Korkeamman asteen (>2) yhtälön reaalijuuret Tarkastellaan seuraavaksi muotoa an x n + an −1 x n −1 + " + a1 x + a0 = 0 olevia yhtälöitä, joilla n > 2. (1) Korkeamman asteen yhtälöt pyritään yleensä ratkaisemaan etsimällä jokin yhtälön rationaalijuuri k, ja jakamalla tämän jälkeen yhtälön vasen puoli tekijällä (x-k). Ellei rationaalijuuria ole, etsitään irrationaalijuuri (-juuret) numeerisin menetelmin. Joskus korkeamman asteen yhtälön ratkaisu voi onnistua myös ryhmittelyn avulla. Ryhmittely Tavoitteena on saattaa yhtälön oikea puoli tulomuotoon, jolloin juuret saadaan käyttämällä tulon nollasääntöä. Ryhmittelymenetelmä toimii vain eräissä erikoistapauksissa, mutta toimiessaan tuottaa ratkaisun hyvin nopeasti. Esimerkki 18. Ratkaise yhtälö 3x 3 + 4 x 2 − 9 x − 12 = 0 . 3x 3 + 4 x 2 − 9 x − 12 = 0 3x( x 2 − 3) + 4( x 2 − 3) = 0 3x( x 2 − 3) + 4( x 2 − 3) = 0 ( x 2 − 3)(3x + 4) = 0 ( x 2 − 3) = 0 ∨ (3x + 4) = 0 4 x=± 3 ∨ x=− 3 Tekijämuotoon saattaminen Tekijämuotoon saattamisessa yhtälön (1) vasempana puolena esiintyvä polynomi saatetaan tulomuotoon, ja käytetään ratkaisussa tulon nollasääntöä. Jos a on yhtälön (1) jokin juuri, niin vastaava polynomi jaollinen tekijällä (x-a). On siis löydettävä jokin yhtälön (1) juuri kokeilemalla, jota tarkastellaan seuraavaksi. Kokonais- tai murtolukuratkaisun etsiminen kokeilemalla Jos yhtälöllä (1) on kokonaislukuratkaisu (juuri), niin sen täytyy olla vakiotermin a0 tekijä. Jos yhtälöllä (1) on murtolukuratkaisu, niin osoittaja on vakiotermin a0 tekijä ja nimittäjä on korkeimman asteen kertoimen an (positiivinen) tekijä. Esimerkki 19. Etsi yhtälön x3 − 3x 2 + 2 = 0 jokin juuri. Mahdollisia kokonaislukujuuria (juuriehdokkaita) ovat luvut ±1 ja ±2 , jotka ovat vakiotermin 2 tekijät. Koska korkeimman asteen termin x3 kerroin on 1, niin muita rationaalijuuriehdokkaita ei ole. Kokeillaan seuraavaksi juuriehdokkaat läpi yksitellen sijoittamalla ehdokas muuttujan x paikalle: vp.= 13 − 3 ⋅12 + 2 = 3 − 3 = 0 = op. ⇒ x = 1 on eräs yhtälön juuri vp.= (−1)3 − 3 ⋅ (−1) 2 + 2 = −4 + 2 = −2 ≠ op. ⇒ x = −1 ei ole yhtälön juuri vp.= 23 − 3 ⋅ 22 + 2 = 10 − 12 = −2 ≠ op. ⇒ x = 2 ei ole yhtälön juuri vp.= (−2)3 − 3 ⋅ (−2) 2 + 2 = −20 + 2 = −18 ≠ op. ⇒ x = −2 ei ole yhtälön juuri Täten yhtälön x3 − 3x 2 + 2 = 0 ainoa rationaalijuuri on x = 1 . Esimerkki 20. Etsi yhtälön 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0 jokin juuri. Kokonaislukujuuriehdokkaita ovat luvut ±1 ja ±5 . vp.= 3 ⋅13 − 10 ⋅12 − 12 ⋅1 + 5 = 8 − 22 = −14 ≠ op. ⇒ x = 1 ei ole juuri vp.= 3 ⋅ (−1)3 − 10 ⋅ (−1) 2 − 12 ⋅ (−1) + 5 = −13 + 17 = 4 ≠ op. ⇒ x = −1 ei ole juuri vp.= 3 ⋅ 53 − 10 ⋅ 52 − 12 ⋅ 5 + 5 = 375 − 250 − 60 + 5 = 70 ≠ op. ⇒ x = 5 ei ole juuri vp.= 3 ⋅ (−5)3 − 10 ⋅ (−5) 2 − 12 ⋅ (−5) + 5 = −375 − 250 + 60 + 5 ≠ op. ⇒ x = −5 ei ole juuri Täten yhtälöllä 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0 ei ole lainkaan kokonaislukujuurta. Nimittäjäehdokkaita ovat luvut 1 ja 3, joista luku 1 ei tuo uusia ehdokkaita edellä tarkasteltujen joukkoon. Näin ollen rationaalijuuriehdokkaat ovat luvut 1 5 ± ja ± . 3 3 Näistä vastaavin tarkasteluin kuin edellä huomataan, että x = 1 on yhtälön eräs 3 juuri, ja muut kolme ehdokasta eivät ole. 1 Täten yhtälön 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0 ainoa rationaalijuuri on x = . 3 Tavoitteena on nyt edellä löydetyn ratioonalijuuren a avulla saattaa yhtälön (1) vasen puoli tulomuotoon. Käytännössä tämä toteutetaan käyttämällä lausetta 1, eli jaetaan yhtälön vasemmalla puolella esiintyvä polynomi termillä ( x − a ) . Esimerkki 21. Ratkaise esimerkin 17 yhtälö x3 − 3x 2 + 2 = 0 . Kuten esimerkin 17 ratkaisussa todettiin, x = 1 on yhtälön eräs juuri. Täten yhtälön vasen puoli on jaollinen tekijällä (x-1), joten jaetaan polynomi jakokulmassa. Jakolaskun tulokseksi saadaan x 2 − 2 x − 2 ja jakojäännökseksi 0. Näin ollen x3 − 3x 2 + 2 = ( x − 1)( x 2 − 2 x − 2) , joten x3 − 3x 2 + 2 = 0 ( x − 1)( x 2 − 2 x − 2) = 0 ( x − 1) = 0 ∨ ( x 2 − 2 x − 2) = 0 x =1 ∨ x = 1± 3 . HUOM! Jakolaskussa jakojäännöksen tulee aina olla nolla, koska jako menee tasan (ts. vp. on jaollinen tekijällä (x-a)). Esimerkki 22. Ratkaise esimerkin 18 yhtälö 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0 . 1  Vasen puoli on jaollinen tekijällä  x −  , ja täten myös tekijällä 3  1  3  x −  = 3x − 1 (kertomalla juuren nimittäjällä päästään eroon murtoluvuista). 3  Jaon tuloksena saadaan x 2 − 3x − 5 , joten 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = (3x − 1)( x 2 − 3x − 5) . Täten 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0 (3x − 1) = 0 ∨ ( x 2 − 3 x − 5) = 0 x= Esimerkki 23. 1 ∨ 3 x= 3 ± 29 . 2 2 x3 − 6 x 2 − 8 x + 24 . Sievennä 4 3x − 17 x 2 − 3 x3 − x − 6 Etsitään erikseen nimittäjän ja osoittajan mahdollisia rationaalijuuria. Huomataan, että nimittäjällä on juuret 3 ja -2. Kokeilemalla todetaan, että ne ovat myös osoittajan juuria. Täten sekä nimittäjä että osoittaja voidaan jakaa termeillä ( x − 3) ja ( x + 2 ) . Tuloksena saadaan: 2 x 3 − 6 x 2 − 8 x + 24 2( x − 3)( x + 2)( x − 2) = 4 2 3 1 3x − 17 x − 3 x − x − 6  3( x − 3)( x + 2)  x 2 +  3  ( ( x − 3), ( x + 2 ) = 2x − 4 . 3x 2 + 1 Bikvadraattinen yhtälö Joissakin erikoistapauksissa korkeamman asteen yhtälöt voidaan ratkaista palauttamalla ne toiseen asteen yhtälöiksi, esimerkiksi merkitsemällä y = x 2 (nk. bikvadraattinen yhtälö). Esimerkki 24. Ratkaise x 4 − 3x 2 + 2 = 0 . Merkitään y = x 2 , jolloin x 4 − 3x 2 + 2 = y 2 − 3 y + 2 . y2 − 3y + 2 = 0 ⇒ y =1 ∨ y = 2 Otetaan nyt huomioon, että y = x 2 , joten x2 = 1 ∨ x2 = 2 ⇒ x = ±1 ∨ Esimerkki 25. x=± 2. Ratkaise 2 x 6 + 9 x 3 − 5 = 0 . Merkitään y = x 3 , jolloin 2( x 3 ) 2 + 9 x 3 − 5 = 2 y 2 + 9 y − 5 . 2 y2 + 9 y − 5 = 0 1 2 ⇒ y = −5 ∨ y= ⇒ x 3 = −5 ∨ x3 = 1 2 ⇒ x = −5 ≈ −1, 71 ∨ 3 3 1 4 x= 3 = ≈ 0, 794 2 2