Taso avaruudessa

Taso
Hannu Lehto
Lahden Lyseon lukio
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason.
välinen kulma
~
n=a~i+b~j+c~k
• Kaksi tasoa
b
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason.
~
n=a~i+b~j+c~k
välinen kulma
• Kaksi tasoa
b
P (x,y,z)
b
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
O
Olkoon P tason mielivaltainen piste.
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason.
~
n=a~i+b~j+c~k
välinen kulma
• Kaksi tasoa
b
P (x,y,z)
b
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
O
Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason.
~
n=a~i+b~j+c~k
välinen kulma
• Kaksi tasoa
b
P (x,y,z)
b
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
O
Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss
−−→
P0 P ⊥ ~n
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason.
~
n=a~i+b~j+c~k
välinen kulma
• Kaksi tasoa
b
P (x,y,z)
b
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
O
Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss
−−→
−−→
P0 P ⊥ ~n ⇔ P0 P · ~n = 0
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason.
~
n=a~i+b~j+c~k
välinen kulma
• Kaksi tasoa
b
P (x,y,z)
b
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
O
Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss
−−→
−−→
P0 P ⊥ ~n ⇔ P0 P · ~n = 0
⇔ (x − x0 )~i + (y − y0 )~j + (z − z0 )~k · a~i + b~j + c~k
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason.
~
n=a~i+b~j+c~k
välinen kulma
• Kaksi tasoa
b
P (x,y,z)
b
P0 (x0 ,y0 ,z0 )
b
O
Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss
−−→
−−→
P0 P ⊥ ~n ⇔ P0 P · ~n = 0
⇔ (x − x0 )~i + (y − y0 )~j + (z − z0 )~k · a~i + b~j + c~k
⇔ a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 2 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
välinen kulma
• Kaksi tasoa
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
välinen kulma
ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0
• Kaksi tasoa
d vakio
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
välinen kulma
ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0
• Kaksi tasoa
d vakio
ax + by + cz + d = 0
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
(normaalimuoto)
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
välinen kulma
ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0
• Kaksi tasoa
d vakio
ax + by + cz + d = 0
(normaalimuoto)
Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen
normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~
k. Mikä on tason yhtälö? Onko
piste (−2, −1, 1) tässä tasossa?
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
välinen kulma
ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0
• Kaksi tasoa
d vakio
ax + by + cz + d = 0
(normaalimuoto)
Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen
normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~
k. Mikä on tason yhtälö? Onko
piste (−2, −1, 1) tässä tasossa?
3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
välinen kulma
ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0
• Kaksi tasoa
d vakio
ax + by + cz + d = 0
(normaalimuoto)
Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen
normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~
k. Mikä on tason yhtälö? Onko
piste (−2, −1, 1) tässä tasossa?
3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0
3x − 3 + 2y + 6 − 4z + 8 = 0
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
välinen kulma
ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0
• Kaksi tasoa
d vakio
ax + by + cz + d = 0
(normaalimuoto)
Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen
normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~
k. Mikä on tason yhtälö? Onko
piste (−2, −1, 1) tässä tasossa?
3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0
3x − 3 + 2y + 6 − 4z + 8 = 0
3x + 2y − 4z + 11 = 0
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
välinen kulma
ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0
• Kaksi tasoa
d vakio
ax + by + cz + d = 0
(normaalimuoto)
Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen
normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~
k. Mikä on tason yhtälö? Onko
piste (−2, −1, 1) tässä tasossa?
3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0
3x − 3 + 2y + 6 − 4z + 8 = 0
3x + 2y − 4z + 11 = 0
Piste on tasossa, joss se toteuttaa tason yhtälön.
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Taso avaruudessa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.
välinen kulma
ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0
• Kaksi tasoa
d vakio
ax + by + cz + d = 0
(normaalimuoto)
Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen
normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~
k. Mikä on tason yhtälö? Onko
piste (−2, −1, 1) tässä tasossa?
3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0
3x − 3 + 2y + 6 − 4z + 8 = 0
3x + 2y − 4z + 11 = 0
Piste on tasossa, joss se toteuttaa tason yhtälön.
3 · (−2) + 2 · (−1) − 4 · 1 + 11 = −1 6= 0, joten ei ole.
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 3 / 7
Suora ja taso
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
• Suora on tasossa.
välinen kulma
• Kaksi tasoa
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 7
Suora ja taso
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
• Suora on tasossa.
• Suora on tason suuntainen
välinen kulma
• Kaksi tasoa
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 7
Suora ja taso
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
• Kaksi tasoa
• Suora on tasossa.
• Suora on tason suuntainen, jos ~
n ⊥ ~s, missä ~n on tason
normaalivektori ja ~
s suoran suuntavektori.
• Suora leikkaa tason.
~n
~s
b
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 4 / 7
Suoran ja tason välinen kulma
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
~n
• Kaksi tasoa
~n
~s
φ
b
φ
b
~s
Suoran ja tason välinen kulma (suuntavektorin ja sen tasolla olevan
projektion) φ
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 7
Suoran ja tason välinen kulma
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
~n
• Kaksi tasoa
~n
~s
α
φ
φ
b
b
α
~s
Suoran ja tason välinen kulma (suuntavektorin ja sen tasolla olevan
projektion) φ
φ=
90◦ − α,
α − 90◦ ,
kun α ≤ 90◦
,
kun 90◦ < α ≤ 180◦
missä α = ∢ (~
s, ~n).
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 5 / 7
Esimerkki
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
• Kaksi tasoa

x = t
Määritä tason 4x − 2y + 3z − 17 = 0 ja suoran y = 1 − 2t

z=1
a) leikkauspiste
b) välinen kulma 0,1◦ :een tarkkuudella.
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 6 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
• T1 k T2 ⇔
välinen kulma
• Kaksi tasoa
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
→k−
→⇔
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
1
2
välinen kulma
• Kaksi tasoa
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
välinen kulma
• Kaksi tasoa
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
• T1 ⊥ T2 ⇔
• Kaksi tasoa
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
→⊥−
→⇔
• T1 ⊥ T2 ⇔ −
n
n
1
2
• Kaksi tasoa
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
→⊥−
→⇔−
→·−
→
• T1 ⊥ T2 ⇔ −
n
n
n
1
2
1 n2 = 0
• Kaksi tasoa
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
• Kaksi tasoa
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
→⊥−
→⇔−
→·−
→
• T1 ⊥ T2 ⇔ −
n
n
n
1
2
1 n2 = 0
• T1 ∦ T2 ⇔
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
• Kaksi tasoa
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
→⊥−
→⇔−
→·−
→
• T1 ⊥ T2 ⇔ −
n
n
n
1
2
1 n2 = 0
→
• T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ −
n
2
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
• Kaksi tasoa
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
→⊥−
→⇔−
→·−
→
• T1 ⊥ T2 ⇔ −
n
n
n
1
2
1 n2 = 0
→
• T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ −
n
2
Jos tasot ovat erisuuntaiset, niin ne leikkaavat pitkin suoraa.
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
• Kaksi tasoa
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
→⊥−
→⇔−
→·−
→
• T1 ⊥ T2 ⇔ −
n
n
n
1
2
1 n2 = 0
→
• T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ −
n
2
Jos tasot ovat erisuuntaiset, niin ne leikkaavat pitkin suoraa.
Esimerkki. Leikkaavatko tasot −x + y − z = 0 ja
2x − y − z = −1? Myönteisessä tapauksessa määritä
leikkaussuoran yhtälö.
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
• Kaksi tasoa
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
→⊥−
→⇔−
→·−
→
• T1 ⊥ T2 ⇔ −
n
n
n
1
2
1 n2 = 0
→
• T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ −
n
2
Jos tasot ovat erisuuntaiset, niin ne leikkaavat pitkin suoraa.
Esimerkki. Leikkaavatko tasot −x + y − z = 0 ja
2x − y − z = −1? Myönteisessä tapauksessa määritä
leikkaussuoran yhtälö.
Kahden tason välinen kulma on niiden normaalien välinen kulma.
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
Kaksi tasoa
• Taso avaruudessa
• Suora ja taso
• Suoran ja tason
välinen kulma
• Kaksi tasoa
→k−
→⇔−
→ = t−
→
• T1 k T2 ⇔ −
n
n
n
n
1
2
1
2
→⊥−
→⇔−
→·−
→
• T1 ⊥ T2 ⇔ −
n
n
n
1
2
1 n2 = 0
→
• T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ −
n
2
Jos tasot ovat erisuuntaiset, niin ne leikkaavat pitkin suoraa.
Esimerkki. Leikkaavatko tasot −x + y − z = 0 ja
2x − y − z = −1? Myönteisessä tapauksessa määritä
leikkaussuoran yhtälö.
Kahden tason välinen kulma on niiden normaalien välinen kulma.
Esimerkki. Laske tasojen −x + y − z = 0 ja 2x − y − z = −1
välinen kulma 0,1◦ :een tarkkuudella.
Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010
Lahden Lyseon lukio – 7 / 7