KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
11/17/2015 KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 17.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Viikon aihe: Säilymislait Eilen: Massan säilymisen laki (Reddy, kappale 5.2) Tänään: Liikemäärän ja liikemäärän momentin säilymislaki (Reddy, kappale 5.3) Huomenna: Energian säilymislaki (Reddy, kappale 5.4) 1 11/17/2015 Tämän päivän luento • Kerrataan systeemin ja kontrollitilavuuden määritelmät • Käydään lyhyesti läpi säilymislait • Liikemäärän säilymisen periaate • • • • Esimerkki virtausmekaniikan sovelluksesta Esimerkki dynamiikan sovelluksesta Esimerkki lujuusopin sovelluksesta: palkin sisäiset rasitukset Jännitystasapainoyhtälöt (tuttuja jo edellisen viikon luennolta 8) • Liikemäärän momentin säilyminen • Leikkausjännitysten symmetrisyys (tuttuja jo edellisen viikon luennolta 8) Mikä on systeemi? • Säilymislait määritellään systeemille • Systeemin massa ei muutu • Systeemin liikemäärän muutosnopeus on ulkoisten voimien resultantti • Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus on ulkoisten voimien momentti • Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus on systeemiin tehdyn työn nettoteho + systeemiin tuotu lämmönsiirron teho • Systeemi voi olla mekaaninen laite, biologinen organismi, jokin määrä ainetta kuten mehu kanisterin sisällä jne. • Systeemi on mikä tahansa joukko, jota on käytännöllistä tarkastella yksikkönä 2 11/17/2015 Mikä on kontrollitilavuus? Kontrollitilavuus (control volume) Ω Kontrollipinta (control surface) Γ Mikä on systeemi? Mikä on kontrollitilavuus? Young et al. A brief introduction to fluid mechanics, 3rd Ed. 3 11/17/2015 Säilymislait Lisäksi, ei käydä tällä kurssilla: Laki Periaate Yhtälömuoto Esimerkkejä käyttökohteista mekaniikassa Massan säilymisen laki Systeemin massa ei muutu dm 0 dt Liikemäärän säilymislaki Systeemin liikemäärä on vakio, jos ulkoisten voimien resultantti = 0 TAI Systeemin liikemäärän muutosnopeus = ulkoisten voimien resultantti Liikemäärän momentin säilymislaki Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus = ulkoisten voimien momentti Energian säilymisen periaate eli termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus = systeemiin tehdyn työn nettoteho + systeemiin tuotu lämmönsiirron nettoteho Sovellukset, joissa lämpötila muuttuu, häviöt virtauksessa Termodynamiikan toinen pääsääntö eli entropiaepäyhtälö Ensimmäisen pääsäännön mukaan energia voi muuttaa muotoaan, esimerkiksi vauhtipyörän kineettinen energia voidaan muuttaa lämmöksi eli sisäiseksi energiaksi kitkajarrun avulla. Sisäistä energiaa ei kuitenkaan voi muuttaa takaisin kineettiseksi energiaksi eli liikkeeksi. Käytännössä prosessi ei siis ole reversiibeli. Toinen pääsääntö määrittelee rajoitukset energioiden muutoksille. Materiaalien matemaattisten mallien formulointi Massavirtauksen ja tilavuusvirtauksen tarkastelu jossain tilavuudessa, esim. putkessa Virtauksen aiheuttamat kuormat, rakenteiden dynamiikka, jännityksen tasapainoyhtälöt d (mr v ) rF dt Pyörivien koneiden tarkastelut, jännitystensorin symmetrisyys Liikemäärän säilymisen periaate Systeemin liikemäärän muutosnopeus = Ulkoisten voimien resultantti Vektorimuodossa Kun massa on vakio 4 11/17/2015 Liikemäärän säilymisen periaate Systeemin liikemäärän muutosnopeus = Ulkoisten voimien resultantti Kontrollitilavuuden avulla lausuttuna Systeemin liikemäärän muutosnopeus = Liikemäärän muutosnopeus kontrollitilavuudessa + Massavirtauksen liikemäärä kontrollipinnan yli + = Ulkoisten voimien resultantti = Liikemäärän säilymisen periaate Kontrollitilavuuden avulla lausuttuna Systeemin liikemäärän muutosnopeus = Liikemäärän muutosnopeus kontrollitilavuudessa + Massavirtauksen liikemäärä kontrollipinnan yli + = Ulkoisten voimien resultantti = Jos kontrollitilavuus on putki, jossa on vain yksi sisääntulo ja yksi ulostulo. Lisäksi virtauksen nopeus on kohtisuorassa sisään- ja ulostulon poikkileikkauksia vastaan. v2 A2 + v1 A1 Jos on useita ulostuloja vv2 A2 vv1 A1 ( vvA) out = ( vvA)in 5 11/17/2015 Esimerkki 5.3.1 Oletetaan, että painovoiman vaikutus voidaan jättää huomiotta. Virtaukseen ei kohdistu myöskään paineen muutosta, joten virtauksen nopeus on sama ennen iskua ja sen jälkeen. Olkoon tilavuusvirta vasemmalle 𝑄𝐿 ja oikealle 𝑄𝑅 Jatkuvuusyhtälön mukaan 𝑄 = 𝐴𝑣 = 𝑄𝐿 + 𝑄𝑅 = 𝐴𝐿 𝑣 + 𝐴𝑅 𝑣 Esimerkki 5.3.1 Kirjoitetaan liikemäärän säilymisyhtälö suuntiin t (levyn tangentin suunta) ja n (levyn normaalin suunta) Tangentin suunta: v(vAL ) (v)(vAR ) v cos (vA) Ft 0 Missä 𝑄𝐿 = 𝑣𝐴𝐿 , 𝑄𝑅 = 𝑣𝐴𝑅 ja 𝑄 = 𝑣𝐴, joten QL QR Q cos 6 11/17/2015 Esimerkki 5.3.1 Meillä on nyt kaksi yhteyttä virtausten välillä QL QR Q cos Q QL QR Ratkaistaan 𝑄𝐿 ja 𝑄𝑅 QL 1 (1 cos )Q 2 QR 1 (1 cos )Q 2 Esimerkki 5.3.1 Kirjoitetaan liikemäärän säilymisyhtälö suuntiin t (levyn tangentin suunta) ja n (levyn normaalin suunta) Normaalin suunta: v sin (vA) Fn Fn Fn v sin Q 7 11/17/2015 Esimerkki 5.3.3 Esimerkki 5.3.3 Käytetään ratkaisuun liikemäärän säilymisen periaatetta: Kappaleeseen kohdistuva ulkoisten voimien resultantti missä tahansa suunnassa on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän muutosnopeus samassa suunnassa. Kirjoitetaan liikemäärän yhtälö heilurin ympyräkaaren muotoisen liikeradan tangentin suuntaan (suunta θ): F m dv dt missä F mg sin ja vl d dt 8 11/17/2015 Esimerkki 5.3.3 Liikemäärän yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa: mg sin ml d 2 dt 2 tai d 2 g sin 0 dt 2 l Tehtävänä on siten ratkaista epälineaarinen differentiaaliyhtälö: d 2 g sin 0 dt 2 l 0t T jonka alkutila (t = 0) on (0) 0 d (0) v0 dt ja Matemaattisesti kyseessä on alkuarvo-ongelma Esimerkki 5.3.3 Jos kulma θ on pieni, niin sin𝜃 ≈ 𝜃, ja saamme lineaarisen yhtälön d 2 g 0 dt 2 l Lineaariselle differentiaaliyhtälölle on olemassa yleinen ratkaisu muotoa: (t ) A sin t B cos t g l Vakiot A ja B määritellään alkutilan (t = 0) avulla (0) 0 B 0 ja d (0) v0 dt A v0 9 11/17/2015 Esimerkki 5.3.3 Lineaarisen yhtälön ratkaisu on (t ) v0 sin t 0 cos t Jos heilurin nopeus on alussa nolla, esimerkiksi nostetaan kädellä heiluri kohtaan θ ja päästetään irti (t ) 0 cos t Joka on yksinkertaisen harmonisen liikkeen yhtälö Esimerkki 5.3.5 10 11/17/2015 Esimerkki 5.3.5 Muistetaan viime viikon luennolta, että voimaresultantti saadaan kun integroidaan jännitys pinta-alan yli aksiaalivoima taivutusmomentti leikkausvoima Esimerkki 5.3.5 Tehtävänä on määrittää palkin tasapainoyhtälöt. Tasapainossa (equilibrium) ulkoisten voimien resultantti on nolla. Palkin differentiaaliseen elementtiin kohdistuvien voimien pitää siis kumota toisensa. Palautetaan mieleen, miksi 𝑁 𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑁 + 𝑑𝑁 Taylorin sarjakehitelmä: Pn ( x) f (a) f ' (a)( x a) f ' ' (a) f ( n ) (a) ( x a) 2 ... ( x a) n 2! n! Joten 𝑁 𝑥 + 𝑑𝑥 ≈ 𝑁(𝑥) + 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑁 + 𝑑𝑁 Kirjoitetaan voimien summa x-akselin suuntaan: Jaetaan puolittain dx:llä 11 11/17/2015 Esimerkki 5.3.5 Tehtävänä on määrittää palkin tasapainoyhtälöt. Tasapainossa (equilibrium) ulkoisten voimien resultantti on nolla. Palkin differentiaaliseen elementtiin kohdistuvien voimien pitää siis kumota toisensa. Kirjoitetaan voimien summa z-akselin suuntaan: Jaetaan puolittain dx:llä Esimerkki 5.3.5 Tehtävänä on määrittää palkin tasapainoyhtälöt. Tasapainossa (equilibrium) ulkoisten voimien resultantti on nolla. Palkin differentiaaliseen elementtiin kohdistuvien voimien pitää siis kumota toisensa. Lopuksi summataan voimien momentit y-akselin suhteen pisteessä elementin oikeassa reunassa (positiivinen suunta on myötäpäivään): Missä α on vakio 0 < 𝛼 < 1. Jaetaan puolittain dx:llä ja otetaan rajaarvo 𝑑𝑥 → 0 12 11/17/2015 Esimerkki 5.3.5 Palkin tasapainoyhtälöt ovat siis: Yhtälöt 2 ja 3 voidaan yhdistää: Jännitystasapaino 𝑥3 𝑥2 𝑥1 13 11/17/2015 Jännitystasapaino Kirjoitetaan voimien summat jokaiseen suuntaan erikseen Samoin suuntiin 𝑥2 ja 𝑥3 Suunta 𝑥1 Edelliset kolme yhtälöä voidaan ilmoittaa myös indeksinotaatiolla Jaetaan puolittain 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3 :lla Ja vektorimuodossa Esimerkki 5.3.8 14 11/17/2015 Säilymislait Lisäksi, ei käydä tällä kurssilla: Laki Periaate Yhtälömuoto Esimerkkejä käyttökohteista mekaniikassa Massan säilymisen laki Systeemin massa ei muutu dm 0 dt Liikemäärän säilymislaki Systeemin liikemäärä on vakio, jos ulkoisten voimien resultantti = 0 TAI Systeemin liikemäärän muutosnopeus = ulkoisten voimien resultantti Liikemäärän momentin säilymislaki Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus = ulkoisten voimien momentti Energian säilymisen periaate eli termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus = ulkoisten voimien tekemän työn nettoteho + systeemin lämmönsiirron nettoteho Sovellukset, joissa lämpötila muuttuu, häviöt virtauksessa Termodynamiikan toinen pääsääntö eli entropiaepäyhtälö Ensimmäisen pääsäännön mukaan energia voi muuttaa muotoaan, esimerkiksi vauhtipyörän kineettinen energia voidaan muuttaa lämmöksi eli sisäiseksi energiaksi kitkajarrun avulla. Sisäistä energiaa ei kuitenkaan voi muuttaa takaisin kineettiseksi energiaksi eli liikkeeksi. Käytännössä prosessi ei siis ole reversiibeli. Toinen pääsääntö määrittelee rajoitukset energioiden muutoksille. Materiaalien matemaattisten mallien formulointi Massavirtauksen ja tilavuusvirtauksen tarkastelu jossain tilavuudessa, esim. putkessa Virtauksen aiheuttamat kuormat, rakenteiden dynamiikka, jännityksen tasapainoyhtälöt d (mr v ) rF dt Pyörivien koneiden tarkastelut, jännitystensorin symmetrisyys Liikemäärän momentin säilyminen Liikemäärän momentti eli kulmaliikemäärä partikkelille 𝑚𝐯 𝜙 m y 𝐫 Voiman aiheuttama momentti, vääntömomentti (torque) 𝐹𝑡𝑎𝑛 𝐫 𝜙 𝑙 = 𝑟 sin𝜙 𝜙 𝐹𝑟𝑎𝑑 = 𝐹 cos𝜙 m 𝜙 𝑙 = 𝑟 sin𝜙 x 𝐋 = 𝐫 × 𝑚𝐯 x 𝛕 =𝐫×𝐅 𝐿 = 𝑚𝑣𝑙 z 𝐅 y = 𝐹 sin𝜙 𝜏 = 𝐹𝑙 = 𝑟𝐹 sin𝜙 z 15 11/17/2015 Liikemäärän momentin säilyminen Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus Vektorimuodossa Todistus: = Ulkoisten voimien momenttien summa 𝑑𝐋 =𝐫×𝐅 𝑑𝑡 𝑑𝐋 𝑑 𝑑𝐫 𝑑𝐯 = 𝐫 × 𝑚𝐯 = × 𝑚𝐯 + 𝐫 × 𝑚 = 𝐯 × 𝑚𝐯 + 𝐫 × 𝑚𝐚 = 𝐫 × 𝐅 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐯 × 𝑚𝐯 = 0 𝑚𝐚 = 𝐅 Vektorin ristitulo itsensä kanssa = 0 Liikemäärän säilymisen periaate Liikemäärän momentin säilyminen Edellä määriteltiin liikemäärän momentti partikkelille. Nyt määritellään se kappaleelle. Tarkastellaan aluksi ohutta viipaletta xy-tasossa 𝜔 y 𝐿𝑖 = 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝜔 𝑟𝑖 = 𝑚𝑟𝑖 2 𝜔 𝐯𝑖 = 𝐫𝑖 𝜔 𝐫𝒊 Koko viipaleen liikemäärän momentti saadaan, kun summataan kaikkien partikkelien liikemäärän momentit 𝑚𝑖 x z 𝐋𝑖 = 𝐫𝑖 × 𝑚𝐯𝑖 𝐿𝑖 = 𝑟𝑖 𝑚𝑣𝑖 Liikemäärän momentti partikkelille i 𝐿= 𝐿𝑖 = 𝑚𝑟𝑖 2 𝜔 = 𝐼𝜔 Missä I on viipaleen hitausmomentti z-akselin suhteen Kun jäykkä kappale pyörii symmetria-akselinsa ympäri 𝐋 = 𝐼𝛚 16 11/17/2015 Liikemäärän momentin säilyminen Kappaleen (jäykkä tai deformoituva) liikemäärän momentin muutosnopeus on yhtä suuri kuin ulkoisten voimien aiheuttamien momenttien summa dL τ dt Jos jäykkä kappale pyörii symmetria-akselinsa ympäri ja pyörimisakselin suunta ei muutu dLz dz I I z z dt dt Missä 𝛼𝑧 on kulmakiihtyvyys Jos kappale ei ole jäykkä, niin 𝐼 voi muuttua. Mitä jos 𝜔 on silti vakio? Esim. Epätasapainossa oleva auton rengas. Liikemäärän momentti on hitausmomentti kertaa kulmanopeus 𝐋 = 𝐼𝛚 Mitä tapahtuu liikemäärän momentin säilymisen periaatteen mukaan, kun 𝐼 muuttuu, mutta ulkoisia voimia ei ole? Mitä tämä tarkoittaa? Mitä jos 𝐼 muuttuu? I11z I 22 z Young, H.D., Freedman, R.A. Sears and Zemansky’s University Physics with Modern Physics. 11. painos Liikemäärän momentin säilymisen periaate Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus = Ulkoisten voimien momenttien summa Kontrollitilavuuden avulla lausuttuna Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus = Liikemäärän momentin muutosnopeus kontrollitilavuudessa + Massavirtauksen liikemäärän momentti kontrollipinnan yli + Jos kyseessä on virtaus putkessa: (r v Av) = Ulkoisten voimien momenttien summa = out (r v Av)in 17 11/17/2015 Jännitystensorin symmetrisyys Samoin kuin sisäiset voimat, myös kappaleen sisäisten voimien momentit kumoavat toisensa Tästä seuraa, että jännitystensori on symmetrinen Kirjoitetaan kuvan differentiaalialkiolle kaikkien voimien momentit 𝑥3 -akselin ympäri 𝑥3 𝑥2 1 𝑥1 Jaetaan puolittain 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3 :lla ja otetaan 2 raja-arvot 𝑑𝑥1 → 0 ja 𝑑𝑥2 → 0 Ottamalla momentit myös 𝑥1 - ja 𝑥2 -akselien ympäri, saadaan Jännitys pisteessä vs. Jännitystasapaino Mitä eroa näillä esitystavoilla on? 18 11/17/2015 Mitä tänään opittiin? • Kerrattiin systeemin ja kontrollitilavuuden käsitteet • Opittiin, miten liikemäärän säilymisen periaatteen avulla voidaan johtaa kontinuumimekaniikan yhtälöitä • Jännityksen tasapainoyhtälöt seuraavat liikemäärän säilymisen periaatteesta • Opittiin, miten liikemäärän momentin säilymisen periaatteen avulla voidaan johtaa kontinuumimekaniikan yhtälöitä • Jännitystensorin symmetrisyys Huomisen luennolla • Luentotehtävä • Reynoldsin kuljetuslauseen johto • Energian säilymisen periaate 19 11/17/2015 Lähteet • Reddy, J.N. Principles of continuum mechanics. Kappale 5.3 • Young, D.F., Munson, R.B., Okiishi, T.H. A brief introduction to fluid mechanics. Kappale 5.2 • Young, H.D., Freedman, R.A. Sears and Zemansky’s University Physics with Modern Physics. 11. painos. Kappale 10 20
© Copyright 2024