KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

11/17/2015
KJR-C2002
Kontinuumimekaniikan
perusteet
Luento 17.11.2015
Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT
Viikon aihe: Säilymislait
Eilen:
Massan säilymisen laki (Reddy, kappale 5.2)
Tänään:
Liikemäärän ja liikemäärän momentin säilymislaki
(Reddy, kappale 5.3)
Huomenna:
Energian säilymislaki (Reddy, kappale 5.4)
1
11/17/2015
Tämän päivän luento
• Kerrataan systeemin ja kontrollitilavuuden määritelmät
• Käydään lyhyesti läpi säilymislait
• Liikemäärän säilymisen periaate
•
•
•
•
Esimerkki virtausmekaniikan sovelluksesta
Esimerkki dynamiikan sovelluksesta
Esimerkki lujuusopin sovelluksesta: palkin sisäiset rasitukset
Jännitystasapainoyhtälöt (tuttuja jo edellisen viikon luennolta 8)
• Liikemäärän momentin säilyminen
• Leikkausjännitysten symmetrisyys (tuttuja jo edellisen viikon luennolta 8)
Mikä on systeemi?
• Säilymislait määritellään systeemille
• Systeemin massa ei muutu
• Systeemin liikemäärän muutosnopeus on ulkoisten voimien resultantti
• Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus on ulkoisten voimien
momentti
• Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus on systeemiin tehdyn työn
nettoteho + systeemiin tuotu lämmönsiirron teho
• Systeemi voi olla mekaaninen laite, biologinen organismi, jokin määrä
ainetta kuten mehu kanisterin sisällä jne.
• Systeemi on mikä tahansa joukko, jota on käytännöllistä tarkastella
yksikkönä
2
11/17/2015
Mikä on kontrollitilavuus?
Kontrollitilavuus (control volume) Ω
Kontrollipinta (control surface) Γ
Mikä on systeemi? Mikä on kontrollitilavuus?
Young et al. A brief introduction to fluid mechanics, 3rd Ed.
3
11/17/2015
Säilymislait
Lisäksi, ei
käydä tällä
kurssilla:
Laki
Periaate
Yhtälömuoto
Esimerkkejä käyttökohteista
mekaniikassa
Massan säilymisen laki
Systeemin massa ei muutu
dm
0
dt
Liikemäärän säilymislaki
Systeemin liikemäärä on vakio, jos
ulkoisten voimien resultantti = 0
TAI Systeemin liikemäärän
muutosnopeus = ulkoisten voimien
resultantti
Liikemäärän momentin säilymislaki
Systeemin liikemäärän momentin
muutosnopeus = ulkoisten voimien
momentti
Energian säilymisen periaate eli
termodynamiikan ensimmäinen
pääsääntö
Systeemin kokonaisenergian
muutosnopeus = systeemiin tehdyn
työn nettoteho + systeemiin tuotu
lämmönsiirron nettoteho
Sovellukset, joissa lämpötila
muuttuu, häviöt virtauksessa
Termodynamiikan toinen
pääsääntö eli
entropiaepäyhtälö
Ensimmäisen pääsäännön mukaan energia voi muuttaa muotoaan, esimerkiksi vauhtipyörän kineettinen
energia voidaan muuttaa lämmöksi eli sisäiseksi energiaksi kitkajarrun avulla. Sisäistä energiaa ei kuitenkaan
voi muuttaa takaisin kineettiseksi energiaksi eli liikkeeksi. Käytännössä prosessi ei siis ole reversiibeli. Toinen
pääsääntö määrittelee rajoitukset energioiden muutoksille.
Materiaalien matemaattisten
mallien formulointi
Massavirtauksen ja
tilavuusvirtauksen tarkastelu jossain
tilavuudessa, esim. putkessa
Virtauksen aiheuttamat kuormat,
rakenteiden dynamiikka,
jännityksen tasapainoyhtälöt
d (mr  v )
 rF
dt
Pyörivien koneiden tarkastelut,
jännitystensorin symmetrisyys
Liikemäärän säilymisen periaate
Systeemin
liikemäärän
muutosnopeus
=
Ulkoisten voimien
resultantti
Vektorimuodossa
Kun massa on vakio
4
11/17/2015
Liikemäärän säilymisen periaate
Systeemin
liikemäärän
muutosnopeus
=
Ulkoisten voimien
resultantti
Kontrollitilavuuden avulla lausuttuna
Systeemin
liikemäärän
muutosnopeus
=
Liikemäärän
muutosnopeus
kontrollitilavuudessa
+
Massavirtauksen
liikemäärä
kontrollipinnan yli
+
=
Ulkoisten voimien
resultantti
=
Liikemäärän säilymisen periaate
Kontrollitilavuuden avulla lausuttuna
Systeemin
liikemäärän
muutosnopeus
=
Liikemäärän
muutosnopeus
kontrollitilavuudessa
+
Massavirtauksen
liikemäärä
kontrollipinnan yli
+
=
Ulkoisten voimien
resultantti
=
Jos kontrollitilavuus on putki, jossa on vain yksi sisääntulo ja yksi ulostulo. Lisäksi virtauksen nopeus on kohtisuorassa
sisään- ja ulostulon poikkileikkauksia vastaan.
v2
A2
+
v1
A1
Jos on useita ulostuloja
 vv2 A2   vv1 A1
 (  vvA)
out
=
  (  vvA)in
5
11/17/2015
Esimerkki 5.3.1
Oletetaan, että painovoiman vaikutus voidaan jättää huomiotta.
Virtaukseen ei kohdistu myöskään paineen muutosta, joten
virtauksen nopeus on sama ennen iskua ja sen jälkeen.
Olkoon tilavuusvirta vasemmalle 𝑄𝐿 ja oikealle 𝑄𝑅
Jatkuvuusyhtälön mukaan
𝑄 = 𝐴𝑣 = 𝑄𝐿 + 𝑄𝑅 = 𝐴𝐿 𝑣 + 𝐴𝑅 𝑣
Esimerkki 5.3.1
Kirjoitetaan liikemäärän säilymisyhtälö suuntiin t (levyn
tangentin suunta) ja n (levyn normaalin suunta)
Tangentin suunta:
 v(vAL )   (v)(vAR )   v cos  (vA)   Ft  0
Missä 𝑄𝐿 = 𝑣𝐴𝐿 , 𝑄𝑅 = 𝑣𝐴𝑅 ja 𝑄 = 𝑣𝐴, joten
QL  QR  Q cos 
6
11/17/2015
Esimerkki 5.3.1
Meillä on nyt kaksi yhteyttä virtausten välillä
QL  QR  Q cos 
Q  QL  QR
Ratkaistaan 𝑄𝐿 ja 𝑄𝑅
QL 
1
(1  cos  )Q
2
QR 
1
(1  cos  )Q
2
Esimerkki 5.3.1
Kirjoitetaan liikemäärän säilymisyhtälö suuntiin t (levyn
tangentin suunta) ja n (levyn normaalin suunta)
Normaalin suunta:
  v sin  (vA)   Fn   Fn
Fn   v sin  Q
7
11/17/2015
Esimerkki 5.3.3
Esimerkki 5.3.3
Käytetään ratkaisuun liikemäärän säilymisen periaatetta: Kappaleeseen
kohdistuva ulkoisten voimien resultantti missä tahansa suunnassa on yhtä suuri
kuin kappaleen liikemäärän muutosnopeus samassa suunnassa.
Kirjoitetaan liikemäärän yhtälö heilurin ympyräkaaren muotoisen liikeradan
tangentin suuntaan (suunta θ):
F  m
dv
dt
missä
F  mg sin 
ja
vl
d
dt
8
11/17/2015
Esimerkki 5.3.3
Liikemäärän yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa:
mg sin   ml
d 2
dt 2
tai
d 2 g
 sin   0
dt 2 l
Tehtävänä on siten ratkaista epälineaarinen differentiaaliyhtälö:
d 2 g
 sin   0
dt 2 l
0t T
jonka alkutila (t = 0) on
 (0)   0
d
(0)  v0
dt
ja
Matemaattisesti kyseessä on alkuarvo-ongelma
Esimerkki 5.3.3
Jos kulma θ on pieni, niin sin𝜃 ≈ 𝜃, ja saamme lineaarisen yhtälön
d 2 g
  0
dt 2 l
Lineaariselle differentiaaliyhtälölle on olemassa yleinen ratkaisu muotoa:
 (t )  A sin t  B cos t

g
l
Vakiot A ja B määritellään alkutilan (t = 0) avulla
 (0)   0
B  0
ja
d
(0)  v0
dt
A
v0

9
11/17/2015
Esimerkki 5.3.3
Lineaarisen yhtälön ratkaisu on
 (t ) 
v0

sin t   0 cos t
Jos heilurin nopeus on alussa nolla, esimerkiksi
nostetaan kädellä heiluri kohtaan θ ja päästetään irti
 (t )   0 cos t
Joka on yksinkertaisen harmonisen liikkeen yhtälö
Esimerkki 5.3.5
10
11/17/2015
Esimerkki 5.3.5
Muistetaan viime viikon luennolta, että voimaresultantti
saadaan kun integroidaan jännitys pinta-alan yli
aksiaalivoima
taivutusmomentti
leikkausvoima
Esimerkki 5.3.5
Tehtävänä on määrittää palkin tasapainoyhtälöt.
Tasapainossa (equilibrium) ulkoisten voimien resultantti on
nolla. Palkin differentiaaliseen elementtiin kohdistuvien
voimien pitää siis kumota toisensa.
Palautetaan mieleen, miksi 𝑁 𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑁 + 𝑑𝑁
Taylorin sarjakehitelmä:
Pn ( x)  f (a)  f ' (a)( x  a) 
f ' ' (a)
f ( n ) (a)
( x  a) 2  ... 
( x  a) n
2!
n!
Joten 𝑁 𝑥 + 𝑑𝑥 ≈ 𝑁(𝑥) +
𝑑𝑁(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝑁 + 𝑑𝑁
Kirjoitetaan voimien summa x-akselin suuntaan:
Jaetaan puolittain dx:llä
11
11/17/2015
Esimerkki 5.3.5
Tehtävänä on määrittää palkin tasapainoyhtälöt.
Tasapainossa (equilibrium) ulkoisten voimien resultantti on
nolla. Palkin differentiaaliseen elementtiin kohdistuvien
voimien pitää siis kumota toisensa.
Kirjoitetaan voimien summa z-akselin suuntaan:
Jaetaan puolittain dx:llä
Esimerkki 5.3.5
Tehtävänä on määrittää palkin tasapainoyhtälöt.
Tasapainossa (equilibrium) ulkoisten voimien resultantti on
nolla. Palkin differentiaaliseen elementtiin kohdistuvien
voimien pitää siis kumota toisensa.
Lopuksi summataan voimien momentit y-akselin suhteen pisteessä
elementin oikeassa reunassa (positiivinen suunta on myötäpäivään):
Missä α on vakio 0 < 𝛼 < 1. Jaetaan puolittain dx:llä ja otetaan rajaarvo 𝑑𝑥 → 0
12
11/17/2015
Esimerkki 5.3.5
Palkin tasapainoyhtälöt ovat siis:
Yhtälöt 2 ja 3 voidaan yhdistää:
Jännitystasapaino
𝑥3
𝑥2
𝑥1
13
11/17/2015
Jännitystasapaino
Kirjoitetaan voimien summat jokaiseen suuntaan
erikseen
Samoin suuntiin 𝑥2 ja 𝑥3
Suunta 𝑥1
Edelliset kolme yhtälöä voidaan ilmoittaa myös
indeksinotaatiolla
Jaetaan puolittain 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3 :lla
Ja vektorimuodossa
Esimerkki
5.3.8
14
11/17/2015
Säilymislait
Lisäksi, ei
käydä tällä
kurssilla:
Laki
Periaate
Yhtälömuoto
Esimerkkejä käyttökohteista
mekaniikassa
Massan säilymisen laki
Systeemin massa ei muutu
dm
0
dt
Liikemäärän säilymislaki
Systeemin liikemäärä on vakio, jos
ulkoisten voimien resultantti = 0
TAI Systeemin liikemäärän
muutosnopeus = ulkoisten voimien
resultantti
Liikemäärän momentin säilymislaki
Systeemin liikemäärän momentin
muutosnopeus = ulkoisten voimien
momentti
Energian säilymisen periaate eli
termodynamiikan ensimmäinen
pääsääntö
Systeemin kokonaisenergian
muutosnopeus = ulkoisten voimien
tekemän työn nettoteho + systeemin
lämmönsiirron nettoteho
Sovellukset, joissa lämpötila
muuttuu, häviöt virtauksessa
Termodynamiikan toinen
pääsääntö eli
entropiaepäyhtälö
Ensimmäisen pääsäännön mukaan energia voi muuttaa muotoaan, esimerkiksi vauhtipyörän kineettinen
energia voidaan muuttaa lämmöksi eli sisäiseksi energiaksi kitkajarrun avulla. Sisäistä energiaa ei kuitenkaan
voi muuttaa takaisin kineettiseksi energiaksi eli liikkeeksi. Käytännössä prosessi ei siis ole reversiibeli. Toinen
pääsääntö määrittelee rajoitukset energioiden muutoksille.
Materiaalien matemaattisten
mallien formulointi
Massavirtauksen ja
tilavuusvirtauksen tarkastelu jossain
tilavuudessa, esim. putkessa
Virtauksen aiheuttamat kuormat,
rakenteiden dynamiikka,
jännityksen tasapainoyhtälöt
d (mr  v )
 rF
dt
Pyörivien koneiden tarkastelut,
jännitystensorin symmetrisyys
Liikemäärän momentin säilyminen
Liikemäärän momentti eli
kulmaliikemäärä partikkelille
𝑚𝐯
𝜙
m
y
𝐫
Voiman aiheuttama momentti,
vääntömomentti (torque)
𝐹𝑡𝑎𝑛
𝐫
𝜙
𝑙 = 𝑟 sin𝜙
𝜙
𝐹𝑟𝑎𝑑 = 𝐹 cos𝜙
m
𝜙
𝑙 = 𝑟 sin𝜙
x
𝐋 = 𝐫 × 𝑚𝐯
x
𝛕 =𝐫×𝐅
𝐿 = 𝑚𝑣𝑙
z
𝐅
y
= 𝐹 sin𝜙
𝜏 = 𝐹𝑙 = 𝑟𝐹 sin𝜙
z
15
11/17/2015
Liikemäärän momentin säilyminen
Systeemin
liikemäärän
momentin
muutosnopeus
Vektorimuodossa
Todistus:
=
Ulkoisten voimien
momenttien
summa
𝑑𝐋
=𝐫×𝐅
𝑑𝑡
𝑑𝐋 𝑑
𝑑𝐫
𝑑𝐯
=
𝐫 × 𝑚𝐯 =
× 𝑚𝐯 + 𝐫 × 𝑚
= 𝐯 × 𝑚𝐯 + 𝐫 × 𝑚𝐚 = 𝐫 × 𝐅
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐯 × 𝑚𝐯 = 0
𝑚𝐚 = 𝐅
Vektorin ristitulo itsensä kanssa = 0
Liikemäärän säilymisen periaate
Liikemäärän momentin säilyminen
Edellä määriteltiin liikemäärän momentti partikkelille. Nyt määritellään se kappaleelle.
Tarkastellaan aluksi ohutta viipaletta xy-tasossa
𝜔
y
𝐿𝑖 = 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝜔 𝑟𝑖 = 𝑚𝑟𝑖 2 𝜔
𝐯𝑖 = 𝐫𝑖 𝜔
𝐫𝒊
Koko viipaleen liikemäärän momentti saadaan, kun summataan
kaikkien partikkelien liikemäärän momentit
𝑚𝑖
x
z
𝐋𝑖 = 𝐫𝑖 × 𝑚𝐯𝑖
𝐿𝑖 = 𝑟𝑖 𝑚𝑣𝑖
Liikemäärän momentti partikkelille i
𝐿=
𝐿𝑖 =
𝑚𝑟𝑖 2 𝜔 = 𝐼𝜔
Missä I on viipaleen hitausmomentti z-akselin suhteen
Kun jäykkä kappale pyörii symmetria-akselinsa ympäri
𝐋 = 𝐼𝛚
16
11/17/2015
Liikemäärän momentin säilyminen
Kappaleen (jäykkä tai deformoituva) liikemäärän
momentin muutosnopeus on yhtä suuri kuin ulkoisten
voimien aiheuttamien momenttien summa
dL
 τ  dt
Jos jäykkä kappale pyörii symmetria-akselinsa
ympäri ja pyörimisakselin suunta ei muutu
dLz
dz
I
 I z   z
dt
dt
Missä 𝛼𝑧 on kulmakiihtyvyys
Jos kappale ei ole jäykkä, niin 𝐼 voi muuttua. Mitä
jos 𝜔 on silti vakio? Esim. Epätasapainossa oleva
auton rengas.
Liikemäärän momentti on hitausmomentti kertaa
kulmanopeus
𝐋 = 𝐼𝛚
Mitä tapahtuu liikemäärän
momentin säilymisen
periaatteen mukaan, kun 𝐼
muuttuu, mutta ulkoisia
voimia ei ole?
Mitä tämä tarkoittaa?
Mitä jos 𝐼 muuttuu?
I11z  I 22 z
Young, H.D., Freedman, R.A. Sears and Zemansky’s University Physics with Modern Physics. 11. painos
Liikemäärän momentin säilymisen periaate
Systeemin
liikemäärän
momentin
muutosnopeus
=
Ulkoisten voimien
momenttien summa
Kontrollitilavuuden avulla lausuttuna
Systeemin
liikemäärän
momentin
muutosnopeus
=
Liikemäärän
momentin
muutosnopeus
kontrollitilavuudessa
+
Massavirtauksen
liikemäärän
momentti
kontrollipinnan yli
+
Jos kyseessä on virtaus putkessa:
 (r  v Av)
=
Ulkoisten voimien
momenttien summa
=
out
  (r  v Av)in
17
11/17/2015
Jännitystensorin symmetrisyys
Samoin kuin sisäiset voimat, myös kappaleen sisäisten voimien momentit kumoavat toisensa
Tästä seuraa, että jännitystensori on symmetrinen
Kirjoitetaan kuvan differentiaalialkiolle
kaikkien voimien momentit 𝑥3 -akselin ympäri
𝑥3
𝑥2
1
𝑥1
Jaetaan puolittain 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3 :lla ja otetaan
2
raja-arvot 𝑑𝑥1 → 0 ja 𝑑𝑥2 → 0
Ottamalla momentit myös 𝑥1 - ja 𝑥2 -akselien
ympäri, saadaan
Jännitys pisteessä vs. Jännitystasapaino
Mitä eroa näillä esitystavoilla on?
18
11/17/2015
Mitä tänään opittiin?
• Kerrattiin systeemin ja kontrollitilavuuden käsitteet
• Opittiin, miten liikemäärän säilymisen periaatteen avulla voidaan
johtaa kontinuumimekaniikan yhtälöitä
• Jännityksen tasapainoyhtälöt seuraavat liikemäärän säilymisen periaatteesta
• Opittiin, miten liikemäärän momentin säilymisen periaatteen avulla
voidaan johtaa kontinuumimekaniikan yhtälöitä
• Jännitystensorin symmetrisyys
Huomisen luennolla
• Luentotehtävä
• Reynoldsin kuljetuslauseen johto
• Energian säilymisen periaate
19
11/17/2015
Lähteet
• Reddy, J.N. Principles of continuum mechanics. Kappale 5.3
• Young, D.F., Munson, R.B., Okiishi, T.H. A brief introduction to fluid
mechanics. Kappale 5.2
• Young, H.D., Freedman, R.A. Sears and Zemansky’s University Physics
with Modern Physics. 11. painos. Kappale 10
20