1. No category

Johdatus matematiikkaan, syksy 2015
Harjoitus 3 ratkaisut
1. Osoita induktiolla, että kaava
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
on voimassa kaikille luonnollisille luvuille n = 1, 2, . . ..
1◦ : n = 1:
vasen puoli: 1
oikea puoli: 12 = 1
Siten väite on tosi, kun n = 1.
2◦ : Todistetaan induktioaskel.
Induktio-oletus:
1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) = k 2
Induktioväite:
1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Todistus: Induktio-oletuksen nojalla saadaan
1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) +(2(k + 1) − 1) = k 2 + (2k + 2 − 1)
|
{z
}
=k2
= k 2 + 2k + 1
= (k + 1)2 .
Siten induktioväite seuraa induktio-oletuksesta.
Induktioperiaatteen nojalla väite on nyt tosi kaikille n = 1, 2, 3, . . .
2. Osoita induktiolla, että jos n ∈ N, niin
1
2
3
n
1
+ + + ... +
=1−
.
2! 3! 4!
(n + 1)!
(n + 1)!
(Muista, että k! on luvun k kertoma, k! = 1 · 2 · . . . · k.)
1◦ : n = 1:
vasen puoli:
1
1
=
2!
2
oikea puoli: 1 −
1
1
1
=1− = .
(1 + 1)!
2
2
Siten väite on tosi, kun n = 1.
1
2◦ : Todistetaan induktioaskel.
Induktio-oletus:
1
2
3
k
1
+ + + ... +
=1−
.
2! 3! 4!
(k + 1)!
(k + 1)!
Induktioväite:
1
2
3
k
k+1
1
+ + + ... +
+
=1−
.
2! 3! 4!
(k + 1)! (k + 2)!
(k + 2)!
Todistus: Induktio-oletuksen nojalla saadaan
1
2
3
k
1
k+1
k+1
+ + + ... +
=1 −
+
+
2! 3! 4!
(k + 1)! (k + 2)!
(k + 1)! (k + 2)!
|
{z
}
1
=1− (k+1)!
k+2
k+1
+
(k + 2)! (k + 2)!
k+2−k−1
=1 −
(k + 2)!
1
.
=1 −
(k + 2)!
=1 −
Siten induktioväite seuraa induktio-oletuksesta.
Induktioperiaatteen nojalla väite on nyt tosi kaikille n = 1, 2, 3, . . ..
3. Oletetaan tunnetuksi, että kahden parittoman luvun tulo on pariton. Osoita induktiolla, että jos a on pariton, niin an on pariton
kaikille n ∈ N.
Tehdään induktio luvun n suhteen:
1◦ : n = 1: Koska a1 = a on pariton oletuksen mukaan, on väite totta kun
n = 1.
2◦ : Todistetaan induktioaskel.
Induktio-oletus: ak on pariton.
Induktioväite: ak+1 on pariton.
Todistus: ak+1 = a · ak . Oletuksen mukaan a on pariton ja induktiooletuksen mukaan ak on pariton. Siksi ak+1 on kahden parittoman luvun
tulona pariton.
4. Osoita induktiolla, että jos n ≥ 2, niin 5|(n5 − n).
Tehdään induktio luvun n suhteen, alkaen luvusta 2.
1◦ : n = 2: Koska 25 − 2 = 32 − 2 = 30 on jaollinen luvulla 5, on väite totta,
kun n = 2.
◦
2 : Todistetaan induktioaskel.
Induktio-oletus: 5|(k 5 − k).
Induktioväite: 5|((k + 1)5 − (k + 1)).
Todistus: Huomataan, että
(k + 1)5 − (k + 1) = k 5 + 5k 4 + 10k 3 + 10k 2 + 5k + 1 − k − 1
= (k 5 − k) + (5k 4 + 10k 3 + 10k 2 + 5k)
= (k 5 − k) + 5(k 4 + 2k 3 + 2k 2 + k).
Induktio-oletuksen nojalla k 5 − k on jaollinen 5:llä. Koska myös 5(k 4 +
2k 3 +2k 2 +k) on jaollinen 5:llä, pätee 5|((k +1)5 −(k +1)). (katso demo2,
teht. 3).
5. Osoita induktiolla, että 2n ≥ n2 kaikille n ∈ N, n ≥ 4.
Tehdään induktio luvun n suhteen, alkaen luvusta 4.
1◦ : n = 4: Koska 24 = 16 ja 42 = 16, on väite totta kun n = 4.
2◦ : Todistetaan induktioaskel.
Induktio-oletus: 2k ≥ k 2 .
Induktioväite: 2k+1 ≥ (k + 1)2 .
Todistus: Induktio-oletuksen perusteella
2k+1 = 2 · 2k ≥ 2 · k 2 = k 2 + k 2 .
Toisaalta (k + 1)2 = k 2 + 2k + 1, joten induktioväitteen todistamiseksi
riittää osoittaa, että k 2 ≥ 2k + 1, kun k ≥ 4. Tämä voidaan tehdä
vaikkapa seuraavalla tavalla:
k 2 = k · k ≥ 4k = 2k + 2k ≥ 2k + 8 ≥ 2k + 1.
Näin ollen induktioväite on todistettu.
6. Olkoon x ∈ R, x > −1. Osoita induktiota käyttäen, että
(1 + x)n ≥ 1 + nx
kaikille n ∈ N.
1◦ : n = 1: Koska (1 + x)1 = 1 + x ja 1 + 1 · x = 1 + x, on väite totta kun
n = 1.
◦
2 : Todistetaan induktioaskel.
Induktio-oletus: (1 + x)k ≥ 1 + kx.
Induktioväite: (1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x.
Todistus: Induktio-oletuksen perusteella
(1 + x)k+1 = (1 + x)k · (1 + x)
| {z } | {z }
≥1+kx
>0
≥ (1 + kx)(1 + x)
= 1 + (k + 1)x + |{z}
kx2
≥0
≥ 1 + (k + 1)x.
7. Seuraava päättely “osoittaa”, että kaikki hevoset ovat samanvärisiä:
Osoitetaan väite todistamalla induktiolla, että minkä tahansa n:n
hevosen joukko koostuu keskenään samanvärisistä hevosista.
Jos n = 1, eli hevosia on vain yksi, ovat joukon hevoset selvästi keskenään samanvärisiä.
Oletetaan sitten, että väite pätee kaikille k:n hevosen joukoille, ja
osoitetaan, että tästä seuraa, että se pätee myös (k + 1):n hevosen
joukoille.
Oletetaan siis, että aitauksessa on k + 1 hevosta. Jos niistä poistetaan yksi, ovat jäljelle jääneet k hevosta keskenään samanvärisiä
induktio-oletuksen nojalla. Palautetaan poistettu hevonen aitaukseen ja poistetaan sieltä jokin toinen hevonen. Taas saadaan k:n
hevosen joukko, joka induktio-oletuksen perusteella koostuu keskenään samanvärisistä hevosista. Lisäksi värin täytyy olla sama
kuin ensimmäisen k:n hevosen kohdalla. Näin ollen kaikki k + 1 hevosta ovat välttämättä samanvärisiä.
Todistettava väite on selvästi epätosi, joten mikä päättelyssä menee pieleen?
Induktioaskeleen todistuksessa päätellään virheellisesti, että niillä kahdella
hevosjoukolla, joihin induktio-oletusta sovelletaan, on yhteinen alkio. Näin ei
kuitenkaan ole, jos k + 1 = 2.