1. No category

Insinöörimatematiikka A
Demonstraatio 1, 8.9.2015
Demoryhmäjako ilmoitetaan kurssin nettisivulla viikonlopun aikana. Tarkista nettisivulta mihin demoryhmään kuulut.
1. Latinalaiset aakkoset on kehitetty kreikkalaisen aakkoston pohjalta ja niinpä
käännökset
α 7→ a, β 7→ b, γ 7→ g , . . . ovat usein suoraviivaisia. Tosin kreikkaξ , θ, χ ja ψ translitteroidaan suomen kieleen yleensä
laisen aakkoston kirjaimet
konsonaattipareina ks, th, kh ja ps.
∆ιπλoυν oρωσιν oι µαθoντ ς γραµµατ α ja ∆ως
µoι πα στ ω και τ αν γαν κινασω .
Kirjoita latinalaisin aakkosin
Vastaus: Diploun orosin oi mathontes grammata (tuplasti näkevät ne jotka
osaavat kirjaimet (Pythagoras)) Dos moi pa sto kai tan gan kinaso (Antakaa
minulle jotain jonka päällä seistä, niin siirrän maata (Arkhimedes)). Translitterointi ei ole yksikäsitteinen, ja siitä puuttuvat mahdolliset aksentit.
2. Kirjoita summa
1+
käyttämällä
1
1 1 1 1
+ + + + ... +
3 5 7 9
199
Σ-merkintää.
Vastaus:
100
X
i=1
1
.
2i − 1
3. Kirjoita edellisen tehtävän summa käyttämällä
Σ-merkinnässä
erilaisia sum-
mausindeksin alku- ja loppuarvoja.
Vastaus: Esimerkiksi
99
X
i=0
1
2i + 1
tai
101
X
i=2
1
.
2i − 3
4. Kirjoita tulo
7
Y
2 · (3k − 2)2
k=1
ilman
Π-merkintää.
Vastaus
2 · 12 · 2 · 42 · 2 · 72 · 2 · 102 · 2 · 132 · 2 · 162 · 2 · 192 (= 156732804300800)
Sovella tehtävissä 5-7 luentokirjallisuuden johdantoluvussa esitettyjä arviointitekniikoita.
5. Osoita yksinkertaisilla arvioinneilla, että
x5 + 3x4 + 7x3 + x + 1 ≥ x kun x ≥ 1.
x ≥ 1, on x2 = x · x ≥ 1 · 1 = 1, x3 = x2 · x ≥ 1 · 1 = 1, . . .,
· x ≥ 1 · 1 = 1 ja siis
Vastaus: Jos
x5
=
x4
x5 +3x4 +7x3 +x+1 ≥ x5 +3·1+7·1+1+1 ≥ x5 +0+0+0+0 ≥ x·x4 ≥ x·1 = x
6. Osoita yksinkertaisella arvioinnilla, että jos
x ≥ 3,
x ≥ 3, niin x2 = x · x ≥ 3 · 3 ≥ 9
x ≥ 3, on − x32 ≥ − 13 , ja edelleen
Vastaus: Jos
että jos
1−
−
3x3
Vastaus: Jos
=
x5 (1
x ≥ 3,
−
A>0
3
9
≤
x ≥ 3,
3
x2
=
≥
2
3.
1
3 . Tästä seuraa,
x5 − 3x3 + 1 ≥ 32 x5 .
niin
3
).
x2
on
3
2
2
) ≥ x5 · = x5 .
x2
3
3
x5 − 3x3 + 1 ≥ x3 − 3x3 + 0 = x5 (1 −
8. Olkoon
3
x2
1−
3
1
2
≥1− = .
2
x
3
3
7. Osoita yksinkertaisilla arvioinneilla, että jos
5
Ohje: x
ja
niin
A ≤ C ja B ≤ D.
D < 0?
Miten tulot
AB
CD
ja
suhtautuvat toisiinsa jos
mutta
Vastaus: Tuloja
2(−5), 3(−4), 4(−3)
| {z } | {z } | {z }
−10
−12
ja
−12
5(−2)
| {z }
havainnoimalla todetaan, että
−10
tehtävässä mainituilla ehdoilla tulo voi pienentyä, pysyä ennallaan tai suurentua.
9. Valitse sopivat symbolit ja esitä seuraava lause predikaattilogiikan muodollisessa esitysasussa. Jos Antti on pätevämpi kuin Bertta, ja Bertta pätevämpi
kuin Cecil, on Antti Ceciliä pätevämpi.
Vastaus: Olkoon
P (x, y)
kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka aiottu tul-
kinta on x on pätevämpi kuin
y
sekä
a, b,
ja
c nimiin
liittyvät vakiosymbolit.
Lause voidaan formuloida muodossa
P (a, b) ∧ P (b, c) → P (a, c)
10. Valitse sopivat symbolit ja esitä seuraava lause predikaattilogiikan muodollisessa esitysasussa. Kaikki ovat tasa-arvoisia, mutta jotkut ovat toisia tasaarvoisempia.
Vastaus:
Yritys 1: Kaksipaikkaisella predikaattisymbolilla
tasa-arvoinen
B(x, y)
A(x, y)
aiottu tulkinta on x
y :n kanssa, minkä lisäksi kaksipaikkaisella predikaattisymbolilla
y . Lause
on aiottu tulkinta x nauttii enemmän tasa-arvoisuutta kuin
voidaan formuloida muotoon
(∀x)(∀y)A(x, y) ∧ (∃x)(∀y)B(x, y).
Ongelma tässä muotoilussa on, että predikaattien
A
ja
B
suhdetta ei voi ra-
kenteellisesti esittää, vaikka aiottu tulkinta intuitiivisesti edellyttäisi sitä.
Yritys 2: Kaksipaikkaisella predikaattisymbolilla
A(x, y) on sama tulkinta kuin
aiemminkin, ja lause muotoillaan seuraavasti:
(∀x)(∀y)A(x, y) ∧ (∃x)(∃y)¬A(x, y).
Ongelma tässä muotoilussa on, että näin saatu lause on kaikissa tulkinnoissa
epätosi, siis sisäisesti ristiriitainen.
Näistä, ja muista vastaavista muotoiluyrityksistä voidaan havaita, että lauseen
kääntämisessä predikaattilogiikan kielelle esiintyy ongelmia. Ongelmat johtuvat
tulkinnasta riippuen joko siitä, että määreet tasa-arvoinen ja tasa-arvoisempi
eivät liity toisiinsa (vaikka näin yritetään uskotella) tai siitä että että alkuperäinen lause on sisäisesti ristiriitainen (vaikka toisin yritetään uskotella).
11. Valitse sopivat symbolit ja esitä seuraava päättely predikaattilogiikan muodollisessa esitysasussa: Suuri henki tuntee tarkalleen kaikki ne, jotka eivät tunne
itseään. Ohje: Käytä kaksipaikkaista predikaattisymbolia
tulkinta on x tuntee
Vastaus: Olkoon
s
A(x, y), jonka aiottu
y :n.
T (x, y)
x tuntee y :n.
Suureen henkeen viittaava vakiosymboli, ja
paikkainen predikaattisymboli, jonka aiottu tulkinta on
kaksiLause
voidaan formuloida muodossa
(∀x)(T (s, x) ↔ ¬T (x, x))
Mielenkiintoinen lisähuomio saadaan havaitsemalla, että lauseesta pitäisi seurata, että
T (s, s) ↔ ¬T (s, s),
mikä tulkitaan Suuri henki tuntee itsensä tarkalleen silloin kuin ei tunne itseään. Tämä on yksi vaihtoehtoinen muotoilu ns. Russelin paradoksista.
12. Kirjoita tehtävän 7 väittämä x
on suurempi kuin
3
5
− 3x3 + 1
on suurempi kuin
2 5
3 x , kunhan
x
predikaattilogiikan muodollisessa esitysasussa.
Vastaus: 1) Lyhennysmerkinnät sallien:
(x > 3) → (x5 − 3x3 + 1 > 32 x5 )
2) Lyhennysmerkinnät sallimatta:
S(x, 3) → S(s(e(v(x), t(k1 , k2 (x)), y)), t(m, v(x))),
missä
S
on kaksipaikkainen predikaatti aiotulla tulkinnalla
nen funktiosymboli aiotulla tulkinnalla
tulkinnalla
−, t
ja
2
3.
>, s
( ) 5 , k2
tulkinnalla
kaksipaikkai-
kaksipaikkainen funktiosymboli
kaksipaikkainen funktiosymboli tulkinnalla ·,
funktiosymboli tulkinnalla
3, 1,
+, e
v yksipaikkainen
( )3 , sekä k1 , y , ja m tulkinnoilla