1. No category

MAT-10412 Insinöörimatematiikka B 1u (Kauhanen)
Tentti 26.11.2012
Ei laskinta eikä taulukkokirjoja. Kaavaliite ohessa.
1. a) Mikä on reaalifunktion
f (x) =
2x2
x2 − 1
laajin mahdollinen määrittelyjoukko?
(1 p)
b) Selvitä välit, joilla f on kasvava ja välit, joilla f on vähenevä.
(2 p)
c) Hahmottele funktion f kuvaaja ja määritä huolellisesti perustellen f :n
arvojoukko (kun käytetään a-kohdan määrittelyjoukkoa).
(3 p)
2. a) Derivoi f (x) =
√
5
ln x.
b) Derivoi f (t) = et sin(2t) .
2
c) Laske raja-arvo lim x3 e−x .
x→∞
3. Hae kaikki yhtälön |z + 1 + i| = 2 ratkaisut z ∈ C. Hahmottele kuva ratkaisujoukosta kompleksitasoon.
4. Hae kaikki yhtälön z 3 = 3 − 3i ratkaisut z ∈ C. Esitä ratkaisut eksponenttimuodossa
reiθ .
Tehtäväkohtaiset tulokset julkaistaan Moodlessa.
Vastauksia. 1.
a) Mf = R \ {−1, 1}
b) f
on kasvava väleillä
(−∞, −1)
[0, 1) ja (1, ∞). c) Af = (−∞, 0] ∪ (2, ∞)
2. a) 1/(5x(ln x)4/5 ) b) et sin(2t) (sin(2t) + 2t cos(2t)) c) 0
3. Ratkaisujoukko on −1 − i -keskinen 2-säteinen ympyrä kompleksitasossa.
4. 181/6 e−iπ/12 , 181/6 ei7π/12 , 181/6 ei5π/4
vähenevä väleillä
ja
(−1, 0],