luento12 energian tase
11/20/2015 KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 18.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luentotehtävä • Selitä omin sanoin mitä ovat systeemi, kontrollitilavuus ja kontrollipinta kontinuumimekaniikan tarkasteluissa. • Saa käyttää myös kuvia, yhtälöitä jne. • Palauta vastaus nimelläsi ja op. numerollasi varustetulla paperilla luennoitsijalle klo 8.30 mennessä • Oikeista (tai oikean suuntaisista) vastauksista annetaan 1 p, joka lisätään laskuharjoituspisteisiin 1 11/20/2015 Viikon aihe: Säilymislait Maanantaina: Massan säilymisen laki (Reddy, kappale 5.2) Eilen: Liikemäärän ja liikemäärän momentin säilymislaki (Reddy, kappale 5.3) Tänään: Energian säilymislaki (Reddy, kappale 5.4) Tämän päivän luento • Käydään lyhyesti läpi säilymislait Systeemin massan liikemäärän muutos = 0 muutosnopeus = ulkoisten voimien resultantti liikemäärän momentin muutosnopeus = ulkoisten voimien momentti energian muutosnopeus = systeemiin tehdyn työn nettoteho + systeemiin tuotu lämmönsiirron nettoteho • Reynoldsin kuljetuslause • Energian säilymisen periaate • Esimerkkejä 2 11/20/2015 Säilymislait Lisäksi, ei käydä tällä kurssilla: Laki Periaate Yhtälömuoto Massan säilymisen laki Systeemin massa ei muutu Liikemäärän säilymislaki Systeemin liikemäärä on vakio, jos ulkoisten voimien resultantti = 0 TAI Systeemin liikemäärän muutosnopeus = ulkoisten voimien resultantti Liikemäärän momentin säilymislaki Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus = ulkoisten voimien momentti Energian säilymisen periaate eli termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus = systeemiin tehdyn työn nettoteho + systeemiin tuodun lämmönsiirron nettoteho Sovellukset, joissa lämpötila muuttuu, häviöt virtauksessa Termodynamiikan toinen pääsääntö eli entropiaepäyhtälö Ensimmäisen pääsäännön mukaan energia voi muuttaa muotoaan, esimerkiksi vauhtipyörän kineettinen energia voidaan muuttaa lämmöksi eli sisäiseksi energiaksi kitkajarrun avulla. Sisäistä energiaa ei kuitenkaan voi muuttaa takaisin kineettiseksi energiaksi eli liikkeeksi. Käytännössä prosessi ei siis ole reversiibeli. Toinen pääsääntö määrittelee rajoitukset energioiden muutoksille. Materiaalien matemaattisten mallien formulointi 𝑑𝑚 =0 𝑑𝑡 Esimerkkejä käyttökohteista mekaniikassa Massavirtauksen ja tilavuusvirtauksen tarkastelu jossain tilavuudessa, esim. putkessa Virtauksen aiheuttamat kuormat, rakenteiden dynamiikka, jännityksen tasapainoyhtälöt 𝑑(𝑚𝐫 × 𝐯) = 𝐫×𝐅 𝑑𝑡 Pyörivien koneiden tarkastelut, jännitystensorin symmetrisyys Reynoldsin kuljetuslause • Säilymislakeja tarkastellaan käyttämällä systeemin ja kontrollitilavuuden käsitteitä • Jotta voidaan kirjoittaa säilymislait tässä muodossa, pitää ottaa käyttöön Reynoldsin kuljetuslause • Analyyttinen työkalu, jolla voidaan siirtyä systeemiesityksestä kontrollitilavuusesitykseen • Johdetaan Reynoldsin kuljetuslause aluksi 1D virtaukselle, laajennetaan se lopuksi yleiselle 3D tapaukselle 3 11/20/2015 Reynoldsin kuljetuslause ”SYS = CV – I + II” Young et al. A brief introduction to fluid mechanics. Reynoldsin kuljetuslause Määritellään systeemin ekstensiivisuure B, joka voi olla mikä tahansa fysikaalinen suure. Määritellään myös intensiivisuure b, joka on suure B jaettuna systeemin massalla m 𝐵 = 𝑏𝑚 Ekstensiivisuureen määrä systeemissä, 𝐵𝑠𝑦𝑠 , voidaan määrittää summaamalla suureen arvo systeemin joka partikkelissa. Kun partikkelit ovat infinitesimaalisia, summaus tarkoittaa integrointia kaikkien systeemin partikkeleiden yli 4 11/20/2015 Reynoldsin kuljetuslause Systeemin ekstensiivisuureen, B, arvo alussa ajanhetkellä t on sama systeemille ja kontrollitilavuudelle Ajanhetkellä 𝑡 + 𝛿𝑡 suureen B arvo on ”SYS = CV – I + II” Suureen B muutos ajassa 𝛿𝑡 𝛿𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 = 𝐵𝑐𝑣 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 + 𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 Reynoldsin kuljetuslause 𝛿𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 = 𝐵𝑐𝑣 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 + 𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 Alussa, ajanhetkellä t, on voimassa 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 = 𝐵𝑐𝑣 𝑡 , joten edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa 𝛿𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝐵𝑐𝑣 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑐𝑣 𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 + 𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 Jaetaan puolittain aikaintervallilla 𝛿𝑡 Kun 𝛿𝑡 → 0, yhtälön vasen puoli antaa B:n muutosnopeuden ajan suhteen, ja sitä voidaan merkitä 𝐷𝐵𝑠𝑦𝑠 /𝑑𝑡 5 11/20/2015 Reynoldsin kuljetuslause Kun 𝛿𝑡 → 0, yhtälön oikean puolen ensimmäinen termi antaa B:n muutosnopeuden ajan suhteen kontrollitilavuudessa Yhtälön oikean puolen kolmas termi antaa nopeuden, jolla ekstensiivisuure B virtaa ulos kontrollitilavuudesta kontrollipinnan läpi. Tämä on seurausta siitä, että B:n arvo alueessa II on sen arvo yksikkötilavuudessa, ρb, kertaa alueen II tilavuus 𝐴2 𝛿𝑙2 = 𝐴2 𝑉2 𝛿𝑡. Siten Reynoldsin kuljetuslause Missä 𝜌2 ja 𝑏2 ovat suureiden ρ ja b vakiarvoja alueessa II. Siten nopeus, jolla suure B virtaa ulos kontrollitilavuudesta 𝐵𝑜𝑢𝑡 , on 6 11/20/2015 Reynoldsin kuljetuslause Vastaavasti B:n sisäänvirtaus kontrollitilavuuteen alueen (1) läpi vastaa B:n arvoa yksikkötilavuudessa, ρb, kertaa alueen I tilavuus 𝐴1 𝛿𝑙1 = 𝐴1 𝑉1 𝛿𝑡. Siten Missä 𝜌1 ja 𝑏1 ovat suureiden ρ ja b vakiarvoja alueessa I. Siten nopeus, jolla suure B virtaa sisään kontrollitilavuuteen 𝐵𝑖𝑛 , on Reynoldsin kuljetuslause Yllä oleva lauseke voidaan nyt kirjoittaa Tai 7 11/20/2015 Reynoldsin kuljetuslause Edellä johdettiin Reynoldsin kuljetuslause tapaukselle, jossa kontrollitilavuudessa oli vain yksi ulostulo ja yksi sisääntulo. Lisäksi oletettiin, että suureiden virtaus on tasaisesti jakautunut poikkileikkauksissa (1) ja (2), ja virtauksen nopeus on kohtisuorassa poikkileikkauksiin nähden. Jos kontrollitilavuudessa on useampi kuin yksi sisään- ja ulostulo, Reynoldsin kuljetuslause on muotoa Reynoldsin kuljetuslause Jos kontrollitilavuus on mielivaltaisen muotoinen, voidaan ajatella että suureen B ulos- ja sisäänvirtaus koostuu integroinnista yli infinitesimaalisten pinta-alaelementtien, δ𝐴. 8 11/20/2015 Reynoldsin kuljetuslause Jos kontrollitilavuus on mielivaltaisen muotoinen, voidaan ajatella että suureen B ulos- ja sisäänvirtaus koostuu integroinnista yli infinitesimaalisten pinta-alaelementtien, δ𝐴. Nopeus, jolla suure B virtaa ulos kontrollitilavuudesta pienen pinta-alaelementin, δ𝐴, läpi on Integroimalla yli kontrollipinnan osan, joka sisältää ulosvirtauksen, saadaan Reynoldsin kuljetuslause Samalla tavalla saadaan sisäänvirtaukselle Termi 𝑉cos𝜃 on nopeusvektorin komponentti, joka on kohtisuorassa elementtiä δ𝐴 vastaan. Pistetulon määritelmästä Siten suureen B nettovuo kontrollipinnan läpi on 9 11/20/2015 Reynoldsin kuljetuslause Lopulta saadaan Reynoldsin kuljetuslause yleisessä tapauksessa Merkitsemällä cv bdV Bcv Kurssilla merkitään kontrollitilavuutta Ω:lla ja kontrollipintaa Γ:lla. Differentiaalista tilavuusalkiota merkitään dx ja pintaalaelementtiä ds. Nopeusvektoria merkitään v. Reynoldsin kuljetuslause kurssin notaatiolla on Reynoldsin kuljetuslause 𝑏=1 Massan säilymisen laki Systeemin massa ei muutu 𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚 Liikemäärän säilymislaki Systeemin liikemäärä on vakio, jos ulkoisten voimien resultantti = 0 TAI Systeemin liikemäärän muutosnopeus = ulkoisten voimien resultantti 𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚𝐯 𝑏 = 𝐯 Liikemäärän momentin säilymislaki Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus = ulkoisten voimien momentti 𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚(𝐫 × 𝐯) 𝑏 =𝐫×𝐯 Energian säilymisen periaate eli termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö 10 11/20/2015 Energian säilymisen periaate Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus = Systeemiin tehdyn työn nettoteho Systeemiin tuotu lämmönsiirron nettoteho + 𝜖 on kokonaisenergia massayksikköä kohti, joka koostuu sisäisestä energiasta e, kineettisestä energiasta 𝑣 2 /2 ja potentiaalienergiasta 𝑔𝑧 Energian säilymisen periaate Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus = Systeemiin tehdyn työn nettoteho Systeemiin tuotu lämmönsiirron nettoteho + Kontrollitilavuuden avulla lausuttuna (käytetään Reynoldsin kuljetuslausetta, 𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝜖𝑚, 𝑏 = 𝜖) Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus = Kokonaisenergian muutosnopeus kontrollitilavuudessa + Kokonaisenergian virtaus kontrollipinnan yli = Systeemiin tehdyn työn nettoteho + Systeemiin tuotu lämmönsiirron nettoteho 11 11/20/2015 Reynoldsin kuljetuslause 𝑏=1 Massan säilymisen laki Systeemin massa ei muutu 𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚 Liikemäärän säilymislaki Systeemin liikemäärä on vakio, jos ulkoisten voimien resultantti = 0 TAI Systeemin liikemäärän muutosnopeus = ulkoisten voimien resultantti 𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚𝐯 𝑏 = 𝐯 Liikemäärän momentin säilymislaki Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus = ulkoisten voimien momentti 𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚(𝐫 × 𝐯) Energian säilymisen periaate eli termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus = systeemiin tehdyn työn nettoteho + systeemiin tuodun lämmönsiirron nettoteho 𝑏 =𝐫×𝐯 𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚𝜖 𝑏=ϵ Energian säilymisen periaate Työ määritellään voiman ja siirtymän pistetulona 𝐅 ∙ 𝐮 Työn teho on työn aikaderivaatta eli 𝐅 ∙v Kappaleeseen vaikuttava voimavektori voidaan jakaa normaali- ja tangentiaalikomponentteihin. Voiman normaalikomponentti aiheuttaa paineen tai vedon ja tangentiaalikomponentti aiheuttaa leikkausjännityksen 12 11/20/2015 Energian säilymisen periaate Työ teho voidaan myös jakaa normaali- ja tangentiaalikomponentteihin Missä 𝑊shaft on leikkausvoimien tekemän työn teho ja P on paine Sijoitetaan työn tehon lauseke energiaperiaatteen lausekkeeseen entalpia Energian säilymisen periaate Jos tarkastelemme virtausta putkessa, jossa on vain yksi sisääntulo ja vain yksi ulostulo, integraalilauseke kontrollipinnan yli on Ja jos virtaus on tasaista, ajasta riippuva termi häviää ja energiaperiaate on muotoa 13 11/20/2015 Esimerkki 5.4.1 SI-yksikköinä: 𝑑1 = 0,1m 𝑃1 = 137,9kPa 𝑄0 = 1,32m3 /min 𝑑2 = 0,025m 𝑃2 = 344,7kPa 𝑒 = 306,58 J/kg Esimerkki 5.4.1 Massan säilymisen perusteella massavirta pumppuun sisään on yhtä suuri kuin massavirta pumpusta ulos. 103 ×1,32 60 𝜌𝑄0 = = 22kg/s Virtauksen nopeudet poikkileikkauksissa (1) ja (2) 𝑄 4×1,32 𝑣1 = 𝐴0 𝜋×0,01×60 = 2,8m/s 1 𝑑1 = 0,1m 𝑄 𝑑2 = 0,025m 𝑃2 = 344,7kPa 𝑒 = 306,58 J/kg 4×1,32 𝑣2 = 𝐴0 𝜋×6,25×10−4 ×60 = 44,8m/s 𝑃1 = 137,9kPa 𝑄0 = 1,32m3 /min 2 Energian säilymisen periaate (virtaus putkessa). Adiabaattinen prosessi, 𝐻net = 0. Ei korkeuseroa kohtien (1) ja (2) välillä, gz = 0. Lisäksi 𝑒2 − 𝑒1 = 𝑒. 14 11/20/2015 Esimerkki 5.4.2 Johda yhtälö, joka kuvaa tasaista lämmön johtumista sauvassa pituuden suuntaan. Sauvan pituus on L ja poikkileikkaus A(x). Sauvan vasen pää pidetään lämpötilassa 𝑇0 ja oikea pää on ympäristön lämpötilassa. Sauvan pinta on eristetty siten, että lämpöä ei siirry sauvan pinnan yli. Lisäksi sauvassa on lähde, joka tuottaa sisäistä energiaa 𝑔 = 𝑔(𝑥)(W/m3 ) (esim. Kemialliset reaktiot tai sähkövirta) Sauvan pituuden suuntainen koordinaatti on x. Kun lämpötila muuttuu x-suunnassa, sauvassa on lämpövuo q suunnassa x. Koska poikkileikkauksen dimensiot ovat hyvin pienet pituuteen verrattuna, voidaan olettaa, että lämpövuo on tasainen jokaisessa poikkileikkauksessa. Esimerkki 5.4.2 Tarkastellaan pituuselementtiä ∆𝑥 ja sovelletaan energian säilymisen periaatetta. Olkoon lämpövuo sauvan pituuden suuntaan 𝑞(𝑥). Siten nettolämpövuo sisään kohdassa x on 𝐴𝑞 𝑥 ja nettolämpövuo ulos kohdassa 𝑥 + ∆𝑥 on 𝐴𝑞 𝑥+∆𝑥 . Sisäisen energian nettotuotto on 𝑔 𝑥 ∆𝑥. Energian taseen mukaan − 𝐴𝑞 𝑥+∆𝑥 + 𝐴𝑞 𝑥 +𝑔∆𝑥 = 0 Jaetaan puolittain ∆𝑥:llä ja otetaan raja-arvo ∆𝑥 → 0 − 𝐴𝑞 − 𝐴𝑞 ∆𝑥 𝑥+∆𝑥 𝑥 +𝑔=0 − 𝑑 (𝐴𝑞) + 𝑔 = 0 𝑑𝑥 0<𝑥<𝐿 15 11/20/2015 Mitä tänään opimme? • Johdettiin Reynoldsin kuljetuslause (jota olimme jo käyttäneet viikon aiemmilla luennoilla) • Energian säilymisen periaate • Esimerkit virtausmekaniikan ja lämmönsiirron sovelluksista Ensi viikolla: Lujuusopin sovelluksia • Maanantaina: Hooken laki ja sauvan tasapainoyhtälöt • Tiistaina: Tasojännitys ja tasovenymätilan sovelluksia • Keskiviikkona: Laatan ja palkin tasapainoyhtälöt 16 11/20/2015 Lähteet • Reddy, J.N. Principles of continuum mechanics. Kappale 5.4 • Young, D.F., Munson, R.B., Okiishi, T.H. A brief introduction to fluid mechanics. Kappale 4.4, 5.3 17
© Copyright 2024