1. No category

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
2B
K Kytölä & V Husgafvel
Syksy 2015
Harjoitus 2B
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Kertymäfunktio ja generoiva funktio
Jakaumien tunnusluvut
Diskreettejä jakaumia
Jatkuvia jakaumia
Tuntitehtävät
2B1 Peluri aikoo pelata uhkapeliä, jonka jokaisella kierroksella joko voittaa tai häviää euron.
Kun hän aloittaa pelin, hänellä on yksi euro ja voiton todennäköisyys on kullakin pelikierroksella 1/4. Peluri pelaa kierroksia toistuvasti ja lopettaa heti, kun hänellä ei enää
ole yhtään euroa tai kun hän on pelannut kolme kierrosta. Olkoon satunnaismuuttuja
X = pelurin pääoma hänen lopettaessaan pelin.
(a) Määrää todennäköisyydet tapahtumille X = 0, 1, 2, 3, 4 ja määrittele niiden avulla
satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja
paperille.
(b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja paperille.
(c) Määrää satunnaismuuttujan X todennäköisyydet generoiva funktio.
(d) Mikä on tapahtuman X = 1.5 todennäköisyys?
(e) Määrää tapahtuman X > 1 todennäköisyys pistetodennäköisyysfunktion avulla.
(f) Määrää tapahtuman X > 1 todennäköisyys kertymäfunktion avulla.
2B2 Jatkuvan satunnaismuuttujalla X on tiheysfunktio muotoa
(
ax2 − 2ax,
kun0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
0,
muulloin.
(a) Määrää vakion a < 0 arvo.
(b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio.
(c) Määrää tapahtuman X = 0.5 todennäköisyys.
(d) Määrää tapahtuman 0 ≤ X ≤ 0.25 todennäköisyys tiheysfunktion avulla.
(e) Määrää tapahtuman 0 ≤ X ≤ 0.25 todennäköisyys kertymäfunktion avulla.
1/2
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
K Kytölä & V Husgafvel
Syksy 2015
Harjoitus 2B
Kotitehtävät
2B3 (a) Määrää tehtävän 1 diskreetin todennäköisyysjakauman odotusarvo ja varianssi.
Laske odotusarvo myös todennäköisyydet generoivan funktion avulla.
(b) Oletetaan, että kaupan asiakas ostaa satunnaisen lukumäärän tuotteita: todennäköisyydellä 0.5 hän ostaa yhden tuotteen, todennäköisyydellä 0.4 kaksi tuotetta
ja todennäköisyydellä 0.1 neljä tuotetta. Olkoon satunnaismuuttuja T asiakkaan
ostamien tuotteiden lukumäärä. Määrää T :n todennäköisyydet generoiva funktio.
Oletetaan sitten, että kaksi asiakasta ostaa tuotteita toisistaan riippumattomasti
yllä olevalla jakaumalla. Olkoon satunnaismuuttuja Y asiakkaiden yhteensä ostamien tuotteiden lukumäärä. Määrää Y :n todennäköisyydet generoiva funktio.
Osaisitko kirjoittaa generoivan funktion, jos asiakkaita olisikin kolme?
(c) Määrää tehtävän 2 jatkuvan todennäköisyysjakauman odotusarvo ja varianssi.
2B4 Henkilö suorittaa testiä, jossa kirjoitetaan tietokoneeseen tekstiä, kunnes tulee ensimmäinen virhelyönti. Testissä kirjoitettujen merkkien lukumäärä on diskreetti satunnaismuuttuja X. Oletetaan, että yksityisten merkkien lyönteihin liittyvät tapahtumat ovat
riippumattomia ja jokaisen merkin kohdalla virhelyönti tapahtuu todennäköisyydellä
p, 0 < p < 1. Mikä on satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio? Mikä on
jakauman odotusarvo? Laske odotusarvo suoraan määritelmän mukaan.
2/2