Taso avaruudessa
Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. välinen kulma ~ n=a~i+b~j+c~k • Kaksi tasoa b P0 (x0 ,y0 ,z0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. ~ n=a~i+b~j+c~k välinen kulma • Kaksi tasoa b P (x,y,z) b P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b O Olkoon P tason mielivaltainen piste. Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. ~ n=a~i+b~j+c~k välinen kulma • Kaksi tasoa b P (x,y,z) b P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b O Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. ~ n=a~i+b~j+c~k välinen kulma • Kaksi tasoa b P (x,y,z) b P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b O Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss −−→ P0 P ⊥ ~n Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. ~ n=a~i+b~j+c~k välinen kulma • Kaksi tasoa b P (x,y,z) b P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b O Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss −−→ −−→ P0 P ⊥ ~n ⇔ P0 P · ~n = 0 Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. ~ n=a~i+b~j+c~k välinen kulma • Kaksi tasoa b P (x,y,z) b P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b O Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss −−→ −−→ P0 P ⊥ ~n ⇔ P0 P · ~n = 0 ⇔ (x − x0 )~i + (y − y0 )~j + (z − z0 )~k · a~i + b~j + c~k Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Piste P0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. ~ n=a~i+b~j+c~k välinen kulma • Kaksi tasoa b P (x,y,z) b P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b O Olkoon P tason mielivaltainen piste. P on tasossa, joss −−→ −−→ P0 P ⊥ ~n ⇔ P0 P · ~n = 0 ⇔ (x − x0 )~i + (y − y0 )~j + (z − z0 )~k · a~i + b~j + c~k ⇔ a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. välinen kulma • Kaksi tasoa Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. välinen kulma ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 • Kaksi tasoa d vakio Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. välinen kulma ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 • Kaksi tasoa d vakio ax + by + cz + d = 0 Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 (normaalimuoto) Lahden Lyseon lukio – 3 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. välinen kulma ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 • Kaksi tasoa d vakio ax + by + cz + d = 0 (normaalimuoto) Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~ k. Mikä on tason yhtälö? Onko piste (−2, −1, 1) tässä tasossa? Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. välinen kulma ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 • Kaksi tasoa d vakio ax + by + cz + d = 0 (normaalimuoto) Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~ k. Mikä on tason yhtälö? Onko piste (−2, −1, 1) tässä tasossa? 3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0 Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. välinen kulma ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 • Kaksi tasoa d vakio ax + by + cz + d = 0 (normaalimuoto) Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~ k. Mikä on tason yhtälö? Onko piste (−2, −1, 1) tässä tasossa? 3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0 3x − 3 + 2y + 6 − 4z + 8 = 0 Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. välinen kulma ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 • Kaksi tasoa d vakio ax + by + cz + d = 0 (normaalimuoto) Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~ k. Mikä on tason yhtälö? Onko piste (−2, −1, 1) tässä tasossa? 3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0 3x − 3 + 2y + 6 − 4z + 8 = 0 3x + 2y − 4z + 11 = 0 Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. välinen kulma ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 • Kaksi tasoa d vakio ax + by + cz + d = 0 (normaalimuoto) Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~ k. Mikä on tason yhtälö? Onko piste (−2, −1, 1) tässä tasossa? 3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0 3x − 3 + 2y + 6 − 4z + 8 = 0 3x + 2y − 4z + 11 = 0 Piste on tasossa, joss se toteuttaa tason yhtälön. Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 7 Taso avaruudessa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason Tason yhtälö on a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. välinen kulma ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 • Kaksi tasoa d vakio ax + by + cz + d = 0 (normaalimuoto) Esimerkki. Taso kulkee pisteen (1, −3, 2) kautta ja sen normaalivektori on n = 3~i + 2~j − 4~ k. Mikä on tason yhtälö? Onko piste (−2, −1, 1) tässä tasossa? 3(x − 1) + 2(y − (−3)) − 4(z − 2) = 0 3x − 3 + 2y + 6 − 4z + 8 = 0 3x + 2y − 4z + 11 = 0 Piste on tasossa, joss se toteuttaa tason yhtälön. 3 · (−2) + 2 · (−1) − 4 · 1 + 11 = −1 6= 0, joten ei ole. Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 7 Suora ja taso • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason • Suora on tasossa. välinen kulma • Kaksi tasoa Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 7 Suora ja taso • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason • Suora on tasossa. • Suora on tason suuntainen välinen kulma • Kaksi tasoa Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 7 Suora ja taso • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma • Kaksi tasoa • Suora on tasossa. • Suora on tason suuntainen, jos ~ n ⊥ ~s, missä ~n on tason normaalivektori ja ~ s suoran suuntavektori. • Suora leikkaa tason. ~n ~s b Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 7 Suoran ja tason välinen kulma • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma ~n • Kaksi tasoa ~n ~s φ b φ b ~s Suoran ja tason välinen kulma (suuntavektorin ja sen tasolla olevan projektion) φ Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 7 Suoran ja tason välinen kulma • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma ~n • Kaksi tasoa ~n ~s α φ φ b b α ~s Suoran ja tason välinen kulma (suuntavektorin ja sen tasolla olevan projektion) φ φ= 90◦ − α, α − 90◦ , kun α ≤ 90◦ , kun 90◦ < α ≤ 180◦ missä α = ∢ (~ s, ~n). Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 7 Esimerkki • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma • Kaksi tasoa x = t Määritä tason 4x − 2y + 3z − 17 = 0 ja suoran y = 1 − 2t z=1 a) leikkauspiste b) välinen kulma 0,1◦ :een tarkkuudella. Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason • T1 k T2 ⇔ välinen kulma • Kaksi tasoa Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason →k− →⇔ • T1 k T2 ⇔ − n n 1 2 välinen kulma • Kaksi tasoa Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 välinen kulma • Kaksi tasoa Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 • T1 ⊥ T2 ⇔ • Kaksi tasoa Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 →⊥− →⇔ • T1 ⊥ T2 ⇔ − n n 1 2 • Kaksi tasoa Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 →⊥− →⇔− →·− → • T1 ⊥ T2 ⇔ − n n n 1 2 1 n2 = 0 • Kaksi tasoa Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma • Kaksi tasoa →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 →⊥− →⇔− →·− → • T1 ⊥ T2 ⇔ − n n n 1 2 1 n2 = 0 • T1 ∦ T2 ⇔ Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma • Kaksi tasoa →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 →⊥− →⇔− →·− → • T1 ⊥ T2 ⇔ − n n n 1 2 1 n2 = 0 → • T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ − n 2 Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma • Kaksi tasoa →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 →⊥− →⇔− →·− → • T1 ⊥ T2 ⇔ − n n n 1 2 1 n2 = 0 → • T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ − n 2 Jos tasot ovat erisuuntaiset, niin ne leikkaavat pitkin suoraa. Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma • Kaksi tasoa →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 →⊥− →⇔− →·− → • T1 ⊥ T2 ⇔ − n n n 1 2 1 n2 = 0 → • T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ − n 2 Jos tasot ovat erisuuntaiset, niin ne leikkaavat pitkin suoraa. Esimerkki. Leikkaavatko tasot −x + y − z = 0 ja 2x − y − z = −1? Myönteisessä tapauksessa määritä leikkaussuoran yhtälö. Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma • Kaksi tasoa →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 →⊥− →⇔− →·− → • T1 ⊥ T2 ⇔ − n n n 1 2 1 n2 = 0 → • T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ − n 2 Jos tasot ovat erisuuntaiset, niin ne leikkaavat pitkin suoraa. Esimerkki. Leikkaavatko tasot −x + y − z = 0 ja 2x − y − z = −1? Myönteisessä tapauksessa määritä leikkaussuoran yhtälö. Kahden tason välinen kulma on niiden normaalien välinen kulma. Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7 Kaksi tasoa • Taso avaruudessa • Suora ja taso • Suoran ja tason välinen kulma • Kaksi tasoa →k− →⇔− → = t− → • T1 k T2 ⇔ − n n n n 1 2 1 2 →⊥− →⇔− →·− → • T1 ⊥ T2 ⇔ − n n n 1 2 1 n2 = 0 → • T1 ∦ T2 ⇔ n1 ∦ − n 2 Jos tasot ovat erisuuntaiset, niin ne leikkaavat pitkin suoraa. Esimerkki. Leikkaavatko tasot −x + y − z = 0 ja 2x − y − z = −1? Myönteisessä tapauksessa määritä leikkaussuoran yhtälö. Kahden tason välinen kulma on niiden normaalien välinen kulma. Esimerkki. Laske tasojen −x + y − z = 0 ja 2x − y − z = −1 välinen kulma 0,1◦ :een tarkkuudella. Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 7
© Copyright 2024