Rationaalilauseke
Hannu Lehto
Lahden Lyseon lukio
Raationaalilauseke
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
p(x)
, q(x) 6= 0 ,
q(x)
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Raationaalilauseke
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
p(x)
, q(x) 6= 0 ,
q(x)
missä p(x) ja q(x) ovat polynomeja.
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Raationaalilauseke
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
p(x)
, q(x) 6= 0 ,
q(x)
missä p(x) ja q(x) ovat polynomeja.
p(x)
=0⇔
q(x)
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Raationaalilauseke
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
p(x)
, q(x) 6= 0 ,
q(x)
missä p(x) ja q(x) ovat polynomeja.
p(x)
= 0 ⇔ p(x) = 0 ∧ q(x) 6= 0
q(x)
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo a2 − b2 = (a + b)(a − b),
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo a2 − b2 = (a + b)(a − b),
3. binomin neliö
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo a2 − b2 = (a + b)(a − b),
2
3. binomin neliö a2 ± 2ab + b2 = (a ± b) ,
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo a2 − b2 = (a + b)(a − b),
2
3. binomin neliö a2 ± 2ab + b2 = (a ± b) ,
4. nollakohtien avulla
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo a2 − b2 = (a + b)(a − b),
2
3. binomin neliö a2 ± 2ab + b2 = (a ± b) ,
4. nollakohtien avulla ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo a2 − b2 = (a + b)(a − b),
2
3. binomin neliö a2 ± 2ab + b2 = (a ± b) ,
4. nollakohtien avulla ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),missä
x1 ja x2 ovat polynomin ax2 + bx + c nollakohdat.
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo a2 − b2 = (a + b)(a − b),
2
3. binomin neliö a2 ± 2ab + b2 = (a ± b) ,
4. nollakohtien avulla ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),missä
x1 ja x2 ovat polynomin ax2 + bx + c nollakohdat.
Esimerkkejä.
2x2 − 4x
x2 − 4
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo a2 − b2 = (a + b)(a − b),
2
3. binomin neliö a2 ± 2ab + b2 = (a ± b) ,
4. nollakohtien avulla ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),missä
x1 ja x2 ovat polynomin ax2 + bx + c nollakohdat.
Esimerkkejä.
2x2 − 4x
x2 − 4
3x − 1
1 − 3x
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Supistaminen
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Supistaminen edellyttää osoittajan ja nimittäjän jakamista tekijöihin
(tulomuoto).Tekijöihinjakokeinoja:
1. yhteisen tekijän erottaminen,
2. summan ja erotuksen tulo a2 − b2 = (a + b)(a − b),
2
3. binomin neliö a2 ± 2ab + b2 = (a ± b) ,
4. nollakohtien avulla ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),missä
x1 ja x2 ovat polynomin ax2 + bx + c nollakohdat.
Esimerkkejä.
2x2 − 4x
x2 − 4
3x − 1
1 − 3x
4x2 − 1
2x2 − 3x + 1
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Summa ja erotus
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Rationaalilausekkeet on lavennettava samannimisiksi.
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 7
Summa ja erotus
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Rationaalilausekkeet on lavennettava samannimisiksi.
Esimerkki. Mikä on lausekkeen
Sievennä lauseke.
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
1
1
−
määrittelyehto?
2
2
x −1 x −x
Lahden Lyseon lukio – 4 / 7
Tulo
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään. Ennen kertolaskujen
suorittamista supistetaan, mikäli mahdollista.
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 7
Tulo
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään. Ennen kertolaskujen
suorittamista supistetaan, mikäli mahdollista.
2x
9x2 − 4
·
Esimerkki.
x
3x − 2
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 7
Osamäärä
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Jaettava kerrotaan jakajan käänteislausekkeella.
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 7
Osamäärä
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Jaettava kerrotaan jakajan käänteislausekkeella.
Esimerkkejä.
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
12x3 4x2
:
5
15
Lahden Lyseon lukio – 6 / 7
Osamäärä
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Jaettava kerrotaan jakajan käänteislausekkeella.
Esimerkkejä.
12x3 4x2
:
5
15
x2 − 4x + 4 x − 2
:
x
x
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 7
Rationaalifunktio
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
p(x)
f (x) =
,
q(x)
q(x) 6= 0
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Rationaalifunktio
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
p(x)
f (x) =
,
q(x)
q(x) 6= 0
x2 − 1
x
ja f (x) =
kuvaajat.
Piirrä funktioiden f (x) =
x−1
x−1
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Rationaalifunktio
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
p(x)
f (x) =
,
q(x)
q(x) 6= 0
x2 − 1
x
ja f (x) =
kuvaajat.
Piirrä funktioiden f (x) =
x−1
x−1
f (x) =
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
x
x−1
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Rationaalifunktio
• Raationaalilauseke
• Supistaminen
• Summa ja erotus
• Tulo
• Osamäärä
• Rationaalifunktio
p(x)
f (x) =
,
q(x)
q(x) 6= 0
x2 − 1
x
ja f (x) =
kuvaajat.
Piirrä funktioiden f (x) =
x−1
x−1
f (x) =
Hannu Lehto 26. syyskuuta 2010
x
x−1
f (x) =
x2 −1
x−1
bc
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7