ing stress σy∞ = σ0 (b/a − x/a).
a) Determine the K-factors by using the ba
solution for a crack subjected to point force
σy∞
b) What is the condition for KI+ = 0, and w
does this mean?
y
MEI-32010 Murtumismekaniikka
a x
−a
Solution:
√
1
b
±
∓
a)
K
=
σ
πa
0
I vasemmalla olevan kuvan mukai1. Särö kasvaa pitkin kahden materiaalin rajapintaa alla
a 2
2. kotitehtäväsarja
b
sesti. Sauvaa vedetään voimalla
F
ja sauvan leveys on
+
B.
b) KI = sauvamallia.
0 for b =
(a) Määritä säröä ajava
σy∞ voima G käyttäen yksinkertaista
(b) Määritä
KII
kun
E1 = E2
a/2. Under this load
condition there exists no stress singularity
the right crack tip.
otaksumalla tasojännitystila ja että, muoto II valitsee.
Fig.
4.56 tehtävä 4.3.)
(Oppikirjan
142
4 Linear fracture mechanics
u
Problem 4.3 A crack grows along the interface in a bi-material bar of width
under tension.
142
4 Linear fracture
0
1
b
a)
Determine
the
energy
release rate
u
0
1
b
u
h
0
1
F
using simple bar theory.
0
1
h
E1 , A1
0
1
E
0
1
E,the
ν case E1 =
b) Calculate KII for
h
0
1
0u
1
under the assumption that pure mod
a
0
1
E2 ,u A2
b
a stress
a
hu is present.
a)
b) and plane
h
h
Fig. 4.57
Fig. 4.58
E
2. Määritä oheisen yllä oikealla olevan kuvan mukaisen rakenteen säröä ajava voina
tehtävä 4.4b.)
E,
ja
u
KI . Oleta
tasomuodonmuutostila ja että h a. &
(Oppikirjan
a
2
a
a)
b)
F 2 Au2
F A2 E2
jännitysintensiteettikerroin
Solution: a) G =
G
2BA E (A E + A E )
,
b) KII =
2BA (A1 + A2
Fig. 4.58
3. Alla olevan kuvan mukaisessa
ja alustan rajapinnassaraja1rakenteessa
1
1 1on ohuen
2 kalvon
2
1
Problem
4.5 Thesärö.
configuration
shown in Fig. tilassa
4.59 contains
an interface
crack
pinnan suuntainen
Alkuaan jännityksettömässä
oleva rakenne
kokee lämbetween the thin elastic
theklsubpötilanmuutoksen ∆T . Alustan pituuden lämpölaajenemiskerroin
on layer
ks ja and
kalvon
.
Määritä säröä ajava voima G olettaen kalvon
olevan
tasomuodonmuutostilassa
ja että kl
strate
(coefficients
of thermal expansion
kalvo ei vaikuta alustan Problem
lämpömuodonmuutostilaan.
(Oppikirjan
tehtävä
4.5.)
ks ). The initially
stress-free
system
Theand
configuration
shown
in
Fig.in4.59
contains
an
Problem 4.4 Calculateksfor4.5both
configurations,
shown
Fig.
4.58,extheinterfa
ene
between
the
thin
elastic
layer
and
periences
a temperature
change
ΔT . plane str
release rates and the KI -factors. In case
a) use
beam theory
and assume
strate (coefficients of thermal expa
Determine
release rate under the
in case b) assume h a and plane
strain. the energy
t
and ks ). The initially stress-free sy
ks that the thin
assumptions
layer
is in a plane
√
periences
a temperature change Δ
3
3/2
strain state 3
and
does not influence the ther3 uEh
u Eh
Determine the energy release rate u
Solution: ka)l , E,G ν=
,
K
=
t
Istrains of the
mal
substrate.
4
2
4a
2 a assumptions that the thin layer is in
& strain state and does not influence
2h of the substrate.
2u E
mal strains
b) GE=tFig. 4.59 2 2, 2 KI = uE
b(1(k−
ν k)l ) ΔT .
b(b − h)(1 − ν 2 )
Solution: G =
s −
Fig. 4.59
2
2(1 − ν)
kl , E, ν
Solution: G =
Et
(ks − kl )2 ΔT 2 .
2(1 − ν)
Problem 4.6 Calculate the crack deflection angle ϕ for the two configurations
shown in Fig. 4.60. Use the criterion of maximum circumferential stress and assume
Problem 4.6 Calculate the crack deflection angle ϕ for the two confi
τ0 = σ0 /2.
shown in Fig. 4.60. Use the criterion of maximum circumferential stress an
τ0 = σ0 /2.
σ
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 2.
0 kotiteht. 6.10.2015
τ0
τ0
σ0
τ0
σ0
1
τ0
σ0
strain state and does not influence the thermal strains of the substrate.
kl , E, ν
Fig. 4.59
Solution: G =
Et
(ks − kl )2 ΔT 2 .
2(1 − ν)
Problem 4.6 Calculate the crack deflection angle ϕ for the two configurations
ϕ alla olevissa tapauksissa käyttäen suurimman
shown in Fig. 4.60. Use the criterion of maximum circumferential stress and assume
kehäjännityksen
mallia.
(Oppikirjan
tehtävä
4.6.)
τ0 = σ0 /2.
4. Määritä särön etenemisen kasvukulma
τ0
σ0
τ0
ϕ
2a
σ0
ϕ
τ0
2a
τ0
b)
a)
Fig. 4.60
5. Tarkastellaan DCB-testiä1 , katso oppikirjan kuva 4.44 sivulla 118, joustavassa testauslaitteistossa. Piirrä
teen
G/Gc
dimensiottoman särömuuttujan
a/a0
funktiona erilaisilla suh-
CF /C(a0 ) arvoilla. Kuinka joustava on kuormituslaitteiston oltava jotta se johtaisi
R-käyrä?
epästabiiliin särönkasvuun materiaalilla, jolla on laakea
3.8 Exercises
53
6. Puoliympyrän muotoista säröllistä rakennetta analysoitiin elementtimenetelmällä. Ra-
Table 3.1 Computed load
a, mm
q, mm
geometria ja elementtiverkko
on esitetty alla olevassa kuvassa. Kuorman arpoint displacement vs. crack kenteen
length for test sample shown
volla
P
=
100
N,
analyysi
toistettiin
särönpituuksilla ja kuormapisteen siirtymät
−4
14
6.640 × 10eri
in Fig. 3.10 with load
−4
P = 100 N
q on
särönpituuden funktiona. Määritä dimensio18 luetteloitu alla olevassa taulukossa
8.787 × 10
22 säröä ajava voima
ton
26
a/W funktiona.
E = 105 N/mm2 .
säröparametrin
30
kimmokerroin
34
38
Fig. 3.10 FEM mesh for
semi-circular test specimen.
Outline of sample is shown in
dashed lines. Deformed shape
and mesh shown in solid
lines. Displacement is
magnified greatly
−4
2W P
−2
× 10
G̃ = GEB 12.12
taulukon
17.37 × 10−4
Mittoja: paksuus
29.75 × 10−4
tietojen perusteella dimensiottoman
B = 20, 7
mm, säde
W = 50
mm,
43.85 × 10−4
82.49 × 10−4
3.8 Exercises
Table 3.1 Computed load
point displacement vs. crack
length for test sample shown
in Fig. 3.10 with load
P = 100 N
53
a, mm
q, mm
14
6.640 × 10−4
18
8.787 × 10−4
22
12.12 × 10−4
26
17.37 × 10−4
30
29.75 × 10−4
34
43.85 × 10−4
38
82.49 × 10−4
Fig. 3.10 FEM mesh for
Fig. 3.11 To prove that J is
semi-circular test specimen.
path independent letPalautus viimeistään torstain
palautusharjoituksissa.
Outline5.11.2015
of sample is shown in
Γ = Γ1 − Γ2 + Γ (+) + Γ (−)
dashed lines. Deformed shape
mesh shown in solid
Tähän kotitehtäväsarjaan liittyväand
neuvontaharjoitus
maanantaina 19.10.2015 ja 2.11.2015 klo
lines. Displacement is
14.15-16.00.
magnified greatly
5. Directly calculate the relation between the J -integral and KIII for anti-plane
shear. You can, for example, choose a circular path around the crack tip and
then simply substitute the asymptotic anti-plane shear fields into J . Extension:
Instead of using the asymptotic fields, use the general expression (either the seFig. 3.11 To prove that J is
ries expansion, Eq. (2.23) or the full-field solution, Eq. (2.33))
and show that the
path independent let
1
Double
Beam
addition of the higher
order Cantilever
terms does not
change the value Γof=JΓ. 1 − Γ2 + Γ (+) + Γ (−)
6. Calculate the J integral for the double cantilever beam specimen shown
in Fig. 3.4.
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 2. kotiteht. 6.10.2015
2