Diskreetti matematiikka II Demonstraatio II, 23.1.2015 1. Olkoon Σ äärellinen aakkosto. Sana w on palindromi, jos w = wR , missä wR on sanan w peilisana (ks. luentomoniste). Esitä induktiivinen määritelmä palindromisanojen joukolle aakkostossa Σ. 2. Reaalilukupolynomien joukko P(x) määritellään induktiivisesti seuraavasti: P(x) pienin joukko, joka toteuttaa seuraavat ehdot: (a) Kaikilla a ∈ R, a ∈ P(x), ja x ∈ P(x). (b) Jos p1 (x), p2 (x) ∈ P(x), niin p1 (x) + p2 (x) ∈ P(x) ja p1 (x) · p2 (x) ∈ P(x). Määrittele induktiivisesti polynomille p(x) ja reaaliluvulle a käsite "p arvolla a"eli p(a). Huom. Määritelmän tulee siis vastata tavallista luvun a sijoitusta muuttujan x paikalle. 3. Osoita rakenteelliselle induktiolla, että seuraava lause, ns. jäännöslause, pitää paikkaansa. Olkoon p(x) polynomi ja a jokin reaaliluku. Silloin on olemassa polynomi q(x), joille p(x) = (x − a)q(x) + p(a). 4. Propositiologiikan kaavojen joukko Prop määriteltiin demoissa I (teht. 5). (a) Määrittele induktiivisesti funktio k : Prop → N, missä k(P ) on kaavan P konnektiivien (∧, ∨, →, ↔ ja ¬) esiintymien lukumäärä. Esim. jos P = ((p1 ∨ (¬p2 )) ∧ p1 ), niin k(P ) = 3. (b) Demoissa I määriteltiin myös funktio s : Prop → N, jonka arvo on propositiossa esiintyvien sulkujen lukumäärä. Osoita rakenteellisella induktiolla, että s(P ) = 2k(P ). 5. Ratkaise rekursio u0 = 1, u1 = 9 ja un+2 = 9un kun n ≥ 0. 6. Ratkaise rekursio u0 = 3, u1 = 7 ja un+2 = 4un+1 − 4un , kun n ≥ 0. 7. Olkoon Σ äärellinen aakkosto. Joukkoa L ⊆ Σ∗ kutsutaan kieleksi. Kieli on siis jokin aakkoston Σ sanojen joukko. Olkoot L ja K kaksi kieltä. Määritellään kielten yhdiste (tai tulo) L · K seuraavasti: L · K = LK = {uv | u ∈ L, v ∈ K} Olkoot L = {ε, a, ab} ja K = {b, bb, bba}. Määritä LK ja KL.
© Copyright 2024