Lukujonot
Lukujono=Peräkkäisten lukujen jono
Luvut numeroidaan ala-indeksien avulla
alkaen indeksistä 1
a1
a2
a3 . . . an
Eka toka kolmas
n:s jäsen (termi)
Lukujonon sääntö: Miten uusi jäsen
lasketaan aikaisemmasta
ESim.: Lukujono määritellään säännöllä:
an  12n  3
Laske ensimmäinen, toinen, kolmas ja 10. jäsen
Nro
Jäsen
1.
12*1+3=15
2.
12*2+3=27
3.
12*3+3=39
10.
12*10+3=123
Aritmeettinen lukujono
Kahden peräkkäisen jäsenen erotus on vakio
erotus = uusi – vanha
jäsen
esim1
1.
1
2.
3.
4.
5. , ...
3
5
7
9 , ...
(erotus = 7 – 5 = 2)
esim2
10
15 20 25 30 , ...
(erotus 30 – 25 = 5)
esim3
30
20
10
0
-10
(erotus = 20 – 30 = -10)
-20 , ...
Aritmeettinen lukujono
Kahden peräkkäisen jäsenen erotus on vakio
a1
a2
a3 . . . an
an = a1 + (n – 1 ) d
erotus
Ensimmäinen
Aritmeettisen jonon summa (n ekajäsentä)
sn  a1  a2  a3  ...  an
n  (a1 + a n )
sn =
2
ensimmäinen
viimeinen
Tehtävä: Aritmeettisen jonon kolme ensimmäistä
jäsentä ovat
7 , 13 , 19 ,
Määritä jonon 23. jäsen
n = 23
a23 = ?
an = a1 + (n – 1 ) d
d = 13 – 7 = 6
a1 = 7
a23 = 7 + (23 – 1)·6 = 7 + 22·6 = 139
Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen termi
on 10 ja kuudes termi 45. Mikä on jonon
50. jäsen?
a1  10
a6  45
Lasketaan ensin d
a50  ?
a6  10  (6  1)  d  45
10 – 5d = 45
5d = 35
d=7
a50  10  (50  1)  7  353
Tehtävä. Aritmeettinen lukujono alkaa
17, 30, 43 . Kuinka moni jäsenistä on
pienempi kuin 10 000?
a1 = 17
d = 30 – 17 = 13
an = 17 + (n – 1)13 = 17 + 13n – 13 = 13n + 4
13n + 4 = 10 000
13n =10 000 - 4
13n = 9996
n = 768,923…
Vastaus: 768 jäsentä
ovat pienempiä kuin 10 000
yo k 98:
Määritä suurin sellainen kokonaisluku m, että
1 + 2 + 3 + … + m ≤ 462 241
Aritmeettisen jonon summa
m ( 1 + m)
 462 241 ∙ 2
2
m + m2 ≤ 924 482
m2 + m – 924 482 ≤ 0
Nollakohdat: ratkaistaan yhtälö
m2 + m – 924 482 = 0
-1  1-4 1 (-924482)
m=
2
negatiivinen juuri ei
kelpaa
m = 961
Jos m on suurempi,
summa ylittää
rajan.
V: m = 961
Geometrinen lukujono
Kahden peräkkäisen osamäärä on vakio
(uusi jäsen saadaan kertomalla edellinen vakiolla
a1
a 1q
a1q2 a1q3 a1q4 . . . a1qn-1
toinen
ensimmäinen
an = a1qn-1
n:s jäsen
(viimeinen)
Kun tunnetaan a1 ja q, niin geom. jonon kaikki termit voidaan laskea
Geometrisen lukujonon summa
s  a1  a2  ...  an
a1 ( 1 - q n )
s=
1 q
Esim. Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen
on 5 ja toinen 7. Mikä on kymmenes jäsen?
7
9
a1  5, q=
7
9
5 a10  a1  q  5   5 
 
40 353 607
a10 
 103,305....
390 625
Vertaa. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi
on 5 ja toinen 7. Mikä on kymmenes termi?
a1=5, d = 2, jolloin a10 = a1 + (n-1)d = 5+9·2 =23
Esim. Geometrisen jonon ekatermi on 2 ja
15. termi 20. Mikä on kahden peräkkäisen
suhde q? Mikä on 25. termi?
a15 = a1·q14
a1 = 2
a15 = 20
20 = 2·q14
Ratkaistaan q:
q14 = 10
q = 10  1,17876...
14
a25 = 2 · 1,17824 ≈ 103,6