Download Report

Lause 1.34. Olkoot P ja Q lauseita. P ⇒ Q silloin ja vain silloin kun
P → Q on tautologia.
Todistus. Olkoon ensin P ⇒ Q. Silloin Q on tosi, jos P on tosi. Propositio
P → Q on epätosi vain siinä tapauksessa, että P on tosi ja Q on epätosi.
Mutta tällaista tapausta ei tule, koska jos P on tosi, niin Q on tosi. Siten
P → Q on aina tosi.
Olkoon sitten P → Q tautologia. Silloin kaikissa tulkinnoissa P → Q on
tosi. Siten jos tulkinnassa P on tosi, myös Q:n on oltava tosi. Tämä tarkoittaa
juuri, että Q on P :n looginen seuraus.
Esimerkki 1.35. Lause p∨q on lauseen p∧q looginen seuraus esimerkin 1.21
mukaan. Silloin p∧q → p∨q on tautologia. Tämä voit tarkistaa totuustaulun
avulla.
Esimerkki 1.36. Lause Q = (p ∨ q) ∨ r ei ole lauseen P = p → (q →
r) looginen seuraus. Esimerkissä 1.22 todettiin, että totuustaulun, jossa on
muuttujat p, q ja r, ensimmäisellä rivillä P on tosi ja Q on epätosi. Sillä
rivillä lause P → Q on siten epätosi ja P → Q ei voi olla tautologia.
Lause 1.37. Olkoot P ja Q lauseita. P ≡ Q silloin ja vain silloin kun P ↔ Q
on tautologia.
Todistus. Olkoon ensin P ≡ Q. Silloin lauseiden P ja Q totuusarvot ovat
samat kaikissa tulkinnoissa. Siten lauseen P ↔ Q totuustaulun jokaisella
rivillä P :llä ja Q:lla on samat totuusarvot. Tämä tarkoittaa, että P ↔ Q on
tosi kaikissa tulkinnoissa.
Olkoon sitten P ↔ Q tautologia. Silloin P ↔ Q on tosi kaikissa tulkinnoissa. Siten lauseilla P ja Q on samat totuusarvot kaikissa tulkinnoissa.
Tämä tarkoittaa, että P ja Q ovat loogisesti ekvivalentit.
Esimerkki 1.38. Esimerkissä 1.18 todettiin lauseet P = ¬(p → q) ja
Q = p ∧ ¬q loogisesti ekvivalenteiksi. Niinpä P ↔ Q eli ¬(p → q) ↔ p ∧ ¬q
on tautologia.
Seuraavan lauseen todistus on harjoitustehtävä.
Lause 1.39.
1. Aina P ≡ P .
2. Jos P ≡ Q, niin Q ≡ P .
14
3. Jos P ≡ Q ja Q ≡ R, niin P ≡ R.
4. Jos P ≡ Q niin ¬P ≡ ¬Q, P ∧ R ≡ Q ∧ R, P ∨ R ≡ Q ∨ R, P →
R ≡ Q → R, R → P ≡ R → Q ja P ↔ R ≡ Q ↔ R.
Lauseen ykköskohdan mukaan lause on ekvivalentti itsensä kanssa. Kakkoskohta ilmaisee ekvivalenssin symmetrisyyden. Kolmoskohdan avulla ekvivalensseja voi ketjuttaa peräkkäin. Neloskohdan mukaan taas lauseen totuusarvot pysyvät samoina, kun lauseen osalause korvataan ekvivalentilla
osalauseella.
Esimerkki 1.40. Esimerkiksi totuustaululla nähdään, että p ∨ p ≡ p ja
p ∧ p ≡ p. Siten kakkoskohdan mukaan p ≡ p ∧ p ja kolmoskohdasta sitten
yhdistämällä p ∨ p ≡ p ja p ≡ p ∧ p saadaan p ∨ p ≡ p ∧ p. Ketjuna tämä on
p ∨ p ≡ p ≡ p ∧ p.
Esimerkki 1.41. Koska P ∨ P ≡ P , niin neloskohdan mukaan (P ∨ P ) →
Q ≡ P → Q.
Esimerkki 1.42. Esimerkin 1.18 mukaan ¬(P → Q) ≡ P ∧¬Q. Sijoitetaan
tässä ekvivalenssissa ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q lauseen P tilalle P ∧ ¬Q. Silloin
saadaan
¬(P ∧ ¬Q → Q) ≡ (P ∧ ¬Q) ∧ ¬Q.
Esimerkki 1.43. Totuustauluilla voi huomata, että P ∧ P ↔ P ja (P ∧
Q) ∧ R ↔ P ∧ (Q ∧ R) ovat tautologioita. Siispä P ∧ P ≡ P ja (P ∧ Q) ∧
R ≡ P ∧ (Q ∧ R). Esimerkin 1.18 mukaan ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q. Näistä
ekvivalensseista saadaan yhdistämällä seuraava ketju:
¬(P ∧ ¬Q → Q) ≡ (P ∧ ¬Q) ∧ ¬Q ≡ P ∧ (¬Q ∧ ¬Q) ≡ P ∧ ¬Q.
Ensimmäinen ekvivalenssi tulee esimerkistä 1.42.
1.5
Tärkeitä ekvivalensseja
Tärkeitä ekvivalensseja ovat seuraavat:
15
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
P ≡P
¬(¬P ) ≡ P
P ∨P ≡P
P ∨Q≡Q∨P
P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R
P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q
P ∨⊥≡P
P ∨ ¬P ≡ ⊤
P → Q ≡ ¬P ∨ Q
P ∧P ≡P
P ∧Q≡Q∧P
P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R
P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
P ∧⊤≡P
P ∧ ¬P ≡ ⊥
P ↔ Q ≡ (P → Q) ∧ (Q → P )
Näillä laeilla on omia nimiään.
(1) Identiteetin laki: jokainen lause on ekvivalentti itsensä kanssa.
(2) Kaksoisnegaatio: parillinen määrä negaatioita kumoutuu.
(3) Idempotenssi: toistoa ei tarvita.
(4) Kommutatiivisuus (vaihdantalait): sama laki on voimassa myös lukujen
yhteen- ja kertolaskulle, 2 + 3 = 3 + 2.
(5) Assosiatiivisuus (liitäntälait): sama laki on voimassa myös lukujen yhteenja kertolaskulle, 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4. Tämän lain ansiosta sulkuja ei
tarvita peräkkäisille disjunktioille ja konjunktioille, P ∨Q∨R tarkoittaa
siten molempia P ∨ (Q ∨ R) ja (P ∨ Q) ∨ R.
(6) Distributiivisuus (osittelulait): laeista vain toinen on voimassa luvuille,
nimittäin 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4.
(7) De Morganin lait osoittavat, miten negaatio vaikuttaa disjunktioon ja
konjunktioon.
(8) ⊥ ei vaikuta disjunktioon eikä ⊤ konjunktioon.
(9) kielletyn kolmannen laki ja kielletyn ristiriidan laki
16
(10) Implikaatio ja ekvivalenssi voidaan ilmaista pelkkien negaation, konjunktion ja disjunktion avulla.
Huomaa, että monet ekvivalenssit on esitetty pareittain, esimerkiksi kommutatiivisuusekvivalensseista ensimmäinen koskee disjunktiota ja toinen konjunktiota. Tällaista paria ekvivalenssille sanotaan duaaliksi. Lauseen duaali
saadaan vaihtamalla disjunktiot ja konjunktiot keskenään ja loogiset vakiot
keskenään.
1.6
Todistamismenetelmiä matematiikassa
Katsotaanpa tyypillistä lausetta matematiikassa todistuksineen. Alussa on
yleensä määritelmä.
Määritelmä 1.44. Kokonaisluku m on parillinen, jos m on muotoa m = 2k,
missä k on jokin kokonaisluku.
Määritelmä sanoo, mitä tarkoittaa, että kokonaisluku on parillinen. Sana
‘parillinen’ on kursivoitu, koska halutaan määritellä parillinen kokonaisluku,
eikä esimerkiksi pelkkää kokonaislukua. Tavallaan on kyse sanasta sanakirjassa, jossa sanotaan, mitä mikäkin sana tarkoittaa.
Lause 1.45. Olkoot m ja n kokonaislukuja. Jos (P) m ja n ovat parillisia,
niin (Q) m + n on parillinen.
Todistus. (P ) Koska m ja n ovat parillisia, niin ne ovat kahdella jaollisia.
(P1 ) Silloin ne voidaan kirjoittaa muodossa m = 2k ja n = 2ℓ, missä k ja ℓ
ovat joitakin kokonaislukuja. (P2 ) Nyt m + n on 2k + 2ℓ, joka puolestaan on
2(k + ℓ). (Q) Tästä nähdään, että m + n on myös parillinen.
Lauseessa sanotaan ensin, mistä yleensä puhutaan: kokonaisluvuista. Sitten lauseessa on annettu oletus: P = ‘m ja n ovat parillisia’. Lopuksi on
annettu väite: Q = ‘m + n on parillinen’. Lause on siis muotoa P → Q.
Todistuksessa puolestaan on aloitettu oletuksella P . Sitten on katsottu, mitä
P tarkoittaa. Koska meillä on kaksi parillista kokonaislukua, täytyy kummallekin kokonaisluvulle m ja n antaa oma k, toisen k:ta on merkitty ℓ:llä.
Seuraavaksi on siirrytty tutkimaan lukua m+n, laskettu normaalisti ja saatu
myös m + n parilliseksi. Lopussa on siis päästy väitteeseen Q. Todistus on
valmis.
17
Kyseessä on suora todistus. Oletuksesta P on johdettu ensin apulause P1 ,
josta on johdettu apulause P2 ja siitä on johdettu Q. Kyseessä on siis ketju
P ⇒ P1 ⇒ P2 ⇒ Q.
Suorassa todistuksessa P ⇒ Q lähdetään aina oletuksesta P ja saavutaan
mahdollisten apuväitteiden kautta väitteeseen Q:
P ⇒ P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Q.
Epäsuorassa todistuksessa käytetään hyväksi ekvivalenssia
P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P.
Kun halutaan todistaa P ⇒ Q, niin todistetaankin ¬Q ⇒ ¬P . Tällöin
väitteen Q negaatiota ¬Q sanotaan vastaoletukseksi. Epäsuora todistus on
toisinaan helpompi kuin suora todistus ja joskus jopa ainoa mahdollinen.
Seuraava lause on todistettu epäsuorasti.
Lause 1.46. Olkoon m kokonaisluku. Jos (P ) m + 6 on parillinen, niin (Q)
m on parillinen.
Todistus. Jos (¬Q) m ei ole parillinen, niin (R1 ) m on muotoa m = 2k + 1,
missä k on kokonaisluku. Silloin (R2 ) m + 6 on 2k + 1 + 6, joka on sama kuin
2(k + 3) + 1. Mutta (R3 ) 2(k + 3) + 1 ei ole parillinen. Siten (¬P ) m + 6 ei
olekaan parillinen.
Tässä oletus P on ‘m + 6 on parillinen’ ja väite Q on ‘m on parillinen’.
Vastaoletus ¬Q on ‘m ei ole parillinen’. Tästä on nyt tarkoitus päätellä ¬P
eli ‘m + 6 ei ole parillinen’. Tämä onnistuukin apuvaiheiden R1 , R2 ja R3
avulla. Tavallisesti apuvaiheille ei tietenkään anneta nimiä.
1.7
Disjunktiiviset ja konjunktiiviset normaalimuodot
Jokainen propositio voidaan kirjoittaa muodossa, jossa käytetään vain konnektiiveja ¬, ∨ ja ∧. Näitä muotoja käytetään mm. elektronisten piirien
suunnittelussa. Niiden avulla voidaan myös helposti vertailla propositioita:
riittää, kun propositiot muutetaan normaalimuotoon, ja jos ne ovat ekvivalentit, ne ovat täsmälleen samat.
Merkitään jälleen propositiomuuttujia kirjaimilla p, q, r, . . . Jos niitä tarvitaan enemmän, käytetään yleensä alaindeksejä: p1 , p2 , p3 , . . .
18
Määritelmä 1.47.
• Literaali on propositiomuuttuja (p) tai propositiomuuttujan negaatio (¬p).
• Literaalien L1 , L2 , . . . , Ln alkeiskonjunktio on L1 ∧ L2 ∧ · · · ∧ Ln .
• Literaalien L1 , L2 , . . . , Ln alkeisdisjunktio on L1 ∨ L2 ∨ · · · ∨ Ln .
Piirretään alkeiskonjunktion L1 ∧ L2 ∧ · · · ∧ Ln ja alkeisdisjunktion L1 ∨
L2 ∨ · · · ∨ Ln puumuodot:
∧
L1
∨
...
L2
Ln
L1
L2
...
Ln
Jätetään jatkossa negaatiot samaan tasoon propositiomuuttujien kanssa, jotta literaalit ovat aina samassa tasossa. Silloin kaikki alkeiskonjuktiot ja alkeisdisjunktiot ovat aina yhden korkuisia puita.
Esimerkki 1.48.
• Literaaleja ovat q, p5 , ¬r, ¬p1 .
• Alkeiskonjunktioita ovat r∧q∧p, q∧¬q, ¬p3 ∧p2 , ¬r. Näiden puumuodot
ovat alla.
∧
r
q
∧
p
q
∧
¬q
p2
¬p3
¬r
• Alkeisdisjunktioita ovat r∨p∨q, q∨¬q, ¬p3 ∨p2 , ¬r. Näiden puumuodot
ovat alla.
∨
r
p
∨
q
q
∨
¬q
¬p3
p2
¬r
Huomautus 1.49. Jos alkeiskonjunktiossa tai -disjunktiossa n = 1, niin
siinä on vain yksi literaali: L1 . Siten literaali yksinään on sekä alkeiskonjunktio että alkeisdisjunktio, kuten edellisen esimerkin ¬r.
Huomautus 1.50. Jos alkeiskonjunktiossa tai -disjunktiossa n = 0, niin
siinä ei ole yhtään literaalia. Sovitaan silloin, että L1 ∧ L2 ∧ · · · ∧ Ln = ⊤ ja
L1 ∨ L2 ∨ · · · ∨ Ln = ⊥.
19
Määritelmä 1.51. Propositio on disjunktiivisessa normaalimuodossa (DNmuodossa), jos se on alkeiskonjunktioiden disjunktio. Propositio on konjunktiivisessa normaalimuodossa (KN-muodossa), jos se on alkeisdisjunktioiden
konjunktio.
Siispä DN-muotoisen proposition ylin konnektiivi on disjunktio ja KNmuotoisen konjunktio. Lisäksi normaalimuodossa olevan proposition puumuoto on enintään kahden korkuinen.
Esimerkki 1.52. Propositio (p ∧ ¬q) ∨ (¬r ∧ q ∧ ¬p) ∨ p on DN-muodossa.
∨
∧
p
¬p
∧
¬q
q
¬r
¬p
Esimerkki 1.53. Propositio (¬r ∨ p) ∧ (r ∨ q ∨ ¬p ∨ ¬q) on KN-muodossa.
∧
∨
∨
p r
¬r
q
¬p
¬q
Huomautus 1.54. Koska literaali L1 yksinään on sekä alkeiskonjunktio
että alkeisdisjunktio, niin literaaleista muodostetut disjunktiot ja konjunktiot ovat DN- ja KN-muodossa.
Esimerkki 1.55. Propositiot p ∨ q ∨ ¬r ja ¬p ∧ r ∧ ¬q ovat DN- ja KNmuodossa.
∨
p
q
∧
¬r
¬p
r
¬q
Esimerkki 1.56. Propositiot ¬(p ∨(q ∧¬r) ja q ∧(p → r) ja p ∨(q ∧(r ∨¬q))
eivät ole DN- eivätkä KN-muodossa.
20
¬
∨
∨
p
q
∧
q
p
∧
q
→
p
¬r
∧
r
∨
r
¬q
Ensimmäisessä ¬ on ulompana kuin ∨, toisessa esiintyy →, ja kolmas on liian
korkea.
Propositio voidaan muuttaa tarvittaessa DN- tai KN-muotoon, joka on
loogisesti ekvivalentti alkuperäisen kanssa, “sieventämällä” se käyttäen tunnettuja ekvivalensseja.
Esimerkki 1.57. Proposition ¬(p ∨ (q ∧ ¬r) liian ylhäällä oleva negaatio
voidaan siirtää alemmaksi käyttäen De Morganin sääntöjä.
¬(p ∨ (q ∧ ¬r) ≡ ¬p ∧ ¬(q ∧ ¬r)
≡ ¬p ∧ (¬q ∨ ¬(¬r)) ≡ ¬p ∧ (¬q ∨ r))
¬
∧
∨
p
¬p
¬
∧
q
∧
∧
¬r
=⇒
q
¬p
¬r
=⇒
∨
¬q
r
Nyt propositio ¬p ∧ (¬q ∨ r)) on KN-muodossa.
Esimerkki 1.58. Proposition q ∧ (p → r) implikaatio → voidaan muuttaa
negaatioksi ja disjunktioksi ja käyttää tarvittaessa De Morganin sääntöjä.
q ∧ (p → r) ≡ q ∧ (¬p ∨ r)
Nyt propositio on KN-muodossa. Jos tarvitaan DN-muoto, voidaan käyttää
distributiivisuuslakia.
q ∧ (¬p ∨ r) ≡ (q ∧ ¬p) ∨ (q ∧ r)
21
Esimerkki 1.59. Distributiivisuuslakia käyttämällä saadaan propositio p ∨
(q ∧ (r ∨ ¬q)) KN-muotoon.
p ∨ (q ∧ (r ∨ ¬q)) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ (r ∨ ¬q))
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ∨ ¬q)
Miten sitten mikä vain propositio saadaan DN-muotoon? Seuraavan lauseen
todistus antaa keinon.
Lause 1.60. Jokainen propositio on ekvivalentti disjunktiivisessa normaalimuodossa olevan proposition kanssa.
Todistus. Oletetaan, että propositiossa P esiintyy vain propositiomuuttujat
p1 , p2 , . . . , pn . Haluamme kirjoittaa proposition P DN-muotoon.
Kirjoitetaan proposition P totuustaulu. Jos P on epätosi kaikilla riveillä,
niin P :n DN-muoto on ⊥. (Miksi tämä todellakin on DN-muoto?) Muuten
P on tosi ainakin yhdellä totuustaulun rivillä.
Olkoon nyt α tulkinta, joka vastaa riviä, jolla P on tosi. Jos propositiomuuttuja pi on tosi tulkinnassa α, niin merkitään Li = pi . Jos taas pi
on epätosi tulkinnassa α, merkitään Li = ¬pi . Kummassakin tapauksessa
literaali Li on tosi tulkinnassa α.
Muodostetaan alkeiskonjunktio ϕα = L1 ∧ L2 ∧ · · · ∧ Ln . Tämä alkeiskonjunktio on tosi tulkinnassa α, koska jokainen Li on tosi tulkinnassa α.
Lisäksi vielä α on ainoa tulkinta, jossa ϕα on tosi, sillä muissa tulkinnoissa
jollakin propositiomuuttujista pi on vastakkainen totuusarvo, jolloin Li eikä
ϕα olekaan enää tosi.
Käydään sitten kaikki totuustaulun ne rivit α1 , α2 , . . . , αn läpi, joissa
propositio P on tosi, ja muodostetaan vastaavat alkeiskonjunktiot ϕα1 , ϕα2 ,
. . . , ϕαn . Muodostetaan näiden alkeiskonjunktioiden disjunktio ϕ = ϕα1 ∨
ϕα2 ∨· · ·∨ϕαn . Nyt ϕ on DN-muodossa. Lisäksi se on tosi kaikissa tulkinnoissa
αj , joissa propositio P on tosi. Kuitenkaan ϕ ei ole tosi tulkinnoissa, joissa
P ei ole tosi, koska silloin jonkin alkeiskonjunktioista ϕαj pitäisi olla tosi ja
tämä alkeiskonjunktio on tosi vain tulkinnassa αj , jossa P :kin on tosi. Siispä
ϕ ≡ P ja ϕ on DN-muodossa.
Seuraavassa esimerkissä on kolme propositiomuuttujaa p, q ja r muuttujien p1 , p2 ja p3 tilalla.
Esimerkki 1.61. Muodostetaan proposition P = (p → q) ↔ (¬p ∧ r) DNmuoto. Kirjoitetaan ensin proposition P totuustaulu.
22
α
0
1
2
3
4
5
6
7
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r p → q ¬p ¬p ∧ r P
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
Ne rivit, joilla P on tosi, ovat 1, 3, 4 ja 5. Muodostetaan vastaavat alkeiskonjunktiot. Rivillä 1 on tulkinta α1 , jossa propositiot p ja q ovat epätosia ja r
tosi. Silloin vastaavat literaalit ovat L1 = ¬p, L2 = ¬q ja L3 = r ja vastaava
alkeiskonjunktio ϕα1 on L1 ∧ L2 ∧ L3 = ¬p ∧ ¬q ∧ r. Huomaa, että todellakin
tulkinnassa α1 kaikki lauseet L1 , L2 , L3 ja ϕα1 ovat tosia. Samalla tavalla
nähdään
ϕα3 = ¬p ∧ q ∧ r,
ϕα4 = p ∧ ¬q ∧ ¬r,
ϕα5 = p ∧ ¬q ∧ r
vastaten totuustaulun rivejä 011, 100 ja 101.
Lopuksi muodostetaan DN-muoto yhdistämällä äskeiset neljä alkeiskonjunktiota disjunktiolla ja saadaan
ϕ = (¬p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r).
Totuustaulun avulla voi tarkistaa, että todellakin ϕ ≡ P .
Jokainen propositio voidaan muuntaa myös KN-muotoon.
Lause 1.62. Jokainen propositio on ekvivalentti konjunktiivisessa normaalimuodossa olevan proposition kanssa.
Todistus. Haluamme etsiä proposition P KN-muodon. Lisätään ensin proposition P eteen negaatio, saadaan ¬P . Muunnetaan sitten ¬P DN-muotoon.
Se onnistuu edellisen todistuksen menetelmän avulla. Jos tämä DN-muoto
on ψ, niin ψ ≡ ¬P . Silloin P ≡ ¬ψ. Vielä ¬ψ ei ole KN-muodossa, sillä negaatio on liian korkealla vastaavassa puumuodossa. Käytämme De Morganin
kaavoja ja siirrämme negaatiota alemmaksi.
Koska ψ on DN-muodossa, se on joidenkin alkeiskonjunktioiden ψ1 , ψ2 ,
. . . , ψm disjunktio ψ1 ∨ ψ2 ∨ · · · ∨ ψm . De Morganin kaavalla
¬ψ = ¬(ψ1 ∨ ψ2 ∨ · · · ∨ ψm ) ≡ ¬ψ1 ∧ ¬ψ2 ∧ · · · ∧ ¬ψm .
23
Koska taas alkeiskonjunktio ψi on joidenkin literaalien L1 , L2 , . . . , Lk konjunktio L1 ∧ L2 ∧ · · · ∧ Lk , sen negaatio voidaan taas käsitellä De Morganin
kaavalla.
¬ψ = ¬(L1 ∧ L2 ∧ · · · ∧ Lk ) ≡ ¬L1 ∨ ¬L2 ∨ · · · ∨ ¬Lk
Literaali L puolestaan on propositiomuuttuja p tai sen negaatio ¬p. Jos L
on pelkkä muuttuja, sen negaatio jätetään sellaisekseen, mutta jos L = ¬p,
niin ¬L = ¬(¬p) ≡ p kaksoisnegaation lain mukaan.
Näin ¬ψ on muunnettu ekvivalenttiin KN-muotoon. Samalla KN-muoto
on ekvivalentti proposition P kanssa.
Esimerkki 1.63. Muunnetaan propositio P = (p∨r) ↔ (q∨r) KN-muotoon.
Tehdään ensin totuustaulu propositiolle P ja lisätään siihen vielä yksi sarake
negaatiolle ¬P .
α
0
1
2
3
4
5
6
7
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r p∨r q∨r P
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
¬P
0
0
1
0
1
0
0
0
Proposition ¬P DN-muodossa
ψ = (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r)
on kaksi alkeiskonjunktiota, jotka vastaavat totuustaulun rivejä 2 ja 4. DNmuodosta otetaan negaatio ja sovelletaan De Morganin kaavoja:
P ≡ ¬ψ = ¬((¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r))
≡ ¬(¬p ∧ q ∧ ¬r) ∧ ¬(p ∧ ¬q ∧ ¬r)
≡ (¬(¬p) ∨ ¬q ∨ ¬(¬r)) ∧ (¬p ∨ ¬(¬q) ∨ ¬(¬r))
≡ (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬p ∨ q ∨ r).
Näemme, että proposition P KN-muodossa on kaksi alkeisdisjunktiota, jotka
vastaavat niitä kahta riviä totuustaulussa, joissa P oli epätosi.
24
Esimerkki 1.64. Jatketaan esimerkkiä 1.61 ja muunnetaan propositio P =
(p → q) ↔ (¬p ∧ r) KN-muotoon. Lisätään proposition P totuustauluun
sarake propositiota ¬P varten.
α
0
1
2
3
4
5
6
7
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r p → q ¬p ¬p ∧ r P
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
¬P
1
0
1
0
0
0
1
1
Proposition ¬P DN-muoto on
¬P ≡ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ q ∧ r).
Tällöin De Morganin kaavoilla saadaan
P ≡ ¬((¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ q ∧ r))
≡ (p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r).
Proposition konjunktiivinen normaalimuoto voidaan ajatella sitä kautta,
millä tulkinnoilla propositio on epätosi. Jotta konjunktiivinen normaalimuoto olisi epätosi, niin jokaisen alkeiskonjunktion pitää olla epätosi, ja yksi alkeiskonjunktio on epätosi vain yhdellä tulkinnalla. Täten tällä menetelmällä
saadaan proposition KN-muotoon yhtä monta alkeiskonjunktiota kuin sen
totuustaulussa epätosia rivejä.
1.8
Kanoniset normaalimuodot
Koska disjunktio ja konjunktio ovat kommutatiiviset, normaalimuodot p∧q ja
q∧p ovat ekvivalentit. Kahden normaalimuodon vertailu toisiinsa on helpompaa, kun propositiot on järjestetty aakkosjärjestykseen tai indeksiensä mukaan nousevaan järjestykseen. Vielä alkeiskonjunktioiden paikkaa normaalimuodossa voidaan vaihtaa. Kun järjestetään nämäkin totuustaulun mukaiseen järjestykseen sen mukaan, mitä tulkintaa ne edustavat totuustaulussa,
saadaan jokaiselle propositiolle yksikäsitteinen muoto. Näitä muotoja sanotaan kanonisiksi.
25
Kanoniset muodot auttavat propositioiden vertailussa. Vertailtavat propositiot muunnetaan ensin normaalimuotoon, ja jos ne ovat täysin samat,
alkuperäiset propositiot ovat ekvivalentit.
Proposition toteuttavassa tulkinnassa proposition totuusarvo on tosi ja
kumoavassa tulkinnassa epätosi.
Määritelmä 1.65. Olkoot p1 , p2 , . . . , pn propositiossa P esiintyvät muuttujat. Propositio P on kanonisessa disjunktiivisessa normaalimuodossa (KDNmuodossa), kun
• jokaisessa alkeiskonjunktiossa propositiomuuttujat esiintyvät järjestyksessä
p1 , p2 , . . . , pn ,
• jokaisessa alkeiskonjunktiossa propositiomuuttujat p1 , p2 , . . . , pn esiintyvät kukin tasan yhden kerran,
• jokainen alkeiskonjunktio esiintyy enintään yhden kerran,
• alkeiskonjunktiot on lueteltu siinä järjestyksessä, missä niiden toteuttavat tulkinnat esiintyvät totuustaulussa.
Määritelmä 1.66. Olkoot p1 , p2 , . . . , pn propositiossa P esiintyvät muuttujat. Propositio P on kanonisessa konjunktiivisessa normaalimuodossa (KKNmuodossa), kun
• jokaisessa alkeisdisjunktiossa propositiomuuttujat esiintyvät järjestyksessä
p1 , p2 , . . . , pn ,
• jokaisessa alkeisdisjunktiossa propositiomuuttujat p1 , p2 , . . . , pn esiintyvät kukin tasan yhden kerran,
• jokainen alkeisdisjunktio esiintyy enintään yhden kerran,
• alkeisdisjunktiot on lueteltu siinä järjestyksessä, missä niiden kumoavat
tulkinnat esiintyvät totuustaulussa.
Lauseiden 1.60 ja 1.62 todistusten antamat menetelmät tuottavat suoraan
kanoniset normaalimuodot.
Esimerkki 1.67.
• Propositio (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) on KDN-muodossa.
• Propositio (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) on KKN-muodossa.
26
• Sen sijaan propositio (q ∨ p) ∧ (¬p ∨ q) on konjunktiivisessa normaalimuodossa, mutta ei kanonisessa, sillä q ja p eivät ole ensimmäisessä
alkeisdisjunktiossa oikeassa järjestyksessä.
• Myöskään (p ∧ q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) ei ole kanonisessa muodossa, sillä
muuttuja q esiintyy kahdesti ensimmäisessä alkeiskonjunktiossa.
• Vielä (p∧q ∧r)∨(p∧¬q) on disjunktiivisessa normaalimuodossa, mutta
ei kanonisessa, sillä jälkimmäisestä alkeiskonjunktiosta puuttuu r.
• Myöskään (p∧q)∨(¬p∧q) ei ole KDN-muodossa, sillä alkeiskonjunktiot
ovat väärässä järjestyksessä: ensimmäisen alkeiskonjunktion toteuttaa
totuustaulun viimeinen rivi (11) ja toisen totuustaulun toinen rivi (01).
• Lopulta (¬p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q) ei ole KKN-muodossa, sillä alkeisdisjunktiot ovat väärässä järjestyksessä: ensimmäisen alkeisdisjunktion kumoaa totuustaulun viimeinen rivi (11) ja toisen totuustaulun toinen rivi
(10).
1.9
Predikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikka on propositiologiikan laajennus. Predikaateissa voi esiintyä muuttujia, joita propositioissa ei ollut. Tämän vuoksi predikaattilogiikalla voidaan ilmaista enemmän kuin propositiologiikalla. Propositioilla voidaan
tietyssä mielessä ilmaista vain äärellinen määrän väitteitä, kun taas predikaateilla voidaan puhua äärettömän monista yksilöistä ja väitteistä.
Tarvitsemme seuraavia symboleja.
• predikaattisymbolit P , Q, R, . . .
• yksilömuuttujat x, y, z, . . .
• yksilövakioita a, b, c, . . .
Tarvittaessa symbolit voidaan myös indeksoida.
Predikaatti eli avoin lause on väite, jonka totuusarvo riippuu muuttujasta.
Predikaatteja on
• yksipaikkaisia, P (x),
• kaksipaikkaisia P (x, y),
27
• kolmipaikkaisia P (x, y, z),
• useampipaikkaisia P (x1 , x2 , . . . , xn ).
Esimerkki 1.68. Kun tulkitaan predikaatti P (x) lauseella ‘x on koira’ ja
yksilövakio a yksilöllä Aaro, voidaan sanoa ‘Aaro on koira’ lyhyesti P (a). Jos
haluamme sanoa, että ‘Aaro ei ole koira’, riittää laittaa propositiologiikan
negaatio eteen: ¬P (a).
Esimerkki 1.69. Tulkitaan predikaatti P (x) lauseeksi ‘x on parillinen’. Nyt
P (8) on tosi lause ja P (7) epätosi.
Yksilömuuttujat eivät yleensä voi saada mitä tahansa arvoja: esimerkissä
1.68 muuttuja x voi saada arvokseen eläimen ja esimerkissä 1.69 muuttuja x
voi saada vain kokonaislukuarvoja, jotta predikaatti P (x) on mielekäs. Usein
siis joudutaan erikseen mainitsemaan joukko, ns. perusjoukko, jonka arvoja
muuttujat x, y, z jne. voivat saada.
Yksipaikkainen predikaatti kuvaa ominaisuutta. Predikaatti P (x) voidaan
lukea myös ‘x:llä on ominaisuus P ’. Ensimmäisessä esimerkissä eläimen ominaisuus oli olla koira ja toisessa luvun parillisuus. Kaksipaikkaiset ja useampipaikkaiset predikaatit taas kuvaavat suhteita.
Esimerkki 1.70. Tulkitaan predikaatti P (x, y) lauseella ‘x on nopeampi
kuin y’. Jos vakio b tarkoittaa Boltia ja g Gatliniä, niin lause P (b, g) tarkoittaa ‘Bolt on nopeampi kuin Gatlin’. Lause
P (x, y) ∧ P (y, z) → P (x, z)
tarkoittaa, että ‘jos P (x, y) ja P (y, z), niin P (x, z)’, auki kirjoitettuna ‘jos x
on nopeampi kuin y ja y on nopeampi kuin z, niin x on nopeampi kuin z’.
Kaksipaikkainen predikaatti P (x, y) kuvaa x:n ja y:n suhdetta; P (x, y)
tarkoittaa ‘x ja y ovat suhteessa P ’. Edellisessä esimerkissä suhde on keskinäinen nopeusero: x on nopeampi kuin y.
Esimerkki 1.71. Tulkitaan predikaatti P (x, y, z) lauseeksi ‘x:n opiskelijanumero on y ja opintopistemäärä z’. Tällöin x voi saada arvoja vain opiskelijoiden joukosta, y opiskelijanumeroiden joukosta ja opintopistemäärä kokonaislukujen joukosta. Predikaatin kaikkien muuttujien ei siis tarvitse olla
samaa tyyppiä.
28
Kun kootaan kaikki paikkansa pitävät kolmikot, esimerkiksi
P (alena, 211, 35),
P (bram, 423, 3),
P (dawson, 332, 100), . . .
saadaan tietokanta.
Esimerkki 1.72. Ajatellaan x, y ja z kokonaisluvuiksi. Tulkitaan predikaatti
P (x, y, z) lauseeksi ‘x + y = z’. Nyt lauseet P (1, 2, 3) ja P (3, 0, 3) ovat tosia,
ja lause P (0, 1, 0) epätosi. Esimerkiksi vaihdantalaki x + y = y + x voidaan
ilmaista muodossa
P (x, y, z) ↔ P (y, x, z).
Tässä jos x + y on z, niin y + x on myös z, ja päinvastoin.
Kvanttorit
Avoimen lauseen P (x) totuusarvo riippuu siis muuttujan arvosta. Kun muuttujan paikalle sijoitetaan vakio, saadaan lauseelle totuusarvo ja lause muuttuu silloin suljetuksi. Esimerkissä 1.69 muuttujan x paikalle sijoitettiin vakio
8, ja lauseelle P (8) saatiin totuusarvo tosi.
Toinen tapa sulkea lause on sijoittaa sen eteen kvanttori. Oletetaan, että
P (x) on predikaatti ja muuttuja x voi saada minkä tahansa perusjoukon
arvon. Jos haluamme sanoa, että P (x) on totta millä tahansa x:n arvolla,
kirjoitamme
(∀x) P (x).
Tämä luetaan ‘kaikilla x:illä on voimassa P (x)’ tai ‘kaikilla x:illä on ominaisuus P ’. Symboli ∀ on kaikkikvanttori eli universaalikvanttori.
(Jos haluamme korostaa joukkoa X, josta muuttuja x voi saada arvoja,
merkitään (∀x ∈ X) P (x).)
Esimerkki 1.73. Annetaan muuttujien x saada kokonaislukuarvoja ja tulkitaan P (x) lauseeksi x + 0 = x. Silloin lause (∀x) P (x) tarkoittaa ‘kaikilla
luvuilla x on voimassa, että x + 0 = x’ ja sen totuusarvo on tosi.
Esimerkki 1.74. Saakoot jälleen muuttujat kokonaislukuarvoja. Tulkitaan
P (x) lauseeksi x > 2. Nyt lause (∀x) P (x) tarkoittaa ‘kaikki kokonaisluvut
x toteuttavat epäyhtälön x > 2’ tai ‘kaikki kokonaisluvut ovat suurempia
kuin kaksi’. Tämä lause ei ole totta, nimittäin 1 on kokonaisluku, eikä se ole
suurempi kuin 2.
29
Kaikkikvanttorilla suljettu lause on yleensä vaikeampi näyttää todeksi
kuin epätodeksi: jos halutaan näyttää (∀x) P (x) todeksi, on periaatteessa
käytävä läpi kaikki mahdolliset x:n arvot ja testattava, onko niillä ominaisuus P ; sen sijaan jos halutaan näyttää (∀x) P (x) epätodeksi, riittää löytää
yksikin x:n arvo, jolla ei ole ominaisuutta P . Tällaista x:n arvoa sanotaan
vastaesimerkiksi.
Esimerkki 1.75. Tarkastellaan esimerkin 1.23 päättelyä
O1
O2
Q
Ihmiset ovat kuolevaisia.
Sokrates on ihminen.
Sokrates on kuolevainen.
Merkitään nyt predikaatilla I(x) lausetta ‘x on ihminen’, predikaatilla K(x)
lausetta ‘x on kuolevainen’ ja vakiolla s Sokratesta. Päättely voidaan kirjoittaa nyt predikaattilogiikalla seuraavasti.
O1 (∀x) (I(x) → K(x))
O2 I(s)
Q K(s)
Lause (∀x) (I(x) → K(x)) voidaan lukea ‘kaikilla x:illä jos x on ihminen,
niin x on kuolevainen’ eli sujuvammin ‘jokainen ihminen on kuolevainen’.
Jos haluamme ilmaista, että on olemassa yksilö, jolla on ominaisuus P ,
tarvitaan olemassaolokvanttoria (eli eksistenssikvanttoria) ∃. Tällöin
(∃x) P (x)
luetaan ‘on olemassa sellainen x, jolla on ominaisuus P ’.
(Jos halutaan ilmoittaa joukko X, jonka alkio x saa olla, kirjoitetaan
(∃x ∈ X) P (x). Se luetaan ‘on olemassa sellainen joukon X alkio x, jolla on
ominaisuus P ’.)
Lause (∃x) P (x) on tosi, jos on olemassa ainakin yksi x, jolla P (x) on
tosi. Lause on epätosi, jos yhtään tällaista x:ää ei ole olemassa.
Esimerkki 1.76. Tulkitaan predikaatti P (x) lauseeksi ‘x on suomalainen
nobelisti’. Silloin lause (∃x ∈ X) P (x) on tosi, sillä on olemassa suomalaisia nobelisteja, ja (∀x ∈ X) P (x) epätosi, sillä kaikki eivät ole suomalaisia
nobelisteja.
30
Esimerkki 1.77. Tulkitaan P (x) lauseeksi ‘x on parillinen’ ja x voi olla
mikä tahansa kokonaisluku. Lause (∃x ∈ X) P (x) on tosi, sillä on olemassa
parillisia kokonaislukuja.
Olemassaolokvanttori ilmaisee, että jotakin on olemassa, mutta ei ota
kantaa siihen, kuinka monta on olemassa.
Esimerkki 1.78. Tulkitaan P (x) lauseeksi ‘x on suomalainen astronautti’.
Lause (∃x) P (x) on epätosi, koska suomalaisia astronautteja ei ole (vielä)
olemassa.
Huomaa, että jos lause (∃x ∈ X) P (x) pitää näyttää todeksi, riittää
esittää x, jolla on ominaisuus P . Mutta jos lause (∃x ∈ X) P (x) pitää osoittaa epätodeksi, pitää periaatteessa käydä läpi kaikki x:t ja tarkistaa, että
millään niistä ei ole ominaisuutta P .
Esimerkki 1.79. Perusjoukkona on eläinten joukko. Merkitään
• K(x) on ‘x on kissa’,
• S(x) on ‘x pitää silakoista’,
• M(x) on ‘x pitää maidosta’.
Muodostetaan eri lauseita.
• (∀x) (K(x) → S(x) ∨ M(x)) on ‘kaikilla x:illä on voimassa, että jos
x on kissa, niin x pitää silakoista tai x pitää maidosta’, sujuvammin
sanottuna ‘jokainen kissa pitää silakoista tai maidosta’.
• (∃x)(K(x) ∧ ¬M(x)) on ‘on olemassa sellainen x, että x on kissa ja x ei
pidä maidosta’, sujuvammin ‘on olemassa kissa, joka ei pidä maidosta’.
• Jos haluamme sanoa, että on olemassa vain yksi kissa, joka ei pidä
maidosta, tarvitsemme yhtäsuuruusmerkkiä =. Voidaan ajatella, että
meillä on käytössä kaksipaikkainen predikaatti = (x, y), joka tulkitaan
lauseeksi ‘x = y’. Käytetään kuitenkin muotoa x = y, koska se on tutumpi. Nyt maidosta pitämättömän kissan yksikäsitteisyys ilmaistaan
siten, että kaikki muut kissat, merkitään y, pitävät maidosta:
(∃x) (K(x) ∧ ¬M(x) ∧ (∀y)(K(y) ∧ ¬ y = x → M(y))).
Tässä loppuosa (∀y)(K(y) ∧¬ y = x → M(y)) tarkoittaa, että jokainen
y, joka on kissa ja joka ei ole x, pitää maidosta.
31
Kannattaa panna merkille, että kaikkikvanttorin kanssa esiintyy usein
implikaatio. Tällä pystytään sopivasti rajaamaan käsiteltäviä tapauksia, joten edellisessä esimerkissä esimerkiksi koirista ei tarvitse väittää mitään. Olemassaolokvanttori yhdistetään taas usein konjunktioon. Siten voidaan esittää
olio, jolla on erilaisia tarpeellisia ominaisuuksia.
Tarkastellaan sitten kaksipaikkaisia predikaatteja.
Esimerkki 1.80. Muuttuja x voi olla mikä tahansa ihminen ja y mikä tahansa elokuvatähti. Predikaatti P (x, y) merkitsee ‘x ihailee y:tä’.
• (∀x)(∀y) P (x, y) tarkoittaa, että kaikki ihmiset ihailevat kaikkia elokuvatähtiä.
• (∃x)(∃y) P (x, y) tarkoittaa, että joku ihailee jotakin elokuvatähteä.
• (∀x)(∃y) P (x, y) tarkoittaa, että jokainen ihminen ihailee jotakin elokuvatähteä.
• (∀y)(∃x) P (x, y) tarkoittaa, että jokaista elokuvatähteä ihailee ainakin
yksi ihminen.
• (∃x)(∀y) P (x, y) tarkoittaa, että on olemassa ihminen, joka ihailee kaikkia elokuvatähtiä.
• (∃y)(∀x) P (x, y) tarkoittaa, että on olemassa elokuvatähti, jota kaikki
ihmiset ihailevat.
Huomaa siis, että kvanttorien järjestys muuttaa oleellisesti lauseen merkitystä. Analyysin kursseilla ilmennee, että kvanttorien järjestys tekee eron
esimerkiksi sarjojen suppenevuuden ja tasaisen suppenevuuden välillä.
Seuraavassa lauseessa todetaan, että negaation siirto kvanttorin edestä
sen taakse onnistuu vaihtamalla kvanttori.
Lause 1.81.
¬((∀x) P (x)) ≡ (∃x) (¬P (x))
¬((∃x) P (x)) ≡ (∀x) (¬P (x)).
Todistus. Oletetaan ensin ¬((∀x) P (x)). Silloin ei ole totta, että jokaisella
x:llä on ominaisuus P . Täytyy olla siis ainakin yksi x, jolla ei ole ominaisuutta P . Siten täytyy olla ainakin yksi x, jolla on ominaisuus ¬P . Siispä
(∃x) (¬P (x)) on tosi.
32
Oletetaan sitten, että (∃x) (¬P (x)). Silloin on olemassa sellainen x, jolle
P (x) ei ole voimassa. Siten ei ole niin, että jokaisella x:llä on P (x) voimassa.
Niinpä (∀x) P (x) on epätosi ja sen negaatio ¬(∀x) P (x) on tosi.
Esimerkki 1.82.
¬(∀x)(∃y)P (x, y) ≡ (∃x)¬(∃y)P (x, y) ≡ (∃x)(∀y)¬P (x, y).
Esimerkki 1.83. Osoitetaan, että lauseet
(∀x) (P (x) ∧ Q(x)) ja (∀x) P (x) ∧ (∀x) Q(x)
ovat loogisesti ekvivalentit.
Oletetaan ensin, että (∀x) (P (x) ∧ Q(x)) on totta. Silloin kaikilla x:illä on
ominaisuus P ja ominaisuus Q. Silloin kaikilla x:illä on erityisesti ominaisuus
P . Täten (∀x) P (x) on totta. Samoin kaikilla x:illä on erityisesti ominaisuus
Q. Täten (∀x) Q(x) on totta. Niinpä konjunktio (∀x) P (x) ∧ (∀x) Q(x) on
totta.
Oletetaan sitten, että (∀x) P (x)∧(∀x) Q(x) on totta. Erityisesti (∀x) P (x)
on totta. Siten kaikilla x:illä on ominaisuus P . Koska myös (∀x) Q(x) on totta, kaikilla x:illä on ominaisuus Q. Yhteenvetona kaikilla x:illä on ominaisuus
P ja ominaisuus Q. Siten (∀x) (P (x) ∧ Q(x)) on totta.
Esimerkki 1.84. Osoita, että
(∀x)(P (x) ↔ Q(x)) ja (∀x)P (x) ↔ (∀x)Q(x)
eivät ole loogisesti ekvivalentit.
On siis keksittävä sopivat tulkinnat predikaateille P (x) ja Q(x) ja sopiva
perusjoukko, jonka arvoja muuttujat x ja y voivat saada, ja saatava toinen
lauseista todeksi ja toinen epätodeksi jos mahdollista. Valitaan perusjoukoksi
kokonaisluvut ja predikaatiksi P (x) lause x = 2 ja predikaatiksi Q(x) lause
x = 4.
Silloin lause (∀x)(P (x) ↔ Q(x)) on lause (∀x)(x = 2 ↔ x = 4) eli
kaikilla kokonaisluvuilla x joko molemmat lauseet x = 2 ja x = 4 ovat tosia
tai molemmat lauseet x = 2 ja x = 4 ovat epätosia. Tämä ei ole totta
kokonaisluvulla x = 2, sillä ensimmäisessä tapauksessa x = 4 ei ole tosi ja
toisessa x = 2 ei ole epätosi. Siten (∀x)(P (x) ↔ Q(x)) ei ole totta.
Kuitenkin (∀x) P (x) ↔ (∀x) Q(x) on totta, sillä ekvivalenssin kummatkin puolet ovat epätosia: vasen puoli (∀x) P (x) eli (∀x) x = 2 on epätosi ja
ekvivalenssin oikea puoli (∀x) Q(x) eli (∀x) x = 4 on epätosi.
33
Esimerkin tulkinnat perusjoukosta ja predikaateista P (x) ja Q(x) muodostavat mallin. Tämä malli toteuttaa lauseen (∀x) P (x) ↔ (∀x) Q(x) ja
kumoaa lauseen (∀x)(P (x) ↔ Q(x)).
Malli voitaisiin valita tässä aivan keinotekoisestikin, esimerkiksi seuraavasti. Valitaan perusjoukosta yksilövakiot a ja b ja olkoon predikaatti P (x)
on tosi vain arvolla a ja predikaatti Q(x) vain arvolla b. Siis P (a) ja Q(b)
ovat tosia ja P (b) ja Q(a) epätosia. Nyt lause (∀x)(P (x) ↔ Q(x)) ei ole tosi,
sillä P (x) ↔ Q(x) ei ole tosi, kun x = a, (koska P (a) on tosi ja Q(a) on
epätosi). Mutta lause (∀x)P (x) ↔ (∀x)Q(x) on tosi, sillä molemmat lauseet
(∀x)P (x) ja (∀x)Q(x) ovat epätosia.
Näistä kahdesta esimerkistä voidaan huomata, että kvanttorin siirtäminen
predikaattien eteen ei ole aina mahdollista niin, että lauseiden ekvivalenssi
säilyy.
Esimerkki 1.85. Onko päättely
O1
O2
Q
(∀x) (x = a ↔ A(x))
(∀x) (B(x) ∨ ¬A(x))
B(a)
pätevä?
Oletuksen O2 osalause B(x)∨¬A(x) on voimassa kaikilla x:illä, erityisesti
myös silloin, kun muuttujan x paikalle sijoitetaan a. Siten B(a) ∨ ¬A(a) on
totta. Myös oletuksen O1 osalause x = a ↔ A(x) on totta kaikilla x:illä,
erityisesti myös alkiolla a. Siten a = a ↔ A(a) on totta. Koska a = a on
totta, myös A(a) on totta. Nyt koska B(a) ∨ ¬A(a) on totta, täytyy lauseen
B(a) olla totta. Siispä päättely on pätevä.
34