoittama, sen täytyy olla suorien
rajoittama. Päätellään epäyhtälöt siitä kummalla puolella suoraa
alue on:
x < 2

y < x
 y > −3

Osoitetaan että alue on yllä oleva, sijoitetaan piste (1, -1)
yhtälöryhmään:
1 < 2

− 1 < 1 ja havaitaan että yhtälöt ovat tosia.
 − 1 > −3

k98/9. Tietokoneella, johon voidaan kytkeä joko kirjoitin A tai kirjoitin B, valmistetaan 1200
kappaleen erä mainoslehtisiä. Käyttämällä ensin kirjoitinta A 1 h 55 min ja sitten kirjoitinta B 1 h
30 min tulee työ tehtyä. Sama työ saatiin tehdyksi käyttämällä ensin kirjoitinta B 1h 20 min ja sitten
kirjoitinta A 2 h 10 min. Kuinka monta mainoslehteä kirjoittimet A ja B tulostavat minuutissa?
Kuinka kauan työ kestää, jos käytetään vain nopeampaa kirjoitinta?
Merkitään x = tulostetut lehdet A:lla / min
y = tulostetut lehdet B:llä / min
A 1 h 55 min = 115 min 
 115x + 90 y = 1200
B 1 h 30 min = 90 min 
A 2 h 10 min = 130 min 
130 x + 80 y = 1200
B 1 h 20 min = 80 min 
Saadaan yhtälöpari
115x + 90 y = 1200
⋅ ( −130 )

⋅ 115
130 x + 80 y = 1200
− 14950x − 11700 y = −156000

+  14950x + 9200 y = 138000
− 2500 y = −18000 :( −2500 )
y = 7, 2
Jos y = 7, 2 , niin
115x + 90 ⋅ 7, 2 = 1200
115x + 648 = 1200
115x = 552
:115
x = 4 ,8
Tulostus vain nopealla kirjoittimella kestää
1200
min = 166,66... min ≈ 2 h 50 min .
7, 2
Vastaus:
Tulostin A 4,8 lehteä/min
Tulostin B 7,2 lehteä/min
Tulostus nopeammalla kirjoittimella B kestää 2 h 50 min.
k00/14. Henkilö suunnittelee kalastusaltaan perustamista liikeyrityksenä. Altaaseen istutettaisiin
toukokuun alussa 5 000 kirjolohta. Joka viikko altaan kirjolohista pyydettäisiin noin 20 %, ja
seuraavan viikon alussa altaaseen siirrettäisiin aina 100 uutta kirjolohta. Kirjolohia voi suurissa
erissä ostaa kalankasvattajalta 10 markan kappalehintaan. Kuinka monta kalaa altaassa olisi 20
viikon kuluttua kalastussesongin päättyessä? Mikä pitäisi asettaa altaasta pyydettävän kirjolohen
hinnaksi, jotta liikeyritykselle jäisi kalojenhankintakustannusten jälkeen katteeksi 20 viikon ajalta
50 000 mk, kun mahdolliset pyytämättä jääneet kirjolohet myytäisiin kalasavustamoon 13 markan
kappalehintaan?
a n = kalat n. viikon päästä
a 1 = 0,8 ⋅ 5000 = 4000
(määrä 1. viikon lopussa)
Määräksi seuraavien viikkojen lopussa saadaan a n = 0,8(a n −1 + 100 ) , n = 2, 3, ...
Kaloja 20 viikon kuluttua
a1 = 4000
M
a 2 = 3280 a17 = 501
a 3 = 2704
a18 = 481
a 4 = 2243
a 5 = 1873
a19 = 465
a 20 = 452 ≈ 450 (kpl)
Kaloja on istutettu kaikkiaan 5000 + 19 ⋅ 100 = 6900 (kpl) .
Merkitään pyydettävän kirjolohen hintaa x.
Kaloja pyydetty 6900 − 450 = 6450 (kpl)
Tulot: 6450 x + 450 ⋅ 2, 20 = 6450 x + 900 (€)
Kulut: 6900 ⋅ 1,68 = 11592 (€)
Kate on 8400 €, kun
Tulot − Kulut = 8400
6450 x + 990 − 11592 = 8400
6450 x = 19002
: 6450
x = 2,946...
Hinnaksi pitää laittaa 2,95 €.
Vastaus: Jäljellä 450 kalaa. Hinta pitää olla 2,95 €/kpl.
Sarja 2 Ratkaisut
k09/13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 1, viimeinen termi on 61, ja jonon termien
summa on 961. Mikä on jonon toinen termi?
k09/14. Talletustilin vuosikorko on 1,50 prosenttia, ja korkotuotosta peritään vuosittain 29
prosentin lähdevero. Tiliä avattaessa talletetaan 1 000 e, eikä muita talletuksia tehdä.
a) Kuinka paljon tilillä on rahaa kymmenen vuoden kuluttua, kun korko liitetään
pääomaan vuoden välein?
b) Monenko vuoden kuluttua talletus on kaksinkertaistunut?
s08/10. Lukujonon ensimmäinen termi on 2, ja jonon kukin seuraava termi on aina 5 %
suurempi kuin edellinen termi. Muodosta jonon n:nnen termin lauseke. Tutki tämän
avulla, kuinka moni jonon termi on pienempi kuin 1000 miljoonaa. Laske näiden
termien summa kolmen numeron tarkkuudella.
k08/11. Isoisä avasi vuoden 2006 alussa lapsenlastaan varten tilin, jonka vuotuinen korkoprosentti
lähdeveron vähentämisen jälkeen on 1,750, ja talletti tilille 700 euroa. Isoisä
jatkaa seuraavina vuosina tallettamalla saman summan. Korko lisätään vuosittain
tilin saldoon vuoden viimeisenä päivänä. Kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden 2010
lopussa koron lisäyksen jälkeen? Muodosta ja sievennä lauseke, joka antaa tilin saldon
vuoden lopussa, kun talletus on tehty n kertaa. Minkä vuoden lopussa rahaa
on vähintään 12 000 euroa?
s07/9. Vanhassa tarinassa šakkilaudan 64 ruudulle sijoitetaan vehnänjyviä: ensimmäiselle
ruudulle yksi, toiselle kaksi, kolmannelle neljä jne. Seuraavalla ruudulla on aina
edellisen ruudun määrä kaksinkertaisena. Kuinka monta ruutua voidaan täyttää
Suomen vuotuisella 700 miljoonan kilogramman vehnäsadolla, jos oletetaan, että
yksi vehnänjyvä painaa 25 mg?
s06/14. Henkilö osallistuu jatkuvasti lottoarvontaan täyttämällä Internetissä yhden lottorivin
kymmeneksi viikoksi joka toisen kuukauden alussa. Laske, kuinka paljon henkilölle kertyisi rahaa
pankkitilille, jos hän loton sijasta 40 vuoden ajan, alkaen tammikuun 1. päivästä, tallettaisi joka
toisen kuukauden alussa 7 euroa tilille, joka kasvaa korkoa 1,5 % vuodessa. Lähdeveroa ei oteta
huomioon.
k06/11. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on
3
, toinen on 7 ja viimeinen 117. Laske
2
jonon summa.
k11/13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 10 ja toinen termi 12. Geometrisen jonon
ensimmäinen termi on 2 ja suhdeluku q = 21/20. Monennestako termistä lähtien geometrisen
jonon termi on suurempi kuin vastaava aritmeettisen jonon termi? Muodosta tarvittava
epäyhtälö ja etsi sille ratkaisu kokeilemalla.