luento12 energian tase

11/20/2015
KJR-C2002
Kontinuumimekaniikan
perusteet
Luento 18.11.2015
Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT
Luentotehtävä
• Selitä omin sanoin mitä ovat systeemi, kontrollitilavuus ja
kontrollipinta kontinuumimekaniikan tarkasteluissa.
• Saa käyttää myös kuvia, yhtälöitä jne.
• Palauta vastaus nimelläsi ja op. numerollasi varustetulla paperilla luennoitsijalle
klo 8.30 mennessä
• Oikeista (tai oikean suuntaisista) vastauksista annetaan 1 p, joka lisätään
laskuharjoituspisteisiin
1
11/20/2015
Viikon aihe: Säilymislait
Maanantaina:
Massan säilymisen laki (Reddy, kappale 5.2)
Eilen:
Liikemäärän ja liikemäärän momentin säilymislaki
(Reddy, kappale 5.3)
Tänään:
Energian säilymislaki (Reddy, kappale 5.4)
Tämän päivän luento
• Käydään lyhyesti läpi säilymislait
Systeemin
massan
liikemäärän
muutos = 0
muutosnopeus = ulkoisten voimien
resultantti
liikemäärän momentin muutosnopeus = ulkoisten voimien
momentti
energian
muutosnopeus = systeemiin tehdyn työn
nettoteho + systeemiin tuotu
lämmönsiirron nettoteho
• Reynoldsin kuljetuslause
• Energian säilymisen periaate
• Esimerkkejä
2
11/20/2015
Säilymislait
Lisäksi, ei
käydä tällä
kurssilla:
Laki
Periaate
Yhtälömuoto
Massan säilymisen laki
Systeemin massa ei muutu
Liikemäärän säilymislaki
Systeemin liikemäärä on vakio, jos
ulkoisten voimien resultantti = 0
TAI Systeemin liikemäärän
muutosnopeus = ulkoisten voimien
resultantti
Liikemäärän momentin säilymislaki
Systeemin liikemäärän momentin
muutosnopeus = ulkoisten voimien
momentti
Energian säilymisen periaate eli
termodynamiikan ensimmäinen
pääsääntö
Systeemin kokonaisenergian
muutosnopeus = systeemiin tehdyn
työn nettoteho + systeemiin tuodun
lämmönsiirron nettoteho
Sovellukset, joissa lämpötila
muuttuu, häviöt virtauksessa
Termodynamiikan toinen
pääsääntö eli
entropiaepäyhtälö
Ensimmäisen pääsäännön mukaan energia voi muuttaa muotoaan, esimerkiksi vauhtipyörän kineettinen
energia voidaan muuttaa lämmöksi eli sisäiseksi energiaksi kitkajarrun avulla. Sisäistä energiaa ei kuitenkaan
voi muuttaa takaisin kineettiseksi energiaksi eli liikkeeksi. Käytännössä prosessi ei siis ole reversiibeli. Toinen
pääsääntö määrittelee rajoitukset energioiden muutoksille.
Materiaalien matemaattisten
mallien formulointi
𝑑𝑚
=0
𝑑𝑡
Esimerkkejä käyttökohteista
mekaniikassa
Massavirtauksen ja
tilavuusvirtauksen tarkastelu jossain
tilavuudessa, esim. putkessa
Virtauksen aiheuttamat kuormat,
rakenteiden dynamiikka,
jännityksen tasapainoyhtälöt
𝑑(𝑚𝐫 × 𝐯)
= 𝐫×𝐅
𝑑𝑡
Pyörivien koneiden tarkastelut,
jännitystensorin symmetrisyys
Reynoldsin kuljetuslause
• Säilymislakeja tarkastellaan käyttämällä systeemin ja
kontrollitilavuuden käsitteitä
• Jotta voidaan kirjoittaa säilymislait tässä muodossa, pitää ottaa
käyttöön Reynoldsin kuljetuslause
• Analyyttinen työkalu, jolla voidaan siirtyä systeemiesityksestä
kontrollitilavuusesitykseen
• Johdetaan Reynoldsin kuljetuslause aluksi 1D virtaukselle,
laajennetaan se lopuksi yleiselle 3D tapaukselle
3
11/20/2015
Reynoldsin kuljetuslause
”SYS = CV – I + II”
Young et al. A brief introduction to fluid mechanics.
Reynoldsin kuljetuslause
Määritellään systeemin ekstensiivisuure B, joka voi olla mikä tahansa fysikaalinen suure.
Määritellään myös intensiivisuure b, joka on suure B jaettuna systeemin massalla m
𝐵 = 𝑏𝑚
Ekstensiivisuureen määrä systeemissä, 𝐵𝑠𝑦𝑠 , voidaan määrittää summaamalla suureen arvo systeemin joka partikkelissa.
Kun partikkelit ovat infinitesimaalisia, summaus tarkoittaa integrointia kaikkien systeemin partikkeleiden yli
4
11/20/2015
Reynoldsin kuljetuslause
Systeemin ekstensiivisuureen, B, arvo alussa ajanhetkellä t on sama systeemille ja kontrollitilavuudelle
Ajanhetkellä 𝑡 + 𝛿𝑡 suureen B arvo on
”SYS = CV – I + II”
Suureen B muutos ajassa 𝛿𝑡
𝛿𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 = 𝐵𝑐𝑣 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 + 𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡
Reynoldsin kuljetuslause
𝛿𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 = 𝐵𝑐𝑣 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 + 𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡
Alussa, ajanhetkellä t, on voimassa 𝐵𝑠𝑦𝑠 𝑡 = 𝐵𝑐𝑣 𝑡 , joten edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa
𝛿𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝐵𝑐𝑣 𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝐵𝑐𝑣 𝑡 − 𝐵𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡 + 𝐵𝐼𝐼 𝑡 + 𝛿𝑡
Jaetaan puolittain aikaintervallilla 𝛿𝑡
Kun 𝛿𝑡 → 0, yhtälön vasen puoli antaa B:n muutosnopeuden ajan suhteen, ja sitä voidaan merkitä 𝐷𝐵𝑠𝑦𝑠 /𝑑𝑡
5
11/20/2015
Reynoldsin kuljetuslause
Kun 𝛿𝑡 → 0, yhtälön oikean puolen ensimmäinen termi antaa B:n muutosnopeuden ajan suhteen kontrollitilavuudessa
Yhtälön oikean puolen kolmas termi antaa nopeuden, jolla ekstensiivisuure B virtaa ulos kontrollitilavuudesta
kontrollipinnan läpi. Tämä on seurausta siitä, että B:n arvo alueessa II on sen arvo yksikkötilavuudessa, ρb, kertaa
alueen II tilavuus 𝐴2 𝛿𝑙2 = 𝐴2 𝑉2 𝛿𝑡. Siten
Reynoldsin kuljetuslause
Missä 𝜌2 ja 𝑏2 ovat suureiden ρ ja b vakiarvoja alueessa II. Siten nopeus, jolla suure B virtaa ulos kontrollitilavuudesta
𝐵𝑜𝑢𝑡 , on
6
11/20/2015
Reynoldsin kuljetuslause
Vastaavasti B:n sisäänvirtaus kontrollitilavuuteen alueen (1) läpi vastaa B:n arvoa yksikkötilavuudessa, ρb, kertaa alueen
I tilavuus 𝐴1 𝛿𝑙1 = 𝐴1 𝑉1 𝛿𝑡. Siten
Missä 𝜌1 ja 𝑏1 ovat suureiden ρ ja b vakiarvoja alueessa I. Siten nopeus, jolla suure B virtaa sisään kontrollitilavuuteen
𝐵𝑖𝑛 , on
Reynoldsin kuljetuslause
Yllä oleva lauseke voidaan nyt kirjoittaa
Tai
7
11/20/2015
Reynoldsin kuljetuslause
Edellä johdettiin Reynoldsin kuljetuslause tapaukselle, jossa kontrollitilavuudessa oli vain yksi ulostulo ja yksi sisääntulo.
Lisäksi oletettiin, että suureiden virtaus on tasaisesti jakautunut poikkileikkauksissa (1) ja (2), ja virtauksen nopeus on
kohtisuorassa poikkileikkauksiin nähden.
Jos kontrollitilavuudessa on useampi kuin yksi sisään- ja ulostulo, Reynoldsin kuljetuslause on muotoa
Reynoldsin kuljetuslause
Jos kontrollitilavuus on mielivaltaisen muotoinen, voidaan ajatella että suureen B ulos- ja sisäänvirtaus koostuu
integroinnista yli infinitesimaalisten pinta-alaelementtien, δ𝐴.
8
11/20/2015
Reynoldsin kuljetuslause
Jos kontrollitilavuus on mielivaltaisen muotoinen, voidaan ajatella että suureen B ulos- ja sisäänvirtaus koostuu
integroinnista yli infinitesimaalisten pinta-alaelementtien, δ𝐴.
Nopeus, jolla suure B virtaa ulos kontrollitilavuudesta pienen
pinta-alaelementin, δ𝐴, läpi on
Integroimalla yli kontrollipinnan osan, joka sisältää
ulosvirtauksen, saadaan
Reynoldsin kuljetuslause
Samalla tavalla saadaan sisäänvirtaukselle
Termi 𝑉cos𝜃 on nopeusvektorin komponentti, joka on
kohtisuorassa elementtiä δ𝐴 vastaan. Pistetulon
määritelmästä
Siten suureen B nettovuo kontrollipinnan läpi on
9
11/20/2015
Reynoldsin kuljetuslause
Lopulta saadaan Reynoldsin kuljetuslause yleisessä
tapauksessa
Merkitsemällä 
cv
 bdV  Bcv
Kurssilla merkitään kontrollitilavuutta Ω:lla ja kontrollipintaa
Γ:lla. Differentiaalista tilavuusalkiota merkitään dx ja pintaalaelementtiä ds. Nopeusvektoria merkitään v. Reynoldsin
kuljetuslause kurssin notaatiolla on
Reynoldsin kuljetuslause
𝑏=1
Massan säilymisen laki
Systeemin massa ei muutu
𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚
Liikemäärän säilymislaki
Systeemin liikemäärä on
vakio, jos ulkoisten voimien
resultantti = 0
TAI Systeemin liikemäärän
muutosnopeus = ulkoisten
voimien resultantti
𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚𝐯 𝑏 = 𝐯
Liikemäärän momentin
säilymislaki
Systeemin liikemäärän
momentin muutosnopeus =
ulkoisten voimien momentti
𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚(𝐫 × 𝐯)
𝑏 =𝐫×𝐯
Energian säilymisen
periaate eli
termodynamiikan
ensimmäinen pääsääntö
10
11/20/2015
Energian säilymisen periaate
Systeemin
kokonaisenergian
muutosnopeus
=
Systeemiin tehdyn
työn nettoteho
Systeemiin tuotu
lämmönsiirron
nettoteho
+
𝜖 on kokonaisenergia massayksikköä kohti, joka koostuu sisäisestä energiasta e, kineettisestä energiasta 𝑣 2 /2 ja
potentiaalienergiasta 𝑔𝑧
Energian säilymisen periaate
Systeemin
kokonaisenergian
muutosnopeus
=
Systeemiin tehdyn
työn nettoteho
Systeemiin tuotu
lämmönsiirron
nettoteho
+
Kontrollitilavuuden avulla lausuttuna (käytetään Reynoldsin kuljetuslausetta, 𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝜖𝑚, 𝑏 = 𝜖)
Systeemin
kokonaisenergian
muutosnopeus
=
Kokonaisenergian
muutosnopeus
kontrollitilavuudessa
+
Kokonaisenergian
virtaus
kontrollipinnan yli
=
Systeemiin tehdyn
työn nettoteho
+
Systeemiin tuotu
lämmönsiirron
nettoteho
11
11/20/2015
Reynoldsin kuljetuslause
𝑏=1
Massan säilymisen laki
Systeemin massa ei muutu
𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚
Liikemäärän säilymislaki
Systeemin liikemäärä on
vakio, jos ulkoisten voimien
resultantti = 0
TAI Systeemin liikemäärän
muutosnopeus = ulkoisten
voimien resultantti
𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚𝐯 𝑏 = 𝐯
Liikemäärän momentin
säilymislaki
Systeemin liikemäärän
momentin muutosnopeus =
ulkoisten voimien momentti
𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚(𝐫 × 𝐯)
Energian säilymisen
periaate eli
termodynamiikan
ensimmäinen pääsääntö
Systeemin kokonaisenergian
muutosnopeus = systeemiin
tehdyn työn nettoteho +
systeemiin tuodun
lämmönsiirron nettoteho
𝑏 =𝐫×𝐯
𝐵𝑠𝑦𝑠 = 𝑚𝜖
𝑏=ϵ
Energian säilymisen periaate
Työ määritellään voiman ja siirtymän pistetulona 𝐅 ∙ 𝐮
Työn teho on työn aikaderivaatta eli 𝐅 ∙v
Kappaleeseen vaikuttava voimavektori voidaan jakaa normaali- ja tangentiaalikomponentteihin.
Voiman normaalikomponentti aiheuttaa paineen tai vedon ja tangentiaalikomponentti aiheuttaa leikkausjännityksen
12
11/20/2015
Energian säilymisen periaate
Työ teho voidaan myös jakaa normaali- ja tangentiaalikomponentteihin
Missä 𝑊shaft on leikkausvoimien tekemän työn teho ja P on paine
Sijoitetaan työn tehon lauseke energiaperiaatteen lausekkeeseen
entalpia
Energian säilymisen periaate
Jos tarkastelemme virtausta putkessa, jossa on vain yksi sisääntulo ja vain yksi ulostulo, integraalilauseke
kontrollipinnan yli on
Ja jos virtaus on tasaista, ajasta riippuva termi häviää ja energiaperiaate on muotoa
13
11/20/2015
Esimerkki 5.4.1
SI-yksikköinä:
𝑑1 = 0,1m
𝑃1 = 137,9kPa
𝑄0 = 1,32m3 /min
𝑑2 = 0,025m
𝑃2 = 344,7kPa
𝑒 = 306,58 J/kg
Esimerkki 5.4.1
Massan säilymisen perusteella massavirta pumppuun sisään on yhtä suuri kuin
massavirta pumpusta ulos.
103 ×1,32
60
𝜌𝑄0 =
= 22kg/s
Virtauksen nopeudet poikkileikkauksissa (1) ja (2)
𝑄
4×1,32
𝑣1 = 𝐴0 𝜋×0,01×60 = 2,8m/s
1
𝑑1 = 0,1m
𝑄
𝑑2 = 0,025m 𝑃2 = 344,7kPa
𝑒 = 306,58 J/kg
4×1,32
𝑣2 = 𝐴0 𝜋×6,25×10−4 ×60 = 44,8m/s
𝑃1 = 137,9kPa 𝑄0 = 1,32m3 /min
2
Energian säilymisen periaate (virtaus putkessa). Adiabaattinen prosessi, 𝐻net = 0. Ei
korkeuseroa kohtien (1) ja (2) välillä, gz = 0.
Lisäksi 𝑒2 − 𝑒1 = 𝑒.
14
11/20/2015
Esimerkki 5.4.2
Johda yhtälö, joka kuvaa tasaista lämmön johtumista sauvassa pituuden suuntaan. Sauvan pituus on L ja
poikkileikkaus A(x). Sauvan vasen pää pidetään lämpötilassa 𝑇0 ja oikea pää on ympäristön lämpötilassa. Sauvan
pinta on eristetty siten, että lämpöä ei siirry sauvan pinnan yli. Lisäksi sauvassa on lähde, joka tuottaa sisäistä
energiaa 𝑔 = 𝑔(𝑥)(W/m3 ) (esim. Kemialliset reaktiot tai sähkövirta)
Sauvan pituuden suuntainen koordinaatti on x. Kun lämpötila muuttuu x-suunnassa, sauvassa on lämpövuo q
suunnassa x. Koska poikkileikkauksen dimensiot ovat hyvin pienet pituuteen verrattuna, voidaan olettaa, että
lämpövuo on tasainen jokaisessa poikkileikkauksessa.
Esimerkki 5.4.2
Tarkastellaan pituuselementtiä ∆𝑥 ja sovelletaan energian säilymisen periaatetta. Olkoon lämpövuo sauvan
pituuden suuntaan 𝑞(𝑥). Siten nettolämpövuo sisään kohdassa x on 𝐴𝑞 𝑥 ja nettolämpövuo ulos kohdassa 𝑥 + ∆𝑥
on 𝐴𝑞 𝑥+∆𝑥 . Sisäisen energian nettotuotto on 𝑔 𝑥 ∆𝑥. Energian taseen mukaan
− 𝐴𝑞
𝑥+∆𝑥
+ 𝐴𝑞
𝑥
+𝑔∆𝑥 = 0
Jaetaan puolittain ∆𝑥:llä ja otetaan raja-arvo ∆𝑥 → 0
−
𝐴𝑞
− 𝐴𝑞
∆𝑥
𝑥+∆𝑥
𝑥
+𝑔=0
−
𝑑
(𝐴𝑞) + 𝑔 = 0
𝑑𝑥
0<𝑥<𝐿
15
11/20/2015
Mitä tänään opimme?
• Johdettiin Reynoldsin kuljetuslause (jota olimme jo käyttäneet viikon
aiemmilla luennoilla)
• Energian säilymisen periaate
• Esimerkit virtausmekaniikan ja lämmönsiirron sovelluksista
Ensi viikolla: Lujuusopin sovelluksia
• Maanantaina: Hooken laki ja sauvan tasapainoyhtälöt
• Tiistaina: Tasojännitys ja tasovenymätilan sovelluksia
• Keskiviikkona: Laatan ja palkin tasapainoyhtälöt
16
11/20/2015
Lähteet
• Reddy, J.N. Principles of continuum mechanics. Kappale 5.4
• Young, D.F., Munson, R.B., Okiishi, T.H. A brief introduction to fluid
mechanics. Kappale 4.4, 5.3
17