Kvanttimekaniikka: Luento 8 Mar$kainen Jani-‐Petri Viimeksi •  Aikakehitys kvan3mekaniikassa •  Ehrenfes$n periaate: yhteys klassiseen mekaniikkaan •  Säilymislait ja niiden yhteys symmetrioihin Tänään •  Harmoninen oskillaa@ori •  Luomis-‐ ja hävitysoperaa@orit ⌧ = 2m
2
/~
b. pdf-‐$edoston sivun 2 määritelmä False: nollasta poikkeava kun meillä on superposi$o (pdf-‐$edoston s. 2 määritelmä) On riippumaton poikkeamasta Nolla. Alhaisin energia, kun hiukkanen on poten$aalin keskellä paikallaan. Harmoninen oskillaattori •  Mikä? m! 2 2
V (x) =
x
2
•  Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö energian ominais$loille ~2 @ 2
m! 2 2
+
x (x) = E (x)
2
2m @x
2
Harmoninen oskillaattori:miksi •  Ratkeaa analyy3ses$ •  Voit approksimoida monia hankalampia poten$aaleja sillä •  Sähkömagnee3sen kentän energia$heys? ✏0 2
1 2
u= E +
B
2
2µ0
•  Huomaa, e@ä kunhan määri@elet muu@ujat sopivas$ tämä näy@ää harmoniselta oskillaa@orilta •  Kentän kvan$soin$à harmonisia oskillaa@oreita! Harmoninen oskillaattori:miksi? Lasereiden ymmärrys…. Tätä vähän sivuavaa Aallossa ja muualla •  Physical Review Le@ers pari kuukau@a si@en •  Sillanpää et al. •  Mikromekaaninen resonaa@ori jäähdytetään melkein perus$laan •  Doing the impossible video… •  Klassinen vs. kvantti •  Kvan3mekaniikassa ns. ”zero-‐point energy”: perus(lan energia ei ole nolla •  Tilojen kvan(1uminen •  Todennäköisyysjakauma hiukkasten paikalle? •  …hyvin erilainen… Todennäköisyysjakauma löytää hiukkanen jossain harmonisessa oskillaa@orissa…Miksi klassinen näy@ää tuolta? Miksi divergenssi? Ke@erle video on reversible BEC Harmoninen oskillaattori:kuinka? •  Ratkaistaan numeerises$ •  Demo ajasta riippuma@oman Schrödingerin yhtälön ratkaisusta matlabilla Harmoninen oskillaattori •  Jos lähdemme hakemaan ratkaisuja, pari asiaa vaiku@aa selvältä •  Aaltofunk$oiden täytyy kadota ääre@ömyydessä. •  Siinä välillä ne voivat oskilloida mikäli energia on poten$aalia suurempi (miksi ?) •  Jos poten$aali on energiaa suurempi, jonkinlainen eksponen$aalinen (ehkä) katoaminen lienee kohtalona… 2 2
m!
x
•  Kun 2
E
~2 @ 2 (x) m! 2 x2
+
(x) = 0
2
2m @x
2
Harmoninen oskillaattori •  Tämän asymptoo3sen yhtälön ratkaisuna (x) / e
2
x /2
2
where
p
= ~/m!
•  σ antaa muuten karakteris$sen pituusskaalan ongelmaan •  Makroskooppinen oskillaa@ori? •  Ratkaistaan nyt harmonisen oskillaa@orin ominais$lat algebrallises$ •  Voi näy@ää omituiselta, mu@a tapa osoi@autuu todella hyödylliseksi myöhemmin. Luomis-‐ ja hävitysoperaattorit •  Määritellään operaa@orit 1
â = p
2
✓
◆
ip̂
x̂ +
havitys/annihilation
m!
✓
◆
1
ip̂
†
â = p
x̂
luomis/creation
m!
2
•  Näillä kommutaa$orelaa$ot (miksi?): †
[â, â ] = 1
Luomis-‐ ja hävitysoperaattorit Harmoninen oskillaattori •  Näiden operaa@oreiden avulla voimme lausua Hamiltonin operaa@orin uudessa muodossa (taululla) Ĥ =
~2 @ 2
m! 2 x2
†
+
=
~!(â
â + 1/2)
2
2m @x
2
•  Ongelma H:n ominais$loista on siis sama kuin ongelma operaa@orin ominais$loista. N̂ = â† â
N on ns. numero-‐operaa@ori. Kohta selviää miksi. Harmoninen oskillaattori •  Haetaan N:n ominais$loja joilla ominaisarvo n N̂
n
=n
n
•  Toisaalta N̂ â
n
= â† ââ
. . . â(n
n
= (ââ†
1)
n
1)â
= (n
n
1)â
= â(â† â
1)
n
n
•  Eli â n oli myös N:n ominais$la, mu@a ominaisarvolla n-‐1 •  Siis â n =
n 1 kunhan muistamme vielä normalisoida •  Vastaavas$ luomisoperaa@orilla â†
n
=
n+1
Harmoninen oskillaattori •  Harmoninen oskillaa@ori oli kahden hermii3sen operaa@orin neliöiden summa •  Hermii3sillä reaaliset ominaisarvot joten voimme olla varmoja, e@ä hĤi
h
n |Ĥ| n i
!n
0
= ~!(n + 1/2)
1/2
•  Tästä saamme myös â
0
=
1
=0
Harmoninen oskillaattori •  Siispä N̂
0
= â† â
0
=0
0
•  …ja N:n ominaisarvo tuolla $lalla oli n=0. •  Siitä eteenpäin N̂ â†
0
= â† (â† â + 1)
0
= â†
0
=1
1
•  Eli 1 :llä ominaisarvo 1…jne. •  N:n ominaisarvot ovat kokonaislukuja nollasta ylöspäin •  Energian ominaisarvot siis En = ~!(n + 1/2)
Energiatilat Harmoninen oskillaattori •  Mu@a mu@a ….oliko yhtälöllä â
0
=
1
=0
ratkaisua? ✓
1
p
2
ip̂
x̂ +
m!
•  Muunnos ⇣ = x/
✓
1
p
!
2
@
⇣+
@⇣
0 (x)
=
✓
◆
0
◆
0 (⇣)
1
⇡
2
=0
◆1/4
e
x2 /2
2
Harmoninen oskilaattori •  Muut ominais$lat saa perus$lasta operoimalla luomisoperaa@orilla (miksi? taululla) 1
† n
n (x) = p (â )
n!
0 (x)
•  Rakenne on n (x)
/ Hn (x/ )e
x2 /2
2
•  Missä H_n on Hermiten polynomi. Ne löytää taulukoista, mu@a pari alhaisinta voi toki laskea suoraan H0 (⇣) = 1 , H1 (⇣) = 2⇣ , H2 (⇣) = 4⇣ 2
2...
Harmoninen oskillaattori •  Normituksen jälkeen nämä ominais$lat muodostavat ortonormeeratun kannan (miksi muuten?), jonka avulla voi periaa@eessa esi@ää minkä tahansa fun$on. •  Helpotetaan notaa$ota määri@elemällä n ! |ni
•  Luomis-‐ ja hävitysoperaa@oreilla mm. seuraavat tärkeät ominaisuudet (taululla)…ymmärrä nämä! â|ni =
p
n|n 1i
p
â† |ni = n + 1|n + 1i
Luomis-‐ ja hävitysoperaattorit •  Demo näistä mathema$calla/matlabilla •  Miten luomis-‐ ja hävitysoperaa@oreita voi käy@ää odotusarvojen laskemiseen? •  …helppoa (taululla…muualla lisää) Klassinen vs. kvantti •  Kun tarkastelemme korkeampia viritys$loja, todennäköisyysjakauma alkaa muuten näy@ää yhä klassisemmalta! Tänään •  Harmoninen oskillaa@ori •  Luomis-‐ ja hävitysoperaa@orit