Värähtelymekaniikka 4.1 4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄRÄHTELY 4.1 Johdanto Mekaanisen systeemin ulkoisista kuormituksista aiheutuvaa värähtelyä sanotaan pakkovärähtelyksi. Jos systeemissä on vaimennusta, on kyseessä vaimeneva pakkovärähtely, mutta muuten vaimenematon pakkovärähtely. Sitä osaa pakkovärähtelystä, joka häviää systeemistä lyhyen ajan kuluessa, sanotaan transientiksi. Transientin värähtelyn hävittyä jää jäljelle pysyvä värähtely. Transienttia värähtelyä esiintyy iskukuormitusten, kappaleiden törmäysten ja liikkuvien kuormitusten yhteydessä. Syntyvä liike ei ole välttämättä jaksollista ja mahdolliset rakennevauriot johtuvat yleensä jonkin rakenneosan staattisen lujuuden ylityksestä. Pysyvä värähtely liittyy koneiden jatkuvaan käyttöön ja säilyy huomattavasti transienttia värähtelyä pitempiä aikoja. Syntyvät vauriot ovat väsymis- ja kulumisvaurioita. Värähtelyanalyysissa sanotaan värähtelyn aiheuttajaa herätteeksi ja seurauksena olevaa systeemin liiketilaa (asema, nopeus, kiihtyvyys) vasteeksi. Tarkastelut voidaan jakaa osiin herätteen tyypin perusteella. Jos heräte on vailla mitään säännöllisyyttä, on kyseessä satunnaisheräte ja syntyvää liikettä sanotaan satunnaisvärähtelyksi eli stokastiseksi värähtelyksi. Jos heräte tunnetaan esimerkiksi ajan funktiona, se on deterministinen. Deterministinen heräte on jaksollinen, jos heräte toistuu säännöllisin välein samanKuva 4.1 Herätefunktioita. laisena. Erityisen tärkeä jaksollinen heräte on harmoninen heräte, jolloin kyseessä on sini- tai kosinimuotoinen herätevoiman vaihtelu. Kuvassa 4.1 on muutamia herätefunktioita, (a) on harmoninen heräte, kuvassa (b) on muita jaksollisia herätteitä ja kuvassa (c) jaksottomia herätteitä. Tässä luvussa tarkastellaan yhden vapausasteen systeemin vastetta harmoniseen herätteeseen. Harmoniselle herätteelle on tyypillistä, että syntyvä pakkovärähtely tapahtuu samalla taajuudella kuin herätevoima vaihtelee. Tavallisia harmonisen heYhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.2 rätteen lähteitä ovat pyörivät ja edestakaisin liikkuvat koneenosat sekä itse koneen tai sen alustan liike. Syntyvät värähtelyt ovat yleensä koneen toiminnan kannalta haitallisia ja ainakin resonanssitilanne tulee useimmissa tapauksissa välttää. Tähän päästään värähtelyt huomioon ottavalla suunnittelulla sekä käyttämällä värähtelyn vaimennusta ja absorbointia. Tarkkaan ottaen vaimenematonta pakkovärähtelyä ei käytännössä esiinny, mutta jos vaimennusvoimat ovat vähäisiä, kannattaa ne analyysin yksinkertaistamiseksi olettaa nolliksi. Seuraavassa tarkastellaan aluksi vaimenematonta harmonista pakkovärähtelyä, jolloin perusominaisuudet tulevat esille mahdollisimman yksinkertaisissa puitteissa ja tarkastelut voidaan sitten yleistää vaimenevaan värähtelyyn. 4.2 Vaimenematon harmoninen pakkovärähtely 4.2.1 Värähtelevä massa Kuvassa 4.2 on lineaarisen yhden vapausasteen harmonisen pakkovärähtelijän perusmalli, jonka muodostavat jousi k , massa m ja siihen vai(a) (b) (c) g kuttava harmoninen pakkovoik kΔ k( x + Δ ) ma F( t ) = F0 sin Ω t . Pakkovoijousen lepopituus man lausekkeessa F0 on sen staattinen tasapaino Δ m m x &x& x& m F(t) mg mg Kuva 4.2 Pakkovärähtelyn perusmalli. ↑ F(t) amplitudi ja Ω kulmataajuus. Systeemin liikettä tutkitaan staattisesta tasapainoasemasta mitatun koordinaatin x avulla. Kuvan 4.2 (c) perusteella saadaan liikeyhtälö k ( x + Δ ) − mg − F( t ) = − m &x& (4.1) josta seuraa yhteyden k Δ = mg perusteella systeemin liikeyhtälöksi m &x& + k x = F( t ) = F0 sin Ω t (4.2) Ottamalla huomioon systeemin ominaiskulmataajuuden määritelmä ω 2 = k / m menee liikeyhtälö (4.2) muotoon &x& + ω 2 x = F0 sin Ω t m Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely (4.3) © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.3 Liikeyhtälön (4.3) yleinen ratkaisu on muotoa x = x h + x p , jossa xh on homogeenisen yhtälön &x& + ω 2 x = 0 yleinen ratkaisu ja x p täydellisen yhtälön (4.3) yksityisratkaisu. Kaavan (3.8) mukaan x h on x h = A 1 sin ω t + A 2 cos ω t (4.4) jossa vakiot A 1 ja A 2 saadaan alkuehdoista. Yksityisratkaisu x p on x p = X sin Ω t , jossa X on vakio. Sijoittamalla yksityisratkaisu liikeyhtälöön (4.3) saadaan − X Ω 2 sin Ω t + X ω 2 sin Ω t = F0 sin Ω t m ⇒ X= F0 / m ω2 − Ω 2 (4.5) josta seuraa yksityisratkaisulle kaava xp = F0 / m ω2 − Ω 2 sin Ω t (Ω ≠ ω) (4.6) Liikeyhtälön (4.3) ratkaisu on siis x( t ) = A 1 sin ω t + A 2 cos ω t + F0 / m ω2 − Ω 2 sin Ω t (Ω ≠ ω) (4.7) Kaava (4.6) ei ole voimassa, jos Ω = ω , jolloin toisaalta yksityisratkaisuyrite x p = X sin Ω t sisältyy jo homogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun (4.3). Oikea yksityisratkaisu tapauksessa Ω = ω on xp = F0 ω t sin ω t 2k (Ω = ω) (4.8) kuten helposti voidaan todeta sijoittamalla ratkaisu (4.8) liikeyhtälöön (4.3). Ratkaisussa (4.7) osa x h = A 1 sin ω t + A 2 cos ω t edustaa ominaisvärähtelyä, joka käytännössä vaimennuksen takia häviää systeemistä lyhyen ajan kuluessa. Pysyvää pakkovärähtelyä edustaa osa x p , joka ei riipu systeemin alkuehdoista ja säilyy niin kauan, kun pakkovoima vaikuttaa. Kaavasta (4.6) näkyy, että pakkovärähtely tapahtuu samalla taajuudella kuin pakkovoima vaihtelee. Pakkovärähtelyn amplitudi X on X= F0 / m ω2 − Ω 2 (4.9) Kun otetaan huomioon yhteys m = k / ω 2 ja merkitään d = F0 / k ja r = Ω / ω , saa kaava (4.9) muodon Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka M= X 1 = d 1− r 2 4.4 (4.10) Suure d on pakkovoiman amplitudin aiheuttama jousen staattinen pituudenmuutos. Suuretta r sanotaan taajuussuhteeksi ja suuretta M vahvistuskertoimeksi. M kertoo kuinka suuri värähtelyn amplitudi X on verrattuna pakkovoiman amplitudin F0 aiheut5 c 5 tamaan staattiseen pituudenmuutokseen 4 d . Kuvassa 4.3 vahvistuskerroin M on esitetty taajuussuhteen r funktiona. Kaavan M 3 (4.9) mukaan amplitudi X > 0 , kun Ω < ω , 2 jolloin pakkovoima ja värähtely ovat saa massa vaiheessa. Vastaavasti amplitudi 1 X < 0 , kun Ω > ω . Koska on voimassa M ( x) b X sin Ω t = − X sin(Ω t + π) , voidaan päätellä, 0 m( y ) että pakkovoima ja värähtely ovat tällöin 1 vastakkaisissa vaiheissa. Kuvan 4.3 käyrässä on kolme erityisen kiinnostavaa koh2 taa, joita on merkitty a, b ja c. Kohdassa a on Ω hyvin pieni, ts. pakkovoima vaihtelee 3 hyvin hitaasti ja massan m amplitudi X on 4 lähellä staattista siirtymää d ( M ≈ 1). Kohc dassa b on voimassa Ω >> ω , jolloin pak−5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 kovoima vaihtelee niin nopeasti, että mas0 x, y r 3 salla m ei ole aikaa seurata sen vaihtelua ja amplitudi X jää hyvin pieneksi ( M ≈ 0 ). Kuva 4.3 Vahvistuskerroin. Kiinnostavin ilmiö on kohdassa c, missä amplitudi X lähestyy ääretöntä, kun Ω → ω . Tätä tilannetta sanotaan resonanssiksi. Jos pakkovoiman taajuus on yhtä suuri kuin ominaiskulmataajuus eli Ω = ω , on voimassa yksityisratkaisu (4.8), josta nähdään, että x p → ∞ , kun t → ∞ . Edellä esitetyn perusteella on selvää, että harmoninen pakkovoima aiheuttaa värähtelyongelmia, jos sen kulmataajuus on sama kuin systeemin ominaiskulmataajuus tai lähellä sitä. Käytännössä värähtelyn amplitudi ei voi tulla äärettömäksi, vaan systeemi vaurioituu aikaisemmin liiallisen värähtelyn seurauksena. Suunnittelijan tehtävänä on valita systeemin parametrit k ja m niin, että se toimii riittävällä etäisyydellä resonanssikohdastaan. Tätä kutsutaan systeemin virittämiseksi. Pakkovärähtelyssä olevan massan kiinnitysalustaansa aiheuttamia voimavaikutuksia ei yleensä pystytä kokonaan välttämään, mutta niitä voidaan huomattavasti pienentää oikealla joustavien kiinnityselementtien valinnalla. Jos alustaan siirtyvän voiman maksimiarvo on pienempi kuin värähtelyn aiheuttaneen pakkovoiman amplitudi, sanotaan kiinnityselementtejä värähtelyn eristimiksi. Värähtelyn eristyksen tehtävänä on estää värähtelevän kappaleen aiheuttamien voimien siirtymistä ympäristöön tai estää värähtelevän ympäristön aiheuttamien voimien siirtymistä herkkiin laitteisiin. Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.5 Ongelma on siis molemmissa tapauksissa sama, siirtyvä voima on saatava mahdollisimman pieneksi. Konetekniikassa värähtelyn eristin on tavallisesti toteutettu teräksen ja kumin yhdistelmänä, jolloin jousto tapahtuu kumiosassa ja teräsosa mahdollistaa kiinnityksen koneeseen ja alustaan. Kuvan 4.2 mallissa alustaan siirtyvän voiman maksimiarvo on FA = k X , jolle voidaan kaavan (4.9) avulla kirjoittaa 5 5 FA = k Kuva 4.4 4.5 4 3 T= M ( x) m( y ) ω −Ω 2 2 = F0 1− r 2 (4.11) Värähtelyn siirtyvyys T määritellään seuraavasti 3.5 T F0 / m 2.5 FA 1 = F0 1− r 2 (4.12) 2 1.5 1 0.5 0 0 0 0.5 1 0 1.5 r x, y 2 2.5 3 3 Kuva 4.4 Siirtyvyys. Siirtyvyys kertoo, kuinka suuri osa pakkovoimasta siirtyy jousen kautta alustaan. Kuvassa 4.4 on siirtyvyys T esitetty taajuussuhteen funktiona. Kuvaajasta nähdään, että T < 1 vain, kun r > 2 . Tällöin jousesta on hyötyä, koska se pienentää alustaan siirtyvän voiman maksimiarvoa, joka ilman jousta olisi F0 . Alueessa r < 2 on T > 1 ja alustaan siirtyvän voiman maksimiarvo on suurempi kuin F0 ja jousen käytöstä on vain hait- taa. Edulliseen siirtyvyyteen päästään siis virittämällä systeemi niin, että se toimii kuvan 4.4 käyrällä ominaistaajuuttaan vastaavan kohdan oikealla puolella riittävän kaukana. Näin viritettyä systeemiä kutsutaan yliviritetyksi. 4.2.2 Tasapainottamaton roottori Harmonisesti vaihteleva pakkovoima voi esiintyä pyörivien koneenosien yhteydessä. Tarkastellaan kuvan 4.5 tapausta, jossa sähkömoottori on sijoitettu kaksitukiselle palkille. Jos moottorin roottoria ei ole täydellisesti tasapainotettu, on sen massakeskiöllä G epäkeskeisyys e akselin keskipisteeseen O nähden. Tästä aiheutuu moottorin käydessä säteen suuntainen pyörivä hitausvoima m 0 e Ω 2 , missä Ω on akselin kulmanopeus ja m0 roottorin massa. Tämä voima välittyy laakereiden kautta moottorin runkoon ja siitä kiinnitysten kautta palkkiin. Hitausvoima m 0 e Ω 2 voidaan jakaa vaaka- ja pystykomponentteihinsa. Jos palkin vaakaliike on estetty, on kyseessä yh- Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka Ω 4.6 G O den vapausasteen värähtely pystysuunnassa. Tilannetta voidaan tarkastella kuvan 4.6 laskentamallin avulla, jossa m on värähtelevän massan suuruus ja k = 48 E I / L on palkin jousivakio keskellä sitä vaikuttavan pistevoiman suhteen. e roottori moottori Kuvasta 4.6 saadaan systeemin liikeyhtälöksi pystysuunnassa Kuva 4.5 Tasapainottamaton roottori. ↑ m &x& + k x = m 0 e Ω 2 sin Ω t (4.13) joka on samaa muotoa kuin yhtälö (4.2). On kuitenkin huomattava, että yhtälön (4.13) oikealla puolella oleva pakkovoiman amplitudi riippuu kulmataajuudesta, mikä ilmeisesti vaikuttaa saatavan ratkaisun luonteeseen. Liikeyhtälön (4.11) yksityisratkaisu m m 0 eΩ 2 sin Ω t Ω G e m0 m Ω Ωt O Δ m0 e Ω 2 m0 mg T staattinen tasapaino x k m 0 eΩ 2 cos Ω t k( x + Δ ) &x& x& Kuva 4.6 Tasapainottamattoman roottorin laskentamalli. saadaan ilmeisesti kaavasta (4.6) sijoittamalla amplitudin F0 paikalle lauseke m 0 e Ω 2 , jolloin saadaan ratkaisu xp = m0 e Ω 2 m( ω2 − Ω 2 ) sin Ω t (Ω ≠ ω) (4.14) Pakkovärähtelyn amplitudi on siis tässä tapauksessa Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka X= 4.7 m0 e Ω 2 (4.15) m ( ω2 − Ω 2 ) Dimensiotonta suuretta M = m X /(m 0 e) sanotaan systeemin vahvistuskertoimeksi. Sen lauseke on selvästi M= mX r2 = m0 e 1 − r 2 (4.16) Kuvassa 4.7 on vahvistuskerroin M esitetty taajuussuhteen r funktiona. Pienillä pyörimisnopeuden Ω arvoilla M ≈ 0 eli roottorin epätasapainon vaikutus on merkityksetön. Kun pyörimisen kulmataajuus Ω → ω , amplitudi X → ∞ , mikä edustaa resonanssitilannetta. Suurilla kulmataajuuksilla Ω >> ω on M ≈ −1 ja amplitudi X → − (m 0 / m) e . Tällä alueella on värähtelyn amplitudia siis mahdollista pienentää tekemällä koneen rungosta raskas esimerkiksi betonista tehtyjä painoja lisäämällä. 5 5 4 4.5 3 4 2 3.5 Tn 1 M −5 3 M ( x) M ( x) m( y ) 5 5 0 m( y ) 2.5 1 2 2 1.5 3 1 4 0.5 5 0 0 0.5 1 1.5 x, y 0 r 2 2.5 3 3 0 0 0 0.5 1 1.5 2 xr, y 2.5 3 3 Kuva 4.8 Siirtyvyys. Kuva 4.7 Vahvistuskerroin. Tarkastellaan sitten pakkovoiman siirtyvyyttä alustaan kuvan 4.6 mallissa. Alustaan siirtyvän voiman maksimiarvoksi saadaan kaavan (4.15) perusteella FA = k X = ω 2 m0 e Ω 2 (ω 2 − Ω 2 ) = Fn r2 1− r 2 (4.17) jossa Fn = m 0 e ω 2 on ominaiskulmataajuutta ω vastaava pakkovoiman amplitudi. Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.8 Siirtyvyys Tn = FA / Fn on siis tässä tapauksessa FA r2 Tn = = Fn 1− r 2 (4.18) Kuvassa 4.8 on siirtyvyys Tn esitetty taajuussuhteen funktiona. Resonanssialueella alustaan siirtyvä voima on hyvin suuri. Suurilla pyörimisnopeuden arvoilla Tn → 1 eli alustaan siirtyvän voiman arvo lähestyy arvoa Fn , joka on ominaiskulmataajuutta ω vastaava pakkovoiman amplitudi. Alustaan siirtyvän maksimivoiman FA lauseke voidaan kirjoittaa myös muotoon FA = k m0 e Ω 2 m( ω − Ω ) 2 2 m0 e Ω 2 = 1 − ( Ω / ω) 2 = Fmax 1− r 2 (4.19) jossa Fmax = m 0 e Ω 2 on kulmanopeutta Ω vastaavan pakkovoiman amplitudi. On selvää, että FA / Fmax = T , jossa T on kuvassa 4.4 esitetty siirtyvyys. Kuva 4.4 ei anna oikeaa yleiskuvaa siirtyvän voiman suuruudesta, koska Fmax kasvaa kulmanopeuden kasvaessa, eli suure, johon alustaan siirtyvää voimaa verrataan, ei ole vakio. Kuvasta 4.4 syntyy helposti se väärä käsitys, että siirtyvä voima lähestyy nollaa kulmanopeuden Ω kasvaessa, mikä ei tietenkään pidä paikkaansa. 4.2.3 Värähtelevä alusta (a) u = b sin Ω t B (b) g k jousen lepopituus staattinen tasapaino m Δ x && u& u k ( x + Δ − u) m x& &x& mg Kuva 4.9 Värähtelevän alustan laskentamalli. m &x& + k x = k b sin Ω t Tarkastellaan pakkovärähtelyä, joka aiheutuu kappaleen alustan liikkeestä. Tällaisen värähtelijän perusmalli on esitetty kuvassa 4.9. Malli sisältää jousen, massan ja liikkuvan alustan B. Jousi on kiinnitetty alustaan B, joka värähtelee harmonisesti funktion u( t ) = b sin Ω t mukaisesti. Liikettä kuvaa staattisesta tasapainoasemasta ( Δ , u = 0 ) mitattu koordinaatti x , joka ilmaisee massan absoluuttisen aseman. Systeemin liikeyhtälöksi saadaan kuvasta 4.9 (b) (4.20) Yhtälö (4.20) on samaa muotoa kuin yhtälö (4.2), mutta amplitudin F0 paikalla on termi k b . Pakkovärähtelyn lauseke on kaavan (4.6) perusteella Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka xp = kb/m ω −Ω 2 2 sin Ω t = b 1 − ( Ω / ω) 2 sin Ω t (Ω ≠ ω) 4.9 (4.21) josta nähdään, että amplitudin X ja vahvistuskertoimen M = X / b lausekkeet ovat X= b 1− r 2 M= 1 (4.22) 1− r 2 Vahvistuskerroin on tässä tapauksessa sama kuin kaavan (4.10) vahvistuskerroin ja on siis esitetty kuvassa 4.3. Massan m liikettä voidaan tutkia myös alustan suhteen käyttämällä suhteellista && ja x = z + u saakoordinaattia z = x − u . Sijoittamalla liikeyhtälöön (4.20) &x& = &z& + u daan suhteellisen koordinaatin z avulla lausuttu liikeyhtälö m &z& + k z = m b Ω 2 sin Ω t (4.23) Yhtälö (4.23) on samaa muotoa kuin roottorin liikeyhtälö (4.13), termin m 0 e Ω 2 paikalla on termi m b Ω 2 . Pakkovärähtelyn suhteellinen amplitudi Z ja vahvistuskerroin M = Z / b ovat siis Z= bΩ2 ω2 − Ω 2 M= r2 (4.24) 1− r 2 Edellä oleva suhteellinen vahvistuskerroin on sama kuin roottoritapauksen kaavassa (4.16) ja on siis esitetty kuvassa 4.7. Värähtelevän alustan tapauksessa ollaan kiinnostuneita alustasta massaan m siirtyvän voiman maksimiarvosta FM , mikä on vapaakappalekuvan 4.9 (b) perusteella FM = k ( X − b ) = k Z = k b Ω2 ω2 − Ω 2 = kb r2 1− r 2 (4.25) jossa FK = k b on alustan maksimi siirtymää vastaava jousivoima. Nähdään, että siirtyvyys Tn = FM / FK on Tn = FM r2 = FK 1− r 2 (4.26) joka on sama lauseke kuin kaavassa (4.16) ja kuvassa 4.8 esitetty siirtyvyys. Koska ω 2 = k / m , nähdään kaavasta (4.25), että jousivakion k pienentäminen pienentää yliviritetyn systeemin siirtyvyyttä. Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.10 4.3 Viskoosisti vaimeneva harmoninen pakkovärähtely 4.3.1 Värähtelevä massa Kuvassa 4.10 on viskoosisti vaimennetun yhden vapausasteen harmonisen pakkovärähtelijän perusmalli. Siihen kuuluu jousi k , massa m , vaimennin c ja massaan vaikuttava pakkovoima F( t ) = F0 sin Ω t . Kuvasta 4.10 (c) saadaan liikeyhtälö (a) (b) g k (c) kΔ c k( x + Δ ) jousen lepopituus staattinen tasapaino m Δ m cx& x m F(t) mg &x& x& mg F(t) Kuva 4.10 Viskoosisti vaimennettu värähtelijä. ↑ k ( x + Δ ) − mg + c x& − F( t ) = − m &x& (4.27) Tästä seuraa edelleen m &x& + c x& + k x = F(t ) = F0 sinΩ t (4.28) Ottamalla huomioon ominaiskulmataajuuden ω ja vaimennussuhteen ζ määritelmät saadaan yhtälö (4.28) kirjoitettua standardimuotoon &x& + 2 ζ ω x& + ω 2 x = F0 sin Ω t m (4.29) Yhtälön (4.29) yleinen ratkaisu on muotoa x = x h + x p , jossa x h on homogeenisen yhtälön &x& + 2 ζ ω x& + ω 2 x = 0 yleinen ratkaisu ja x p täydellisen yhtälön (4.29) yksityisratkaisu. Ratkaisun osa x h on kaavan (3.43) mukaan alikriittiselle vaimennukselle x h = C e − ζ ω t sin ( ω d t + ψ ) (4.30) x h edustaa ominaisvärähtelyä, joka häviää vaimennuksen ansiosta nopeasti. Pakkovärähtelyä edustaa yksityisratkaisu x p , joten vain sen tarkastelu on tässä aiheellista. Yksityisratkaisu voidaan tässä tapauksessa löytää yritefunktioilla Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka x p = A 1 sin Ω t + A 2 cos Ω t tai 4.11 x p = X sin( Ω t − φ ) (4.31) jossa A1 ja A 2 sekä X ja φ ovat vakioita. Yritteistä jälkimmäinen on hieman kätevämpi, joten käytetään sitä. Vakiot X ja φ voidaan määrittää sijoittamalla yrite x p liikeyhtälöön (4.29). Nopeudelle ja kiihtyvyydelle tulee derivoimalla lausekkeet x& p = Ω X cos( Ω t − φ ) &x&p = − Ω 2 X sin( Ω t − φ ) (4.32) joten sijoitus liikeyhtälöön (4.29) antaa aluksi − ( Ω 2 − ω 2 ) X sin( Ω t − φ ) + 2 ζ ω Ω X cos( Ω t − φ ) = F0 sin Ω t m (4.33) Käyttämällä kaavassa (4.33) sinin ja kosinin vähennyslaskukaavoja saadaan − ( Ω 2 − ω 2 ) X ( sin Ω t cos φ − cos Ω t sin φ ) + + 2 ζ ω Ω X ( cos Ω t cos φ + sin Ω t sin φ ) = F0 sin Ω t m (4.34) Merkitsemällä yhtälön (4.34) eri puolilla esiintyvien termien sin Ω t ja cos Ω t kertoimet puolittain samoiksi saadaan yhtälöpari ( ω 2 − Ω 2 ) X cos φ + 2 ζ ω Ω X sin φ = F0 m ( ω 2 − Ω 2 ) X sin φ − 2 ζ ω Ω X cos φ = 0 (4.35) josta saadaan ratkaistua yksityisratkaisussa x p olevat vakiot X ja φ . Tulos on (todistus sivuutetaan) ⎛ ⎜ 2ζ Ω ω φ = arctan ⎜ ⎜ Ω2 ⎜ 1− 2 ω ⎝ F0 / k X= 2 ⎛ Ω ⎞ Ω ⎜ 1− ⎟ + ⎛⎜ 2 ζ ⎞⎟ 2 ⎜ ω⎠ ω ⎟⎠ ⎝ ⎝ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (4.36) Vakiot X ja φ ovat pakkovärähtelyn x p = X sin ( Ω t − φ ) amplitudi ja vaihekulma. Kun merkitään jälleen d = F0 / k ja r = Ω / ω , saadaan vahvistuskertoimelle M ja vaihekulmalle φ kaavat M= X = d (1 − r ) 1 2 2 + ( 2ζ r) 2 Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely ⎛ 2ζr ⎞ φ = arctan ⎜ ⎟ ⎝ 1− r 2 ⎠ (4.37) © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.12 Liikeyhtälön (4.29) ratkaisu on edellä olevan perusteella alikriittiselle vaimennukselle x ( t ) = C e − ζ ω t sin ( ω d t + ψ ) + X sin( Ω t − φ ) (4.38) jossa vakiot X ja φ saadaan kaavasta (4.36). Vakiot C ja ψ määräytyvät pakkovärähtelijän alkuehdoista (alkuasema ja -nopeus), mutta eivät ole kaavan (3.44) mukaiset, sillä yksityisratkaisu x p vaikuttaa myös niiden arvoihin. Kuvassa 4.11 on kaavan (4.37) vahvistuskertoimen M ja vaihekulman φ kuvaajia taajuussuhteen r funktiona muutamilla vaimennussuhteen ζ arvoilla. Vahvistuskertoimen M käyrästöstä nähdään, että kaikki käyrät ovat nollavaimennusta vastaavan käyrän alapuolella. Vaimennus pienentää pakkovärähtelyn amplitudia ja erityisesti resonanssin läheisyydessä pieneneminen on voimakasta. Nähdään, että käyrien maksimit eivät ole kohdassa Ω = ω , eivätkä kohdassa Ω = ω d = ω 1 − ζ 2 , vaan hieman tämän vasemmalla puolella kohdassa Ω = ωr = ω 1 − 2ζ 2 , kuten kaavasta (4.37) voidaan todeta etsimällä vahvistuskertoimen M derivaatan nollakohta. Arvoa ωr sanotaan resonanssikulmataajuudeksi. Vaimenevalla värähtelyllä ovat ominaiskulmataajuus ω , vaimennettu ominaiskulmataajuus ωd ja resonanssikulmataajuus ωr erisuuria. Jos vaimennussuhde ζ on pieni, ovat ne kuitenkin hyvin lähellä toisiaan ja rajatapauksessa ζ = 0 ne ovat samat. Maksimiamplitudiksi kohdassa Ω = ωr tulee X max = F0 / k (4.39) 2 ζ 1− ζ 2 joka on lähes sama kuin ominaiskulmataajuutta ω vastaava amplitudi, joka on Xω = F0 / k 2ζ (4.40) Usein ominaiskulmataajuutta ω sanotaan resonanssikulmataajuudeksi, koska ero on käytännössä pieni. Vaihekulman φ käyrästöstä nähdään, että vaimenemattomassa tapauksessa ζ = 0 vaihekulma φ = 0 o resonanssin alapuolella ja φ = 180o resonanssin yläpuolella, jolloin voima ja siirtymä ovat vastaavasti samassa tai vastakkaisessa vaiheessa. Kun Ω = ω , on φ = 90o riippumatta vaimennussuhteen ζ arvosta. Tarkastellaan voimaa, joka kuvan 4.10 laskentamallissa siirtyy värähtelyn aikana alustaan pakkovoiman vaikutuksesta. Tämän voiman lauseke on kuvan 4.10 (c) ja kaavojen (4.31) ja (4.32) perusteella Fa ( t ) = k x p + c x& p = k X sin ( Ω t − φ ) + c Ω X cos ( Ω t − φ ) (4.41) Voidaan helposti osoittaa, että voiman Fa ( t ) suurin arvo on Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka FA = ( k X) 2 + ( c Ω X) 2 = k X 1 + ( 2 ζ Ω / ω) 2 4.13 (4.42) jossa amplitudi X saadaan kaavasta (4.36). Nähdään, että pakkovärähtelyn siirtyvyy- Kuva 4.11 Vahvistuskerroin ja vaihekulma. Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.14 deksi T = FA / F0 tulee lauseke T = FA = F0 1+ ( 2 ζ r) (1 − r ) 2 2 2 + ( 2 ζ r) 2 (4.43) Siirtyvyys T on esitetty kuvassa 4.12 taajuussuhteen r funktiona muutamalla vaimennussuhteen ζ arvoilla. Kuvasta 4.12 nähdään, että T > 1 alueella r < 2 kaikilla vaimennussuhteen ζ arvoilla, jolloin jousen käyttö suurentaa alustaan siirtyvää voimaa. Alueessa r > 2 on T < 1 , ja jousen käyttö pienentää alustaan siirtyvää voimaa. Huomataan myös, että alueessa r > 2 vaimennuksen lisääminen suurentaa alustaan siirtyvää voimaa, sillä käyrät menevät kohdassa r = 2 ristiin. Kuva 4.12 Vaimenevan pakkovärähtelyn siirtyvyys. m M K Kuva 4.13 Järjestely. Kuvan 4.10 värähtelijän amplitudia X voidaan pienentää muuttamatta värähtelyn siirtyvyyttä T käyttämällä kuvan 4.13 mukaista järjestelyä. Siinä massa m on kiinnitetty suureen lisämassaan M ja jousivakio K valitaan siten, että k / m = K /( m + M ) . Tällöin ω säilyy muuttumattomana ja myös T pysyy samana, kun vaimennusta ζ ei muuteta. Amplitudi X sen sijaan pienenee, koska jousivakio on sen lausekkeessa (4.36) nimittäjässä. Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.15 4.3.2 Tasapainottamaton roottori Kuten kohdassa 4.2.2 tuli esille, aiheuttaa pyörivien koneenosien epätasapaino pakkovoimia. Tarkastellaan kuvassa 4.14 esitettyä laskentamallia, joka on muuten samanlainen kuin kuvan 4.6 malli, mutta sisältää lisäksi viskoosin vaimentimen. Massan vaakasuuntainen liike on estetty, jolloin se voi värähdellä vain pystysuunnassa. Roottorin epätasapainosta aiheutuu säteittäinen pyörivä hitausvoima m 0 e Ω 2 , jonka pystykomponentti m 0 e Ω 2 sin Ω t aiheuttaa pystysuuntaisen pakkovärähtelyn. On selvää, että liikeyhtälöksi tulee pystysuunnassa m &x& + c x& + k x = m 0 e Ω 2 sin Ω t (4.44) m G e m0eΩ 2 m0 eΩ 2 sin Ω t Ω m0 m Ω Ω t m0 O Δ m0eΩ 2 cos Ω t T mg staattinen tasapaino x c k &x& x& k( x + Δ ) cx& Kuva 4.14 Vaimennettu roottorivärähtely. Yhtälö (4.44) on samaa muotoa kuin yhtälö (4.26), mutta amplitudin F0 paikalla on pakkovoiman taajuudesta riippuva termi m 0 e Ω 2 . Tästä seuraa kaavojen (4.36) mukaan pakkovärähtelyn x p = X sin( Ω t − φ ) amplitudille X ja vaihekulmalle φ kaavat X= m0e Ω / k 2 2 ⎛ Ω ⎞ Ω ⎟ + ⎛⎜ 2 ζ ⎞⎟ ⎜ 1− 2 ⎟ ⎜ ω⎠ ω ⎠ ⎝ ⎝ 2 2 ⎛ ⎜ 2ζ Ω ω φ = arctan ⎜⎜ Ω2 ⎜ 1− 2 ω ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (4.45) Kun merkitään jälleen r = Ω / ω , saadaan vahvistuskertoimelle M ja vaihekulmalle φ seuraavat kaavat Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka M= mX = m0e r2 (1 − r ) 2 2 + ( 2ζ r) 2 4.16 ⎛ 2ζr ⎞ φ = arctan ⎜ ⎟ ⎝ 1− r 2 ⎠ (4.46) Kaavan (4.46) vahvistuskerroin M on esitetty kuvassa 4.15 taajuussuhteen r funktiona eri vaimennussuhteen ζ arvoilla. Vaihekulman φ lauseke on sama kuin kaavassa (4.37), joten se on esitetty kuvassa 4.11. Vahvistuskertoimen M käyrästöstä nähdään, että käyrien maksimit eivät ole kohdassa Ω = ω , vaan hieman sen oikealla puolella. Voidaan osoittaa, että resonanssikulmataajuus on ω r = ω / ⎛⎜ 1 − 2ζ 2 ⎞⎟ ja ⎝ ⎠ maksimiamplitudille X max pätee kaava X max = m0 e 1 m 2ζ 1 − ζ 2 (4.47) Ominaiskulmataajuutta ω vastaava amplitudi on Xω = m0 e 1 m 2ζ (4.48) joka eroaa pienellä vaimennuksella vähän arvosta X max . Samoin resonanssitaajuus ωr eroaa pienellä vaimennuksella vähän ominaiskulmataajuudesta ω , jota siksi sanotaan myös resonanssitaajuudeksi. Amplitudi X on pienillä pyörimisnopeuksilla lä- Kuva 4.15 Vahvistuskerroin. Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.17 hellä nollaa ja suurilla pyörimisnopeuksilla X → ( m 0 / m ) e vaimennussuhteesta riippumatta. Resonanssin läheisyydessä vaimennus pienentää tehokkaasti amplitudia. Tutkitaan siirtyvyyttä kuvan (4.14) laskentamallin tapauksessa. Alustaan siirtyvän voiman maksimiarvo FA on kaavan (4.42) mukainen ja siinä oleva amplitudi X saadaan kaavasta (4.45). Näistä seuraa FA = k X 1 + (2 ζ Ω / ω ) = k 2 FA = m 0 e ω 2 ( Ω 2 ) ω (Ω / ω) 2 m0 e m [1− (Ω / ω) ] 2 2 1 + ( 2 ζ Ω / ω) [1− (Ω / ω) ] 2 2 + (2 ζ Ω / ω) 2 + ( 2 ζ Ω / ω) 2 = Fn r 2 1 + (2 ζ Ω / ω ) 2 ⇒ 2 1+ ( 2 ζ r ) (1 − r ) 2 2 2 + ( 2ζ r) 2 (4.49) jossa on merkitty Fn = m 0 e ω 2 , joka on ominaiskulmataajuutta ω vastaavan pakkovoiman amplitudi. Pakkovärähtelyn siirtyvyydeksi Tn = FA / Fn tulee F Tn = A = r 2 Fn 1+ ( 2 ζ r ) (1 − r ) 2 2 2 + ( 2ζ r) 2 (4.50) Kaavan (4.50) siirtyvyys Tn on esitetty kuvassa 4.16 taajuussuhteen r funktiona Kuva 4.16 Siirtyvyys. Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka muutamilla vaimennussuhteen ζ arvoilla. Kun ζ > 1 4 4.18 2 ≈ 0,3535 käyrillä ei ole ää- riarvoja eli Tn kasvaa koko ajan, kun r → ∞ . Arvoilla 0 < ζ < 0,3535 käyrillä on sekä minimi että maksimi ja kaikki minimit ovat pienempiä kuin 2 mutta suurempia kuin 1. Rajatapauksessa ζ = 0 Tn → 1, kun r → ∞ . Käyristä nähdään myös, että suurilla pyörimisnopeuksilla pienikin vaimennus on haitallista. Esimerkiksi arvolla ζ = 0,25 siirtyvä voima on kohdalla r = 4,5 suurempi kuin resonanssikohdassa siirtyvä voima. Kuvasta 4.15 nähdään, että amplitudi X on suurilla pyörimisnopeuksilla pieni, jolloin myös jousen kautta siirtyvä voima on pieni. Voima siirtyy suurilla pyörimisnopeuksilla lähinnä vaimentimen kautta, koska nopeus on suuri, jolloin vaimennusvoima on suuri. Alustaan siirtyvän maksimivoiman FA lauseke (4.49) voidaan kirjoittaa myös vaihtoehtoiseen muotoon FA = m 0 e Ω 2 1 + ( 2 ζ Ω / ω) [1 − (Ω / ω) ] 2 2 2 + (2 ζ Ω / ω ) 2 = Fmax 1+ ( 2ζ r) (1 − r ) 2 2 2 + ( 2ζ r) 2 (4.51) jossa Fmax = m 0 e Ω 2 on kulmanopeutta Ω vastaavan pakkovoiman amplitudi. On selvää, että FA / Fmax = T , jossa T on kuvan 4.12 siirtyvyys. Kuva 4.12 ei anna oikeaa yleiskuvaa siirtyvän voiman suuruudesta, koska myös Fmax kasvaa kulmanopeuden Ω kasvaessa. Kuvasta 4.12 syntyy helposti väärä käsitys, että siirtyvä voima lähestyy nollaa kulmanopeuden Ω kasvaessa, mikä ei tietenkään pidä paikkaansa. 4.3.3 Värähtelevä alusta Tarkastellaan pakkovärähtelyä, joka aiheutuu alustan u = b sin Ω t harmonisesta liikkeestä, kun B (b) (a) vaimennus on viskoosi. g Laskentamalli on esitetty k c k ( x + Δ − u) &u u && kuvassa 4.17. Siinä on jousi jousen lepopituus c( x& − u& ) k , vaimennin c , massa m Δ sekä funktion u( t ) = b sin Ω t staattinen tasapaino x m mukaisesti liikkuva alusta. m Koordinaatti u ilmaisee x& &x& alustan absoluuttisen asemg Kuva 4.17 Vaimennettu alustan värähtely. man ja koordinaatti x massan absoluuttisen aseman. Systeemin liikeyhtälöksi saadaan vapaakappalekuvan 4.17 (b) avulla ↑ k ( x + Δ − u ) − mg + c ( x& − u& ) = − m &x& Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely (4.52) © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.19 Ottamalla huomioon, että k Δ = mg ja u& = b Ω cos Ω t , saadaan liikeyhtälö muotoon m &x& + c x& + k x = b ( k sin Ω t + c Ω cos Ω t ) (4.53) Yhtälö (4.53) voidaan kirjoittaa trigonometrian kaavojen avulla muotoon m &x& + c x& + k x = A sin( Ω t + α ) (4.54) jolloin vakioiden A ja α lausekkeet ovat (todistus sivuutetaan) A = b k 2 + ( c Ω )2 α = arctan(c Ω / k ) ja (4.55) Yhtälön (4.54) pakkovärähtelyä vastaava yksityisratkaisu on muotoa x p = X sin( Ω t − β ) (4.56) Vakiot X ja β voidaan laskea yhtälöparista, joka saadaan sijoittamalla yrite (4.56) liikeyhtälöön (4.54). Tulos on (todistus sivuutetaan) Ω⎞ ⎛ b 1+ ⎜ 2 ζ ⎟ ω⎠ ⎝ X= ⎛ Ω ⎜ 1− ⎜ ω2 ⎝ 2 2 2 ⎞ ⎛ Ω ⎟ + ⎜ 2 ζ ⎞⎟ ⎟ ⎝ ω⎠ ⎠ 2 ⎡ ⎤ Ω3 ⎢ ⎥ 2ζ 3 ω ⎢ ⎥ β = arctan 2⎥ ⎢ Ω2 Ω⎞ ⎛ ⎢1 − + ⎜2ζ ⎟ ⎥ 2 ω ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ω ⎝ (4.57) Kun merkitään jälleen r = Ω / ω , saadaan vahvistuskertoimelle M ja vaihekulmalle β seuraavat kaavat X M= = b 1+ ( 2 ζ r ) (1 − r ) 2 2 2 + ( 2ζ r) 2 ⎡ ⎤ 2ζ r3 β = arctan⎢ 2⎥ 2 ⎣⎢1 − r + ( 2 ζ r ) ⎦⎥ (4.58) Kaavan (4.58) vahvistuskerroin M on sama lauseke kuin kaavassa (4.43) oleva siirtyvyys T , joten vahvistuskertoimen M arvot nähdään kuvasta 4.12. Vahvistuskerroin M ilmaisee, kuinka moninkertainen amplitudi X on alustan amplitudiin b verrattuna. Arvolla r = 2 on M = 1 vaimennussuhteen ζ arvosta riippumatta. Amplitudi X tulee pieneksi, kun r on suuri eli jousivakio k on pieni. Kuvassa 4.18 on esitetty vaihekulman β arvoja taajuussuhteen r funktiona muutamilla vaimennussuhteen ζ arvolla. Kuvan 4.17 systeemin käyttäytymistä voidaan tutkia myös suhteellisen koordinaatin z = x − u avulla. z ilmaisee massan m aseman alustaan B nähden. Sijoittamalla liikeyhtälöön (4.53) x = z + b sin Ω t , x& = z& + b Ω cos Ω t ja &x& = &z& − b Ω 2 sin Ω t saadaan m &z& + c z& + k z = m b Ω 2 sin Ω t Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely (4.59) © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.20 Kuva 4.18 Vaihekulma. Yhtälö (4.59) on samaa muotoa kuin roottoriliikeyhtälö (4.44), kertoimen m0 e paikalla on tässä m b . Vahvistuskertoimelle M = Z / b pätee näin ollen M= Z = b (1 − r ) r2 2 2 + ( 2ζr ) (4.60) 2 ja sille voidaan käyttää kuvan 4.15 käyrästöä. Tarkastellaan siirtyvyyttä kuvan 4.17 värähtelevän alustan tapauksessa. Nyt ollaan kiinnostuneita alustasta B massaan m siirtyvän voiman Fm ( t) maksimiarvosta FA . Vapaakappalekuvan 4.17 (b) sekä kaavojen (4.31), (4.32) ja (4.59) perusteella Fm ( t ) = k ( x p − u ) + c ( x& p − u& ) = k z p + c z& p = k Z sin( Ω t − φ ) − c Ω Z cos( Ω t − φ ) (4.61) Voidaan helposti todistaa, että voiman Fm (t) maksimiarvo on FM = ( k Z ) 2 + (c Ω Z ) 2 = k Z 1 + ( 2 ζ Ω / ω) 2 (4.62) jossa amplitudi Z saadaan kaavasta (4.60). Alustan maksimi siirtymää vastaava jousivoima on FK = k b . Siirtyvyydeksi TK = FM / FK saadaan näin ollen kaava Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 1+ ( 2 ζ r ) F TK = M = r 2 FK (1 − r ) 2 2 4.21 2 + ( 2ζ r) (4.63) 2 joka on samaa muotoa kuin kaavan (4.50) siirtyvyys Tn , joten siirtyvyydelle TK voidaan käyttää kuvan (4.16) käyrästöä. Massaan kohdistuva voima saadaan pieneksi käyttämällä löysää jousta ja mahdollisimman pientä vaimennusta. 4.4 Vaimennukseen kuluva energia Mekaanisissa systeemeissä esiintyy aina vaimennusta, jonka johdosta systeemin mekaanista energiaa muuttuu esimerkiksi lämpöenergiaksi tai ääniaaltojen energiaksi. Vapaassa värähtelyssä vaimennus ilmenee amplitudin pienenemisenä. Pysyvässä pakkovärähtelyssä herätevoixp man tekemä työ korvaa vaimennukseen kuluvan energian. m dx p Tutkitaan aluksi kuvan 4.19 mukaista tilannetta, jossa harmoninen pakkovoima F( t ) = F0 sin Ω t vaikuttaa harmonista värähtelyä x p = X sin( Ω t − φ ) suorittavaan massaan m . F Kuva 4.19 Pakkovoima. Kulma φ on herätevoiman ja siirtymävasteen välinen vaiheero. Siirtymälisäyksen dx p aikana voima tekee työn dW = F dx p = F0 sin Ω t ⋅ Ω X cos( Ω t − φ ) ⋅ dt (4.64) Yhden värähdysjakson aikana voima tekee työn 2π W= ∫ F0 X sin Ω t cos( Ω t − φ ) d(Ω t ) (4.65) 0 Soveltamalla kosinin lausekkeessa (4.65) vähennyslaskukaavaa saadaan 2π 2π W = F0 X cos φ ∫ sin Ω t cos Ω t d(Ω t ) + F0 X sin φ ∫ sin 2 Ω t d(Ω t ) 0 (4.66) 0 Edellä ensimmäisen termin integraali on nolla ja toisen termin integraalin arvo on π , joten jakson aikana tehty työ on W = π F0 X sin φ (4.67) Kaavasta (4.67) nähdään, että siirtymän kanssa samassa (φ = 0 o ) tai vastakkaisessa vaiheessa (φ = 180 o ) olevan pakkovoiman jakson aikana tekemä työ on nolla. Voima Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.22 tekee maksimityön, kun vaihekulma φ = 90 o eli voima on samassa vaiheessa nopeuden kanssa. Määritetään sitten viskoosin vaimennusvoiman Fd = c x& p = c Ω X cos( Ω t − φ ) yhden jakson aikana tekemä työ. Siirtymälisäyksen dx p aikana voima tekee työn dWd = Fd dx p = c Ω X cos( Ω t − φ ) ⋅ Ω X cos( Ω t − φ ) ⋅ dt (4.68) joten jakson aikana tehdyksi työksi tulee 2π Wd = c Ω X 2 ∫ cos 2 ( Ω t − φ ) d( Ω t ) = π c Ω X 2 (4.69) 0 Kaavasta (4.35) nähdään, että F0 sin φ = c Ω X . Sijoittamalla tämä kaavaan (4.67) saadaan tulos W = Wd eli pakkovoiman tekemä työ korvaa vaimennukseen kuluvan energian. Resonanssissa vaihekulma φ = 90 o ja pakkovoiman tekemä työ on maksimissaan, jolloin myös vaimennuksessa kuluva energia on maksimissaan. Resonanssissa Ω ≈ ω = k / m ja lisäksi c = 2 ζ k m , joten kaavasta (4.69) tulee Wd = 2 ζ π k X 2 (Ω = ω) (4.70) Vaimennukseen jakson aikana kuluvan energian lauseketta voidaan tarkastella graafisesti. Vapaakappalekuvan 4.10 (c) perusteella massaan m vaikuttaa voima f = k x p + c x& p = k x p + c Ω X cos( Ω t − φ ) ⇒ ( f − k x p ) 2 = ( c Ω X) 2 [ 1 − sin 2 ( Ω t − φ )] joka voidaan kirjoittaa muotoon f 2 2 ⎛ xp ⎞ ⎛ f − k xp ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ X⎟ ⎜ cΩX ⎟ =1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.71) cωX xp -X X − cωX Kuva 4.20 Hystereesisilmukka. Yhtälö (4.71) esittää x p f -koordinaatistossa kuvan 4.20 mukaista ellipsiä, jota sanotaan hystereesisilmukaksi. Silmukan sisäpuolelle jäävä pinta-ala on yhtä suuri kuin jakson aikana vaimennukseen kulunut energia. Viskoosin vaimennuksen hystereesisilmukka on ellipsi. Jokaiseen vaimennusmalliin liittyy tietty hystereesisilmukan muoto, joka voi vaihdella suurestikin mallista riippuen. Kaikki hystereesisilmukat ovat kuitenkin suljettuja Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.23 ja niiden rajoittama pinta-ala kuvaa vaimennuksessa tapahtuvaa energiahäviötä. Materiaalien ominaisuuksia tutkittaessa käytetään usein vaimennuksen mittana ominaisvaimennuskykyä β tai häviökerrointa η, jotka määritellään seuraavassa. β on energiahäviön Wd suhde kimmoenergian maksimiarvoon Vmax , josta seuraa resonanssitapaukselle β= Wd π c ω X2 2 π c = = = 4 πζ ≈ 2δ 1 k X2 Vmax mω 2 (4.72) jossa δ on logaritminen dekrementti. Häviökerroin on η = β / 2π . 4.5 Ekvivalentti viskoosi vaimennus Kuten kuvasta 4.11 nähdään, vaimennus vaikuttaa värähtelevään systeemiin pääasiassa pienentämällä amplitudia resonanssin läheisyydessä. Viskoosin vaimennuksen tapauksessa todettiin kohdassa 4.3.1, että resonanssiamplitudille pätee likikaava X max ≈ X ω = F0 / k F0 = 2ζ cω (4.73) Muille vaimennusmalleille ei ole löydettävissä yhtä yksinkertaista kaavaa. Resonanssiamplitudia on kuitenkin mahdollista arvioida muillekin vaimennusmalleille ekvivalentin viskoosin vaimennusvakion c ekv avulla. Vakio c ekv löydetään merkitsemällä tarkasteltavaan vaimennusmalliin liittyvä energiahäviö Wd yhtä suureksi kuin vaimennusvakion c ekv omaavan viskoosin vaimennuksen energiahäviö, joka on Wd = π c ekv Ω X 2 (4.74) jolloin värähtelyliike on oletettu harmoniseksi. Oletus on usein voimassa vain likimääräisesti. Tarkastellaan aluksi tilannetta, jossa vaimennusvoima on verrannollinen nopeuden neliöön. Tällöin vaimennusvoima on muotoa Fd = ± a x& 2 x x& Kuva 4.21 Vaimennusmalli. (4.75) jossa a on vakio sekä plusmerkki vastaa tapausta x& > 0 ja miinusmerkki tapausta x& ≤ 0 . Tällaista vaimennusmallia voidaan käyttää nesteessä tai kaasussa värähtelevälle kappaleelle. Laskentamalleissa nopeuden neliöön verrannollinen vaimennus esitetään tavallisesti kuvan 4.21 Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka 4.24 mukaisella vaimennuselementillä. Oletetaan värähtelyliike harmoniseksi x p = X sin( Ω t − φ ) , jolloin dx p = Ω X cos( Ω t − φ ) dt ja x& p = Ω X cos( Ω t − φ ) . Lisäksi resonanssissa on likimain Ω = ω , φ = π / 2 ja X = X ω . Energiahäviö jakson aikana on π Wd = 2 ⋅ ∫ a [ ω X n cos( ωt − π / 2 ) ] ω X n cos( ωt − π / 2 ) dt 2 ⇒ 0 π Wd = 2 a ω 2 X n3 ∫ cos 3 ( ω t − π / 2 ) d(ω t ) = 0 8 a ω 2 X 3ω 3 Kaavan (4.74) perusteella voidaan kirjoittaa 8 2 a ω 2 X 3ω = π c ekv ω X ω 3 ⇒ c ekv = 8 a ω Xω 3π 3 π F0 ⇒ X max ≈ X ω = (4.76) 8 a ω2 Ekvivalenttia viskoosia vaimennusta voidaan käyttää myös amplitudin X ja vaihekulman φ approksimoimiseen koko taajuusalueella. Tarkastellaan esimerkkinä kitkavaimennusta. Oletetaan, että harmonista pakkovoimaherätettä vastaa harmoninen siirtymävaste myös kitkavaimennuksella. Vaimennusvoima Fd = μ N tekee jakson neljänneksen aikana työn μ N X , jossa X on amplitudi. Kaavan (4.59) perusteella saadaan tulos Wd = 4 μ N X = π c ekv Ω X 2 ⇒ ζ ekv = ⇒ c ekv 4μN 1 = ck π Ω X 2m ω c ekv = ⇒ 4μN πΩ X 2 ζ ekv (4.77) Ω 4μN = ω π kX Kun edellä kirjoitettu tulos sijoitetaan kaavoihin (4.36), seuraa X = F0 / k 1 (1 − r ) 2 2 ⎛ 4μN ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝π kX⎠ 2 ⎛ 4μN ⎞ ⎜ ⎟ π kX⎟ ⎜ φ = arctan ⎜ 1− r 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ratkaisemalla näistä X ja φ saadaan kaavat Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki Värähtelymekaniikka M= X = F0 / k ⎛ 4μN ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ π F0 ⎠ 1− r 2 2 ⎡ 4μN ⎢ ± ⎢ π F0 φ = arctan ⎢ 2 ⎢ ⎛ 4μN ⎞ ⎢ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ π F0 ⎠ ⎣⎢ 4.25 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥ (4.78) Kaavat (4.78) ovat voimassa vain, jos neliöjuuren alla oleva termi on positiivinen eli 4 μ N /( π F0 ) < 1 . Nähdään myös, että M → ∞ , kun Ω → ω . Vaihekulman φ kaavassa pätee plusmerkki, kun r < 1 , mutta miinusmerkki, kun r > 1 . φ on epäjatkuva resonanssikohdassa. Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely © Matti Lähteenmäki
© Copyright 2024