MAA9.2 koe ja ratkaisut välivaiheineen (PDF)
MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan 1 h aikaa. Palauta A-osion vastaukset valvojalle, jonka jälkeen voit ottaa laskimen esiin ja siirtyä tekemään B-osiota. Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi, joihin vastaat. A1. a) Laske lausekkeen 1 ο‘ sin ο« 3cos ο‘ tarkka arvo, kun πΌ = π. 2 2 b) Määritä vakio k siten, että jono, jolle π1 = 12 , π2 = 6 ππ π3 = geometrinen. A2. 6 6p a) Muunna radiaaneiksi β225° b) Muunna asteiksi 4π 9 c) Ratkaise yhtälö cos(4x) = -1 A3. 3πβ12 a) Derivoi funktio f (x) = 6p cos x . sin x ο« 1 π b) Derivoi funktio π(π₯) = π ππ (2π₯ + 4 ) β πππ π₯ 6p on B-OSIO: Saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Valitse tehtävistä B4-B8 neljä, joihin vastaat. Bonustehtävä on vapaaehtoinen, sen saa tehdä jos huvittaa ja siitä tulevat pisteet ovat vain plussaa. B4. a) Jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 3, 7 ja 11. Monesko jonon jäsen on luku 3995? b) Jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 2, 5 ja 12,5. Määritä jonon 20 ensimmäisen jäsenen summa. 6p B5. a) Bakteeriviljelmä lisääntyy 5,5 %:lla joka minuutti. Kello 14.00 viljelmässä laskettiin olevan 1500 bakteeria. Paljonko viljelmässä on bakteereja klo 15.15? ο°οΆ π ο¦ b) Ratkaise yhtälö cos (x + 3 ) = cos ο§ x ο ο· . 2οΈ ο¨ B6. x + cos x suurin ja pienin arvo suljetulla välillä 2 kolmen desimaalin tarkkuudella. a) Määritä funktion f (x) = 6p ο© ο° ο°οΉ οͺο« ο 2 , 2 οΊο» b) Kuinka monta aritmeettisen jonon 2, 8, 14, β¦ jäsentä on laskettava yhteen, jotta summa ylittäisi 120 000? 6p B7. Matin piti pinota 220 tiiltä kerroksittain niin, että toisesta kerroksesta ylöspäin jokaisessa kerroksessa on yksi tiili vähemmän, kuin edellisessä, ja viimeisessä kerroksessa on yksi tiili. Kuinka monta tiiltä Matti laittoi ensimmäiseen kerrokseen, kun ylijäämätiiliä piti jäädä mahdollisimman vähän ? Kuinka monta tiiltä jäi yli? 6p B8. Asuntolaina, jonka suuruus oli 160 000 β¬, maksettiin takaisin 15 vuoden aikana niin, että aina puolivuosittain maksettiin yhtä suuri lainan lyhennyserä. Samalla maksettiin lainan korko edelliseltä puolelta vuodelta. Lainalle oli sovittu koko laina-ajalle kiinteä 3,8% vuosikorko. Kuinka paljon rahaa kului lainan korkojen maksuun? 6p ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BONUS +2p: Tutkimuksen mukaan erään metsälammen ahvenet lisääntyivät 3 % vuosivauhdilla, mutta mökkiläiset kalastavat vuosittain n.2000 ahventa. Kuinka suuri on ahvenkanta 10 vuoden kuluttua, kun se on nyt arviolta 30 000 kpl? RATKAISUT: A1. a) Laske lausekkeen 1 ο‘ sin ο« 3cos ο‘ tarkka arvo, kun πΌ = π. 2 2 1 π 1 Jos πΌ = π, niin lauseke saa arvon 2 π ππ 2 + 3πππ π = 2 β 1 + 3 β (β1) = β2,5 π π ππ 2 = 1 πππ π = β1 b) Määritä vakio k siten, että jono, jolle π1 = 12 , π2 = 6 ππ π3 = 3πβ12 6 on geometrinen. Jotta jono olisi geometrinen, seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla suhdeluvulla q. 12 β π = 6 β π = 0,5. Tällöin kolmas jäsen olisi 6 β 0,5 = 3. Nyt siis 3 = 3πβ12 6 β β 6 β 18 = 3π β 12 β 30 = 3π β 10 = π K:n pitää siis olla 10, jotta jono olisi geometrinen. A2. π a) Muunna radiaaneiksi β225° = β 180° β 45° = βπ β 4 = β (toisaalta: β225° = 135° = b) Muunna asteiksi 4π 9 = 4β180° 9 3π 4 5π 4 ) = 80° c) Ratkaise yhtälö cos(4x) = -1 πππ π = β1 ο° 4π₯ = π + 2ππβ: 4 (vain yksi ratkaisu, koska cos ei voi olla muualla -1) π 2π π π ο° π₯ = 4+ 4 π β π₯ = 4+2π A3. cos x sin x ο« 1 a) Derivoi funktio f (x) = π β² (π₯) = βπ πππ₯β(π πππ₯+1)βπππ π₯βπππ π₯ β1(π πππ₯+1) (π πππ₯+1)2 (π πππ₯+1)2 = βπ ππ2 π₯βπ πππ₯βπππ 2 π₯ (π πππ₯+1)2 β1 = β1(π πππ₯+π ππ2 π₯+πππ 2 π₯) (π πππ₯+1)2 = = π πππ₯+1 π b) Derivoi funktio π(π₯) = π ππ (2π₯ + 4 ) β πππ π₯ π π π πβ² (π₯) = π·π ππ (2π₯ + 4 ) β πππ π₯ + π·πππ π₯ β π ππ (2π₯ + 4 ) = πππ (2π₯ + 4 ) β 2 β πππ π₯ + π π π (βπ πππ₯) β π ππ (2π₯ + ) = 2πππ π₯πππ (2π₯ + ) β π πππ₯π ππ (2π₯ + ) 4 4 4 B4. a) d=4 => ππ = 3 + (π β 1) β 4 = 3995 β 3 + 4π β 4 = 3995 4π β 1 = 3995 4π = 3996 π = 999 ο° Luku 3995 on 999. jäsen annetussa jonossa. b) Jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 2, 5 ja 12,5. Määritä jonon 20 ensimmäisen jäsenen summa. q=2,5 => π20 = 2 B5. (1β2,520 ) 1β2,5 = 121265958,9 a) Bakteeriviljelmä lisääntyy 5,5 %:lla joka minuutti. Kello 14.00 viljelmässä laskettiin olevan 1500 bakteeria. Paljonko viljelmässä on bakteereja klo 15.15. π75 = 1500 (1β1,05575 ) 1β1,055 = 1485114,6 β 1485100 ππππ‘πππππ ο°οΆ π ο¦ b) cos (x + 3 ) = cos ο§ x ο ο· => 2οΈ ο¨ π π π π π₯ + 3 = π₯ β 2 + 2ππ β¨ π₯ + 3 = β (π₯ β 2 ) + 2ππ π π π π 0 = β 3 β 2 + 2ππ β¨ 2π₯ = 2 β 3 + 2ππ π ππ πππ‘ππππ π’π β¨ 2π₯ = 6 + 2ππ π ππ πππ‘ππππ π’π β¨ π₯ = 12 + ππ B6. x + cos x suurin ja pienin arvo suljetulla välillä 2 kolmen desimaalin tarkkuudella. a) Määritä funktion f (x) = π β² (π₯) = 1 β2 ο© ο° ο°οΉ οͺο« ο 2 , 2 οΊο» β π πππ₯ Ääriarvot derivaatan nollakohdista tai tarkasteluvälin päätepisteistä: 1 β2 β π πππ₯ = 0 β π πππ₯ = π 1 β2 π π₯ = 4 + 2ππ β¨ π₯ = π β 4 + 2ππ = 3π 4 + 2ππ π Annetulla suljetulla välillä on ainoastaan x:n arvo π₯ = 4 . Katsotaan merkkikaaviolla kummasta ääriarvosta tässä on kysymys: π 4 fβ(x) - + f(x) π 1 π β² (5) = β2 π 1 π β² (3) = β2 π β π ππ 5 = 0,12 π β π ππ 3 = β0,16 π Ollaan siis löydetty funktion f(x) suurin arvo, kun π₯ = 4 . => π π (4 ) = π 4 π β2 + πππ 4 = β2π 8 + 1 β2 β 1,2625 on funktion suurin arvo. Tarkastellaan vielä funktion arvoja suljetun välin päätepisteissä, jotta löydetään pienin arvo: π π (β 2 ) = π π (2 ) = β π 2 β2 π 2 β2 π + cos (β 2 ) = β π + cos (2 ) = β2 π 4 β2 π 4 β β1.111 on siis pienin arvo! β 1.111 b) d = 6, jäsenten määrä on tuntematon, merkitään n . Viimeinen jäsen on tällöin ππ . Aritmeettisen jonon n. jäsenen kaavaa käyttäen saadaan: ππ = π1 + (π β 1) β π = 2 + (π β 1)6 = 2 + 6π β 6 = 6π β 4. Eli jos tässä jonossa on n. kpl jäseniä, niin viimeinen jäsen saadaan järjestysluvusta n laskien 6n-4. Käytetään sinnikkäästi summan kaavaa, vaikka jäsenten lukumäärää ei tiedetä: ππ = π 2+6πβ4 summan 2 pitää olla yli 120000, joten => π 2 + 6π β 4 β₯ 120000ββ 2 2 π(2 + 6π β 4) = 240000 π(6π β 2) = 240000 6π2 β 2π β 240000 = 0 Toisen asteen yhtälö, josta ratkaisut: π = 200,17 π‘ππ π = β199,83 N on jonon jäsenten lukumäärä, mikä ei tietenkään voi olla negatiivinen, joten n = 200,17, eli noin 201 jäsentä pitää laskea yhteen, jotta summaksi saadaan yli 120 000. B7. Kun ajatellaan tiilikasaa ylhäältä alaspäin, niin muodostuva jono on: 1, 2, 3, β¦ , x, x, missä kahta viimeistä (alinta) jäsentä ei tiedetä. Hoksasithan tehtävänannosta, että kahteen ekaan (alimpaan ) riviin tulee saman verran tiiliä. Summan pitäisi siis olla seuraavanlainen: ππ ππ ππ ππ ππ+π 1 + 2 + 3 + β― + π₯ + π₯ β€ 220 Nakataan tuo viimeinen x summan oikealle puolelle (jotta saadaan selkeä, looginen jono): 1 + 2 + 3 + β― + π₯ β€ 220 β π₯, missä meillä on nyt vasemmalla puolella koko ajan yhdellä pykälällä kasvava aritmeettinen jono, missä d = 1 ja siinä on x=n kpl jäseniä. Aritmeettisen jonon summa: ππ = π 1+π 2 = 220 β πββ 2 π(1 + π) = 440 β 2π π + π2 = 440 β 2π π2 + 3π β 440 = 0 Toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisut ovat: n = 19,53 tai n = -22,5. N kuvaa jonon termien lukumäärä, ja se ei tietenkään voi olla negatiivinen, joten n = 19,53. Tiiliä pitää pinota 19 kerrosta + se yksi alin kerros , johon tulee saman verran tiiliä kuin toiseksi alimpaan = 20 kerrosta, jotta summa jää alle 220 kpl. Kokeillaan vielä laskea summa 19 kerrokselle tiiliä: 1+19 π19 = 19 2 = 190. Alimpaan ja toiseksi alimpaan tulee 19 kpl, joten tähän pitää vielä lisätä 19 tiiltä. Tiiliä on kasassa siis 209 kpl. Yli jää 11 tiiltä. B8. Asuntolaina, jonka suuruus oli 160 000 β¬, maksettiin takaisin 15 vuoden aikana niin, että aina puolivuosittain maksettiin yhtä suuri lainan lyhennyserä. Samalla maksettiin lainan korko edelliseltä puolelta vuodelta. Lainalle oli sovittu koko laina-ajalle kiinteä 3,8% vuosikorko. Kuinka paljon rahaa kului lainan korkojen maksuun? Maksukertoja 30 kpl => Yksi maksuerä 16000 3 = 5333,33 β¬ Taulukoidaan maksukertoja: 1. 5333,33β¬ + 0,019 β 160000 2. 5333,33β¬ + 0,019 β 154666,66 3. 5333,33β¬ + 0,019 β 149333,33 30. 5333,33β¬ + 0,019 β 5333,33 Summataan nuo korkojen osuudet: πΎππππ πΎ = 0,019 β 160000 + 0,019 β 154666,66 + 0,019 β 149333,33 + β― + 0,019 β 5333,33 = 0,019(160000 + 154666,66 + 149333,33 + β― + 5333,33) Sulkujen sisässä on nyt 30 jäsenen aritmeettinen summa, jossa π = Lasketaan sulkujen sisässä oleva summa: π30 = 30 β 16000 +160000 3 2 16000 3 = 5333,33 = 2480000 Nyt πΎ = 0,019 β 2480000 = 47120β¬ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BONUS +2 p Ahventen lukumäärä on 1. vuonna 1,03β30000 -2000 ja toisena vuonna 1,03β(1,03β30000 β 2000) β 2000. = 1,032β30000- 1,03β2000 β 2000. Kolmantena vuonna ahvenia on 1,03β(1,032β30000 β 1,03β2000 -2000) -2000 = 1.033β30000 β 1,032β2000 β 1,03β2000 β 2000. Samalla tavalla jatkamalla saadaan ahvenpopulaatioksi 10 vuotena 1,0310β30000 β 1,039β2000 - β¦ -1,03β2000 - 2000. = 1,0310β30000 -2000β(1 + 1,03 + β¦ + 1,039) = 1,0310β30000 -2000β = 17389,7β¦β 17000.
© Copyright 2025