1. No category

031021P Tilastomatematiikka (5 op)
viikot 3–4
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
Satunnaismuuttuja
Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa
satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.
◮
Virtapiireissä mitataan jännitteitä ja virranvoimakkuuksia
◮
Törmäyskokeissa lasketaan esiintyvien hiukkasten lukumääriä
◮
Sähkömagneettisissa sovellutuksissa arvioidaan kentän
intensiteettiä
◮
Tietoliikennetekniikassa oikein koodattujen bittien lukumäärä
Jos satunnaiskokeen tulos ei ole valmiiksi reaaliluku, voidaan se
usein muuntaa reaaliluvuksi sopivalla funktiolla.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
2 / 59
Satunnaismuuttuja
Määr. 8
Olkoon S satunnaiskokeen otosavaruus. Satunnaismuuttuja X
on funktio, joka liittää reaaliluvun X (e) jokaiseen
alkeistapahtumaan e ∈ S ja jos kaikilla x ∈ R pätee
{X ≤ x} = {e ∈ S| X (e) ≤ x} ∈ E.
(1)
Kaikki kuvaukset X : S → R eivät siis ole satunnaismuuttujia.
Kuvaus on satunnaismuuttuja vain, jos Määritelmän 8 ehto (1)
toteutuu. Tällä kurssilla meille riittää mielikuva, että
satunnaismuuttuja on funktio otosavaruudelta reaaliluvuksi.
Satunnaismuuttujan arvojoukko SX voidaan tulkita
satunnaismuuttujan otosavaruudeksi. Satunnaismuuttujan arvoa x
sanotaan satunnaismuuttujan realisaatioksi.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
3 / 59
Esimerkki
Esim. 21
Tarkastellaan satunnaiskoetta E = “pistelukujen summa” kahden
nopan heitossa. Määrää satunnaiskoetta vastaavan
satunnaismuuttujan arvojoukko ja arvoja vastaavat tapahtumat.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
4 / 59
Kertymäfunktio
Joukko {X ≤ x} vastaa siis tapahtumaa {e ∈ S| X (e) ≤ x}, jolla
on täysin määrätty todennäköisyys, joka on x:n funktio kaikilla
x ∈ R.
Määr. 9
Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on funktio F : R → R, jolle
F (x) = FX (x) = P({X ≤ x}),
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
x ∈ R.
5 / 59
Kertymäfunktion ominaisuuksia
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1 kaikilla x ∈ R;
2. F (x1 ) ≤ F (x2 ), kun x1 ≤ x2 ;
3. F on oikealta jatkuva;
4. limx→−∞ F (x) = 0, limx→∞ F (x) = 1;
5. P(x1 < X ≤ x2 ) = F (x2 ) − F (x1 ).
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
6 / 59
Algebralliset laskutoimitukset
Satunnaismuuttujista saadaan algebrallisilla laskutoimituksilla
kuten luvulla kertomisella, yhteen-, kerto- ja jakolaskulla uusia
satunnaismuuttujia.
Lause 7
Jos X ja Y ovat satunnaismuuttujia ja c ∈ R, niin cX , X + Y ja
XY ovat myös satunnaismuuttujia. Jos lisäksi P(Y = 0) = 0, niin
X /Y on satunnaismuuttuja.
Induktiolla saadaan
Korollaari 1
Jos X1 , . . . , Xn ovat satunnaismuuttujia ja c1 , . . . , cn ∈ R, niin
c1 X1 + · · · + cn Xn ja X1 · · · Xn ovat myös satunnaismuuttujia.
Edelliset tulokset pätevät myös satunnaismuuttujien maksimille ja
minimille.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
7 / 59
Satunnaismuuttujan muunnokset
Jos X on satunnaismuuttuja ja g : R → R sopiva reaaliarvoinen
funktio, niin yhdistetty kuvaus g ◦ X = g (X ) on edelleen
satunnaismuuttuja.
Lause 8
Jos X on satunnaismuuttuja ja
(i) jos g : R → R on jatkuva, niin g (X ) on satunnaismuuttuja;
(ii) jos g : R → R on monotoninen, niin g (X ) on
satunnaismuuttuja.
Esimerkiksi, jos X on sm., niin
◮
X 2 on sm.
◮
eX on sm.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
8 / 59
Satunnaismuuttujien riippumattomuus
Satunnaismuuttujien riippumattomuus palautetaan tapahtumien
riippumattomuuteen seuraavasti.
Määr. 10
Satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, jos tapahtumat
{X ≤ x} ja {Y ≤ y } ovat riippumattomia kaikilla x, y ∈ R eli
P({X ≤ x} ∩ {Y ≤ y }) = P({X ≤ x})P({Y ≤ y }) ∀x, y ∈ R.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
9 / 59
Usean sm:n riippumattomuus
Vastaavasti n sm:n tapauksessa määritellään
Määr. 11
Satunnaismuuttujat X1 , . . . , Xn ovat (keskinäisesti)
riippumattomia, jos
P({X1 ≤ x1 }∩· · · ∩{Xn ≤ xn }) = P({X1 ≤ x1 }) . . . P({Xn ≤ xn })
kaikilla x1 , . . . , xn ∈ R.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
10 / 59
Diskreetti satunnaismuuttuja
Määr. 12
Satunnaismuuttuja X on diskreetti, jos sen arvojoukko SX on
äärellinen tai numeroituvasti ääretön: SX = {xk ; k = 1, 2, 3, . . . }.
Määr. 13
Diskreetin
( sm:n X pistetodennäköisyysfunktio on
P(X = xk ), x = xk
f (x) =
0, x 6= xk kaikilla k
Pistetodennäköisyysfunktiolla on ominaisuudet
(i) f (x) ≥ 0 kaikilla x ∈ R;
(ii) f (x) > 0 ⇒ x kuuluu joukkoon {x1 , x2 , . . . };
P∞
(iii)
k=1 f (xk ) = 1.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
11 / 59
Diskreetin sm:n kertymäfunktio
Pistetn:t pk = f (xk ) = P(X = xk ), xk ∈ SX , määräävät diskreetin
sm:n kertymäfunktion yksikäsitteisesti kaavan
X
F (x) =
P(X = xk )
k:xk ≤x
mukaisesti.
Kertymäfunktio on porrasfunktio, joka on vakio väleillä [xk , xk+1 [
ja jolla on pk = P(X = xk ):n suuruiset hyppäykset kohdissa
x = xk .
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
12 / 59
Esimerkki
Kuva : Kertymäfunktio 1
Kuva : Kertymäfunktio 2
Kuviin on piirretty eräiden satunnaismuuttujien kertymäfunktioita.
Totea kummassakin tapauksessa perustellen, onko kyseessä
diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio. Mitä voit sanoa
kyseisten satunnaismuuttujien saamista arvoista?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
13 / 59
Esimerkki
Esim. 22
Olkoon X kruunujen lukumäärä kolmen kolikon heitossa. Määrää
satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio ja
kertymäfunktio.
Esim. 23
Turo Teekkari saapuu laskiaisriehasta kotiin ja hamuilee
kotiovellaan avainnippuaan. Nipussa on 4 samantyyppistä
Abloy-avainta, joista yksi sopii oveen. Turo valitsee avaimen
nipusta ja yrittää avata oven. Jos ovi ei aukea, hän valitsee
uudelleen avaimen ja yrittää aukaista. Olkoon X sen yrityksen
järjestysluku, jolla ovi aukeaa. Laske X :n
pistetodennäköisyysfunktio ja kertymäfunktio, kun oletetaan, että
Turo valitsee avaimen umpimähkään ja muistaa mitä avaimia hän
on turhaan yrittänyt.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
14 / 59
Binomijakauma
Oletetaan seuraavaa:
◮
Toistokoe, jossa n riippumatonta toistoa;
◮
Yksittäisessä kokeessa tapahtuman B todennäköisyys
P(B) = p, 0 < p < 1;
◮
X satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa tapahtuman B
esiintymisten lukumäärän.
Tällöin X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p.
Käytetään merkintää X ∼ Bin(n, p).
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
15 / 59
Binomijakauman ominaisuuksia
◮
◮
◮
Binomijakautuneen satunnaismuuttujan X arvojoukko on
SX = {0, 1, . . . , n}
X :n pistetodennäköisyysfunktio on
n k
P(X = k) =
p (1 − p)n−k ,
k
k = 0, 1, 2, . . . , n.
Kertymäfunktio on
F (x) =
[x] X
n
k=0
k
pk (1 − p)n−k ,
0 ≤ x ≤ n,
missä [x] = max{k ∈ Z | k ≤ x}. Sitä ei voi lausua suljetussa
muodossa. Sen approksimointiin palataan myöhemmin.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
16 / 59
Binomijakauman kuvaajia
Kuvissa on esitetty sm:ien X ∼ Bin(50, 0.2) ja X ∼ Bin(50, 0.5)
pistetodennäköisyysfunktiot.
Kuva : X ∼ Bin(50, 0.2)
Jukka Kemppainen
Kuva : X ∼ Bin(50, 0.5)
Mathematics Division
17 / 59
Binomijakauman kuvaajia
Kuvissa on esitetty sm:ien X ∼ Bin(50, 0.2) ja X ∼ Bin(50, 0.5)
kertymäfunktioiden pisteittäiset arvot pisteissä k = 0, 1, . . . , 50.
Kuva : X ∼ Bin(50, 0.2)
Jukka Kemppainen
Kuva : X ∼ Bin(50, 0.5)
Mathematics Division
18 / 59
Esimerkki
Esim. 24
Erään nimeltä mainitsemattoman firman puhelimista 5 % ei kestä
pakkasta. Ostetaan 6 puhelinta. Millä todennäköisyydellä
puhelimista
(a) kaikki kestää pakkasta?
(b) vähintään yksi ei kestä pakkasta?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
19 / 59
Esimerkki
Esim. 25
Tietoliikennekanava lähettää bittejä 0 ja 1. Kanavan häiriöiden
takia esiintyy satunnainen dekoodausvirhe, jonka todennäköisyys
on p (ks. kuva)
Millä todennäköisyydellä 10-bittisen viestin dekoodauksessa
esiintyy täsmälleen 3 virheellisesti dekoodattua bittiä?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
20 / 59
Geometrinen jakauma (s.20)
Tarkastellaan toistokoetta, jossa
◮
koetta toistetaan riippumattomasti niin monta kertaa, kunnes
tietty tapahtuma A esiintyy ensimmäisen kerran;
◮
tapahtuman A todennäköisyys on P(A) = p, 0 < p < 1;
◮
olkoon X tapahtuman A ensiesiintymiseen tarvittavien
toistojen lukumäärä.
Tällöin X noudattaa Geometrista jakaumaa parametrilla p ja
merkitään X ∼ Geo(p).
Joukko {X = k} vastaa tapahtumaa
A
· · × A} ×A,
| × ·{z
k−1 kertaa
jonka todennäköisyys on P({X = k}) = (1 − p)k−1 p.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
21 / 59
Ominaisuuksia
◮
◮
Arvojoukko on SX = {1, 2, . . . }
Pistetodennäköisyysfunktio on
P({X = k}) = pq k−1 ,
◮
k = 1, 2, . . . ,
missä q = 1 − p.
Kertymäfunktio on
F (x) =
[x]
X
k=1
pq k−1 = p
1 − q [x]
= 1 − q [x] ,
1−q
missä x ≥ 1 ja [x] = max{k ∈ Z|k ≤ x}.
Pistetn:t todella muodostavat jakauman, sillä ne ovat positiivisia ja
∞
X
k=1
Jukka Kemppainen
pq k−1 =
p
= 1 (geometrinen sarja).
1−q
Mathematics Division
22 / 59
Esimerkki
Esim. 26
Laskiaisbileiden järjestelyihin osallistuva opiskelija tekee yliopistolla
kartoitusta bileisiin osallistuvista. Sitä varten hän kyselee
pääaulassa satunnaisesti valituilta ohikulkevilta opiskelijoilta,
aikovatko he osallistua bileisiin. Oletetaan, että hän löytää
osallistujan todennäköisyydellä 0.1.
(a) Millä todennäköisyydellä hänen täytyy kysyä 5 opiskelijalta
ennen kuin löytyy bileisiin osallistuva?
(b) Millä todennäköisyydellä hänellä pitää kysyä vähintään 5
henkilöltä ennen kuin hän löytää osallistuvan?
(c) Oletetaan, että hän on jo kysynyt 5 henkilöltä eikä kukaan
heistä aio osallistua bileisiin. Millä todennäköisyydellä hänellä
täytyy kysyä vielä vähintään 5 henkilöltä ennen kuin löytää
bileisiin osallistuvan?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
23 / 59
Poisson-jakauma (s.20)
Oletetaan, että
◮ tietty tapahtuma esiintyy satunnaisin aikavälein keskimäärin a
kertaa aikayksikössä
◮ X on tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärä
aikayksikössä
Tällöin X noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla a ja
merkitään X ∼ Poi(a).
Huomautus 3
Poisson-jakaumaan päädytään binomijakauman rajajakaumana,
kun
n → ∞ ja p → 0 siten, että np = a.
Tämän nojalla Poisson-jakaumaa voi ajatella harvinaisen
tapahtuman esiintymiskertojen lukumäärän jakaumaksi suuressa
populaatiossa.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
24 / 59
Ominaisuuksia
Jos X ∼ Poi(a), niin
◮
◮
X :n arvojoukko on SX = {0, 1, 2, . . . };
X :n pistetodennäköisyydet ovat
P({X = k}) = e−a
ak
,
k!
k = 0, 1, 2, . . .
Pistetodennäköisyydet todella muodostavat jakauman, sillä ne
ovat positiivisia ja
∞
X
k=0
P(X = k) = e−a
∞ k
X
a
k=0
k!
= 1.
Edellä käytettiin eksponenttifunktion sarjakehitelmää
P
ak
ea = ∞
k=0 k! (katso PK I).
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
25 / 59
Ominaisuuksia ja sovelluksia
Jos X1 ja X2 ovat riippumattomia ja X1 ∼ Poi(a1 ) ja
X2 ∼ Poi(a2 ), niin X1 + X2 ∼ Poi(a1 + a2 ).
Sovelluksia:
◮ “harvinaisen” tapahtuman esiintymiskertojen lkm.
tietynpituisille ajanjaksoille ja tietynkokoisille alueille, joissa
oletetaan, että
◮
◮
◮
tn., että yhdellä “lyhyellä” jaksolla tapahtuma sattuu
korkeintaan kerran, riippuu vain jakson pituudesta (alueen
pinta-alasta);
tn., että sattuu useammin kuin kerran, on “pieni”;
erillisten jaksojen tapahtumakertojen oletetaan olevan
toisistaan riippumattomia.
(Poisson-prosessi)
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
26 / 59
Esimerkkejä sovelluksista
◮
Tietylle alueelle osuvien ammusten lukumäärä;
◮
Radioaktiivisen aineen hajoamisten lukumäärä aikayksikössä;
◮
Harvinaiseen tautiin kuolleiden lukumäärä suuressa
populaatiossa;
◮
Painovirheiden lukumäärä kirjan tietyllä sivulla;
◮
Web-serveriin otettujen yhteyksien lukumäärä minuutissa;
◮
Vääriin numeroihin soitettujen puheluiden lkm.
vuorokaudessa;
◮
Kromosomimuutosten lukumäärä soluissa;
◮
jne...
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
27 / 59
Kuvaaja
Kuvissa on havainnollistettu jakaumaa X ∼ Poi(5).
Kuva : Pistetn:t
Jukka Kemppainen
Kuva : Kertymäfunktion arvot
pisteissä k = 0, 1, . . . .
Mathematics Division
28 / 59
Esimerkki
Esim. 27
Tutkittiin 20 DVD-levyn pintavikoja, joita havaittiin seuraavan
taulukon mukaisesti:
Vikojen lkm. 0 1 2 3 4 5 6
Levyjen lkm. 4 3 5 2 4 1 1
(a) Kuinka monta vikaa levyssä on keskimäärin?
(b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa levyssä on
pintavikoja vähintään 3?
(c) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa kahdessa
levyssä on pintavikoja yhteensä vähintään 3?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
29 / 59
Esimerkki
Esim. 28
Lentoyhtiö tietää kokemuksesta, että keskimäärin 5% paikan
varanneista jää saapumatta koneeseen. Niinpä yhtiö myykin 102
lippua koneeseen, johon mahtuu 100 matkustajaa. Oletetaan, että
paikan varaajat ovat toisistaan riippumattomia.
(a) Mikä jakaumamalli mielestäsi soveltuu tähän tilanteeseen?
(b) Laske edellisen kohdan mallilla tn., että jokainen lennolle
todella saapuva saa paikan.
(c) Arvioi edellisen kohdan tn:ää Poisson-jakauman avulla.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
30 / 59
Hypergeometrinen jakauma (s.23)
Oletetaan, että
◮ joukossa on N alkiota, joista m on “suotuisia”;
◮ poimitaan joukosta umpimähkään n alkiota;
◮ X ilmoittaa “suotuisien” alkioiden lukumäärän n:n alkion
otoksessa.
Tällöin X noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein n, m
ja N ja merkitään X ∼ Hypergeom(n, m, N).
Ominaisuuksia:
◮ arvojoukko on SX = {0, 1, . . . , min(m, n)};
◮ pistetodennäköisyydet ovat
m N−m
P(X = k) =
◮
k
n−k
N
n
,
k = 0, 1, . . . , min(m, n).
lähestyy binomijakaumaa Bin(n, m
N ), kun N kasvaa.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
31 / 59
Esimerkki
Esim. 29
Oletetaan, että 100 tuotteen joukossa on 25 viallista. Jos joukosta
poimitaan umpimähkään 10 tarkistukseen, niin mikä on
todennäköisyys, että tarkistuksessa on 2 viallista, kun
(a) käytetään hypergeometrista jakaumaa?
(b) käytetään binomijakauma-approksimaatiota?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
32 / 59
Jatkuva satunnaismuuttuja (s.25)
Määr. 14
Satunnaismuuttuja X on jatkuva, jos sen kertymäfunktio FX on
jatkuva R:ssä.
Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, merkitään FX = F .
Jatkuvalle satunnaismuuttujalle yksittäisen pisteen tn. on nolla,
sillä P(a − h < X < a + h) = F (a + h) − F (a − h) → 0, kun
h → 0, ja näin ollen P(X = a) = 0 kaikilla a ∈ R.
Huomaa, että diskreetillä satunnaismuuttujalla yksittäisen pisteen
tn. voi olla positiivinen.
Jos F ei ole pelkästään jatkuva, vaan myös derivoituva, niin
F ′ (x) =
Jukka Kemppainen
dF (x)
= fX (x).
dx
Mathematics Division
33 / 59
Jatkuva satunnaismuuttuja
Koska limx→−∞ F (x) = 0, seuraa edellisestä
F (x) =
Z
x
fX (y )dy .
−∞
Funktiota fX sanotaan satunnaismuuttujan X tiheysfunktioksi,
jota merkitään fX = f ellei erehtymisen vaaraa ole.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
34 / 59
Tiheysfunktion ominaisuuksia
◮
◮
◮
f (x) ≥ 0 kaikilla x ∈ R;
R∞
−∞ f (x) = 1;
Rb
P(a < X ≤ b) = a f (x)dx = F (b) − F (a) kaikilla
a < b ∈ R.
Koska yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, niin
P(a < X ≤ b) =P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b)
=P(a < X < b).
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
35 / 59
Kuvaajia
Väritetyn alueen pinta-ala ilmoittaa jatkuvaan sm:aan X liittyvien
tapahtumien tn:t.
Kuva : P(X ≤ 2)
Jukka Kemppainen
Kuva :
P(−1 < X < 1)
Mathematics Division
Kuva : P(X > 1)
36 / 59
Esimerkkejä
Esim. 30
Millä c:n arvoilla funktiot
(a) ce−|x| , −∞ < x < ∞;
(b)
(c)
c
, −∞ < x < ∞;
1+x 2
x
6 + c, 0 ≤ x ≤ 3,
ovat tiheysfunktioita?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
37 / 59
Esimerkkejä
Esim. 31
Gumbelin jakauma on tyypillinen ääriarvojakauma, jonka
standardimuotoinen tiheysfunktio on
f (z) = exp(−z − e−z ),
−∞ < z < ∞,
(2)
missä on käytetty merkintää exp(z) = ez .
(a) Laske Gumbelin jakauman kertymäfunktio F (z).
(b) Laske todennäköisyys P(Z ≥ 0), kun Z :n tiheysfunktio on
annettu kaavalla (2).
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
38 / 59
Eksponenttijakauma (s.26)
Eksponenttijakauma on tyypillinen kestoiän jakauma. Jakaumaan
päädytään seuraavasta asetelmasta:
Olkoon X jonkin laitteen yhtäjaksoinen toiminta-aika
käynnistyshetkestä t = 0 alkaen. Oletetaan, että
◮
laite toimii hetkellä t = 0, ts. P(X > 0) = 1;
◮
laitteen kunto on vakio seuraavassa mielessä: tn., että
hetkellä t toimiva laite toimii vielä hetkellä t + h, riippuu
ainoastaan h:sta, eli
P(X > t + h|X > t) = P(X > h) kaikilla t ≥ 0 ja h > 0.
(3)
Kaavaa (3) sanotaan muistinmenetysominaisuudeksi.
Voidaan osoittaa, että ainoa positiivinen satunnaismuuttuja, jolla
on ominaisuus (3), on eksponenttijakautunut.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
39 / 59
Eksponenttijakauman ominaisuuksia
Määr. 15
Satunnaismuuttuja X on eksponenttijakautunut parametrilla a
(a > 0) ja merkitään X ∼ Exp(a), jos X :n tiheysfunktio on
(
0, x < 0,
fX (x) =
ae −ax , x ≥ 0.
Kertymäfunktio on
(
0, x < 0
fX (t)dt =
FX (x) =
1 − e −ax , x ≥ 0.
−∞
Z
x
Parametrin a käänteisluku
keskimääräisen arvon.
Jukka Kemppainen
1
a
ilmoittaa satunnaismuuttujan
Mathematics Division
40 / 59
Kuvaajia
Kuvissa on esitetty eksponenttijakautuneen sm:n tiheysfunktioiden
ja kertymäfunktioiden kuvaajia.
Kuva : Tiheysfunktiot
Jukka Kemppainen
Kuva : Kertymäfunktiot
Mathematics Division
41 / 59
Esimerkkejä
Esim. 32
Oletetaan, että eräälle web-palvelimelle tulee keskimäärin 10
yhteydenottoa minuutissa.
(a) Millä todennäköisyydellä ensimmäiseen yhteydenottoon kuluu
aikaa vähintään 10 sekuntia?
(b) Kuinka kauan ensimmäistä yhteydenottoa täytyy odottaa, jos
vaaditaan, että ensimmäinen yhteydenotto tapahtuu tn:llä
0.9?
(c) Jos ensimmäiseen 10 sekuntiin ei ole tullut yhtään
yhteydenottoa, niin millä todennäköisyydellä yhteydenottoa ei
tule seuraavan 10 sekunnin kuluessa?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
42 / 59
Esimerkkejä
Esim. 33
Oletetaan, että auton jakopään hihna kestää keskimäärin 120000
km ja että hihnan käyttöikä [km] on eksponenttijakautunut
satunnaismuuttuja.
(a) Millä todennäköisyydellä hihna kestää autonvalmistajan
ilmoittaman vaihtovälin 90000 km?
(b) Auton omistajalla ei ole tietoa, milloin jakopään hihna on
viimeksi vaihdettu. Millä todennäköisyydellä samalla hihnalla
voi ajaa vielä 90000 km?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
43 / 59
Tasajakauma (s.26)
Tasajakauma vastaa koetta, jossa luku X valitaan täysin
satunnaisesti väliltä [a, b]. Tämä merkitsee sitä, että kaikilla välin
[a, b] samanpituisilla osaväleillä on sama todennäköisyys sisältää
valittu luku X . Tai yhtäpitävästi: X :n jakaumalla on tiheysfunktio,
joka on vakio välillä [a, b].
Määr. 16
Satunnaismuuttuja X noudattaa tasajakaumaa parametrein a ∈ R
ja b ∈ R, joille a < b, ja merkitään X ∼ Tas(a, b), jos X :n
tiheysfunktio on
(
1
, jos a ≤ x ≤ b,
fX (x) = b−a
0,
muulloin.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
44 / 59
Tasajakauma
Tasajakauman kertymäfunktio on


jos x < a
0,
x−a
F (x) = b−a , jos a ≤ x ≤ b


1,
jos x > b.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
45 / 59
Esimerkki
Turo Teekkari on sopinut ensitreffit kaupunnin keskustaan samalle
päivälle Tilastomatematiikan ensimmäisen välikokeen kanssa. Hän
on laskeskellut, että ehtii ajoissa treffeille, vaikka hän menee
Linnanmaan bussipysäkille satunnaisena ajankohtana klo. 11.00 ja
klo. 12.00 välisenä aikana. Millä todennäköisyydellä Turo joutuu
odottamaan bussia
(a) korkeintaan 5 minuuttia,
(b) vähintään 10 minuuttia,
kun busseja kulkee seuraavan taulukon mukaisesti?
Aikataulu, Linnanmaa–keskusta
Tunnit
Minuutit
11
01 14 23 31 44 53
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
46 / 59
Normaalijakauma (s.26)
Normaalijakauma on tärkein jakauma todennäköisyyslaskennassa
ja sen sovellutuksissa. Sen vuoksi sitä nimitetään
normaalijakaumaksi. Normaalijakauman keskeinen asema selviää
mm. luentomonisteen luvussa 6.
Määr. 17
Satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa parametrein
µ, σ 2 , joille µ ∈ R ja 0 < σ ∈ R, ja merkitään X ∼ N(µ, σ 2 ), jos
X :n tiheysfunktio on
1
(x − µ)2 fX (x) = √
,
exp −
2σ 2
2πσ
−∞ < x < ∞.
Parametri µ on satunnaismuuttujan keskimääräinen arvo.
Parametria σ 2 sanotaan varianssiksi.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
47 / 59
Normaalijakauma
Tarkastellaan seuraavissa kuvaajissa parametrien µ ja σ vaikutusta
tiheysfunktioon.
Normaalijakautuneen sm:n X ∼ N(µ, 1) tiheysfunktioiden kuvaajia
parametrin µ eri arvoilla.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
48 / 59
Normaalijakauma
Normaalijakautuneen sm:n X ∼ N(0, σ 2 ) tiheysfunktioiden
kuvaajia parametrin σ eri arvoilla.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
49 / 59
Standardisoitu normaalijakauma (s.27)
Käytännön laskennassa tärkeäksi osoittautuu
Määr. 18
Satunnaismuuttuja X noudattaa standardisoitua
normaalijakaumaa, merkitään X ∼ N(0, 1), jos X :n tiheysfunktio
on
x2
1
ϕ(x) = √ exp(− ), x ∈ R.
2
2π
Kertymäfunktio on
1
FX (x) = √
2π
Z
x
exp(−
−∞
x2
)dx,
2
jota merkitään FX (x) = Φ(x).
Kertymäfunktiota ei voi ilmoittaa suljetussa muodossa, joten arvot
Φ(x) täytyy lukea taulukosta.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
50 / 59
Standardisoitu normaalijakauma
Kuvissa on esitetty standardisoidun normaalijakauman
tiheysfunktion ϕ ja kertymäfunktion Φ kuvaajat.
Kuva : Funktion ϕ kuvaaja.
Jukka Kemppainen
Kuva : Funktion Φ kuvaaja.
Mathematics Division
51 / 59
Ominaisuuksia
◮
Symmetria-ominaisuus
Φ(−x) = 1 − Φ(x) kaikilla x ∈ R.
◮
Todennäköisyys P(a < X < b) = Φ(b) − Φ(a)
Miksi standarisoitu normaalijakauma on käytännön laskennassa
keskeinen, ilmenee lauseesta
Lause 9
Jos X ∼ N(µ, σ 2 ), niin
Jukka Kemppainen
X −µ
σ
∼ N(0, 1).
Mathematics Division
52 / 59
Taulukon käyttö
◮
◮
Olkoon X ∼ N(µ, σ 2 ).
Tällöin
Z =
◮
Todennäköisyydeksi P(X ≤ a) saadaan
P(X ≤ a) = P(
◮
X −µ
∼ N(0, 1).
σ
X −µ
a−µ
a−µ
≤
) = Φ(
).
σ
σ
σ
Taulukosta löytyy tn:t vain positiivisille x; tn:t negatiivisille x
saadaan symmetria-ominaisuudesta.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
53 / 59
Esimerkkejä
Esim. 34
Merkitään satunnaismuuttujalla X satunnaisesti valitun
suomalaisen naisen pituutta [cm]. Pituus noudattaa
normaalijakaumaa parametrein µ = 165 ja σ 2 = 25. Määrää tn:t
(a) P(X = 160);
(b) P(159, 5 < X < 160, 5) =
P(”X on sentin tarkkuudella 160”);
(c) P(160 < X < 170).
Esim. 35
Olkoon X ∼ N(µ, σ 2 ). Laske todennäköisyydet
(a) P(µ − σ < X < µ + σ);
(b) P(µ − 2σ < X < µ + 2σ).
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
54 / 59
Vikaantumisjakaumista (s.28)
◮
◮
Olkoon X komponentin eliniän ilmoittava satunnaismuuttuja.
Komponentin hetkellistä vioittumistodennäköisyyttä voidaan
luonnehtia hasardifunktion
ρ(t) =
◮
fX (t)
,
1 − FX (t)
t > 0,
avulla.
Integroimalla saadaan X :n kertymäfunktioksi
Z x
ρ(t)dt , x ≥ 0,
FX (x) = 1 − exp −
0
◮
josta derivoimalla saadaan tiheysfunktioksi
Z x
ρ(t)dt ,
fX (x) = ρ(x) exp −
x > 0.
0
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
55 / 59
Weibullin jakauma (s.29)
Jos oletetaan, että hasardifunktio on verrannollinen ajan t
potenssiin, ρ(t) = αβt β−1 , saadaan
Määr. 19
Satunnaismuuttuja X noudattaa Weibullin jakaumaa parametreilla
0 < α, β ∈ R, jos X :llä on tiheysfunktio
(
β
αβx β−1 e−αx , x > 0,
fX (x) =
0,
muulloin.
Kertymäfunktio on
β
FX (x) = 1 − e−αx .
Weibullin jakauma ottaa huomioon, että vikaantumistn. muuttuu
käytössä, jos komponenttia ei huolleta.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
56 / 59
Weibullin jakauma
Huomautus 4
Esittelemämme Weibullin jakauma poikkeaa parametrien osalta
kirjallisuudessa usein esitettävästä muodosta X ∼ Weibull(b, c),
jonka tiheysfunktio on
f (t) = c
1 c−1 −( t )c
t
e b ,
bc
t > 0.
Mikäli lasket numeerisesti Weibullin jakaumaan liittyviä tehtäviä,
kannattaa tämä parametrien mahdollinen poikkeavuus tarkistaa.
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
57 / 59
Tiheysfunktioiden kuvaajia
Kuvassa on esitetty Weibull-jakautuneen satunnaismuuttujan
tiheysfunktion kuvaaja parametrien α ja β eri arvoilla. Huomaa,
että erityisesti Wei(1, 1) = Exp(1).
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
58 / 59
Esimerkkejä
Esim. 36
Huoltamattoman laitteen kestoikä on Weibull-jakautunut
1
parametrein α = √300
ja β = 0,5. Tällöin odotettavissa oleva
kestoikä on 600 tuntia. Millä todennäköisyydellä laite kestää
ainakin 500 tuntia? Jos laite on kestänyt jo 500 tuntia, millä
todennäköisyydellä se kestää 100 tuntia lisää?
Esim. 37
Oletetaan, että laitteen elinikä X on Weibull-jakautunut
satunnaismuuttuja. Laitteen luotettavuus L ajan t [h] funktiona
määritellään kaavalla L(t) = P(X > t). Jos halutaan, että
luotettavuus ajanhetkellä t = 1000 on 0.60 ja luotettavuus
ajanhetkellä t = 4000 on 0.10, niin miten jakauman
X ∼ Wei(α, β) parametrit α ja β on säädettävä?
Jukka Kemppainen
Mathematics Division
59 / 59