1. No category

Luento 3: Käyräviivainen liike
Kertausta viime viikolta
Käyräviivainen liike
Heittoliike
Ympyräliike
Kulmamuuttujat ✓, ! ja ↵
Yhdistetty liike
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:32
1/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (#36)
Luennon sisältö
Kertausta viime viikolta
Käyräviivainen liike
Heittoliike
Ympyräliike
Kulmamuuttujat ✓, ! ja ↵
Yhdistetty liike
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:32
2/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (2/40)
Konseptitesti 1
Kysymys
Henkilö on aluksi pisteessä P. Hetken kuluttua hän siirtyy akselia
pitkin pisteeseen Q ja viipyy siellä hetken. Tämän jälkeen hän
juoksee nopeasti pisteeseen R, odottaa hetken ja kävelee hitaasti
takaisin pisteeseen P. Mikä alla olevista sijainti vs. aika -kuvaajista
kuvaa henkilön liikettä?
•
0
2015-09-14 13:50:32
Q
•
1
R
•
2
3/40
P
•
3
•
4
luentokalvot_03_combined.pdf (3/40)
Konseptitesti 2
Kysymys
x-akselia pitkin kulkevan kappaleen sijaintia kuvaa funktio
x (t ) = (5.0 m s
1
)t
(10.0 m s
2
)t 2 + (4.0 m s
3
)t 3
Mikä on kappaleen liiketila, kun t = 1.0 s?
1. Se liikkuu kiihdyttäen
2. Se liikkuu jarruttaen
3. Se liikkuu vakionopeudella
4. Se on hetkellisesti paikallaan
5. Annettu informaatio ei riitä
2015-09-14 13:50:32
4/40
luentokalvot_03_combined.pdf (4/40)
Konseptitesti 2
Kysymys
x-akselia pitkin kulkevan kappaleen sijaintia kuvaa funktio
x (t ) = (5.0 m s
1
)t
(10.0 m s
2
)t 2 + (4.0 m s
3
)t 3
Mikä on kappaleen liiketila, kun t = 1.0 s?
1. Se liikkuu kiihdyttäen
2. Se liikkuu jarruttaen
3. Se liikkuu vakionopeudella
4. Se on hetkellisesti paikallaan
5. Annettu informaatio ei riitä
2015-09-14 13:50:33
5/40
luentokalvot_03_combined.pdf (5/40)
Luennon sisältö
Kertausta viime viikolta
Käyräviivainen liike
Heittoliike
Ympyräliike
Kulmamuuttujat ✓, ! ja ↵
Yhdistetty liike
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:33
6/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (6/40)
Paikkavektori
Hiukkanen pisteessä P
Sen paikkavektori r tarkastelukoordinaatiston origosta on
r = x î + y ĵ + z k̂
z
P
•
~r
x
~z
~x
~y
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:33
7/40
y
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (7/40)
Nopeus
Kappaleella paikkavektorit ~r 1 ja ~r 2 ajanhetkillä t1 ja t2
Keskimääräinen nopeusvektori
z
v ave
r2
=
t2
r1
=
t1
r
t
~r 1
~r 2
x
•
Hetkellinen nopeusvektori raja-arvo, kun
~v = lim
t !0
~r
d~r
=
t
dt
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:33
8/40
•
y
~r
t !0
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (8/40)
Nopeus komponenttimuodossa
Hiukkasen paikkavektorin komponenteista saadaan
v = vx î + vy ĵ + vz k̂ =
d~r
d
dx
dy
dz
=
x (t )î + y (t )ĵ + z (t )k̂ =
î +
ĵ +
k̂
dt
dt
dt
dt
dt
z
Nopeuden itseisarvo eli vauhti edelleen
v= v =
2015-09-14 13:50:33
q
vx2 + vy2 + vz2
9/40
~v
x
~v y
~v z
y
~v x
luentokalvot_03_combined.pdf (9/40)
Kiihtyvyys
Kiihtyvyys vaikuttaa vauhtiin ja nopeusvektorin suuntaan
Keskimääräinen ja hetkellinen kiihtyvyysvektori:
aave
v2
=
t2
v1
=
t1
Komponenttimuodossaan
v
=) a = lim
t !0
t
dvy
dvx
, ay =
,
dt
dt
ja kiihtyvyyden itseisarvo
ax =
a= a =
q
10/40
dvz
dt
ax2 + ay2 + az2
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:33
az =
v
dv
=
t
dt
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (10/40)
Kiihtyvyys paikkavektorista
Nopeus paikkavektorin derivaatta, joten
d~
v
d 2~r
a=
= 2
dt
dt
Vastaavasti komponenttimuodossa
d 2x
ax = 2 ,
dt
d 2y
ay = 2 ,
dt
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:33
11/40
d 2z
az = 2
dt
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (11/40)
Tangentti- ja normaalikomponentit
Kiihtyvyysvektori ~a voidaan jakaa nopeusvektorin ~
v suuntaiseen
(~aT ) ja kohtisuoraan komponenttiin (~aN )
Tangentiaalikomponentti ~aT vaikuttaa ainoastaan hiukkasen
vauhtiin (nopeuden itseisarvoon)
Normaalikomponentti ~aN vaikuttaa ainoastaan hiukkasen
nopeusvektorin suuntaan
Normaalikomponentin suunta on aina ratakäyrän koveralle
("sisä-") puolelle
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:33
12/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (12/40)
Esimerkki
Olkoon tasossa liikkuvan hiukkasen koordinaatit ajan funktiona
x = A Bt 2 ja y = Ct + Dt 3 .
Laske hiukkasen a) nopeus, b) kiihtyvyys ja c) kiihtyvyyden
tangentiaali- ja normaalikomponentit hetkellä t = 0
Ratkaisu
~r = x î + y ĵ
a) ~
v = ddt~r = 2Bt î + C + 3Dt 2 ĵ
b) ~a = ddt~v = 2B î + 6Dt ĵ
c) ~
v (t = 0) = C ĵ ~a(t = 0) = 2B î
(
~aT
=)
~aN
=0
= 2B î
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:34
13/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (13/40)
Luennon sisältö
Kertausta viime viikolta
Käyräviivainen liike
Heittoliike
Ympyräliike
Kulmamuuttujat ✓, ! ja ↵
Yhdistetty liike
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:34
14/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (14/40)
Konseptitesti 3
Kysymys
Sotalaivasta ammutaan yhtäaikaisesti kaksi ammusta vihollislaivoja
kohti. Jos ammukset kulkevat paraabeliradalla, kumpaan laivaan
osutaan ensiksi?
1. Laivaan A
2. Yhtäaikaa molempiin
3. Laivaan B
4. Tarvitaan lisää tietoa
A
2015-09-14 13:50:34
15/40
B
luentokalvot_03_combined.pdf (15/40)
Konseptitesti 3
Kysymys
Sotalaivasta ammutaan yhtäaikaisesti kaksi ammusta vihollislaivoja
kohti. Jos ammukset kulkevat paraabeliradalla, kumpaan laivaan
osutaan ensiksi?
1. Laivaan A
2. Yhtäaikaa molempiin
3. Laivaan B
4. Tarvitaan lisää tietoa
A
2015-09-14 13:50:34
16/40
B
luentokalvot_03_combined.pdf (16/40)
Heittoliike
Kertausta lukiosta
Tärkeä erikoistapaus tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä on
heittoliike (projectile motion) lähellä maan pintaa
Kun vastusvoimat jätetään huomiotta, hiukkaseen vaikuttaa
ainoastaan maan vetovoiman kiihtyvyys ~
g
Sekä pysty- (y ) että vaakasuuntaiseen (x) liikkeeseen voidaan
erikseen soveltaa tasaisen kiihtyvyyden yhtälöitä
ax = 0 ay =
g
Mikäli alkunopeusvektori ~
v tunnetaan, liike on täysin määrätty
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:34
17/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (17/40)
Heittoliikkeen yhtälöt
Heitetään hiukkanen maan pinnalta
Alkunopeus ~
v0
Lähtökulma ↵0 maan pintaan nähden
Vakiokiihtyvyyden yhtälöistä saadaan nopeuden ja paikan
komponentit ajan hetkellä t
(
vx
vy
= v0x
= v0y
gt
=)
(
x
y
= x0 + v0x t
= y0 + v0y t
1 2
2 gt
missä alkunopeuden komponentit ovat
v0x = v0 cos ↵0
ja v0y = v0 sin ↵0
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:34
18/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (18/40)
Ratakäyrä heittoliikkeessä
Valitaan koordinaatisto siten, että x0 = y0 = 0.
Eliminoimalla aika t saadaan ratkaistua hiukkasen ratakäyrä
x
v0x
h x i 1 h x i2
y = v0y
g
=)
v0x
2 v0x
g
2
y = x tan ↵0
x
2v02 cos2 ↵0
x = v0x t =) t =
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:34
19/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (19/40)
Esimerkki
Laske lentoradan a) maksimikorkeus ja b) kappaleen lentämä
matka heittoliikkeessä
a) Lakipisteessä vy = 0 = v0y
y = y0 + v0y t
gt =) t = v0y /g.
1 2
gt =) h = y
2
2
y0 = v0y
g
1 h v0y i
h=
2 g
2
b) y = y0 =) y
R=x
1 h v0y i
g 2
2
g
2
2v0y
g
y0 = v0y t
1 2
2 gt
x0 = v0x t =
2v0x v0y
2v0 cos ↵0 sin ↵0
=
g
g
= 0 =) t =
v0 sin 2↵0
=
.
g
2015-09-14 13:50:34
20/40
luentokalvot_03_combined.pdf (20/40)
Kuva
2015-09-14 13:50:35
21/40
luentokalvot_03_combined.pdf (21/40)
Luennon sisältö
Kertausta viime viikolta
Käyräviivainen liike
Heittoliike
Ympyräliike
Kulmamuuttujat ✓, ! ja ↵
Yhdistetty liike
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:35
22/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (22/40)
Ympyräliike
Tärkeä erikoistapaus heittoliikkeestä on ympyräliike
Tarkastellaan ensin tasaista ympyräliikettä (uniform circular
motion)
Hiukkasella vakiovauhti v
Liikerata ympyränmuotoinen
Nopeusvektori ympyrän tangentin suuntainen
Kiihtyvyys kohti ympyrän keskipistettä
Kiihtyvyydellä ei tangentiaalista komponenttia
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:35
23/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (23/40)
Kiihtyvyys tasaisessa ympyräliikkeessä
~v 1
Yhdenmuotoisista kolmioista
~v
v1
s
=
=)
R
v
~v = 1
R
Keskimääräinen kiihtyvyys
aav =
v
v1
=
t
R
P1
s.
•
R
s
P2
•
~v 2
' R
•
s
t
~v 1
Hetkellinen kiihtyvyys
v1
t !0 R
a = lim
2015-09-14 13:50:35
v12
s
=
t
R
24/40
~v
'
~v 2
luentokalvot_03_combined.pdf (24/40)
Keskihakukiihtyvyys ja jaksonaika
P1 voi olla mikä piste tahansa =)
v2
a = aN = arad =
,
R
jota kutsutaan keskihakukiihtyvyydeksi (centripetal
acceleration)
Jaksonaika (period) T (tai P) tarkoittaa yhteen kierrokseen
tarvittavaa aikaa.
Keskihakukiihtyvyys jaksonajan avulla esitettynä on
arad
⇣ 2⇡ R ⌘2 1
v2
4⇡ 2 R
=
=
=
R
T
R
T
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:35
25/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (25/40)
Yleinen ympyräliike
Yleisessä ympyräliikkeessä (non-uniform circular motion)
hiukkasen vauhti v = |~
v | ei vakio
Jaetaan kiihtyvyysvektori tangentiaaliseen ja
normaalikomponenttiin (radan suhteen. . . )
Tangentiaalikomponentti muuttaa hiukkasen vauhtia ja
normaalikomponentti nopeuden suuntaa
arad
v2
=
R
ja
aT = atan
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:35
26/40
dv
=
dt
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (26/40)
Yleinen käyräviivainen liike
Hiukkasen vauhti |~
v | ja radan kaarevuussäde R eivät vakioita
Jaetaan kiihtyvyysvektori voidaan jakaa silti tangentiaali- ja
normaalikomponentteihin
Tangentiaalikomponentti muuttaa hiukkasen vauhtia ja
normaalikomponentti suuntaa
Normaalikiihtyvyyden yhtälössä radan kaarevuussäde R
korvataan ⇢:lla, joka riippuu sijainnista ratakäyrällä, eikä siis ole
vakio
v2
dv
arad =
ja aT = atan =
⇢
dt
Seuraus: jos hiukkasen radan paikallinen kaarevuussäde ⇢ ja
paikallinen vauhti tunnetaan, päästään sen kokemaan
kiihtyvyyteen ja päinvastoin: kiihtyvyyden perusteella voidaan
määrittää hiukkasen radan paikallinen kaarevuussäde =)
ratatehtävät
2015-09-14 13:50:35
27/40
luentokalvot_03_combined.pdf (27/40)
Luennon sisältö
Kertausta viime viikolta
Käyräviivainen liike
Heittoliike
Ympyräliike
Kulmamuuttujat ✓, ! ja ↵
Yhdistetty liike
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:35
28/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (28/40)
Kulmamuuttujat ✓, ! ja ↵
y
Jäykkä kappale (rigid body) =
kappale, jolla tietty muuttumaton
koko ja muoto
Jäykkä kappale pyörii kiinteän
akselin ympäri
Akseli on levossa (jossakin)
inertiaalikoordinaatistossa
Kulma ✓ (janan OP ja x-akselin
välinen kulma) mitataan
radiaaneissa
P
r
✓
•
s
x
O
= Ympyräradan kaaren pituus
jaettuna ympyrän säteellä
Kulman yksikkö 1 rad = 360 /2⇡
2015-09-14 13:50:35
29/40
luentokalvot_03_combined.pdf (29/40)
Kulmanopeus ja -kiihtyvyys
Keskimääräinen ja hetkellinen kulmanopeus
!ave =
✓2
✓1
t2
t1
=
✓
t
;
! = lim
t !0
d✓
=
t
dt
✓
Keskimääräinen ja hetkellinen kulmakiihtyvyys
↵ave =
!2
!1
t2
t1
=
!
t
;
↵ = lim
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:36
30/40
t !0
d!
=
t
dt
!
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (30/40)
Pyörimisliikkeen vektorisuureet
~
Kulmanopeusvektori !
Kohtisuorassa pyörimisliikkeen tasoa
vastaan
!
Suunta määrätään oikean käden säännöllä
↵, ↵ > 0
!
~
Kulmakiihtyvyysvektori ↵
~ jos ↵ > 0
Samansuuntainen kuin !
Vastakkaissuuntainen jos ↵ < 0
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:36
31/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (31/40)
Esimerkki
Renkaan säde olkoon r = 0.36 m ja erään pisteen
kulmakoordinaatti ajan funktiona ✓ = t 3 , missä = 2.0 rad s 3 .
Laske pisteen a) kulmanopeus, b) kulmakiihtyvyys ja c) kuljettu
matka, kun t = 2 s.
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:36
32/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (32/40)
Ratkaisu
a) ! = ddt✓ = 3 t 2 = 24 rad s 1
b) ↵ = ddt↵ = 6 t = 24 rad s 2
c) ✓ = sr =) s = ✓r = r t 3 = 5.8 m
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:36
33/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (33/40)
Tasainen kulmakiihtyvyys
Vakio-↵
Kulmakiihtyvyyden määritelmästä
d!
↵=
= vakio =)
dt
Z!
d! =
Zt
↵dt =)
0
!0
! = !0 + ↵ t
Toisaalta
d✓
!=
=)
dt
Z✓
d✓ =
✓0
Zt
0
! dt =
Zt
(!0 + ↵t )dt =)
0
1
2
✓ = ✓0 + !0 t + ↵ t 2
2015-09-14 13:50:36
34/40
luentokalvot_03_combined.pdf (34/40)
Tasainen kulmakiihtyvyys - jatkoa
Eliminoidaan aika: t = (!
!0 )/↵, jolloin
1 h ! ! 0 i2
✓ = ✓0 + !0
+ ↵
↵
2
↵
! 1 !02
! !02 1 ! 2
= ✓0 + !0
+
!0 +
↵
↵
2 ↵
↵ 2 ↵
1 !2
1 !02
= ✓0 +
2 ↵
2 ↵
!
!0
Samanlainen ajasta eksplisiittisesti riippumaton yhtälö kuin mikä
saatiin translaatioliikkeellekin
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:36
35/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (35/40)
Translaatio- ja rotaatioliikkeen yhteys
Pisteen paikka ympyrän kaarella s = r ✓
ds
d✓
Pisteen nopeus v =
=r
= r!
dt
dt
Pisteen tangentiaalinen kiihtyvyys
dv
d!
aT =
=r
= r↵
dt
dt
Kiihtyvyyden normaalikomponentti ja
itseisarvo
v2
aN =
= r !2,
r
a=
v , aT
P
r
•
✓
aN
•
s
x
O
q
2
aT2 + aN
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:36
y
36/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (36/40)
Analogiat
Pyörimisliikkeen yhtälöt tasaisella kulmakiihtyvyydellä
samanmuotoiset kuin tasaisella kiihtyvyydellä
translaatioliikkeessä
Esimerkki fysiikassa esiintyvistä analogioista: sama
matemaattinen malli pätee erilaisiin fysikaalisiin ongelmiin
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:36
37/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (37/40)
Luennon sisältö
Kertausta viime viikolta
Käyräviivainen liike
Heittoliike
Ympyräliike
Kulmamuuttujat ✓, ! ja ↵
Yhdistetty liike
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:36
38/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (38/40)
Yhdistetty translaatio- ja pyörimisliike
= Massakeskipisteen etenemisliikkeenä + massakeskipisteen
kautta kulkevan akselin ympäri tapahtuva pyörimisliike
Liikeyhtälöt vastaavat kuin erikseen etenemis- ja
pyörimisliikkeessä
Edellyttää
Pyörimisakseli on symmetria-akseli
Akseli ei muuta suuntaansa liikkeen aikana
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-14 13:50:36
39/40
Syksy 2015
luentokalvot_03_combined.pdf (39/40)
Vieriminen liukumatta
Esimerkki yhdistetystä etenemis- ja pyörimisliikkeestä
Kappaleen tukipintaa koskettava piste ei liiku suhteessa pintaan
Toisaalta hetkellisesti kappale pyörii aina kosketuspisteensä
ympäri
Kappaleen kulmanopeuden ja etenemisnopeuden välillä yhteys
vCM = R !
Palataan yhdistetyn liikkeen analyysiin hitausmomentin
yhteydessä
•
•
•
•
2015-09-14 13:50:37
•
+
•
•
•
•
40/40
=
•
•
•
•
•
luentokalvot_03_combined.pdf (40/40)