1. No category

10/26/2015
KJR-C2002
Kontinuumimekaniikan
perusteet
Luento 26.10.2015
Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT
Luennon sisältö
• Mitä mekaniikka on?
• Mikä on kontinuumi?
• Mitä on kontinuumimekaniikka?
• Miksi kontinuumimekaniikkaa pitää opiskella?
• Yksinkertaisia suunnittelutehtäviä
• Kurssin sisältö
• Kurssin käytännön asiat
• Viikon laskuharjoitukset
1
10/26/2015
Mitä mekaniikka on?
• Mekaniikka tutkii liikettä ja voimia aineessa (kiinteä, neste tai kaasu),
sekä niistä johtuvaa muodonmuutosta
• Fysiikan lakien soveltamista insinööritieteen tarpeisiin
• Lujuusoppi eli kiinteän aineen mekaniikka (solid mechanics) käsittelee
voimia ja siirtymiä kiinteässä aineessa ulkoisten voimien alaisena
• Virtausmekaniikka (fluid mechanics) käsittelee liikettä ja virtausta
nesteissä ja kaasuissa ulkoisten voimien vaikutuksesta
Mikä on kontinuumi?
• Aine koostuu atomeista, joiden välissä on tyhjää tilaa.
• Materiaaleja voidaan tutkia atomitasolla, mutta
insinööriongelmia ei pystytä ratkaisemaan atomitason
malleilla
pm
• Kun tarkastellaan ainetta suuremmassa skaalassa,
havaitaan erilaisia toistuvia rakenteita
• Metallit, useimmat keraamit ja jotkut
polymeerimateriaalit koostuvat kiteistä
μm
• Aineessa saattaa olla myös mikrosäröjä, kuplia,
täyteaineita jne.
μm
2
10/26/2015
Mikä on kontinuumi?
• Kontinuumimekaniikassa oletetaan, että
materiaalin luontainen diskreetti eli epäjatkuva
rakenne voidaan unohtaa, kun tarkastellaan ainetta
riittävän suuressa skaalassa
• Ainetta tarkastellaan makroskooppisella tasolla, eli mitä
ihmissilmä näkee
cm
• Kontinuumi on oletus, että materiaali täyttää täysin
tilavuutensa, eli esim. atomien välisiä tyhjiä tiloja ei
ole.
• Tämä oletus toimii hyvin, kunhan tarkasteltavat
kappaleet ovat riittävän isoja, eli selvästi isompia kuin
atomi, molekyyli, kide tai rakenteen virheet
m
Miksi aine oletetaan kontinuumiksi?
• Tällöin voidaan olettaa, että suureet, kuten tiheys, lämpötila,
siirtymät, jännitys jne. ovat jatkuvia. Silloin ne voidaan kuvata
matemaattisesti funktioina, joiden derivaatat ovat olemassa ja
jatkuvia.
• Voimme myös tarkastella ainetta pisteessä, eli otamme käsittelyyn
infinitesimaalisen pienen tilavuuden, jossa tarkastelemme haluttua
suuretta.
• Nämä kontinuumin ominaisuudet mahdollistavat fysiikan lakien
esittämisen matemaattisessa muodossa, eli saamme yhtälöitä joita
voidaan käyttää käytännön ongelmien ratkaisemiseen.
3
10/26/2015
Mitä kontinuumimekaniikka tarkoittaa?
• Kontinuumimekaniikka on idealisoidun kontinuumiaineen mekaniikan
matemaattista tarkastelua
• Eli kirjoitetaan fysiikan lait tarkasteltavan sovelluksen kannalta
sopivaan yhtälömuotoon ja ratkaistaan yhtälöt
• Taustalla on oletus, että aine on jatkuvaa (kontinuumi)
4
10/26/2015
Miksi opiskelemme kontinuumimekaniikkaa?
• Diplomi-insinöörit työskentelevät monialaisten haastavien ongelmien
parissa
• DI-koulutuksessa opitaan työelämässä tarvittavia taitoja, mutta ehkä tärkein oppi on
kyky ajatella analyyttisesti (eli yksinkertaistaa monimutkaisia ongelmia)
• Kun ymmärretään ilmiöiden taustalla vaikuttavat luonnonlait, pystytään ratkomaan
monimutkaisia ongelmia, ja valmistamaan korkean teknologian tuotteita
• Kontinuumimekaniikka on perusta kaikille teorioille kiinteän aineen
mekaniikassa ja virtausmekaniikassa
• Mallinnus ja simulointi kasvattaa merkitystään kaikilla insinööritieteen
aloilla
• Riski suuriin virheisiin ellei ymmärrystä taustalla olevasta teoriasta
5
10/26/2015
Yksinkertainen suunnitteluongelma
Lujuusoppi
Lujuusopillisia kysymyksiä
• Mikä on kuorma W, jonka palkki kestää?
• Mikä on taipuma δ palkin päässä?
• Millaisia sisäisiä rasituksia palkissa on?
𝛿=
4𝑊𝐿3
𝐸𝑏ℎ3
Mikä on sopiva materiaali?
• Valitaan sopiva kimmokerroin E
Mikä geometria valitaan?
• Mitat L, b ja h
Ylittävätkö rakenteen jännitykset
materiaalin sallitut jännitykset?
Yksinkertainen suunnitteluongelma
Virtausmekaniikka
Voiteluöljyn viskositeetin mittaus
kapillaariputken avulla
𝜇=
𝜋𝑑4 𝑃1 − 𝑃2
128𝐿 𝑄
6
10/26/2015
Yksinkertainen suunnitteluongelma
Lämmönsiirto
Mikä on lämmön hävikki sulatusuunin
seinän läpi kun lämpötila tunnetaan
uunin sisä- ja ulkopuolella?
Seinän eri kerrokset (tiili, sementtilaasti,
kevyttiili) eristävät lämpöä eri tavoin.
• Mitä materiaaleja käytetään?
• Miten paksuja eri kerrosten pitää olla,
jotta saavutetaan haluttu lämmöneristävyys sekä rakenteellinen lujuus?
Fourierin lämmönjohtavuuslaki
𝑞 = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Mitä kurssilla opitaan?
1. Johdetaan materiaalien liikettä ja termomekaanista käyttäytymistä
kuvaavat yhtälöt fysiikan lakien, eli säilymislakien, avulla
• Yhtälöt ovat käytännössä massan, liikemäärän, liikemäärän momentin ja
energian säilymisperiaatteen analyyttisiä esitysmuotoja, joita täydennetään
materiaalin käyttäytymistä kuvaavilla eli konstitutiivisilla yhtälöillä
2. Sovelletaan johdettuja yhtälöitä insinööriongelmien ratkaisemiseen
seuraavilla aloilla
• Kiinteän aineen mekaniikka
• Virtausmekaniikka
• Lämmönsiirto
7
10/26/2015
Kurssin aihealueet
1.
2.
3.
4.
Kinematiikka
• Tutkii muodonmuutosta aineessa ilman muodonmuutoksen aiheuttavia voimia
• Opimme esittämään muodonmuutoksen matemaattisesti
Jännitys
• Kuuluu kinetiikkaan, joka tutkii voimien ja momenttien staattista ja dynaamista tasapainoa
liikemäärän ja liikemäärän momentin säilymislakien avulla
• Opimme, miten ulkoisten voimien aiheuttamat materiaalin sisäiset rasitukset kuvataan
matemaattisesti
Säilymislait
• Massan säilymislaki
• Liikemäärän ja liikemäärän momentin säilymislait
• Energian säilymisen periaate
Konstitutiiviset yhtälöt
• Yhtälöt, jotka kuvaavat materiaalin käyttäytymistä (perustuvat kokeisiin)
5.
Esimerkkejä sovelluksista
Kurssin sisältö, alustava luentoaikataulu
• Viikko 1: Johdanto, vektori- ja matriisilaskennan kertausta
•
•
•
Luento 1: Mitä on kontinuumimekaniikka?
Luento 2: Vektorilaskennan kertausta
Luento 3: Matriisilaskennan kertausta
• Viikko 2: Kontinuumin kinematiikka
•
•
•
Luento 4: Muodonmuutos, insinöörivenymät, kinematiikan peruskäsitteet
Luento 5: Kinematiikan peruskäsitteet, muodonmuutostilan matemaattiset esitysmuodot
Luento 6: Muodonmuutostilan matemaattiset esitysmuodot
• Viikko 3: Jännitys
•
•
•
Luento 7: Jännityksen käsite
Luento 8: Tasapaino ja tasojännitys
Luento 9: Pääjännitykset
• Viikko 4: Massan, liikemäärän ja energian säilymislait
•
•
•
Luento 10: Massan säilyminen
Luento 11: Liikemäärän ja liikemäärän momentin säilyminen
Luento 12: Energian säilyminen
• Viikko 5: Lujuusopin esimerkkejä, konstitutiiviset yhtälöt lineaaris-elastiselle aineelle
•
•
•
Luento 13: Konstitutiiviset yhtälöt lineaaris-elastiselle kiinteälle aineelle
Luento 14: Lujuusopin esimerkkejä
Luento 15: Lujuusopin esimerkkejä
• Viikko 6: Virtausmekaniikan ja lämmönsiirron esimerkkejä, konstitutiiviset yhtälöt
•
•
•
Luento 16: Virtausmekaniikan esimerkkejä
Luento 17: Lämmönsiirron esimerkkejä
Luento 18: Kertaus
8
10/26/2015
Kurssin järjestelyt
• Kurssin kotisivu
https://mycourses.aalto.fi/course/view.php?id=6298
• Katso kurssiesite kohdasta Yleisinformaatio
• Kotisivulle tulevat viikoittaiset laskuharjoitukset, luentokalvot, muu
materiaali, kurssin tiedotus jne.
Laskuharjoitukset
• Joka viikko 4 tehtävää
• Tehtävät esitellään maanantain luennolla, mutta ne laitetaan kurssin
kotisivulle kohtaan ”Tehtävät” viimeistään edellisen viikon torstaina
• Viikon luennoilla annetaan tehtävien ratkaisemiseksi tarvittavat tiedot
• Apua tehtävien ratkaisemiseen saa assistenteilta laskutuvissa
• Laskuharjoitusten pisteistä pitää saada vähintään 1/3 viideltä
ensimmäiseltä viikolta, jotta saa tenttioikeuden
• Ylimenevät pisteet nostavat kurssin lopullista arvosanaa
9
10/26/2015
Laskutuvat
Kurssin viikkoaikataulu
Ma
Ti
8.15-10
10.15-12
Luento, Aaltosali
Ke
To
Pe
Luento, C-sali
Laskutupa H2,
Sali U9
Laskutupa H4,
Sali U5
Laskutupa H1,
Sali U9
Laskutupa H3,
Sali U9
Laskutupa H5,
Sali U5
12.15-14
14.15-16
Laskutupa H6,
Sali U5
Luento, C-sali
Laskutupa H7,
Sali U5
Jokainen ilmoittautuu WebOodissa tiettyyn laskutupaan, mutta kaikissa laskutuvissa saa vapaasti käydä
kysymässä neuvoa laskutehtävien ratkaisemiseksi.
Korjatut kotitehtävät ovat noudettavissa kuitenkin vain omasta laskutuvasta.
Laskutupaan ei ole tarkoitus mennä tyhjän paperin kanssa, vaan tehtäviä on hyvä miettiä ensin itse tai kaverin
kanssa. Laskutuvasta saa apua sitten jos ja kun vaikeuksia ilmenee.
Laskuharjoitusten palautus
• Laskutehtävät palautetaan
kyyhkyslakkaan, Otakaari 1, perjantaihin,
kello 18 mennessä.
• Laskutehtävät ratkaistaan jokainen
omalle paperilleen. Paperissa pitää lukea
oman harjoitusryhmän numero, tehtävän
numero, oma nimi ja opiskelijanumero.
• Jokainen tehtävä palautetaan omaan
lokeroonsa kyyhkyslakkaan (Otakaari 1,
Y-käytävä).
10
10/26/2015
Palaute
• Kurssia pyritään jatkuvasti kehittämään paremmaksi. Voit osallistua
tähän työhön antamalla palautetta luennoista, harjoituksista, kurssin
tiedotuksesta, tai mistä vaan kurssiin liittyvästä
• Palautetta voi antaa henkilökohtaisesti luennon jälkeen, lähettämällä
sähköpostia luennoitsijalle [email protected],
keskusteluryhmässä kurssin MyCourses-sivulla, jne.
• Palautteesta annetaan kaksi pistettä max. kaksi kertaa kurssin aikana.
Pisteet lisätään laskuharjoituspisteisiin.
• Palaute pitää siksi antaa omalla nimellä
Kurssin suorittaminen
• Kurssi suoritetaan tentillä
• tenttipäivät:
• 9.12.2015 klo 8.30-12.30
• 14.1.2016 klo 16-20
• 19.5.2016 klo 16-20
• Tenttioikeuden edellytys on, että kurssin laskuharjoitusten ensimmäisiltä viideltä
kierrokselta on saatu vähintään 1/3 pisteistä. Yhdellä kierroksella on neljä
tehtävää, á 3p, eli tenttioikeuden vaatima pistemäärä on (1/3)*(5*4*3) = 20p.
• Ylimenevät pisteet (myös kuudennen harjoituskierroksen pisteet) lisätään tentistä
saatuihin pisteisiin siten, että maksimissaan tenttipistemäärää voi korottaa yhden
tenttitehtävän verran. Kurssin arvosanaa voi siis korottaa tekemällä
laskuharjoituksia.
• Kurssi arvostellaan asteikolla 0-5, missä nolla on hylätty arvosana ja 1-5 ovat
hyväksyttyjä arvosanoja
11
10/26/2015
Kurssin henkilökunta
• Vastuuopettaja Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT
• [email protected]
• Pääassistentti Markku Malmivuori, Tuntiopettaja, FT
• [email protected]
• Tuntiassistentit
•
•
•
•
•
Joonas Lehtovaara
Said Moradi
Aleksi Purkunen
Niko Pöntinen
Risto Syrjä
Mitä tänään opimme?
• Mitä mekaniikka on?
• Mikä on kontinuumi?
• Mitä on kontinuumimekaniikka?
• Miksi kontinuumimekaniikkaa pitää opiskella?
• Yksinkertaisia suunnittelutehtäviä
• Kurssin sisältö
• Kurssin käytännön asiat
12
10/26/2015
Seuraavalla luennolla
• Kontinuumimekaniikan yhtälöiden matemaattinen esitys vaatii
vektorien, matriisien ja tensorien käyttöä
• Tiistain ja keskiviikon luennoilla käydään läpi kurssilla tarvittavaa
vektori- ja matriisilaskentaa sekä esitellään tensorit
• Laskukaavat joudutaan käymään läpi melko nopealla aikataululla. Niiden
pitäisi olla tuttuja matematiikan kursseilta, ja näitä asioita on hyvä kerrata
myös kirjan avulla
Laskutehtävät viikko 1
• Kurssin MyCourses –sivu, Tehtävät-osio
13
10/26/2015
Laskutehtävät viikko 1
• Kurssin MyCourses –sivu, Tehtävät-osio
Laskutehtävät viikko 1
• Kurssin MyCourses –sivu, Tehtävät-osio
14
10/26/2015
Laskutehtävät viikko 1
• Kurssin MyCourses –sivu, Tehtävät-osio
15