1. No category

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3
Rasila / Majander
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3
Harjoitus 2 / Syksy 2015
Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Tehtävät 4-6 ratkaistaan ennen loppuviikon harjoituksia, joissa ratkaisut esitetään taululla. Tehtävien 7 ja 8 ratkaisut palautetaan kirjallisesti seuraaviin alkuviikon harjoituksiin mennessä. Lisäksi tällä viikolla on kolme verkkotehtävää.
Tuntitehtävä
1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus, joka on pinnan
p
z = 4 x2 + y 2 yläpuolella ja pallopinnan x2 + y 2 + z 2 = 2 sisällä.
Tuntitehtävä 2: Hahmottele seuraavat vektorikentät ja etsi niiden kenttäviivat
a) F(x, y) = yi + xj
b) F(x, y) = ex i + e−x j
Tuntitehtävä 3: Joukon R hitausmomentti suoran L suhteen määritellään kaavalla
ZZZ
I=
r2 ρdV,
R
jossa r = r(x, y, z) on etäisyys suorasta L ja ρ = ρ(x, y, z) on tiheysjakauma. Määritä sylinterin
R = {(x, y, z) ∈ R3
:
1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2,
−1 ≤ z ≤ 1}
hitausmomentti z-akselin suhteen, kun tiheys ρ on vakio.
Taulutehtävä 4: Laske tasojen x+z = 1, x−z = −1 ja pinnan x2 +y 2 = 1 rajoittaman kappaleen
massa, kun sen tiheys noudattaa funktiota δ(x, y, z) = 2y + 5.
p
Taulutehtävä 5: Määritä kartion z = 3 x2 + y 2 ja paraboloidipinnan z = 9 − 4x2 − 4y 2 rajoittaman alueen tilavuus.
Taulutehtävä 6: Näytä, että vektorikenttä
F(x, y, z) =
2x − y
x
xy − x2
i− j+
k
z
z
z2
on konservatiivinen ja määritä sen potentiaalifunktio.
Tiedostoa viimeksi muokattu: September 3, 2015
1/2
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3
Rasila / Majander
Palautettava tehtävä 7: Newtonin gravitaatiolain mukaan massallinen kappale vetää massallisia
kappaleita puoleensa voimalla, jonka suuruus on kääntäen verrannollinen kappaleiden välisen
etäisyyden neliöön. Esitä origoon sijoitetun kappaleen (massa M > 0) muodostama gravitaatiokenttä
a) polaarikoordinaateissa
b) karteesisissa koordinaateissa.
Hahmottele kenttäviivoja.
Palautettava tehtävä 8: Esitä parametrisaatiot seuraaville käyrille
a) suora, joka kulkee pisteestä (1, 0, 1) pisteeseen (5, 9, 6).
b) ympyräkaari, jonka keskipiste on (1, 5) ja säde 20.
c) funktion y = f (x) kuvaaja, kun x ∈ [a, b].
Tiedostoa viimeksi muokattu: September 3, 2015
2/2